Height and Distance Questions in Hindi

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार से पहले बिंदु की दूरी $x$ है।
समकोण त्रिभुज से,हमारे पास है:
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{OB}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + OA}$ $\Rightarrow 20 + OA = h\sqrt{3}$.
$OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर:
$20 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$20 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$20 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, m$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h = 20 \, m$ है और आधार से दूरी $d$ है।
मीनार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan(30^\circ) = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{आधार}} = \frac{20}{d}$
चूँकि $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{d}$
$d = 20\sqrt{3} \, m$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना मीनार $OP$ की ऊँचाई $h$ है,जहाँ $O$ मीनार का आधार है।
$\triangle OAP$ में,$\tan \alpha = \frac{h}{OA} \Rightarrow OA = h \cot \alpha$.
$\triangle OBP$ में,$\tan \beta = \frac{h}{OB} \Rightarrow OB = h \cot \beta$.
चूँकि $OA$ दक्षिण में है और $OB$ पूर्व में है,इसलिए $\triangle OAB$,$O$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle OAB$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OA^2 + OB^2 = AB^2$.
$(h \cot \alpha)^2 + (h \cot \beta)^2 = d^2$.
$h^2 (\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta) = d^2$.
$h^2 = \frac{d^2}{\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta}$.
$h = \frac{d}{\sqrt{\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta}}$.

(A) माना पेड़ की ऊँचाई $h$ है और नदी की चौड़ाई $b$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
पहले त्रिभुज में,$\tan 60^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$।
दूसरे त्रिभुज में,$\tan 30^\circ = \frac{h}{b + 40} \Rightarrow h = (b + 40) \tan 30^\circ = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$।
$h$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$b\sqrt{3} = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$
$3b = b + 40$
$2b = 40$
$b = 20 \ m$।

(B) माना खंभे की कुल ऊंचाई $H$ है। निचला भाग $\frac{H}{3}$ है और ऊपरी भाग $\frac{2H}{3}$ है। बिंदु आधार से $d = 20 \, m$ की दूरी पर है। माना $\alpha$ निचले भाग द्वारा बनाया गया कोण है और $\beta$ पूरे खंभे द्वारा बनाया गया कोण है। ऊपरी भाग द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \beta - \alpha$ है,जहाँ $\tan \theta = \frac{1}{2}$ है।
हमें प्राप्त होता है $\tan \alpha = \frac{H}{3d}$ और $\tan \beta = \frac{H}{d}$।
सूत्र $\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{H}{d} - \frac{H}{3d}}{1 + \frac{H^2}{3d^2}} = \frac{2Hd}{3d^2 + H^2}$।
इस प्रकार,$H^2 - 4dH + 3d^2 = 0$।
$d = 20$ रखने पर,$H^2 - 80H + 1200 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(H - 20)(H - 60) = 0$।
अतः,खंभे की संभावित ऊंचाइयां $H = 20 \, m$ और $H = 60 \, m$ हैं।

(D) माना $H = 60 \ m$ टॉवर की ऊँचाई है और $h$ घर की ऊँचाई है। माना $d$ टॉवर और घर के बीच की दूरी है।
समस्या की ज्यामिति के अनुसार:
$\tan \alpha = \frac{H - h}{d} \Rightarrow d = \frac{60 - h}{\tan \alpha}$
$\tan \beta = \frac{H}{d} \Rightarrow d = \frac{60}{\tan \beta}$
$d$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{60 - h}{\tan \alpha} = \frac{60}{\tan \beta}$
$(60 - h) \tan \beta = 60 \tan \alpha$
$60 \tan \beta - h \tan \beta = 60 \tan \alpha$
$h \tan \beta = 60(\tan \beta - \tan \alpha)$
$h = 60 \left( \frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$
$h = 60 \left( \frac{\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha}{\cos \beta \cos \alpha} \right) \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$
$h = \frac{60 \sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha \sin \beta}$
दिए गए व्यंजक $\frac{60 \sin(\beta - \alpha)}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \cos \alpha \sin \beta$ प्राप्त होता है।

(C) माना पेड़ की ऊँचाई $h$ है। माना कार शुरू में बिंदु $A$ पर है और $3 \text{ मिनट}$ बाद बिंदु $B$ पर है।
$30^\circ$ के कोण के साथ बने समकोण त्रिभुज में,पेड़ के आधार से दूरी $x_1 = h \cot(30^\circ) = h\sqrt{3}$ है।
$60^\circ$ के कोण के साथ बने समकोण त्रिभुज में,पेड़ के आधार से दूरी $x_2 = h \cot(60^\circ) = \frac{h}{\sqrt{3}}$ है।
$3 \text{ मिनट}$ में तय की गई दूरी $d = x_1 - x_2 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि कार $\frac{2h}{\sqrt{3}}$ दूरी $3 \text{ मिनट}$ में तय करती है,इसलिए गति $v = \frac{2h}{3\sqrt{3}} \text{ प्रति मिनट}$ है।
पेड़ तक की शेष दूरी $x_2 = \frac{h}{\sqrt{3}}$ है।
शेष दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{h/\sqrt{3}}{2h/(3\sqrt{3})} = \frac{h}{\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{3}}{2h} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ मिनट}$।

