Circle connected with triangle Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $A$ पर कोण $90^\circ$ है और $b = 6, c = 8$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,कर्ण $a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ प्राप्त होता है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R$,कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 13$,$b = 14$,और $c = 15$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
$\Delta = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$.
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$.
$r = \frac{84}{21} = 4$.

(C) भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए,परिवृत्त की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
दिया गया है $a = 2\sqrt{3} \text{ cm}$।
सूत्र में $a$ का मान रखने पर:
$R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ cm}$।
अतः,परिवृत्त की त्रिज्या $2 \text{ cm}$ है।

(B) किसी भी त्रिभुज के लिए,अंतःत्रिज्या $r$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ के बीच का संबंध $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,सभी कोण $60^\circ$ के बराबर होते हैं,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$r = 4R \sin(30^\circ) \sin(30^\circ) \sin(30^\circ)$।
चूंकि $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,इसलिए $r = 4R \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2}) \times (\frac{1}{2})$।
$r = 4R \times \frac{1}{8} = \frac{R}{2}$।

(B) दिया है $a:b:c = 4:5:6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k/\sqrt{7}}{k\sqrt{7}/2} = \frac{16}{7}$.

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3$,$b = 4$,और $c = 5$ हैं।
चूँकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$,त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = 5$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परित्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ इकाई।

(C) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ द्वारा दिया जाता है।
ज्या नियम (sine rule) से,हम जानते हैं कि $\frac{a}{\sin A} = 2R$,जिसका अर्थ है $\sin A = \frac{a}{2R}$।
इस मान को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2}bc \left( \frac{a}{2R} \right) = \frac{abc}{4R}$।
$R$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{abc}{4\Delta}$ प्राप्त होता है।

(C) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 18$,$b = 24$ और $c = 30$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{18 + 24 + 30}{2} = \frac{72}{2} = 36 \, cm$ की गणना करें।
चूँकि $18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 18 \times 24 = 216 \, cm^2$ है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ द्वारा दी जाती है।
$r = \frac{216}{36} = 6 \, cm$।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 5K$,$b = 6K$,और $c = 5K$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5K + 6K + 5K}{2} = \frac{16K}{2} = 8K$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ है।
मान रखने पर: $\Delta = \sqrt{8K(8K - 5K)(8K - 6K)(8K - 5K)} = \sqrt{8K \times 3K \times 2K \times 3K} = \sqrt{144K^4} = 12K^2$ है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ होती है।
दिया गया है $r = 6$,इसलिए $6 = \frac{12K^2}{8K}$ है।
सरल करने पर: $6 = \frac{3K}{2}$ है।
अतः,$3K = 12$,जिससे $K = 4$ प्राप्त होता है।

(C) परिवृत्त की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{b}{2 \sin B}$ है।
दिया गया है कि $b = 2$ और $B = 30^\circ$,इसलिए $R = \frac{2}{2 \sin 30^\circ} = \frac{2}{2 \times (1/2)} = 2$ है।
परिवृत्त का क्षेत्रफल $\pi R^2$ होता है।
$R = 2$ रखने पर,$\text{Area} = \pi (2)^2 = 4\pi$ वर्ग इकाई।

(B) सबसे पहले,ध्यान दें कि भुजाएँ $5, 12, 13$ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = 13$ है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{\text{hypotenuse}}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$.
वैकल्पिक रूप से,$R = \frac{abc}{4\Delta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$s = \frac{5+12+13}{2} = 15$.
$\Delta = \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)} = \sqrt{15 \times 10 \times 3 \times 2} = \sqrt{900} = 30$.
$R = \frac{13 \times 12 \times 5}{4 \times 30} = \frac{780}{120} = \frac{13}{2}$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या $r = 1$ है। तीनों सिक्कों के केंद्र $2r = 2$ भुजा की लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
बड़े समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं और सिक्कों के केंद्र $C_1, C_2, C_3$ हैं।
किसी शीर्ष (जैसे $B$) से भुजा $BC$ पर निकटतम सिक्के के केंद्र के प्रक्षेप $(M)$ की दूरी $BM = r \cot(30^\circ) = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ है।
आधार के दो सिक्कों के केंद्रों के बीच की दूरी $MN = 2r = 2$ है।
समरूपता द्वारा,बड़े समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s = BM + MN + NC = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + 2\sqrt{3} = 2(1 + \sqrt{3})$ है।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} [2(1 + \sqrt{3})]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4(1 + \sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(1 + 3 + 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 6 \; \text{sq. units}$.

