Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(A) दिया गया है: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin A - \sin C = 2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
$\cos C - \cos A = 2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}}{2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}} = \cot B$
$\cot \frac{A + C}{2} = \cot B$
$\frac{A + C}{2} = B$
$A + C = 2B$
यह स्थिति दर्शाती है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) $\Delta ABC$ में,$A + B + C = 180^\circ$ होता है।
व्यंजक $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ पर विचार करें।
$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin(A+B)\cos(A-B)$ सूत्र का उपयोग करने पर।
चूंकि $A+B = 180^\circ - C$,इसलिए $\sin(A+B) = \sin C$ होगा।
अतः,$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin C \cos(A-B)$.
अब,$\sin 2C = 2\sin C \cos C = 2\sin C \cos(180^\circ - (A+B)) = -2\sin C \cos(A+B)$.
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin C \cos(A+B)$.
$= 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 2\sin C [2\sin A \sin B] = 4\sin A \sin B \sin C$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\sin 2A + \sin 2B - \sin 2C$
$\sin X + \sin Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin(A+B) \cos(A-B) - \sin 2C$
चूँकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $A+B = \pi - C$,अतः $\sin(A+B) = \sin C$ और $\cos(A+B) = -\cos C$ है।
$= 2 \sin C \cos(A-B) - 2 \sin C \cos C$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos C]$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
$\cos(X-Y) + \cos(X+Y) = 2 \cos X \cos Y$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin C [2 \cos A \cos B]$
$= 4 \cos A \cos B \sin C$.

(A) त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = \pi$ होता है।
इसलिए,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,$\tan \left( \frac{A+B}{2} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \right) = \cot \frac{C}{2}$।
सूत्र $\tan \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{2} \right) = \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cot \frac{C}{2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$।
चूंकि $\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$,इसलिए $\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$ होगा।

(B) ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3/4}{5} = \frac{\sin B}{7}$.
$\Rightarrow \sin B = \frac{3}{4} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{20}$.
चूंकि $\sin B$ का मान $\le 1$ होना चाहिए और $\frac{21}{20} = 1.05 > 1$ है,इसलिए ऐसा त्रिभुज संभव नहीं है।
अतः,ऐसे त्रिभुजों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया संबंध $(s - a)(s - b) = s(s - c)$ है।
दोनों पक्षों को $s(s - c)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)} = 1$ प्राप्त होता है।
हम अर्ध-कोण स्पर्शज्या (half-angle tangent) का सूत्र जानते हैं: $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{1} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \frac{C}{2} = 1$,इसलिए $\frac{C}{2} = 45^o$ है।
अतः,$C = 90^o$।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज में आधे कोणों के ज्या (sine) का सूत्र: $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{bc}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s - b)(s - c)}{bc}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(s - b)(s - c) = bc \sin^2 \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण $(s - b)(s - c) = x \sin^2 \frac{A}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = bc$ है।

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $A + C = 2B$ है।
चूंकि $A + B + C = 180^\circ$ होता है,$A + C = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर $3B = 180^\circ$ प्राप्त होता है,अर्थात $B = 60^\circ$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
$B = 60^\circ$ रखने पर,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
इसे सरल करने पर $ac = a^2 + c^2 - b^2$ प्राप्त होता है,जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $b^2 = a^2 + c^2 - ac$ मिलता है।

(C) दी गई व्यंजक: $E = (b + c)\cos A + (c + a)\cos B + (a + b)\cos C$
पदों का विस्तार करने पर: $E = b\cos A + c\cos A + c\cos B + a\cos B + a\cos C + b\cos C$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E = (b\cos C + c\cos B) + (c\cos A + a\cos C) + (a\cos B + b\cos A)$
प्रोजेक्शन नियम का उपयोग करने पर: $a = b\cos C + c\cos B$,$b = a\cos C + c\cos A$,और $c = a\cos B + b\cos A$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $E = a + b + c$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = 180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$\sin(A + B) = \sin(180^{\circ} - C) = \sin C$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{\sin B}{\sin(A + B)} = \frac{\sin B}{\sin C}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $\sin(A + B) = \sin(180^{\circ} - C) = \sin C$.
अतः,$\frac{\sin(A - B)}{\sin(A + B)} = \frac{\sin A \cos B - \sin B \cos A}{\sin C}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\frac{a}{2R} \cos B - \frac{b}{2R} \cos A}{\frac{c}{2R}} = \frac{a \cos B - b \cos A}{c}$.
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करते हुए: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ और $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{a(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}) - b(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})}{c} = \frac{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}}{c} = \frac{a^2 + c^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2c^2} = \frac{2a^2 - 2b^2}{2c^2} = \frac{a^2 - b^2}{c^2}$.