(A) माना दोनों घरों के बीच की दूरी $d$ है। खिड़की $64 \ m$ की ऊँचाई पर है। $100 \ m$ ऊँचाई वाला घर खिड़की से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा द्वारा दो भागों में विभाजित होता है: एक भाग $64 \ m$ (खिड़की के नीचे) और दूसरा भाग $(100 - 64) = 36 \ m$ (खिड़की के ऊपर)।
माना $\theta$ वह कोण है जो निचला भाग $d$ दूरी की क्षैतिज रेखा के साथ बनाता है। अतः $\tan \theta = \frac{64}{d}$।
ऊपरी भाग क्षैतिज रेखा के साथ $(90^\circ - \theta)$ का कोण बनाता है। अतः $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{36}{d}$,जिसका अर्थ है $\cot \theta = \frac{36}{d}$।
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \times \cot \theta = \frac{64}{d} \times \frac{36}{d}$।
$1 = \frac{64 \times 36}{d^2}$।
$d^2 = 64 \times 36$।
$d = \sqrt{64 \times 36} = 8 \times 6 = 48 \ m$।

(A) माना $OP = l$ खंभे की लंबाई है,जो ऊर्ध्वाधर से $10^\circ$ के कोण पर झुका है। $O$ खंभे का आधार है और $S$ छाया का सिरा है। छाया की लंबाई $OS = 2.05 \text{ m}$ है।
$\triangle SPO$ में,सूर्य का उन्नयन कोण $\angle OSP = 38^\circ$ है।
खंभे और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $10^\circ$ है। ऊर्ध्वाधर और जमीन के बीच का कोण $90^\circ$ है।
अतः,खंभे और जमीन के बीच का कोण $\angle SOP = 90^\circ + 10^\circ = 100^\circ$ है।
$\triangle SPO$ में कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $\angle SPO = 180^\circ - (38^\circ + 100^\circ) = 42^\circ$ है।
$\triangle SPO$ में ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{OP}{\sin \angle OSP} = \frac{OS}{\sin \angle SPO}$
$\frac{l}{\sin 38^\circ} = \frac{2.05}{\sin 42^\circ}$
$l = \frac{2.05 \sin 38^\circ}{\sin 42^\circ}$

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h \ m$ है।
दिया गया है कि आधार से दूरी $20 \ m$ है और उन्नयन कोण $45^\circ$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(45^\circ) = \frac{h}{20}$
चूँकि $\tan(45^\circ) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \ m$।
अतः,मीनार की ऊँचाई $20 \ m$ है।

(C) माना पहले टावर की ऊँचाई $h \ m$ है और दूसरे टावर की ऊँचाई $H = 150 \ m$ है।
उनके बीच की क्षैतिज दूरी $d = 60 \ m$ है।
दूसरे टावर के शीर्ष से पहले टावर के शीर्ष का अवनमन कोण $30^\circ$ है,जिसका अर्थ है कि पहले टावर के शीर्ष से दूसरे टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $30^\circ$ है।
ऊँचाइयों के अंतर और क्षैतिज दूरी द्वारा बने समकोण त्रिभुज पर विचार करने पर:
$\tan(30^\circ) = \frac{H - h}{d}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150 - h}{60}$
$150 - h = \frac{60}{\sqrt{3}}$
$150 - h = 20\sqrt{3}$
$h = 150 - 20\sqrt{3} \ m$.
अतः,पहले टावर की ऊँचाई $(150 - 20\sqrt{3}) \ m$ है।

(B) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h = 60 \ m$ है और लाइटहाउस के पाद से नाव की दूरी $x \ m$ है।
समकोण त्रिभुज में,नाव से शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर यानी $15^\circ$ होता है।
अतः,$\tan(15^\circ) = \frac{60}{x}$।
इसलिए,$x = 60 \cot(15^\circ) = 60 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \right) \ m$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना चट्टान की ऊँचाई $h \ m$ है और प्रेक्षक की चट्टान के आधार से दूरी $x \ m$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,टॉवर की ऊँचाई $60 \ m$ है।
चट्टान और प्रेक्षक द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot(30^\circ) = h\sqrt{3}$.
टॉवर और चट्टान दोनों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,कुल ऊँचाई $(h + 60) \ m$ है:
$\tan(60^\circ) = \frac{h + 60}{x} \Rightarrow x = \frac{h + 60}{\tan(60^\circ)} = \frac{h + 60}{\sqrt{3}}$.
$x$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$h\sqrt{3} = \frac{h + 60}{\sqrt{3}}$
$3h = h + 60$
$2h = 60$
$h = 30 \ m$.