(D) भुजाओं की लंबाई इस प्रकार है:
$a = BC = \sqrt{(-6-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$b = CA = \sqrt{(1-0)^2 + (1+6)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$c = AB = \sqrt{(0+6)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
शीर्ष $A(x_1, y_1)$ के सम्मुख बाह्यकेंद्र $I_A$ के निर्देशांक:
$x = \frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a + b + c} = \frac{-5\sqrt{2}(0) + 5\sqrt{2}(-6) + 6\sqrt{2}(1)}{-5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}} = \frac{-24\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = -4$
$y = \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a + b + c} = \frac{-5\sqrt{2}(-6) + 5\sqrt{2}(0) + 6\sqrt{2}(1)}{-5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$
अतः,बाह्यकेंद्र के निर्देशांक $(-4, 6)$ हैं।

(C) माना शीर्ष $A(2, -2)$,$B(8, -2)$ और $C(8, 6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = 6$,$a = BC = 8$,$b = AC = 10$.
यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ कोण $B$ समकोण है।
शीर्ष $A(x_1, y_1)$ के सम्मुख बाह्यकेंद्र $I_A$ का सूत्र:
$I_A = (\frac{-ax_1 + bx_2 + cx_3}{-a + b + c}, \frac{-ay_1 + by_2 + cy_3}{-a + b + c})$.
मान रखने पर:
$x = \frac{-8(2) + 10(8) + 6(8)}{-8 + 10 + 6} = \frac{112}{8} = 14$.
$y = \frac{-8(-2) + 10(-2) + 6(6)}{-8 + 10 + 6} = \frac{32}{8} = 4$.
अतः,बाह्यकेंद्र $(14, 4)$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $P(0, 0)$,$Q(3, 0)$ और $R(0, 4)$ हैं।
यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $P(0, 0)$ पर है।
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = 3$
$PR = 4$
$QR = 5$
समकोण त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a + b - c}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ और $b$ लंब और आधार हैं और $c$ कर्ण है।
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,और $c = 5$ है।
$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

(D) $a, b, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4K}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
यदि त्रिभुज $PRS$ एक $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है,तो परिवृत्त त्रिज्या भुजाओं की लंबाई के आधार पर ज्ञात की जाती है।
यदि भुजाएँ $a=6, b=6, c=6$ (समबाहु त्रिभुज) हैं,तो $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $\Delta DEF$,$\Delta ABC$ का पाद त्रिभुज (orthic triangle) है। पाद त्रिभुज की भुजाएँ $a \cos A, b \cos B, c \cos C$ होती हैं।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
$\Delta DEF$ का परिमाप $P_{DEF} = R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) = 4R \sin A \sin B \sin C$ है।
$\Delta ABC$ का परिमाप $P_{ABC} = a + b + c = 2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 8R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ है।
अंतःत्रिज्या $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ होती है।
अनुपात $= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2R(\sin A + \sin B + \sin C)} = \frac{r}{R}$.

(A) $n$ भुजाओं और $a$ लंबाई वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,परिवृत्त की त्रिज्या $R$ और अंतःवृत्त की त्रिज्या $r$ इस प्रकार है:
$R = \frac{a}{2} \csc\left( \frac{\pi}{n} \right)$ और $r = \frac{a}{2} \cot\left( \frac{\pi}{n} \right)$.
यहाँ $a = 2 \, cm$ और $n = 10$ है:
$R = \csc\left( \frac{\pi}{10} \right)$ और $r = \cot\left( \frac{\pi}{10} \right)$.
क्षेत्रफलों का अंतर $\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$ है।
सर्वसमिका $\csc^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\pi (\csc^2(\frac{\pi}{10}) - \cot^2(\frac{\pi}{10})) = \pi (1) = \pi \, cm^2$.