(C) $\Delta ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$
दिया गया है कि $c^2 + a^2 - b^2 = ac$,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos B = \frac{ac}{2ac} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos B = \frac{1}{2}$,इसलिए $B = \frac{\pi}{3}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)} \left( a \sin^2 \frac{B}{2} + b \sin^2 \frac{A}{2} \right)$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)} \left( a \frac{(s-a)(s-c)}{ac} + b \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \right)$
सरल करने पर:
$E = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)} \cdot \frac{s-c}{c} (s-a+s-b) = c \cot \frac{C}{2}$.

(A) दी गई भुजाएँ $a = 16, b = 24, c = 20$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{16 + 24 + 20}{2} = \frac{60}{2} = 30$ है।
सूत्र $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s - b)}{ac}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{30(30 - 24)}{16 \times 20}}$
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{30 \times 6}{320}}$
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{180}{320}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$
$\cos \frac{B}{2} = \frac{3}{4}$.

(A) हम जानते हैं कि $\Delta ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ},$ इसलिए $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}.$
$1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}$
$= \frac{\cos(\frac{A}{2} + \frac{B}{2})}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}} = \frac{\cos(90^{\circ} - \frac{C}{2})}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}} = \frac{\sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}},$ $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},$ और $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}},$ हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}{\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} \cdot \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}} = \frac{c}{s}$
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2},$ इसलिए $\frac{c}{s} = \frac{2c}{a+b+c}.$

(A) दिया गया व्यंजक: ${b^2}\cos 2A - {a^2}\cos 2B$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ का उपयोग करते हुए:
$= {b^2}(1 - 2\sin^2 A) - {a^2}(1 - 2\sin^2 B)$
$= {b^2} - 2{b^2}\sin^2 A - {a^2} + 2{a^2}\sin^2 B$
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,इसलिए $a = 2R\sin A$ और $b = 2R\sin B$।
अतः,${b^2}\sin^2 A = (2R\sin B)^2 \sin^2 A = 4R^2 \sin^2 B \sin^2 A$ और ${a^2}\sin^2 B = (2R\sin A)^2 \sin^2 B = 4R^2 \sin^2 A \sin^2 B$।
इसलिए,${b^2}\sin^2 A = {a^2}\sin^2 B$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= {b^2} - {a^2} - 2({b^2}\sin^2 A - {a^2}\sin^2 B)$
$= {b^2} - {a^2} - 2(0) = {b^2} - {a^2}$.

(A) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k.$
अतः,$a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C.$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \sin (B - C) + b \sin (C - A) + c \sin (A - B) = k [\sin A \sin (B - C) + \sin B \sin (C - A) + \sin C \sin (A - B)]$
$\Delta ABC$ में,$A + B + C = \pi$ है,इसलिए $A = \pi - (B + C),$ अतः $\sin A = \sin (B + C).$
$\sin A = \sin (B + C)$ रखने पर:
$= k [\sin (B + C) \sin (B - C) + \sin (C + A) \sin (C - A) + \sin (A + B) \sin (A - B)]$
सर्वसमिका $\sin (x + y) \sin (x - y) = \sin^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर:
$= k [(\sin^2 B - \sin^2 C) + (\sin^2 C - \sin^2 A) + (\sin^2 A - \sin^2 B)]$
$= k [0] = 0.$

(C) दिया गया है कि $\cot A, \cot B, \cot C$ $A.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है $\cot A + \cot C = 2\cot B.$
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ और ज्या नियम (Sine Rule) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ का उपयोग करते हुए,
हमें प्राप्त होता है $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta}, \cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}$ और $\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta},$
जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
इन मानों को $A.P.$ की शर्त में रखने पर:
$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta} = 2 \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta} \right)$
$b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + b^2 - c^2 = 2(a^2 + c^2 - b^2)$
$2b^2 = 2(a^2 + c^2 - b^2)$
$b^2 = a^2 + c^2 - b^2$
$2b^2 = a^2 + c^2$
यह शर्त दर्शाती है कि $a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं।

