Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Hindi

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
अतः,$A + C = 180^\circ$ और $B + D = 180^\circ$ है।
$A + C = 180^\circ$ से,हमें $A = 180^\circ - C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$,जिसका अर्थ है कि $\cos A + \cos C = 0$ है।
इसी प्रकार,$B + D = 180^\circ$ से,हमें $B = 180^\circ - D$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$,जिसका अर्थ है कि $\cos B + \cos D = 0$ है।
अब,व्यंजक $\cos A - \cos B + \cos C - \cos D$ पर विचार करें।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\cos A + \cos C) - (\cos B + \cos D)$ प्राप्त होता है।
ऊपर प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 - 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ एक त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A + B + C = \pi$,अतः $C = \pi - (A + B)$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$.
व्यंजक: $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C - 2\cos A \cos B \cos C$.
सर्वसमिका $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$ का उपयोग करने पर:
$= (2 + 2\cos A \cos B \cos C) - 2\cos A \cos B \cos C$
$= 2$.

(C) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$.
प्रत्येक पद के लिए इसे लागू करने पर: $\sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = \frac{1 - \cos A}{2} + \frac{1 - \cos B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}$.
$= 1 - \frac{1}{2}(\cos A + \cos B) + \sin^2 \frac{C}{2}$.
$= 1 - \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}$.
चूंकि $A+B = 180^o - C$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$,अतः $\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$.
$= 1 - \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}$.
$= 1 - \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} - \sin \frac{C}{2})$.
$= 1 - \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} - \cos \frac{A+B}{2})$.
$\cos X - \cos Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \sin \frac{Y-X}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का मान $1 - 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin^4 x + \cos^4 x + \sin 2x + \alpha = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x + \sin 2x + \alpha = 0$।
माना $y = \sin 2x$,जहाँ $-1 \le y \le 1$ है।
समीकरण $y^2 - 2y - 2(1 + \alpha) = 0$ बन जाता है।
वास्तविक हल के लिए विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = 12 + 8\alpha \ge 0 \Rightarrow \alpha \ge -\frac{3}{2}$।
$y = 1 \pm \sqrt{3 + 2\alpha}$।
चूंकि $-1 \le y \le 1$,इसलिए $-1 \le 1 - \sqrt{3 + 2\alpha} \le 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha \le \frac{1}{2}$।
इसलिए,$-\frac{3}{2} \le \alpha \le \frac{1}{2}$।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$2\sin^2 x + \sin^2 2x = 2$ ... $(i)$
$\sin 2x + \cos 2x = \tan x$ ... $(ii)$
$(i)$ से:
$2\sin^2 x + (2\sin x \cos x)^2 = 2$
$4\sin^4 x - 6\sin^2 x + 2 = 0$
$(2\sin^2 x - 1)(\sin^2 x - 1) = 0$
अतः,$\sin^2 x = \frac{1}{2}$ या $\sin^2 x = 1$.
यदि $\sin^2 x = 1$,तो $\cos^2 x = 0$,जिससे $\tan x$ अपरिभाषित हो जाता है।
यदि $\sin^2 x = \frac{1}{2}$,तो $\cos^2 x = \frac{1}{2}$,अतः $\tan^2 x = 1$,जिसका अर्थ है $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$(ii)$ से:
$\frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x} + \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \tan x$
$\tan^3 x + \tan^2 x - \tan x - 1 = 0$
$(\tan^2 x - 1)(\tan x + 1) = 0$
अतः,$\tan^2 x = 1$ या $\tan x = -1$.
दोनों का अर्थ है $\tan x = \pm 1$,जो $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4} = (2n + 1)\frac{\pi}{4}$ देता है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $x = (2n + 1)\frac{\pi}{4}$ हैं।

(C) हम जानते हैं कि $\cot B + \cot C = \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\sin C \cos B + \cos C \sin B}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B+C)}{\sin B \sin C}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(B+C) = \sin A$.
अतः,$\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमें प्राप्त होता है $\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.
इस प्रकार,$\cot B + \cot C = \frac{a/2R}{(b/2R)(c/2R)} = \frac{2Ra}{bc}$.
साथ ही,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}{a/(2R)} = \frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}$.
दिया गया है कि $b^2+c^2 = 3a^2$,इसलिए $b^2+c^2-a^2 = 2a^2$.
अतः,$\cot A = \frac{R(2a^2)}{abc} = \frac{2Ra}{bc}$.
इसलिए,$\cot B + \cot C - \cot A = \frac{2Ra}{bc} - \frac{2Ra}{bc} = 0$.