(B) माना मीनार $OT$ की ऊँचाई $H$ है,जहाँ $O$ मीनार का पाद है। माना $A$ जमीन पर एक बिंदु है ताकि $\angle OAT = \alpha$ हो। अतः,$\triangle AOT$ में,$\tan \alpha = \frac{H}{AO}$,जिसका अर्थ है $AO = H \cot \alpha$.
माना $P$,$A$ से $l$ मीटर ऊर्ध्वाधर ऊपर स्थित एक बिंदु है,अतः $PA = l$ है। $P$ से पाद $O$ का अवनमन कोण $\beta$ है,अतः $\angle POA = \beta$ है। $\triangle PAO$ में,$\tan \beta = \frac{PA}{AO} = \frac{l}{AO}$,जिसका अर्थ है $AO = l \cot \beta$.
$AO$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $H \cot \alpha = l \cot \beta$.
अतः,$H = l \frac{\cot \beta}{\cot \alpha} = l \tan \alpha \cot \beta$.

(B) माना $O$ मीनार का आधार है और $H = 100 \ m$ इसकी ऊँचाई है।
$\triangle AOT$ में,जहाँ $T$ मीनार का शीर्ष है,$\tan 30^\circ = \frac{H}{OA} \implies OA = \frac{100}{\tan 30^\circ} = 100\sqrt{3} \ m$.
$\triangle BOT$ में,$\tan 45^\circ = \frac{H}{OB} \implies OB = \frac{100}{\tan 45^\circ} = 100 \ m$.
चूँकि $OA$ दक्षिण दिशा में है और $OB$ पश्चिम दिशा में है,इसलिए $\angle AOB = 90^\circ$.
समकोण $\triangle AOB$ में,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{(100\sqrt{3})^2 + 100^2} = \sqrt{30000 + 10000} = \sqrt{40000} = 200 \ m$.

$(B)$ माना हवाई जहाज की ऊँचाई $H = 1 \ km$ है। माना हवाई जहाज द्वारा $10$ सेकंड में तय की गई दूरी $d$ है।
समस्या की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$d = H \cot(30^\circ) - H \cot(60^\circ)$
$d = 1 \times \sqrt{3} - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
लिया गया समय $t = 10 \ \text{सेकंड} = \frac{10}{3600} \ \text{घंटे} = \frac{1}{360} \ \text{घंटे}$.
गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{2/\sqrt{3}}{1/360} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 360 = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(B) माना प्रेक्षण बिंदु $P$ झील की सतह से $a$ मीटर ऊपर है। माना बादल $C$ झील की सतह से $H$ ऊँचाई पर है। बादल का प्रतिबिंब झील की सतह से $H$ गहराई पर $C'$ पर है।
समकोण त्रिभुज के गुणधर्म से,$\tan \alpha = \frac{H - a}{x}$ और $\tan \beta = \frac{H + a}{x}$,जहाँ $x$ क्षैतिज दूरी है।
अतः,$x = (H - a) \cot \alpha = (H + a) \cot \beta$.
इस समीकरण को हल करने पर,$H(\cot \alpha - \cot \beta) = a(\cot \alpha + \cot \beta)$.
सरल करने पर,$H = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta - \alpha)}$।

(C) मीनार के शीर्ष से जमीन पर स्थित बिंदु $A$ का अवनमन कोण,शीर्ष से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा और बिंदु $A$ की दृष्टि रेखा के बीच का कोण होता है।
एकांतर अंतःकोणों के गुणधर्म के अनुसार,जब दो समांतर रेखाओं (शीर्ष पर क्षैतिज रेखा और जमीन) को एक तिर्यक रेखा (दृष्टि रेखा) काटती है,तो अवनमन कोण और उन्नयन कोण बराबर होते हैं।
अतः,यदि अवनमन कोण $30^\circ$ है,तो बिंदु $A$ से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $30^\circ$ होगा।

(B) माना प्रत्येक खंभे की ऊँचाई $h \, m$ है। दोनों खंभों के बीच की दूरी $120 \, m$ है।
उनके आधारों को जोड़ने वाली रेखा पर $A$ और $B$ बिंदु इस प्रकार हैं कि $AB = 30 \, m$ है।
ज्यामिति के अनुसार,पहले खंभे के आधार से $A$ की दूरी $h$ होगी (क्योंकि $\tan 45^\circ = \frac{h}{dist} = 1$)।
इसी प्रकार,दूसरे खंभे के आधार से $B$ की दूरी $h$ होगी।
दोनों खंभों के बीच की कुल दूरी = (पहले खंभे से $A$ की दूरी) + $AB$ + ($B$ से दूसरे खंभे की दूरी)।
अतः,$h + 30 + h = 120$.
$2h = 90$.
$h = 45 \, m$.