(A) दिया है: $(a + c + b)(a + c - b) = 3ac$
सर्वसमिका $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर:
$(a + c)^2 - b^2 = 3ac$
$a^2 + c^2 + 2ac - b^2 = 3ac$
$a^2 + c^2 - b^2 = ac$
दोनों पक्षों को $2ac$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{ac}{2ac} = \frac{1}{2}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
अतः,$\cos B = \frac{1}{2}.$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2},$ इसलिए $\angle B = 60^\circ$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{cosec } A \sin(B + C)$ प्राप्त होता है।
किसी भी त्रिभुज में $A + B + C = \pi$ होता है,इसलिए $B + C = \pi - A$ होगा।
अतः,$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$।
इस मान को वापस रखने पर,हमें $\text{cosec } A \cdot \sin A = \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया है: $\cos^2 A + \cos^2 C = \sin^2 B$
चूँकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $C = \pi - (A + B)$,जिससे $\cos C = -\cos(A + B)$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\cos^2 A + \cos^2(A + B) = \sin^2 B$
$\cos^2 A + (\cos A \cos B - \sin A \sin B)^2 = \sin^2 B$
यदि $B = 90^\circ$ लें,तो $\sin^2 B = 1$ होगा।
तब $\cos^2 A + \cos^2 C = \cos^2 A + \cos^2(90^\circ - A) = \cos^2 A + \sin^2 A = 1$।
अतः यह शर्त $B = 90^\circ$ के लिए संतुष्ट होती है,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

(C) माना कोण $x, 2x,$ और $7x$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + 7x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 10x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 18^{\circ}.$
अतः कोण $18^{\circ}, 36^{\circ},$ और $126^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के समानुपाती होती हैं।
सबसे बड़ी भुजा और सबसे छोटी भुजा का अनुपात $\frac{\sin(126^{\circ})}{\sin(18^{\circ})}$ है।
चूँकि $\sin(126^{\circ}) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ और $\sin(18^{\circ}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ है,
इसलिए अनुपात $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1}$ होगा।

(C) दिया गया है $\angle C = 60^{\circ}$,कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,जिसका अर्थ है $ab = a^2 + b^2 - c^2$,या $c^2 = a^2 + b^2 - ab$.
हमें $S = \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ का मान ज्ञात करना है।
गणना करने पर,$\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \times \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{2}$
$2s - 2b = s$
$s = 2b$
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b + c = 4b$,जिसका अर्थ है $a + c = 3b$.
यह स्थिति $A.P.$,$G.P.$ या $H.P.$ को नहीं दर्शाती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,अतः $2b = a + c$।
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$,$\sin \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}$,और $\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$ सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = \frac{s-b}{b}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$ और $a+c = 2b$ है,इसलिए $s = \frac{3b}{2}$ होगा।
अतः,$\frac{s-b}{b} = \frac{\frac{3b}{2} - b}{b} = \frac{1}{2}$।

(C) त्रिभुज $ABC$ में नेपियर के सादृश्य (टैंजेंट नियम) के अनुसार:
$\tan \frac{B - C}{2} = \frac{b - c}{b + c} \cot \frac{A}{2}$
दिए गए समीकरण $\tan \frac{B - C}{2} = x \cot \frac{A}{2}$ के साथ तुलना करने पर,
हमें $x = \frac{b - c}{b + c}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई भुजाएँ $a = 3, b = 4, c = 5$ हैं।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर: $\cos B = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.
चूँकि $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$,इसलिए $\sin B = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5$.
डबल एंगल सूत्र का उपयोग करते हुए: $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$.
अतः,$\sin 2B = 2 \times (4/5) \times (3/5) = 24/25$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 2$,$b = \sqrt{6}$,और $c = \sqrt{3} + 1$ हैं।
यहाँ $c$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए इसके सामने का कोण $C$ सबसे बड़ा कोण होगा।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3} + 1)^2}{2 \times 2 \times \sqrt{6}} = \frac{4 + 6 - (4 + 2\sqrt{3})}{4\sqrt{6}} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
यह मान $\cos(75^o)$ के बराबर है।
अतः,सबसे बड़ा कोण $75^o$ है।

(B) माना भुजाएँ $a = 7$,$b = 4\sqrt{3}$ और $c = \sqrt{13}$ हैं।
चूंकि $\sqrt{13} \approx 3.6$ और $4\sqrt{3} \approx 6.9$,सबसे छोटी भुजा $c = \sqrt{13}$ है।
सबसे छोटा कोण सबसे छोटी भुजा के सामने होता है,इसलिए कोसाइन नियम का उपयोग करके कोण $C$ ज्ञात करते हैं:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}}$
$\cos C = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $C = 30^o$ है।