(C) दिया गया है कि $\sin^2 \frac{A}{2}, \sin^2 \frac{B}{2}, \sin^2 \frac{C}{2}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः,$\frac{1}{\sin^2 \frac{A}{2}}, \frac{1}{\sin^2 \frac{B}{2}}, \frac{1}{\sin^2 \frac{C}{2}}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
सूत्र $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर,$\frac{bc}{(s-b)(s-c)}, \frac{ac}{(s-a)(s-c)}, \frac{ab}{(s-a)(s-b)}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{ac}{(s-a)(s-c)} - \frac{bc}{(s-b)(s-c)} = \frac{ab}{(s-a)(s-b)} - \frac{ac}{(s-a)(s-c)}.$
इस व्यंजक को सरल करने पर $ab + bc = 2ac$ प्राप्त होता है।
$abc$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) व्यंजक का विस्तार करने पर: $(a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) + 2ab(\sin^2 \frac{C}{2} - \cos^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,अतः व्यंजक का मान $c^2$ है।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ है।
इन मानों को व्यंजक $2(bc \cos A + ca \cos B + ab \cos C)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2 \left( bc \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + ca \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} + ab \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)$
$= (b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2$.

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C.$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = k^3 [\sin^3 A \cos(B-C) + \sin^3 B \cos(C-A) + \sin^3 C \cos(A-B)]$
चूंकि $A+B+C = \pi,$ इसलिए $\sin A = \sin(B+C).$
अतः,$\sin^3 A \cos(B-C) = \sin^2 A \sin(B+C) \cos(B-C) = \sin^2 A \cdot \frac{1}{2} (\sin 2B + \sin 2C).$
सभी पदों के लिए इसका विस्तार करने और सर्वसमिका $\sin A \sin B \sin C = \frac{abc}{k^3}$ का उपयोग करके सरल करने पर:
$E = 3k^3 \sin A \sin B \sin C = 3abc.$

(A) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,इसलिए $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \sum a^2(\cos^2 B - \cos^2 C) = \sum (2R \sin A)^2(\cos^2 B - \cos^2 C)$
चूंकि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,इसलिए $\cos^2 B - \cos^2 C = (1 - \sin^2 B) - (1 - \sin^2 C) = \sin^2 C - \sin^2 B$ है।
अतः,$E = 4R^2 \sum \sin^2 A(\sin^2 C - \sin^2 B)$ है।
$a = 2R \sin A$ से,$\sin A = \frac{a}{2R}$,इसलिए $\sin^2 A = \frac{a^2}{4R^2}$ है।
$E = 4R^2 [ \frac{a^2}{4R^2}(\sin^2 C - \sin^2 B) + \frac{b^2}{4R^2}(\sin^2 A - \sin^2 C) + \frac{c^2}{4R^2}(\sin^2 B - \sin^2 A) ]$
$E = a^2(\sin^2 C - \sin^2 B) + b^2(\sin^2 A - \sin^2 C) + c^2(\sin^2 B - \sin^2 A)$
$\sin^2 A = \frac{a^2}{4R^2}$,$\sin^2 B = \frac{b^2}{4R^2}$,$\sin^2 C = \frac{c^2}{4R^2}$ रखने पर:
$E = \frac{1}{4R^2} [a^2c^2 - a^2b^2 + b^2a^2 - b^2c^2 + c^2b^2 - c^2a^2] = 0$.

(D) दिया गया है $2b^2 = a^2 + c^2$।
सर्वसमिका $\sin 3B = 3\sin B - 4\sin^3 B$ का उपयोग करने पर,$\frac{\sin 3B}{\sin B} = 3 - 4\sin^2 B$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ का उपयोग करने पर,$3 - 4(1 - \cos^2 B) = 4\cos^2 B - 1$ मिलता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
चूंकि $b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$,हम इस मान को $\cos B$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - \frac{a^2 + c^2}{2}}{2ac} = \frac{\frac{a^2 + c^2}{2}}{2ac} = \frac{a^2 + c^2}{4ac}$।
अब,$\cos B$ का मान $4\cos^2 B - 1$ में रखने पर:
$4\left( \frac{a^2 + c^2}{4ac} \right)^2 - 1 = 4 \cdot \frac{(a^2 + c^2)^2}{16a^2c^2} - 1 = \frac{(a^2 + c^2)^2}{4a^2c^2} - 1$।
$= \frac{(a^2 + c^2)^2 - 4a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{(c^2 - a^2)^2}{4a^2c^2} = \left( \frac{c^2 - a^2}{2ac} \right)^2$।