(A) माना पोल की ऊँचाई $p$ है। टॉवर की ऊँचाई $h$ है और यह प्रेक्षक से $2h$ की दूरी पर है।
टॉवर द्वारा अंतरित कोण $\alpha$ है। अतः,$\tan \alpha = \frac{h}{2h} = \frac{1}{2}$।
पोल टॉवर के ऊपर है। पोल द्वारा अंतरित कोण भी $\alpha$ है।
टॉवर और पोल द्वारा एक साथ अंतरित कुल कोण $\alpha + \alpha = 2\alpha$ है।
कुल ऊँचाई $h + p$ है।
अतः,$\tan(2\alpha) = \frac{h + p}{2h}$।
सूत्र $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{h + p}{2h} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$।
अतः,$\frac{h + p}{2h} = \frac{4}{3}$ $\Rightarrow h + p = \frac{8h}{3}$ $\Rightarrow p = \frac{8h}{3} - h = \frac{5h}{3}$।

(B) माना पहले घर की ऊँचाई $H$ है। माना खिड़की जमीन से $y$ ऊँचाई पर है। घरों के बीच की दूरी $d = 6 \ m$ है।
पहले घर के निचले हिस्से,दूसरे घर के आधार और खिड़की से बनने वाले त्रिभुज से,$\tan(60^\circ) = \frac{y}{6}$.
अतः,$y = 6 \tan(60^\circ) = 6\sqrt{3} \ m$.
माना खिड़की $H$ ऊँचाई वाले घर को दो भागों $h_1$ और $h_2$ में विभाजित करती है ताकि $H = h_1 + h_2$ हो। खिड़की जमीन से $y$ ऊँचाई पर है,इसलिए $h_2 = y = 6\sqrt{3} \ m$.
खिड़की पर घर द्वारा बनाया गया कोण $90^\circ$ है। माना खिड़की से घर के शीर्ष का उन्नयन कोण $\alpha$ है। तो खिड़की से घर के निचले हिस्से का अवनमन कोण $90^\circ - \alpha$ होगा।
ऊपरी त्रिभुज में,$\tan(\alpha) = \frac{h_1}{6}$। निचले त्रिभुज में,$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha) = \frac{y}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$।
चूँकि $\cot(\alpha) = \sqrt{3}$,हमें $\tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$h_1 = 6 \tan(\alpha) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \ m$.
कुल ऊँचाई $H = h_1 + h_2 = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \ m$.

(B) माना खंभे की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $s$ है।
दिया गया है कि $s = \sqrt{3}h$ है।
माना सूर्य का उन्नयन कोण $\alpha$ है।
खंभे और उसकी छाया द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan \alpha = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया}} = \frac{h}{\sqrt{3}h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूँकि $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\alpha = 30^o$ प्राप्त होता है।

(B) माना सीढ़ी की लंबाई $L$ है और दीवार की ऊँचाई $h = 6\sqrt{3} \text{ m}$ है।
दिया गया है कि सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाती है।
सीढ़ी,दीवार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\sin(\theta) = \frac{\text{दीवार की ऊँचाई}}{\text{सीढ़ी की लंबाई}}$
$\sin(60^{\circ}) = \frac{6\sqrt{3}}{L}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{L}$
$L = \frac{6\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}}$
$L = 12 \text{ m}$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $12 \text{ m}$ है।

(C) माना कि दो मीनारों की ऊंचाइयां $H_1$ और $H_2$ हैं,और मध्य बिंदु से प्रत्येक मीनार के पाद तक की दूरी $d$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$H_1 = d \tan 60^\circ = d \sqrt{3}$
$H_2 = d \tan 30^\circ = d \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,उनकी ऊंचाइयों का अनुपात है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{d \sqrt{3}}{d / \sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = \frac{3}{1}$
इस प्रकार,अनुपात $3 : 1$ है।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और उन्नयन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है: $\cot \alpha = 3/5$ और $\cot \beta = 2/5$.
पहले बिंदु से टॉवर के आधार तक की दूरी $x_1 = h \cot \alpha = 3h/5$ है।
दूसरे बिंदु से टॉवर के आधार तक की दूरी $x_2 = h \cot \beta = 2h/5$ है।
टॉवर की ओर चली गई दूरी $x_1 - x_2 = 32 \, m$ है।
मान रखने पर: $3h/5 - 2h/5 = 32$.
$h/5 = 32$.
$h = 32 \times 5 = 160 \, m$.

(C) माना पेड़ की कुल ऊँचाई $H = 20 \ m$ है। माना पेड़ जमीन से $h$ ऊँचाई पर टूटता है। टूटा हुआ हिस्सा एक समकोण त्रिभुज का कर्ण $l$ बनाता है,जहाँ $l = 20 - h$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\sin 30^\circ = \frac{h}{l}$ है।
चूँकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{h}{20 - h}$ है।
$20 - h = 2h \implies 3h = 20 \implies h = \frac{20}{3} \ m$।

(B) माना चट्टान की ऊँचाई $h = 500 \ m$ है।
माना आधार का व्यास $D = d_1 + d_2$ है।
बनने वाले समकोण त्रिभुजों से:
$d_1 = h \cot(60^\circ) = 500 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{500}{\sqrt{3}} \ m$.
$d_2 = h \cot(30^\circ) = 500 \times \sqrt{3} = 500\sqrt{3} \ m$.
व्यास $D = d_1 + d_2 = \frac{500}{\sqrt{3}} + 500\sqrt{3}$.
$D = \frac{500 + 500(3)}{\sqrt{3}} = \frac{500 + 1500}{\sqrt{3}} = \frac{2000}{\sqrt{3}} \ m$.