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
दिया है $\angle C = 30^\circ$,$a = 47$,$b = 94$:
$\cos 30^\circ = \frac{47^2 + 94^2 - c^2}{2 \times 47 \times 94}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2209 + 8836 - c^2}{8836}$
$4418\sqrt{3} = 11045 - c^2$
$c^2 = 11045 - 7653.58 \approx 3391.42$
$c \approx 58.24 \text{ cm}$
अब,साइन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{47 \times 0.5}{58.24} \approx 0.4035$
$A \approx 23.8^\circ$
$\angle B = 180^\circ - (30^\circ + 23.8^\circ) = 126.2^\circ$
चूंकि $\angle B > 90^\circ$,इसलिए यह एक अधिककोण त्रिभुज है.

(A) $\Delta ABC$ में प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार:
$a = b \cos C + c \cos B$
$b = c \cos A + a \cos C$
$c = a \cos B + b \cos A$
अतः,भुजा $b$ का मान $c \cos A + a \cos C$ है।

(B) दिया गया है: $\angle C = 90^\circ$,$\angle A = 30^\circ$,और $c = 20$.
त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $\angle B = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ$.
ज्या नियम (Sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{20 \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = 10$.
$b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 90^\circ} = 10\sqrt{3}$.
अतः,$a = 10$ और $b = 10\sqrt{3}$।

(B) हमें व्यंजक $c\cos (A - \alpha ) + a\cos (C + \alpha )$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय विस्तार सूत्रों $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ और $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$c(\cos A \cos \alpha + \sin A \sin \alpha) + a(\cos C \cos \alpha - \sin C \sin \alpha)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\cos \alpha (c \cos A + a \cos C) + \sin \alpha (c \sin A - a \sin C)$
त्रिभुज में प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$c \cos A + a \cos C = b$ होता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जिसका अर्थ है कि $c \sin A = a \sin C$,इसलिए $c \sin A - a \sin C = 0$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$b \cos \alpha + \sin \alpha (0) = b \cos \alpha$.

(B) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + c^2 - b^2 + a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}$.

(D) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ में,$C = 180^\circ - (A + B),$ इसलिए $\cos C = -\cos(A + B).$
अंश में यह मान रखने पर: $1 + \cos(A - B)\cos C = 1 - \cos(A - B)\cos(A + B).$
सर्वसमिका $\cos(A - B)\cos(A + B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर,हमें $1 - (\cos^2 A - \sin^2 B) = 1 - \cos^2 A + \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 B$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,हर के लिए: $1 + \cos(A - C)\cos B = 1 - \cos(A - C)\cos(A + C) = 1 - (\cos^2 A - \sin^2 C) = \sin^2 A + \sin^2 C.$
अतः,व्यंजक $\frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 C}$ बन जाता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k,$ इसलिए $\sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k}.$
इन मानों को रखने पर,हमें $\frac{(a/k)^2 + (b/k)^2}{(a/k)^2 + (c/k)^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + c^2}$ प्राप्त होता है।

(B) $\Delta ABC$ में,$A + B + C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $\frac{A}{2} = 90^{\circ} - \frac{B + C}{2}$.
अतः,$\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2}$.
इस मान को रखने पर:
$\frac{\cos \frac{B - C}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B - C}{2}}{\cos \frac{B + C}{2}}$.
अंश और हर को $2 \sin \frac{A}{2}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{b + c}{a}$.

(A) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,इसलिए $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,और $\sin C = \frac{c}{2R}$ है।
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ है।
अतः,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{2R}{a} = \frac{R(b^2 + c^2 - a^2)}{abc}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$({b^2} - {c^2})\cot A = ({b^2} - {c^2}) \cdot \frac{R(b^2 + c^2 - a^2)}{abc} = \frac{R}{abc} (b^4 - c^4 - a^2b^2 + a^2c^2)$ प्राप्त होता है।
तीनों पदों का योग करने पर:
$\sum ({b^2} - {c^2})\cot A = \frac{R}{abc} [(b^4 - c^4 - a^2b^2 + a^2c^2) + (c^4 - a^4 - b^2c^2 + b^2a^2) + (a^4 - b^4 - c^2a^2 + c^2b^2)]$ प्राप्त होता है।
कोष्ठक के अंदर के सभी पद कटकर $0$ हो जाते हैं।
अतः,परिणाम $0$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जो $A.P.$ में हैं,जिसका अर्थ है $a + c = 2b$.
हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ $A.P.$ में हैं।
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करें।
$\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ के $A.P.$ में होने के लिए,$2 \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2}$ होना चाहिए।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} + \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
$\sqrt{s}$ से विभाजित करने पर,हमें $2 \sqrt{\frac{s-b}{(s-a)(s-c)}} = \frac{s-c + s-a}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}} \cdot \sqrt{s-b} = \frac{2s-a-c}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a+c=2b$ और $a+b+c=2s$,इसलिए $2s-a-c = 2b$ है। साथ ही $2s-a-c = 2(s-b)$ है।
व्यंजक सरल होकर $2 \sqrt{\frac{s-b}{(s-a)(s-c)}} = \frac{2(s-b)}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}} = 2 \sqrt{\frac{s-b}{(s-a)(s-c)}}$ हो जाता है।
अतः,यह शर्त सत्य है और आधे कोणों के कोटैंजेंट $A.P.$ में हैं।