(A) दिया गया है: $a\cos^2\frac{C}{2} + c\cos^2\frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\cos^2\frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\cos^2\frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ सूत्रों को रखने पर:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s-c + s-a) = \frac{3b}{2}$
चूंकि $s-c+s-a = 2s - (a+c) = b$ है:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर:
$\frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$ $\Rightarrow a+b+c = 3b$ $\Rightarrow a+c = 2b$
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(D) माना त्रिभुज के कोण $A-d, A, A+d$ हैं। त्रिभुज के कोणों का योग $180^o$ होता है,इसलिए $(A-d) + A + (A+d) = 180^o$,जिसका अर्थ है $3A = 180^o$,अतः $A = 60^o$।
दिया गया है $b:c = \sin B : \sin C = \sqrt{3} : \sqrt{2}$।
कोणों को $B-d, B, B+d$ मानने पर,$B = 60^o$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$B = 60^o$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin 60^o}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
यह $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ में सरल होता है,इसलिए $C = 45^o$।
चूंकि $A+B+C = 180^o$,हमारे पास $A + 60^o + 45^o = 180^o$ है,जिससे $A = 75^o$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,अतः $A + C = 2B$। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $A + B + C = 180^\circ$ होता है,इसलिए $3B = 180^\circ$,जिससे $B = 60^\circ$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,अतः $b^2 = ac$।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
$B = 60^\circ$ और $ac = b^2$ रखने पर: $\cos 60^\circ = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2b^2}$।
$\frac{1}{2} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2b^2} \Rightarrow b^2 = a^2 + c^2 - b^2$।
अतः,$a^2 + c^2 = 2b^2$,जो यह दर्शाता है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया संबंध $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ है।
$\sin C$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$\sin C = \frac{1 - \cos A \cos B}{\sin A \sin B}.$
चूंकि $\sin C \le 1,$ इसलिए $\frac{1 - \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \le 1.$
इसका अर्थ है $1 - \cos A \cos B \le \sin A \sin B,$ या $1 \le \cos A \cos B + \sin A \sin B.$
कोसाइन अंतर सूत्र का उपयोग करने पर,$1 \le \cos(A - B).$
चूंकि $\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\cos(A - B) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $A - B = 0$ या $A = B.$
मूल समीकरण में $A = B$ रखने पर,$\sin C = \frac{1 - \cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} = 1.$
अतः,$C = 90^{\circ}.$ चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$ और $A = B,$ इसलिए $2A = 90^{\circ},$ यानी $A = B = 45^{\circ}.$
साइन नियम का उपयोग करने पर,भुजाएँ $\sin A : \sin B : \sin C = \sin 45^{\circ} : \sin 45^{\circ} : \sin 90^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} : \frac{1}{\sqrt{2}} : 1 = 1 : 1 : \sqrt{2}$ के समानुपाती हैं।

(D) दिया गया है $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$ प्राप्त होता है।
यह $\cot A = \cot B = \cot C$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$।
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
$a = 2$ दिया गया है,इसलिए $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}$।

(B) दिया गया है,$\angle C = 45^o$।
चूंकि $A + B + C = 180^o$,इसलिए $A + B = 180^o - 45^o = 135^o$।
सूत्र $\cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ का उपयोग करने पर:
$\cot(135^o) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$।
चूंकि $\cot(135^o) = -1$,इसलिए:
$-1 = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$।
$-(\cot A + \cot B) = \cot A \cot B - 1$।
$1 = \cot A \cot B + \cot A + \cot B$।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$1 + 1 = 1 + \cot A + \cot B + \cot A \cot B$।
$2 = (1 + \cot A)(1 + \cot B)$।
अतः,$(1 + \cot A)(1 + \cot B) = 2$।

(A) दिया गया है कि $\alpha + \beta + \gamma = \pi$,इसलिए $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$.
अतः $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta)$.
व्यंजक $E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
$E = 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 3 - (1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma) - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
$E = 3 - 1 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
$E = 2$.

(C) दिया है: $a = 6, b = 3, \cos(A - B) = \frac{4}{5}.$
सूत्र $\cos(A - B) = \frac{1 - \tan^2(\frac{A - B}{2})}{1 + \tan^2(\frac{A - B}{2})}$ का उपयोग करने पर,
$\frac{4}{5} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \implies 4 + 4t^2 = 5 - 5t^2 \implies 9t^2 = 1 \implies t = \frac{1}{3}.$
अतः,$\tan(\frac{A - B}{2}) = \frac{1}{3}.$
नेपियर सादृश्यता (Napier's Analogy) का उपयोग करने पर: $\tan(\frac{A - B}{2}) = \frac{a - b}{a + b} \cot(\frac{C}{2}).$
$\frac{1}{3} = \frac{6 - 3}{6 + 3} \cot(\frac{C}{2}) = \frac{3}{9} \cot(\frac{C}{2}) = \frac{1}{3} \cot(\frac{C}{2}).$
$\cot(\frac{C}{2}) = 1 \implies \frac{C}{2} = 45^\circ \implies C = 90^\circ.$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \times \sin 90^\circ = 9 \times 1 = 9 \, square \, unit.$