(B) माना घर की ऊँचाई $h$ है और घर की छत से ऊपर मीनार की ऊँचाई $H$ है।
अवनमन कोण द्वारा बने त्रिभुज से,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = 12 \tan(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \ m$।
उन्नयन कोण द्वारा बने त्रिभुज से,$\tan(60^\circ) = \frac{H}{12}$ प्राप्त होता है।
अतः,$H = 12 \tan(60^\circ) = 12 \sqrt{3} \ m$।
मीनार की कुल ऊँचाई $h + H = 4\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \ m$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है। व्यक्ति की आँखों का स्तर जमीन से $h = 1.5 \ m$ ऊपर है।
मीनार से व्यक्ति की दूरी $d = 10 \ m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 60^\circ$ है।
दृष्टि रेखा,क्षैतिज दूरी और आँखों के स्तर से ऊपर मीनार की ऊँचाई द्वारा बने समकोण त्रिभुज पर विचार करने पर:
$\tan(60^\circ) = \frac{\text{आँखों के स्तर से ऊपर की ऊँचाई}}{d}$
$\sqrt{3} = \frac{H - 1.5}{10}$
$H - 1.5 = 10\sqrt{3}$
$H = (10\sqrt{3} + 1.5) \ m$.

(A) माना मीनार की ऊंचाई $H$ है और पाद से दूरी $d$ है।
पहले बिंदु से,$\tan(30^\circ) = H/d$,इसलिए $H = d \tan(30^\circ) = d/\sqrt{3}$.
पहले बिंदु से $h$ ऊंचाई पर स्थित दूसरे बिंदु से मीनार के पाद का अवनमन कोण $60^\circ$ है।
इसका अर्थ है $\tan(60^\circ) = h/d$,इसलिए $d = h/\tan(60^\circ) = h/\sqrt{3}$.
$d$ का मान $H$ के समीकरण में रखने पर:
$H = (h/\sqrt{3}) / \sqrt{3} = h/3$.
अतः,मीनार की ऊंचाई $h/3$ है.

(B) माना टावर $AB$ की ऊँचाई $b$ है और खंभा $BP$ की ऊँचाई $p$ है। बिंदु $O$,$A$ से $a$ दूरी पर है।
दिया गया है कि $\angle AOB = \alpha$ और $\angle POB = \alpha$ है।
$\triangle OAB$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{OA} = \frac{b}{a}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\angle POA = 2\alpha$ है।
अतः,$\tan 2\alpha = \frac{AP}{OA} = \frac{p + b}{a}$ है।
सूत्र $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2(b/a)}{1 - (b/a)^2} = \frac{p + b}{a}$
$\frac{2ba}{a^2 - b^2} = \frac{p + b}{a}$
$p + b = \frac{2ba^2}{a^2 - b^2}$
$p = \frac{b(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$.

(C) माना पेड़ की कुल ऊँचाई $H$ है। टूटे हुए भाग को $x$ और शेष भाग को $h$ मान लेते हैं।
पेड़ के आधार से उस बिंदु की दूरी जहाँ शीर्ष जमीन को छूता है,$d = 10 \ m$ है।
समकोण त्रिभुज में,$\tan(45^\circ) = \frac{h}{10} \implies 1 = \frac{h}{10} \implies h = 10 \ m$।
साथ ही,$\cos(45^\circ) = \frac{10}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{x} \implies x = 10\sqrt{2} \ m$।
पेड़ की कुल लंबाई $H = h + x = 10 + 10\sqrt{2} = 10(1 + \sqrt{2}) \ m$ है।

(C) माना टॉवर की ऊँचाई $h = 30 \, m$ है और टॉवर के आधार से जहाज की दूरी $x$ है।
चूँकि अवनमन कोण $60^\circ$ है,इसलिए जहाज से टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $60^\circ$ होगा।
समकोण त्रिभुज के लिए:
$\tan 60^\circ = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{दूरी}} = \frac{30}{x}$
$\sqrt{3} = \frac{30}{x}$
$x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10 \sqrt{3} \, m$.

(A) माना झील के स्तर से बादल की ऊँचाई $H$ है और अवलोकन बिंदु की ऊँचाई $h = 2500 \, m$ है।
उन्नयन कोण से,$\tan(15^\circ) = \frac{H - h}{x}$,इसलिए $x = (H - h) \cot(15^\circ)$.
प्रतिबिंब के अवनमन कोण से,$\tan(45^\circ) = \frac{H + h}{x}$,इसलिए $x = (H + h) \cot(45^\circ)$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $(H - h) \cot(15^\circ) = (H + h) \cot(45^\circ)$.
$\cot(45^\circ) = 1$ और $\cot(15^\circ) = 2 + \sqrt{3}$ का मान रखने पर:
$(H - 2500)(2 + \sqrt{3}) = H + 2500$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 2500(3 + \sqrt{3}) = 2500 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
अतः,$H = 2500 \sqrt{3} \, m$.