(A) माना समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, a,$ और $a\sqrt{2}$ हैं।
त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{\text{Area}}{\text{semi-perimeter}} = \frac{\Delta}{s}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\Delta = \frac{1}{2} a^2$ और $s = \frac{a + a + a\sqrt{2}}{2} = \frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}$ है।
दिया गया है $r = 1$,इसलिए $1 = \frac{\frac{1}{2} a^2}{\frac{a(2 + \sqrt{2})}{2}} = \frac{a}{2 + \sqrt{2}}$.
अतः,$a = 2 + \sqrt{2}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} (2 + \sqrt{2})^2$.
$\Delta = \frac{1}{2} (4 + 2 + 4\sqrt{2}) = \frac{1}{2} (6 + 4\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(D) मान लीजिए $\alpha$,कोण $\angle A$ का आधा है। मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ वृत्तों $P_2$ और $P_1$ के केंद्र हैं,जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1 = 1$ और $r_2 = 2$ हैं।
केंद्र $C_1$,शीर्ष $A$,और $AB$ पर स्पर्श बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\sin \alpha = \frac{r_1}{AC_1} = \frac{1}{AC_1}$ है।
चूँकि वृत्त स्पर्श करते हैं,$AC_2 = AC_1 + r_1 + r_2 = AC_1 + 1 + 2 = AC_1 + 3$.
साथ ही,$\sin \alpha = \frac{r_2}{AC_2} = \frac{2}{AC_2}$ है।
$\sin \alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{AC_1} = \frac{2}{AC_1 + 3} \implies AC_1 + 3 = 2AC_1 \implies AC_1 = 3$.
अतः,$\sin \alpha = \frac{1}{3}$.
त्रिभुज की ऊँचाई $AD = AC_2 + r_2 = (AC_1 + 3) + 2 = 6 + 2 = 8$.
$\Delta ABD$ में,$\tan \alpha = \frac{BD}{AD} = \frac{BD}{8}$.
चूँकि $\sin \alpha = \frac{1}{3}$,$\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
तब $\tan \alpha = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$BD = 8 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
आधार $BC = 2 \times BD = 4\sqrt{2}$.
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 8 = 16\sqrt{2}$.

(A) माना $a = 4K, b = 5K, c = 6K$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15K}{2}$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{abcs}{4\Delta^2}$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करने पर,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ है।
$\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}$ है।
मान रखने पर:
$s-a = \frac{7K}{2}, s-b = \frac{5K}{2}, s-c = \frac{3K}{2}$ है।
$\frac{R}{r} = \frac{(4K)(5K)(6K)}{4(\frac{7K}{2})(\frac{5K}{2})(\frac{3K}{2})} = \frac{16}{7}$।

(D) $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = 30 \, cm^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \cdot \sin A = 30$ $\Rightarrow 30 \sin A = 30$ $\Rightarrow \sin A = 1.$
अतः,$A = 90^{\circ},$ जिसका अर्थ है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R,$ कर्ण की आधी होती है,इसलिए $R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \, cm.$
अंतःत्रिज्या $r$ को $r = \frac{\Delta}{s}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
$s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm.$
अतः,$r = \frac{30}{15} = 2 \, cm.$
$2R + r = 2(6.5) + 2 = 13 + 2 = 15 \, cm$ का मान।

(D) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $c$ कर्ण है। समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{a+b-c}{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया है कि एक भुजा $12$ है। माना $a = 12$ है।
तब $r = \frac{12+b-c}{2}$ $\Rightarrow 2r = 12+b-c$ $\Rightarrow c-b = 12-2r$.
साथ ही,$a^2 = c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$.
$144 = (12-2r)(c+b) \Rightarrow c+b = \frac{144}{2(6-r)} = \frac{72}{6-r}$.
चूँकि $c+b$ और $c-b$ पूर्णांक होने चाहिए,$6-r$ को $72$ का विभाजक होना चाहिए।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,हम संभावित मानों की जाँच करते हैं।
यदि $a=12$ कर्ण है,तो $12^2 = b^2+c^2$. गैर-शून्य भुजाओं के लिए यह संभव नहीं है।
यदि $a=12$ एक भुजा है,तो $r = \frac{12+b-c}{2}$.
पूर्णांक भुजाओं $(12, 35, 37)$ के लिए $r = \frac{12+35-37}{2} = 5$.
पूर्णांक भुजाओं $(12, 16, 20)$ के लिए $r = \frac{12+16-20}{2} = 4$.
पूर्णांक भुजाओं $(12, 9, 15)$ के लिए $r = \frac{12+9-15}{2} = 3$.
अतः,अधिकतम त्रिज्या $5$ है।