(C) दिया गया है $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{\sin(A - B)}{\sin(A + B)}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$,हमें मिलता है $\frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 B} = \frac{\sin(A - B)}{\sin(A + B)}$.
चूंकि $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B)\sin(A + B)$,समीकरण $\frac{\sin(A - B)\sin(A + B)}{\sin^2 A + \sin^2 B} = \frac{\sin(A - B)}{\sin(A + B)}$ हो जाता है।
इसका अर्थ है $\sin(A - B) = 0$ या $\frac{\sin(A + B)}{\sin^2 A + \sin^2 B} = \frac{1}{\sin(A + B)}$.
यदि $\sin(A - B) = 0$,तो $A = B$,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
यदि $\sin^2(A + B) = \sin^2 A + \sin^2 B$,तो $\sin^2 C = \sin^2 A + \sin^2 B$,जिसका अर्थ है $c^2 = a^2 + b^2$,इसलिए त्रिभुज समकोण है।
अतः,त्रिभुज समकोण या समद्विबाहु है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,जहाँ $a < b < c$ है। दिया है $c = 7 \ cm$।
चूँकि वे $A.P.$ में हैं,$2b = a + c$,इसलिए $a = 2b - 7$।
सबसे बड़ी भुजा $c$ के सामने का कोण $120^\circ$ है। कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos(120^\circ) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$-\frac{1}{2} = \frac{(2b-7)^2 + b^2 - 7^2}{2(2b-7)b}$
$-b(2b-7) = 4b^2 - 28b + 49 + b^2 - 49$
$-2b^2 + 7b = 5b^2 - 28b$
$7b^2 - 35b = 0$
चूँकि $b \neq 0$,इसलिए $b = 5 \ cm$।
अतः $a = 2(5) - 7 = 3 \ cm$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}ab \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \ cm^2$ है।

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B$ होता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, इसलिए $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ है।
अब, व्यंजक $E = a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A$ पर विचार करें।
$E = a^2 (2 \sin B \cos B) + b^2 (2 \sin A \cos A)$.
$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = (2R \sin A)^2 (2 \sin B \cos B) + (2R \sin B)^2 (2 \sin A \cos A)$.
$E = 8R^2 \sin A \sin B (\sin A \cos B + \sin B \cos A)$.
$E = 8R^2 \sin A \sin B \sin(A + B)$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$, इसलिए $\sin(A + B) = \sin C$ है।
$E = 8R^2 \sin A \sin B \sin C$.
हम जानते हैं कि $\Delta = \frac{abc}{4R} = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ है।
अतः, $E = 4(2R^2 \sin A \sin B \sin C) = 4\Delta$।

(C) दी गई व्यंजक $E = a(b^2 + c^2)\cos A + b(c^2 + a^2)\cos B + c(a^2 + b^2)\cos C$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$E = ab^2\cos A + ac^2\cos A + bc^2\cos B + ba^2\cos B + ca^2\cos C + cb^2\cos C$।
पदों को समूहित करने पर:
$E = ab(b\cos A + a\cos B) + bc(c\cos B + b\cos C) + ca(a\cos C + c\cos A)$।
प्रक्षेप सूत्र $c = b\cos A + a\cos B$,$a = c\cos B + b\cos C$,और $b = a\cos C + c\cos A$ का उपयोग करने पर:
$E = ab(c) + bc(a) + ca(b) = abc + abc + abc = 3abc$।

(D) दी गई शर्त ${c^2} = {a^2} + {b^2}$ के अनुसार,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जहाँ कर्ण $c$ है और $\angle C = 90^{\circ}$ है।
हेरोन के सूत्र के अनुसार,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\Delta^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)$,जिसका अर्थ है कि $4\Delta^2 = 4s(s - a)(s - b)(s - c)$।
समकोण त्रिभुज के लिए जिसकी भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ab$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$4\Delta^2 = 4(\frac{1}{2}ab)^2 = 4(\frac{1}{4}a^2b^2) = {a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास $2s = a + b + c$ है और क्षेत्रफल $A$ हेरॉन के सूत्र द्वारा दिया गया है: $A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c)$.
धनात्मक पदों $(s-a), (s-b), (s-c)$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{(s-a) + (s-b) + (s-c)}{3} \ge \sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)}$
$a+b+c = 2s$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3s - (a+b+c)}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{A^2}{s}}$
$\frac{3s - 2s}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{A^2}{s}}$
$\frac{s}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{A^2}{s}}$
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$\frac{s^3}{27} \ge \frac{A^2}{s}$
$A^2 \le \frac{s^4}{27}$
वर्गमूल लेने पर:
$A \le \frac{s^2}{3\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया व्यंजक: ${a^2}\sin 2C + {c^2}\sin 2A$
$= {a^2}(2\sin C \cos C) + {c^2}(2\sin A \cos A)$
क्षेत्रफल सूत्र $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}bc \sin A$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\sin C = \frac{2\Delta}{ab}$ और $\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2{a^2}\left( \frac{2\Delta}{ab} \cos C \right) + 2{c^2}\left( \frac{2\Delta}{bc} \cos A \right)$
$= 4\Delta \left( \frac{a \cos C + c \cos A}{b} \right)$
चूंकि $a \cos C + c \cos A = b$ (प्रक्षेप नियम):
$= 4\Delta \left( \frac{b}{b} \right) = 4\Delta$.