(D) माना हवाई जहाज की सड़क से ऊंचाई $h$ है।
दो क्रमिक मील के पत्थरों के बीच की दूरी $1 \text{ mile}$ है,इसलिए $AP + PB = 1$ है।
समकोण त्रिभुजों के अनुसार,$AP = h \cot \alpha$ और $PB = h \cot \beta$ है।
अतः,$h \cot \alpha + h \cot \beta = 1$ है।
$h(\cot \alpha + \cot \beta) = 1$ है।
$h = \frac{1}{\cot \alpha + \cot \beta}$ है।
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए $h = \frac{1}{\frac{1}{\tan \alpha} + \frac{1}{\tan \beta}} = \frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta}$ है।

(D) माना गुब्बारे की ऊँचाई $h$ है और गुब्बारे के ठीक नीचे के बिंदु से $C$ तक की दूरी $x$ है। समस्या की ज्यामिति के अनुसार:
$x = h \cot(3\alpha) \dots (i)$
$x + 100 = h \cot(2\alpha) \dots (ii)$
$x + 300 = h \cot(\alpha) \dots (iii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$100 = h(\cot(2\alpha) - \cot(3\alpha)) = h \left( \frac{\sin(\alpha)}{\sin(2\alpha)\sin(3\alpha)} \right) \dots (iv)$
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$200 = h(\cot(\alpha) - \cot(2\alpha)) = h \left( \frac{1}{\sin(2\alpha)} \right) \dots (v)$
$(iv)$ को $(v)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{100}{200} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(3\alpha)} \Rightarrow \frac{\sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)} = 2$
$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$ का उपयोग करने पर:
$3 - 4\sin^2(\alpha) = 2$ $\Rightarrow 4\sin^2(\alpha) = 1$ $\Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \alpha = 30^\circ$
$(v)$ में $\alpha = 30^\circ$ रखने पर:
$200 = h \frac{1}{\sin(60^\circ)} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = 100\sqrt{3}$ मीटर।

(B) माना खंभे की कुल ऊँचाई $h \, ft$ है। निचला भाग $\frac{h}{3}$ है और ऊपरी भाग $\frac{2h}{3}$ है।
माना बिंदु $P$ खंभे के आधार से $40 \, ft$ की दूरी पर है।
माना $\alpha$ निचले भाग द्वारा $P$ पर बनाया गया कोण है,और $\beta$ पूरे खंभे द्वारा $P$ पर बनाया गया कोण है।
तब $\tan \alpha = \frac{h/3}{40} = \frac{h}{120}$ और $\tan \beta = \frac{h}{40} = \frac{3h}{120}$ है।
ऊपरी भाग $P$ पर $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ का कोण बनाता है,इसलिए $\tan \theta = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $\theta = \beta - \alpha$,हमारे पास $\tan \theta = \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{\frac{3h}{120} - \frac{h}{120}}{1 + (\frac{3h}{120})(\frac{h}{120})} = \frac{\frac{2h}{120}}{1 + \frac{3h^2}{14400}} = \frac{h/60}{1 + \frac{h^2}{4800}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{h}{60} \times \frac{4800}{4800 + h^2} = \frac{80h}{4800 + h^2}$.
$4800 + h^2 = 160h \Rightarrow h^2 - 160h + 4800 = 0$.
$(h - 120)(h - 40) = 0$.
अतः $h = 120$ या $h = 40$ है।
चूँकि खंभा $100 \, ft$ से अधिक ऊँचा है,इसलिए $h = 120 \, ft$ है।

(C) माना घर की ऊँचाई $h \ m$ है। घर के आधार से दूरी $d = 70 \ m$ है। ध्वजदंड की ऊँचाई $20 \ m$ है।
माना $\theta$ बिंदु पर घर द्वारा बनाया गया कोण है,और $\phi$ घर और ध्वजदंड द्वारा बनाया गया कोण है।
अतः $\tan \theta = \frac{h}{70}$ और $\tan \phi = \frac{h + 20}{70}$ है।
ध्वजदंड द्वारा बनाया गया कोण $\alpha = \phi - \theta$ है,जहाँ $\tan \alpha = \frac{1}{6}$ है।
सूत्र $\tan \alpha = \frac{\tan \phi - \tan \theta}{1 + \tan \phi \tan \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{h + 20}{70} - \frac{h}{70}}{1 + (\frac{h + 20}{70})(\frac{h}{70})}$
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{20}{70}}{1 + \frac{h(h + 20)}{4900}}$
$1 + \frac{h^2 + 20h}{4900} = 6 \times \frac{20}{70} = \frac{12}{7}$
$\frac{h^2 + 20h}{4900} = \frac{5}{7}$
$h^2 + 20h - 3500 = 0$
$(h + 70)(h - 50) = 0$
चूँकि $h > 0$,इसलिए $h = 50 \ m$ है।