(B) माना त्रिभुज के कोण $x, 2x, 3x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है,इसलिए $x + 2x + 3x = 180^\circ$,जिससे $6x = 180^\circ$,अर्थात $x = 30^\circ$ प्राप्त होता है।
कोण $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाएँ $a, b, c$ अपने सम्मुख कोणों की ज्या (sine) के समानुपाती होती हैं:
$a:b:c = \sin(30^\circ) : \sin(60^\circ) : \sin(90^\circ)$.
मान रखने पर,$a:b:c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$.
$2$ से गुणा करने पर,$a:b:c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{2\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{2\cos C}{c} = \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca}$
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\frac{2(b^2 + c^2 - a^2)}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{2(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc} = \frac{a^2 + b^2}{abc}$
दोनों पक्षों को $2abc$ से गुणा करने पर:
$2(b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + 2(a^2 + b^2 - c^2) = 2(a^2 + b^2)$
$3b^2 + c^2 + a^2 = 2a^2 + 2b^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
अतः,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\angle A = 90^o$।

(D) दिया गया है $3 \cos C = 2$,इसलिए $\cos C = \frac{2}{3}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{3} = \frac{9^2 + 8^2 - x^2}{2 \times 9 \times 8}$।
$\frac{2}{3} = \frac{81 + 64 - x^2}{144}$।
$144 \times \frac{2}{3} = 145 - x^2$।
$48 \times 2 = 145 - x^2$।
$96 = 145 - x^2$।
$x^2 = 145 - 96 = 49$।
$x = 7$।

(A) नेपियर के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan \left( \frac{B - C}{2} \right) = \frac{b - c}{b + c} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
दिया गया है $B - C = 90^{\circ}$,$b = \sqrt{3}$,और $c = 1$.
मान रखने पर: $\tan \left( \frac{90^{\circ}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
चूंकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
$\cot \left( \frac{A}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
चूंकि $\cot(15^{\circ}) = 2 + \sqrt{3}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 15^{\circ}$.
अतः,$A = 30^{\circ}$.

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A$ का सूत्र है:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
दिए गए मान $a = 2, b = 3$ और $c = 4$ रखने पर:
$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2(3)(4)}$
$\cos A = \frac{9 + 16 - 4}{24}$
$\cos A = \frac{21}{24}$
$\cos A = \frac{7}{8}$
अतः,$A = \cos^{-1}\left(\frac{7}{8}\right)$.

(B) त्रिभुज $ABC$ में नेपियर के सादृश्य नियम (Tangent Rule) का उपयोग करने पर:
$\tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \cot \left( \frac{C}{2} \right)$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $\frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A + B}{2}$.
अतः,$\cot \left( \frac{C}{2} \right) = \cot \left( 90^{\circ} - \frac{A + B}{2} \right) = \tan \left( \frac{A + B}{2} \right)$.
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \tan \left( \frac{A + B}{2} \right)$
दोनों पक्षों को $\cot \left( \frac{A + B}{2} \right)$ से गुणा करने पर:
$\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b}$.

(B) माना भुजाएँ $a = p$,$b = q$,और $c = \sqrt{p^2 + pq + q^2}$ हैं।
चूँकि $p, q > 0$,यह स्पष्ट है कि $c^2 = p^2 + pq + q^2 > p^2$ और $c^2 > q^2$,इसलिए $c$ सबसे बड़ी भुजा है।
सबसे बड़ा कोण $\theta$ सबसे बड़ी भुजा $c$ के सम्मुख होता है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{p^2 + q^2 - (p^2 + pq + q^2)}{2pq}$.
$\cos \theta = \frac{-pq}{2pq} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \arccos(-1/2) = \frac{2\pi}{3}$.