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $a = 2R\sin A$,$b = 2R\sin B$,और $c = 2R\sin C$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a\cos A + b\cos B + c\cos C = (2R\sin A)\cos A + (2R\sin B)\cos B + (2R\sin C)\cos C$
$= R(2\sin A\cos A + 2\sin B\cos B + 2\sin C\cos C)$
$= R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$
त्रिभुज $ABC$ के लिए सर्वसमिका $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C$ का उपयोग करने पर:
$= R(4\sin A\sin B\sin C)$
$= 4R\sin A\sin B\sin C$.

(A) माना $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
प्रश्न के अनुसार,$\Delta = \frac{1}{2}ax = \frac{1}{2}by = \frac{1}{2}cz$ है।
अतः,$x = \frac{2\Delta}{a}, y = \frac{2\Delta}{b}, z = \frac{2\Delta}{c}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{bx}{c} + \frac{cy}{a} + \frac{az}{b} = \frac{b}{c}(\frac{2\Delta}{a}) + \frac{c}{a}(\frac{2\Delta}{b}) + \frac{a}{b}(\frac{2\Delta}{c})$
$= 2\Delta \left( \frac{b^2 + c^2 + a^2}{abc} \right)$
चूँकि $\Delta = \frac{abc}{4R}$,इसलिए परिणाम $\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2R}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $AB = h$ है। चूँकि $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $AC = \frac{h}{2}$ और $CB = \frac{h}{2}$ है।
दिया है $AP = n \cdot AB = nh$ है।
$\triangle PAC$ में,$\tan(\angle APC) = \frac{AC}{AP} = \frac{h/2}{nh} = \frac{1}{2n}$ है।
$\triangle PAB$ में,$\tan(\angle APB) = \frac{AB}{AP} = \frac{h}{nh} = \frac{1}{n}$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha = \angle APB - \angle APC$ है।
इसलिए,$\tan \alpha = \tan(\angle APB - \angle APC) = \frac{\tan(\angle APB) - \tan(\angle APC)}{1 + \tan(\angle APB) \cdot \tan(\angle APC)}$ है।
मान रखने पर: $\tan \alpha = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{2n}}{1 + (\frac{1}{n})(\frac{1}{2n})} = \frac{\frac{1}{2n}}{1 + \frac{1}{2n^2}} = \frac{\frac{1}{2n}}{\frac{2n^2 + 1}{2n^2}} = \frac{1}{2n} \cdot \frac{2n^2}{2n^2 + 1} = \frac{n}{2n^2 + 1}$ है।
अतः,$n = (2n^2 + 1)\tan \alpha$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos^2\frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum \frac{1}{a} \cos^2\frac{A}{2} = \sum \frac{1}{a} \cdot \frac{s(s-a)}{bc}$
$= \sum \frac{s(s-a)}{abc}$
$= \frac{s}{abc} [(s-a) + (s-b) + (s-c)]$
$= \frac{s}{abc} [3s - (a+b+c)]$
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए:
$= \frac{s}{abc} [3s - 2s] = \frac{s}{abc} \cdot s = \frac{s^2}{abc}$.