(B) माना प्रेक्षक से गुब्बारे की दूरी $d$ है। प्रारंभिक ऊँचाई $h_1$ और अंतिम ऊँचाई $h_2$ है।
ज्यामिति के अनुसार,$h_1 = d \tan 45^\circ = d$ और $h_2 = d \tan 30^\circ = \frac{d}{\sqrt{3}}$ है।
$10 \, \text{मिनट}$ में तय की गई नीचे की दूरी $h_1 - h_2 = d - \frac{d}{\sqrt{3}} = d \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right)$ है।
दिया गया है कि नीचे आने की दर $4 \, m/min$ है,इसलिए $10 \, \text{मिनट}$ में तय की गई दूरी $4 \times 10 = 40 \, m$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $d \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right) = 40$.
$d = \frac{40 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{40 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{40(3 + \sqrt{3})}{2} = 20(3 + \sqrt{3}) \, m$.

(B) माना मीनार की ऊंचाई $h$ है और नदी की चौड़ाई $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,उन्नयन कोण $45^\circ$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए,$\tan(45^\circ) = \frac{\text{मीनार की ऊंचाई}}{\text{नदी की चौड़ाई}} = \frac{h}{x}$.
चूंकि $\tan(45^\circ) = 1$,इसलिए $1 = \frac{h}{x}$,जिसका अर्थ है $x = h$.
अतः,नदी की चौड़ाई और मीनार की ऊंचाई समान है।

(B) माना $AC = x = CB$ है। तब $AB = AC + CB = 2x$ होगा।
दिया है $AP = 3 \, AB = 3(2x) = 6x$।
माना $\angle APC = \alpha$ है। $\Delta ACP$ में,$\tan \alpha = \frac{AC}{AP} = \frac{x}{6x} = \frac{1}{6}$।
$\Delta ABP$ में,$\angle APB = \alpha + \beta$ है। अतः,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{AB}{AP} = \frac{2x}{6x} = \frac{1}{3}$।
सूत्र $\tan \beta = \tan((\alpha + \beta) - \alpha) = \frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan \alpha}{1 + \tan(\alpha + \beta)\tan \alpha}$ का उपयोग करने पर।
मान रखने पर: $\tan \beta = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}{1 + (\frac{1}{3})(\frac{1}{6})} = \frac{\frac{2-1}{6}}{1 + \frac{1}{18}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{19}{18}} = \frac{1}{6} \times \frac{18}{19} = \frac{3}{19}$।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $h$ है और उसकी छाया की लंबाई $x$ है। $6 \ m$ ऊँचाई का ध्वजदंड टॉवर के शीर्ष पर स्थित है।
आकृति में दिखाए अनुसार,हमारे पास दो समरूप त्रिभुज $AEC$ और $BDC$ हैं।
$h$ ऊँचाई और $x$ छाया के लिए,$\tan \theta = \frac{h}{x}$ है।
कुल ऊँचाई $(h + 6)$ और कुल छाया $(x + 2\sqrt{3})$ के लिए,$\tan \theta = \frac{h + 6}{x + 2\sqrt{3}}$ है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h}{x} = \frac{h + 6}{x + 2\sqrt{3}}$
$h(x + 2\sqrt{3}) = x(h + 6)$
$hx + 2\sqrt{3}h = xh + 6x$
$2\sqrt{3}h = 6x$
$\frac{h}{x} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
चूँकि $\tan \theta = \sqrt{3}$,इसलिए $\theta = 60^o$ है।

(C) मान लीजिए चट्टान की ऊँचाई $OP = h$ है। $O$ जमीन पर चट्टान का आधार है।
दी गई जानकारी के अनुसार,$AB = 100 \ m$ और $AB$ ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $OC = 100 \ m$ है।
तब $CP = OP - OC = h - 100$ है।
$\triangle AOP$ में,$\tan \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{OA} \implies OA = h \cot \alpha$ है।
$\triangle BCP$ में,$\tan \beta = \frac{CP}{BC} = \frac{h - 100}{BC}$ है। चूँकि $BC = OA$,इसलिए $BC = h \cot \alpha$ है।
दूसरे समीकरण में $BC$ का मान रखने पर: $\tan \beta = \frac{h - 100}{h \cot \alpha}$ है।
$h \cot \alpha \tan \beta = h - 100$ है।
$100 = h - h \cot \alpha \tan \beta = h(1 - \cot \alpha \tan \beta)$ है।
$100 = h \left(1 - \frac{\cot \alpha}{\cot \beta}\right) = h \left(\frac{\cot \beta - \cot \alpha}{\cot \beta}\right)$ है।
अतः,$h = \frac{100 \cot \beta}{\cot \beta - \cot \alpha}$ है।