(B) दिया गया है $B = 3C$। ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,इसलिए $b = k \sin 3C$ और $c = k \sin C$।
पहले,$\sqrt{\frac{b + c}{4c}} = \sqrt{\frac{\sin 3C + \sin C}{4 \sin C}}$ पर विचार करें।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin X + \sin Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin 3C + \sin C = 2 \sin 2C \cos C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{\frac{2 \sin 2C \cos C}{4 \sin C}} = \sqrt{\frac{2 (2 \sin C \cos C) \cos C}{4 \sin C}} = \sqrt{\cos^2 C} = \cos C$।
अब,$\frac{b - c}{2c} = \frac{\sin 3C - \sin C}{2 \sin C}$ पर विचार करें।
अंतर-से-गुणनफल सूत्र $\sin X - \sin Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \sin \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin 3C - \sin C = 2 \cos 2C \sin C$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2 \cos 2C \sin C}{2 \sin C} = \cos 2C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$ और $B = 3C$,इसलिए $A + 4C = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $2C = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$।
इस प्रकार,$\cos 2C = \cos(90^{\circ} - \frac{A}{2}) = \sin \frac{A}{2}$।
अतः,मान $\cos C$ और $\sin \frac{A}{2}$ हैं।

(A) माना $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(b - c) \cot \frac{A}{2} = 2R(\sin B - \sin C) \cot \frac{A}{2}$
$= 2R \left( 2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2} \right) \cot \frac{A}{2}$
चूंकि $\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$,इसलिए $\cos \frac{B+C}{2} = \sin \frac{A}{2}$ है।
$= 2R \left( 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B-C}{2} \right) \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 4R \sin \frac{B-C}{2} \cos \frac{A}{2}$
$= 4R \sin \frac{B-C}{2} \sin \frac{B+C}{2} = 2R(\cos(B-C) - \cos(B+C)) = 2R(\cos(B-C) + \cos A)$।
सभी पदों का चक्रीय योग करने पर परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $2a^2b^2 + 2b^2c^2 = a^4 + b^4 + c^4$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 = 0$
हम जानते हैं कि: $(a^2 - b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2 - 2b^2c^2$
दी गई शर्त को सर्वसमिका में रखने पर: $(a^2 - b^2 + c^2)^2 = 2a^2c^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $a^2 - b^2 + c^2 = \pm \sqrt{2}ac$
$2ac$ से विभाजित करने पर: $\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \pm \frac{\sqrt{2}ac}{2ac} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,इसलिए $\cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$B = 45^o$ या $B = 135^o$.

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $\Delta = 10\sqrt{3}$,$C = 60^{\circ}$,और परिमाप $a + b + c = 20$.
क्षेत्रफल सूत्र $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C$ का उपयोग करने पर:
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab$.
अतः,$ab = 40$ ...$(i)$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$a^2 + b^2 - c^2 = ab$.
हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$,इसलिए $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
इस मान को कोज्या समीकरण में रखने पर:
$(a+b)^2 - 2ab - c^2 = ab \Rightarrow (a+b)^2 - c^2 = 3ab$.
चूंकि $a+b = 20-c$,इसलिए:
$(20-c)^2 - c^2 = 3(40)$.
$400 - 40c + c^2 - c^2 = 120$.
$400 - 40c = 120$.
$40c = 280$.
$c = 7$.

(A) दिया गया है $A + C = 2B$। चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,जिसका अर्थ है $ac = a^2 + c^2 - b^2$,या $b^2 = a^2 - ac + c^2$।
अतः,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} = b$।
व्यंजक $\frac{a + c}{b}$ बन जाता है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,जिससे $a = 2R \sin A$,$c = 2R \sin C$,और $b = 2R \sin B$ प्राप्त होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{2R(\sin A + \sin C)}{2R \sin B} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$।
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin A + \sin C = 2 \sin \frac{A + C}{2} \cos \frac{A - C}{2}$।
चूंकि $A + C = 120^{\circ}$,इसलिए $\frac{A + C}{2} = 60^{\circ}$,अतः $\sin \frac{A + C}{2} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$\sin B = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{2 \sin 60^{\circ} \cos \frac{A - C}{2}}{\sin 60^{\circ}} = 2 \cos \frac{A - C}{2}$ है।