(D) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{s-b}{s}$ होता है।
दिया है $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ और $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,अतः $\frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{s-b}{s}$।
$\frac{1}{3} = \frac{s-b}{s}$ $\Rightarrow s = 3s - 3b$ $\Rightarrow 2s = 3b$।
चूँकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b + c = 3b$,जिसका अर्थ है $a + c = 2b$।
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$।
चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2R \sin A, 2R \sin B, 2R \sin C$ भी समांतर श्रेणी में होंगे।
अतः,$\sin A, \sin B, \sin C$ भी समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) माना त्रिभुज $\Delta ABC$ है जिसका आधार $BC = x$ और ऊँचाई $AD = h$ है। आधार पर कोण $\angle B = 22.5^o$ और $\angle ACB = 112.5^o$ हैं।
चूँकि $\angle ACB$,$\Delta ABD$ का बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ACD = 180^o - 112.5^o = 67.5^o$ है।
समकोण $\Delta ACD$ में,$\angle CAD = 90^o - 67.5^o = 22.5^o$ है।
अतः,$\angle BAC = 180^o - (22.5^o + 112.5^o) = 45^o$ है।
$\Delta ABC$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{x}{\sin 45^o} = \frac{AC}{\sin 22.5^o} \Rightarrow AC = \frac{x \sin 22.5^o}{\sin 45^o}$ प्राप्त होता है।
$\Delta ACD$ में,$h = AC \sin 67.5^o = \frac{x \sin 22.5^o \sin 67.5^o}{\sin 45^o}$ है।
$\sin 67.5^o = \cos 22.5^o$ का उपयोग करते हुए,$h = \frac{x \sin 22.5^o \cos 22.5^o}{\sin 45^o} = \frac{x \sin 45^o}{2 \sin 45^o} = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{h}{x} = \frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $a \cos x + b \sin x = c$ है।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a + c) \tan^2(x/2) - 2b \tan(x/2) + (c - a) = 0$
माना $t = \tan(x/2).$ इस द्विघात समीकरण के मूल $t_1 = \tan(\alpha/2)$ और $t_2 = \tan(\beta/2)$ हैं।
मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{2b}{a + c}$ और मूलों का गुणनफल $t_1 t_2 = \frac{c - a}{a + c}$ है।
$\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \frac{t_1 + t_2}{1 - t_1 t_2} = \frac{\frac{2b}{a + c}}{1 - \frac{c - a}{a + c}} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}.$

(C) माना $\angle BAD = \alpha$ और $\angle CAD = \beta$ है। चूँकि $AD \perp BC$,हमारे पास $\tan \alpha = \frac{BD}{AD} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $\tan \beta = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
हमें $\angle A = \alpha + \beta$ ज्ञात करना है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2})} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan A = 1$,इसलिए $A = \frac{\pi}{4}$ है।

(B) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (B - C)}$।
चूंकि $A + B + C = \pi$,हमारे पास $A = \pi - (B + C)$ है,इसलिए $\sin A = \sin (B + C)$।
इसी प्रकार,$C = \pi - (A + B)$,इसलिए $\sin C = \sin (A + B)$।
इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin (B + C)}{\sin (A + B)} = \frac{\sin (A - B)}{\sin (B - C)}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर $\sin (B + C) \sin (B - C) = \sin (A + B) \sin (A - B)$ मिलता है।
सर्वसमिका $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 B - \sin^2 C = \sin^2 A - \sin^2 B$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2 \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 C$।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$।
इन्हें प्रतिस्थापित करने पर,$2(\frac{b}{2R})^2 = (\frac{a}{2R})^2 + (\frac{c}{2R})^2$।
यह $2b^2 = a^2 + c^2$ में सरल हो जाता है।
अतः,$a^2, b^2, c^2$ $A.P.$ में हैं।

(A) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle C = \frac{\pi}{2}$ है,कर्ण $c = AB$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है,इसलिए $R = \frac{c}{2}.$
अंतःत्रिज्या $r$ का मान $r = \frac{\Delta}{s}$ होता है,जहाँ $\Delta = \frac{1}{2}ab$ और $s = \frac{a + b + c}{2}$ है।
अतः,$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{1}{2}(a + b + c)} = \frac{ab}{a + b + c}.$
अब,$r + R = \frac{ab}{a + b + c} + \frac{c}{2} = \frac{2ab + c(a + b + c)}{2(a + b + c)}.$
चूँकि $c^2 = a^2 + b^2,$ इसलिए $2ab + c(a + b + c) = 2ab + ca + cb + c^2 = 2ab + ca + cb + a^2 + b^2 = (a + b)^2 + c(a + b) = (a + b)(a + b + c).$
इसलिए,$r + R = \frac{(a + b)(a + b + c)}{2(a + b + c)} = \frac{a + b}{2}.$
अतः,$2(r + R) = a + b.$

(C) माना मीनार $AB$ की ऊँचाई $h$ है। क्षैतिज तल पर दो बिंदु $C$ और $D$ हैं,जहाँ $BC = b$ और $BD = a$ है।
दिया गया है कि $C$ और $D$ से उन्नयन कोण क्रमशः $\alpha$ और $90^\circ - \alpha$ हैं।
$\Delta ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{b} \implies h = b \tan \alpha$ ... $(i)$
$\Delta ABD$ में,$\tan(90^\circ - \alpha) = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{a} \implies \cot \alpha = \frac{h}{a} \implies h = a \cot \alpha$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) का गुणा करने पर:
$h^2 = (b \tan \alpha)(a \cot \alpha) = ab \tan \alpha \cdot \frac{1}{\tan \alpha} = ab$
अतः,$h = \sqrt{ab}$.