(B) माना प्रेक्षक जमीन से $30 \, m$ की ऊँचाई पर बिंदु $O$ पर है। इमारत की ऊँचाई $25 \, m$ है और उसके ऊपर $5 \, m$ का ध्वजदंड है,अतः कुल ऊँचाई $30 \, m$ है।
माना प्रेक्षक और इमारत के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है।
प्रेक्षक ध्वजदंड के शीर्ष के समान स्तर पर है।
माना ध्वजदंड द्वारा प्रेक्षक पर अंतरित कोण $\alpha$ है।
माना इमारत द्वारा प्रेक्षक पर अंतरित कोण $\alpha$ है।
ज्यामिति से,$\tan \alpha = \frac{5}{x}$ और $\tan 2\alpha = \frac{30}{x}$ है।
सर्वसमिका $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{30}{x} = \frac{2(5/x)}{1 - (5/x)^2} = \frac{10x}{x^2 - 25}$.
$30(x^2 - 25) = 10x^2$ $\Rightarrow 3x^2 - 75 = x^2$ $\Rightarrow 2x^2 = 75$ $\Rightarrow x = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
प्रेक्षक की ध्वजदंड के शीर्ष से दूरी क्षैतिज दूरी $x$ है क्योंकि प्रेक्षक और ध्वजदंड का शीर्ष समान ऊँचाई $(30 \, m)$ पर हैं।
अतः,दूरी $5\sqrt{\frac{3}{2}} \, m$ है।

(C) माना पेड़ टूटने से पहले $AC$ था,जहाँ $C$ जड़ है और $A$ शीर्ष है। यह बिंदु $D$ पर टूटता है ताकि शीर्ष $A$ जमीन पर बिंदु $B$ को छुए।
$\triangle BCD$ में,$\angle DBC = 30^\circ$ और $BC = 10 \, m$ है।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए:
$\tan(30^\circ) = \frac{CD}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{10} \implies CD = \frac{10}{\sqrt{3}} \, m$।
$\cos(30^\circ) = \frac{BC}{BD} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{BD} \implies BD = \frac{20}{\sqrt{3}} \, m$।
पेड़ की मूल ऊँचाई $CD + AD = CD + BD$ है (क्योंकि $AD = BD$)।
ऊँचाई $= \frac{10}{\sqrt{3}} + \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \, m$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,ऊँचाई $10 \times 1.732 = 17.32 \, m$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h \ m$ है।
दिया गया है कि मीनार के आधार से दूरी $70 \ m$ है।
समकोण त्रिभुज में,हमारे पास है:
$\tan(45^\circ) = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{आधार}} = \frac{h}{70}$
चूँकि $\tan(45^\circ) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{h}{70}$
$h = 70 \ m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $70 \ m$ है।

(D) माना मीनार $CD$ की ऊँचाई $h$ है।
$\Delta CDA$ से,$x = h \cot 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
$\Delta CDB$ से,$y = h \cot 30^\circ = \sqrt{3}h$।
$\Delta ABC$ में,चूँकि $A$,$C$ के दक्षिण में है और $B$,$A$ के पश्चिम में है,इसलिए $\angle CAB = 90^\circ$ होगा।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,अर्थात $3^2 + x^2 = y^2$।
मान रखने पर,$9 + \frac{h^2}{3} = 3h^2$।
$9 = 3h^2 - \frac{h^2}{3} = \frac{8h^2}{3}$।
$h^2 = \frac{27}{8} = \frac{54}{16}$।
$h = \sqrt{\frac{54}{16}} = \frac{3\sqrt{6}}{4} \, km$।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = h = 15(\sqrt{3} + 1) \ m$ है।
माना कार शुरू में बिंदु $C$ पर है और $3 \ s$ में बिंदु $D$ पर पहुँचती है।
$\triangle ABD$ में,$\tan(45^\circ) = \frac{AB}{BD} \implies 1 = \frac{h}{BD} \implies BD = h$।
$\triangle ABC$ में,$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BC} \implies BC = h\sqrt{3}$।
कार द्वारा तय की गई दूरी $CD = BC - BD = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3} - 1)$ है।
$h = 15(\sqrt{3} + 1)$ रखने पर:
$CD = 15(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 15(3 - 1) = 15 \times 2 = 30 \ m$।
लिया गया समय $t = 3 \ s$ है।
गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{30 \ m}{3 \ s} = 10 \ m/s$।
$m/s$ को $km/hr$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$v = 10 \times \frac{18}{5} = 36 \ km/hr$।

(D) माना मीनार $AB$ है जिसकी ऊँचाई $40 \, m$ है। माना दोनों व्यक्ति मीनार के विपरीत दिशाओं में $O_1$ और $O_2$ बिंदुओं पर हैं।
$\Delta O_1BA$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{O_1B}$ $\Rightarrow 1 = \frac{40}{x}$ $\Rightarrow x = 40 \, m$.
$\Delta O_2BA$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{O_2B}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{40}{y}$ $\Rightarrow y = 40\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$y = 40 \times 1.732 = 69.28 \, m$.
व्यक्तियों के बीच की दूरी $x + y = 40 + 69.28 = 109.28 \, m$ है।