(C) भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज $ABC$ के लिए,मान लीजिए $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है और $r$ अंतःवृत्त की त्रिज्या है।
एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{a}{2(\sqrt{3}/2)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2 \tan 60^{\circ}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = \frac{a}{\sqrt{3}} \times \frac{2\sqrt{3}}{a} = 2$.
चूंकि अनुपात $2$ है,जो $a$ से स्वतंत्र है,इसलिए यह स्थिर रहता है।

(D) माना अंतःवृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ है। अंतःवृत्त $AC$ को $D$ पर,$BC$ को $E$ पर और $AB$ को $F$ पर स्पर्श करता है।
चूंकि $O$ केंद्र है और $OE \perp BC$,$OF \perp AB$,तथा $OE=OF=r$,इसलिए चतुर्भुज $O E B F$ एक वर्ग है जिसकी भुजा $r$ है।
अतः,$BE = BF = r$।
बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए:
$AF = AD = 10$
$CE = CD = 3$
अतः,समकोण $\triangle ABC$ की भुजाएँ हैं:
$AB = AF + BF = 10 + r$
$BC = CE + BE = 3 + r$
$AC = AD + DC = 10 + 3 = 13$
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + BC^2 = AC^2$:
$(10 + r)^2 + (3 + r)^2 = 13^2$
$100 + 20r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 169$
$2r^2 + 26r + 109 = 169$
$2r^2 + 26r - 60 = 0$
$r^2 + 13r - 30 = 0$
$(r + 15)(r - 2) = 0$
चूंकि $r > 0$,इसलिए $r = 2$ है।
अतः,अंतःत्रिज्या $2$ है।

(C) यदि $B, I, O, C$ एकवृत्तीय हैं,तो $\angle BIC = \angle BOC$ (समान वृत्तखंड के कोण)।
हम जानते हैं कि $\angle BIC = 90^{\circ} + \frac{A}{2}$ और $\angle BOC = 2A$ होता है।
इन दोनों को बराबर रखने पर,$90^{\circ} + \frac{A}{2} = 2A$ प्राप्त होता है।
$\frac{3A}{2} = 90^{\circ} \implies A = 60^{\circ}$।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$।

(D) दिया गया है $\frac{s-x}{4} = \frac{s-y}{3} = \frac{s-z}{2} = k$.
तब $s-x = 4k, s-y = 3k, s-z = 2k$.
इनका योग करने पर: $3s - (x+y+z) = 9k \Rightarrow 3s - 2s = 9k \Rightarrow s = 9k$.
अतः,$x = 5k, y = 6k, z = 7k$.
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \frac{8\pi}{3} \Rightarrow r^2 = \frac{8}{3} \Rightarrow r = \sqrt{\frac{8}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}$.
$\Delta = rs = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $r^2 s^2 = s(4k)(3k)(2k) = s(24k^3)$.
चूंकि $s=9k$,$r^2 s^2 = 9k(24k^3) = 216k^4$. साथ ही $r^2 s^2 = \frac{8}{3} (81k^2) = 216k^2$.
इसलिए $216k^4 = 216k^2 \Rightarrow k^2 = 1 \Rightarrow k = 1$.
अतः $s = 9, x = 5, y = 6, z = 7$.
क्षेत्रफल $\Delta = rs = \sqrt{\frac{8}{3}} \times 9 = 3\sqrt{8} \times 3 = 6\sqrt{6}$. (विकल्प $A$ सही है)।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{xyz}{4\Delta} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$. (विकल्प $B$ सही है)।
$\sin \frac{X}{2} \sin \frac{Y}{2} \sin \frac{Z}{2} = \frac{r}{4R} = \frac{\sqrt{8/3}}{4 \times (35\sqrt{6}/24)} = \frac{2\sqrt{2}/\sqrt{3}}{35\sqrt{6}/6} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{6}{35\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{2}}{35\sqrt{18}} = \frac{12\sqrt{2}}{35 \times 3\sqrt{2}} = \frac{4}{35}$. (विकल्प $C$ सही है)।
$\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \cos^2 \frac{Z}{2} = \frac{1+\cos Z}{2}$. $\cos Z = \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} = \frac{25+36-49}{2 \times 5 \times 6} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ का उपयोग करते हुए।
इसलिए $\sin^2 \left(\frac{X+Y}{2}\right) = \frac{1+1/5}{2} = \frac{6/5}{2} = \frac{3}{5}$. (विकल्प $D$ सही है)।