(B) माना $DP = h$ क्लॉक टावर की ऊँचाई है जो $BC$ के मध्य-बिंदु $D$ पर स्थित है।
दिया है $\angle PAD = \alpha = \cot^{-1} 3.2 \Rightarrow \cot \alpha = 3.2$.
दिया है $\angle PBD = \beta = \csc^{-1} 2.6 \Rightarrow \csc \beta = 2.6$.
अतः $\cot \beta = \sqrt{\csc^2 \beta - 1} = \sqrt{(2.6)^2 - 1} = \sqrt{6.76 - 1} = \sqrt{5.76} = 2.4$.
समकोण त्रिभुज $\triangle PAD$ और $\triangle PBD$ में:
$AD = h \cot \alpha = 3.2h$ और $BD = h \cot \beta = 2.4h$.
समकोण $\triangle ABD$ में:
$AB^2 = AD^2 + BD^2$
$100^2 = (3.2h)^2 + (2.4h)^2$
$10000 = (10.24 + 5.76)h^2$
$10000 = 16h^2$
$h^2 = 625$
$h = 25 \, m$.

(D) माना $H = 150 \, m$ दूसरी चिमनी की ऊँचाई है।
माना $d$ दोनों चिमनियों के बीच की दूरी है।
समस्या की ज्यामिति के अनुसार,पहली चिमनी के आधार का अवनमन कोण $\phi$ है,इसलिए $\tan \phi = \frac{H}{d}$।
दिया है $\tan \phi = \frac{5}{2}$,इसलिए $\frac{150}{d} = \frac{5}{2}$,जिससे $d = \frac{150 \times 2}{5} = 60 \, m$ प्राप्त होता है।
माना $h$ पहली चिमनी की ऊँचाई है। पहली चिमनी की चोटी का अवनमन कोण $\theta$ है,इसलिए $\tan \theta = \frac{H - h}{d}$।
दिया है $\tan \theta = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{150 - h}{60} = \frac{4}{3}$।
$150 - h = 60 \times \frac{4}{3} = 80$।
$h = 150 - 80 = 70 \, m$।
चोटियों के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $H - h = 150 - 70 = 80 \, m$ है।
चोटियों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 60 \, m$ है।
चोटियों के बीच की दूरी $\sqrt{(H - h)^2 + d^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \, m$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
$\Rightarrow a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$\Rightarrow a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
यहाँ,प्रक्षेप सूत्र (Projection Formula) के अनुसार $a \cos C + c \cos A = b$ होता है।
अतः,$a + c + b = 3b$
$\Rightarrow a + c = 2b$
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।

(A) माना $AB = x$ है। $D$ से $AB$ पर लंब $DM$ खींचिए। तब $DM = BC = p$ और $MB = CD = q$ है। अतः,$AM = AB - MB = x - q$ है।
$\triangle BCD$ में,$\tan \alpha = \frac{p}{q}$ है।
$\triangle ADM$ में,$\angle DAM = \pi - (\theta + \alpha)$ है।
इसलिए,$\tan(\pi - (\theta + \alpha)) = \frac{DM}{AM} = \frac{p}{x - q}$ है।
इसका अर्थ है $-\tan(\theta + \alpha) = \frac{p}{x - q}$,या $\tan(\theta + \alpha) = \frac{p}{q - x}$ है।
$q - x = p \cot(\theta + \alpha) = p \left( \frac{\cot \theta \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \cot \theta} \right)$ है।
चूँकि $\cot \alpha = \frac{q}{p}$ है,इसलिए $q - x = p \left( \frac{\frac{q}{p} \cot \theta - 1}{\frac{q}{p} + \cot \theta} \right) = p \left( \frac{q \cos \theta - p \sin \theta}{q \sin \theta + p \cos \theta} \right)$ है।
$x = q - \frac{pq \cos \theta - p^2 \sin \theta}{q \sin \theta + p \cos \theta} = \frac{(p^2 + q^2) \sin \theta}{p \cos \theta + q \sin \theta}$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $\sum \frac{\cot A + \cot B}{\tan A + \tan B}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ और $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ है।
अतः,$\frac{\cot A + \cot B}{\tan A + \tan B} = \cot A \cot B$ प्राप्त होता है।
चक्रीय योग लेने पर,$\sum \cot A \cot B = \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A$ होगा।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$A+B+C = \pi$,जिसका अर्थ है कि $\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$।