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 10$,$b = 8$ और $c = 6$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जाँचें: $a^2 = b^2 + c^2$.
$10^2 = 100$ और $8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
चूँकि $100 = 100$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $a = 10$ है।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R$,कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{10}{2} = 5 \ units$.

(A) $\triangle ABC$ में,$\angle A=30^{\circ}$ और $BC=10 \text{ cm}$ है।
माना $R$,$\triangle ABC$ की परिवृत्त त्रिज्या है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{10}{\sin 30^{\circ}} = 2R$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{10}{1/2} = 2R$,जिसका अर्थ है $20 = 2R$,अतः $R = 10 \text{ cm}$।
परिवृत्त का क्षेत्रफल $\pi R^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \pi (10)^2 = 100 \pi \text{ cm}^2$।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है।
अतः,$AC = BC$। मान लीजिए $AC = BC = a$ है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
$c = a\sqrt{2}$
हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ और बाह्यत्रिज्या $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
अतः,$\frac{r}{r_3} = \frac{s-c}{s} = \frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{a+a-a\sqrt{2}}{a+a+a\sqrt{2}} = \frac{2a-a\sqrt{2}}{2a+a\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$
अतः,$r : r_3 = (\sqrt{2}-1) : (\sqrt{2}+1)$।

(D) मान लीजिए $\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई $a, b,$ और $c$ है। अर्ध-परिमाप $s$ को $s = \frac{a+b+c}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
आरेख से,$\triangle ABC$ के क्षेत्रफल को $\triangle IBC, \triangle ICA,$ और $\triangle IAB$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $I$ अंतःकेंद्र है:
$\Delta = \text{Area}(\triangle IBC) + \text{Area}(\triangle ICA) + \text{Area}(\triangle IAB)$
$\Delta = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$
$\Delta = r \left( \frac{a+b+c}{2} \right)$
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $\Delta = rs$ है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) $\triangle ABC$ में,वह वृत्त जो भुजा $BC$ को आंतरिक रूप से और अन्य दो भुजाओं $AB$ और $AC$ को बाहरी रूप से स्पर्श करता है,उसे कोण $A$ के विपरीत बाह्यवृत्त (Ex-circle) कहा जाता है। इस वृत्त का केंद्र बाह्यकेंद्र $E_A$ होता है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(B) दिया गया है $2A + C = 300^{\circ}$ और $A + B + C = 180^{\circ}$।
समीकरणों को घटाने पर: $(2A + C) - (A + B + C) = 300^{\circ} - 180^{\circ} \implies A - B = 120^{\circ}$।
साथ ही,$R = 8r$। अंतःत्रिज्या का सूत्र $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ है।
$R = 8r$ प्रतिस्थापित करने पर,$r = 4(8r) \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \implies 32 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 1$।
$2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2}$ का उपयोग करने पर,$16 (\cos 60^{\circ} - \cos \frac{A+B}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1$।
चूंकि $A+B = 180^{\circ} - C$,इसलिए $\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$।
$16 (\frac{1}{2} - \sin \frac{C}{2}) \sin \frac{C}{2} = 1 \implies 8 \sin \frac{C}{2} - 16 \sin^2 \frac{C}{2} = 1$।
$16 \sin^2 \frac{C}{2} - 8 \sin \frac{C}{2} + 1 = 0 \implies (4 \sin \frac{C}{2} - 1)^2 = 0$।
अतः,$\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4}$।

(C) दिया है: त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई $a = 15$,$b = 20$,और $c = 25$ इकाई है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ है।
चूंकि $a^2 + b^2 = c^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण $c = 25$ इकाई है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है।
$R = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ इकाई।

(D) अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21 \text{ cm}$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84 \text{ cm}^2$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{65}{8} \text{ cm}$।

(D) माना $s$,$\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है। शीर्षों से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई $\alpha = s-a, \beta = s-b, \gamma = s-c$ द्वारा दी जाती है।
इनका योग करने पर,$\alpha+\beta+\gamma = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $S$,हेरॉन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$।
हम जानते हैं कि $S = rs$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
अतः,$r^2 s^2 = s \alpha \beta \gamma$,जो सरल होकर $r^2 s = \alpha \beta \gamma$ हो जाता है।
$s = \alpha+\beta+\gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha+\beta+\gamma}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = 8, r_2 = 12, r_3 = 24$ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
$\frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{3+2+1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$,इसलिए $r = 4$ है।
साथ ही,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{4 \times 8 \times 12 \times 24} = \sqrt{9216} = 96$ है।
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ का उपयोग करने पर,$8 = \frac{96}{s-a} \Rightarrow s-a = 12$ प्राप्त होता है।
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ का उपयोग करने पर,$12 = \frac{96}{s-b} \Rightarrow s-b = 8$ प्राप्त होता है।
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,$24 = \frac{96}{s-c} \Rightarrow s-c = 4$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर: $3s - (a+b+c) = 24$ $\Rightarrow 3s - 2s = 24$ $\Rightarrow s = 24$ प्राप्त होता है।
अतः $a = s-12 = 12$,$b = s-8 = 16$,और $c = s-4 = 20$ है।
इस प्रकार,क्रमित त्रिक $(a, b, c) = (12, 16, 20)$ है।

(A) त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $(r)$ का सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिया है,परिमाप $P = 36 \text{ cm}$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ cm}$.
दिया है,अंतःत्रिज्या $r = 8 \text{ cm}$.
अतः,क्षेत्रफल $\Delta = r \times s = 8 \times 18 = 144 \text{ cm}^2$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6$,$b = 5$ और $c = 9$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ प्राप्त होता है।
$\Delta = \sqrt{10(10-6)(10-5)(10-9)} = \sqrt{10 \times 4 \times 5 \times 1} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$r = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2}$।

(D) दिया गया है,$\frac{2 r_2 r_3}{r_2-r_1} = r_3-r_1$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \cdot \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{\Delta}{s-c} = \left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s-a}\right)$
$\frac{2}{(s-b)(s-c)} = \frac{(s-a)-(s-b)}{(s-b)(s-a)} \cdot \frac{(s-a)-(s-c)}{(s-c)(s-a)}$
$2(s-a)^2 = (b-a)(c-a)$
$2(\frac{b+c-a}{2})^2 = (b-a)(c-a)$
$\frac{(b+c-a)^2}{2} = (b-a)(c-a)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2(bc-ab-ac+a^2)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2bc-2ab-2ac+2a^2$
$b^2+c^2 = a^2$.
अब,$\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1} = \sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(s-c+s-a+s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(3s-2s)}{\frac{\Delta^2}{s}}} = s$.
अतः,$\frac{r_1(r_2+r_3)}{s} = \frac{\frac{\Delta}{s-a}(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c})}{s} = \frac{\Delta^2(2s-b-c)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^2(a)}{\Delta^2} = a = 2R$.

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
इसलिए,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$,और $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$ है।
अब,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r^2} = \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2} + \frac{s^2}{\Delta^2}$ है।
$= \frac{(s^2+a^2-2as) + (s^2+b^2-2sb) + (s^2+c^2-2sc) + s^2}{\Delta^2}$ है।
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 2s(a+b+c)}{\Delta^2}$ है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $2s(a+b+c) = 2s(2s) = 4s^2$ है।
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 4s^2}{\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$ है।

(C) कथन $I$: हम जानते हैं कि $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$। यह त्रिभुज के लिए एक मानक सर्वसमिका है। अतः,$I$ सही है।
कथन $II$: हम जानते हैं कि $r_1 = s \tan \frac{A}{2}$। दिया गया सूत्र $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ गलत है। अतः,$II$ गलत है।
कथन $III$: हम जानते हैं कि $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$। यह बाह्य त्रिज्या $r_3$ के लिए एक मानक सूत्र है। अतः,$III$ सही है।
इसलिए,कथन $I$ और $III$ सही हैं।

(A) हम त्रिभुज की बहिःत्रिज्याओं के सूत्र जानते हैं: $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
दिया है $r_1=3, r_2=4, r_3=6$.
व्युत्क्रम लेने पर: $\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}, \frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}, \frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$.
योग करने पर: $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{3s-(a+b+c)}{\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = \frac{1}{r} \implies r = \frac{4}{3}$.
साथ ही,$\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{4}{3} \times 3 \times 4 \times 6 = 96 \implies \Delta = 4\sqrt{6}$.
चूंकि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,हमारे पास $4 = \frac{4\sqrt{6}}{s-b} \implies s-b = \sqrt{6}$ है।
साथ ही $s = \frac{\Delta}{r} = 3\sqrt{6}$ है।
अतः,$b = s - (s-b) = 3\sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

(A) दिया है $a=6, b=8, c=10$. चूंकि $6^2 + 8^2 = 10^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{6+8+10}{2} = 12$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = 4, r_2 = 6, r_3 = 12$ और अंतःत्रिज्या $r = 2$ हैं।
$\frac{2 r_2 r_3}{r r_1} = \frac{2 \times 6 \times 12}{2 \times 4} = 18$.
विकल्प $b+c = 8+10 = 18$ है।

(B) दी गई भुजाएँ $a=8, b=10, c=12$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+10+12}{2} = 15$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)} = \sqrt{15 \times 7 \times 5 \times 3} = 15\sqrt{7}$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}}{15} = \sqrt{7}$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8 \times 10 \times 12}{4 \times 15\sqrt{7}} = \frac{16}{\sqrt{7}}$ है।
अतः,$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{7}}{16/\sqrt{7}} = \frac{7}{16}$ है।

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a=13, b=14, c=15$ दी गई हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
इसके बाद,हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
बहिःत्रिज्या $r_1$ का सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ है:
$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = \frac{21}{2}$.

(C) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{r_1-r}{a} + \frac{r_2-r}{b} = \frac{\frac{\Delta}{s-a} - \frac{\Delta}{s}}{a} + \frac{\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s}}{b}$
$= \frac{\Delta}{a} \left( \frac{s - (s-a)}{s(s-a)} \right) + \frac{\Delta}{b} \left( \frac{s - (s-b)}{s(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s(s-a)} + \frac{\Delta}{s(s-b)} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} \right)$
$= \frac{\Delta}{s} \left( \frac{c}{(s-a)(s-b)} \right) = \frac{c}{r_3}$.

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$r=1$,$R=4$,और $\Delta=8$ है।
हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
$1 = \frac{8}{s} \implies s = 8$।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $a+b+c = 2s = 16$ है।
हम यह भी जानते हैं कि $abc = 4R\Delta$ है।
$abc = 4 \times 4 \times 8 = 128$।
अब,हमें $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = \frac{c+a+b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$।
मान रखने पर,हमें $\frac{16}{128} = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$ और $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{4}[b^2(2 \sin C \cos C) + c^2(2 \sin B \cos B)] = \frac{1}{2}[b^2 \sin C \cos C + c^2 \sin B \cos B]$।
प्रक्षेप सूत्र $a = b \cos C + c \cos B$ और $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2}[b^2 \cos C \frac{2\Delta}{ab} + c^2 \cos B \frac{2\Delta}{ac}] = \frac{\Delta}{a}[b \cos C + c \cos B] = \frac{\Delta}{a}(a) = \Delta$।
अब,$rr_1 \cot \frac{A}{2}$ पद पर विचार करने पर:
$r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,और $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ होता है।
अतः,$rr_1 \cot \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} = \Delta$।
इसलिए,$\frac{1}{4}[b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B] = rr_1 \cot \frac{A}{2}$।