(C) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a$ और $b$ हैं और कर्ण $c$ है। माना $p$ समकोण शीर्ष से कर्ण पर खींचे गए लंब की लंबाई है।
हम जानते हैं कि $p = \frac{ab}{c}$.
दिया है $c = 2\sqrt{2}p$,इसलिए $c = 2\sqrt{2} \frac{ab}{c}$,अर्थात $c^2 = 2\sqrt{2}ab$.
चूँकि $c^2 = a^2 + b^2$,इसलिए $a^2 + b^2 = 2\sqrt{2}ab$.
$ab$ से भाग देने पर,हमें $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
माना $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\tan \theta = \frac{b}{a}$.
तब $\cot \theta + \tan \theta = 2\sqrt{2}$.
$\frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = 2\sqrt{2} \Rightarrow \frac{1 + \tan^2 \theta}{\tan \theta} = 2\sqrt{2}$.
$\frac{\sec^2 \theta}{\tan \theta} = 2\sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2\sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{2}{\sin 2\theta} = 2\sqrt{2}$.
$\sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$.
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}$ या $2\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{8}$ या $\theta = \frac{3\pi}{8}$.
दो न्यून कोण $\frac{\pi}{8}$ और $\frac{3\pi}{8}$ हैं।

(D) दिया गया है: $\sin A + \sin B + \sin C = 1 + \sqrt{2}$ और $\cos A + \cos B + \cos C = \sqrt{2}$.
एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,कोण $90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ}$ होते हैं।
मान लीजिए $A = 90^{\circ}, B = 45^{\circ}, C = 45^{\circ}$ है।
तब $\sin 90^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.
साथ ही,$\cos 90^{\circ} + \cos 45^{\circ} + \cos 45^{\circ} = 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
चूंकि ये मान दिए गए समीकरणों को संतुष्ट करते हैं,इसलिए त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है.

(C) माना $\angle BAD = \alpha$ और $\angle CAD = \beta$ है।
$\Delta ADB$ में,ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin B} \implies \frac{x}{\sin \alpha} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)}$ .....$(i)$
$\Delta ADC$ में,ज्या नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin C} \implies \frac{3x}{\sin \beta} = \frac{AD}{\sin(\pi/4)}$ .....(ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{\sin \alpha} \times \frac{\sin \beta}{3x} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)} \times \frac{\sin(\pi/4)}{AD}$
$\frac{\sin \beta}{3 \sin \alpha} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = \sqrt{\frac{2}{3}}$
$\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 3 \times \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{6}$
अतः,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(C) दिए गए समीकरण $3\sin x - 4\sin^3 x = k$ से,हम जानते हैं कि $\sin(3x) = k$ है।
चूंकि कोण $A$ और $B$ इसे संतुष्ट करते हैं,इसलिए $\sin(3A) = k$ और $\sin(3B) = k$ है।
इसका अर्थ है $\sin(3A) - \sin(3B) = 0$,जो $2\cos\left(\frac{3A+3B}{2}\right)\sin\left(\frac{3A-3B}{2}\right) = 0$ देता है।
चूंकि $A > B$,इसलिए $\sin\left(\frac{3A-3B}{2}\right) \neq 0$,अतः $\cos\left(\frac{3A+3B}{2}\right) = 0$ होना चाहिए।
इस प्रकार,$\frac{3(A+B)}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$। त्रिभुज के लिए,$A+B < \pi$,इसलिए $\frac{3(A+B)}{2} = \frac{\pi}{2}$ या $\frac{3\pi}{2}$।
यदि $\frac{3(A+B)}{2} = \frac{\pi}{2}$ है,तो $A+B = \frac{\pi}{3}$,जिससे $C = \pi - (A+B) = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना खंभे की कुल ऊँचाई $h$ है। खंभा दो भागों में विभाजित है: ऊपरी भाग $\frac{3h}{4}$ और निचला भाग $\frac{h}{4}$।
माना जमीन पर बिंदु $C$ है और खंभे का आधार $B$ है। दिया है $BC = 40 \ m$।
माना $\theta$ खंभे के शीर्ष $(A)$ का उन्नयन कोण है और $\alpha$ बिंदु $D$ का उन्नयन कोण है।
तब $\tan \theta = \frac{h}{40}$ और $\tan \alpha = \frac{h/4}{40} = \frac{h}{160}$।
ऊपरी भाग $AD$ द्वारा $C$ पर बनाया गया कोण $\beta = \theta - \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ है।
अतः,$\tan \beta = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} = \frac{3}{5}$।
मान रखने पर: $\frac{\frac{h}{40} - \frac{h}{160}}{1 + \left(\frac{h}{40}\right)\left(\frac{h}{160}\right)} = \frac{3}{5}$।
$\frac{3h}{160} \times \frac{6400}{6400 + h^2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 200h = 6400 + h^2$।
$h^2 - 200h + 6400 = 0 \Rightarrow (h - 160)(h - 40) = 0$।
अतः,$h = 40 \ m$ या $h = 160 \ m$।

(A) माना $P$ प्रेक्षक की आँख है और $B$ गोलाकार गुब्बारे का केंद्र है। माना $Q$ गुब्बारे पर $P$ से स्पर्श बिंदु है। तब $\angle QPB = \frac{\alpha}{2}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PQB$ में,$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{BQ}{PB} = \frac{r}{l}$,जहाँ $l = PB$ प्रेक्षक से गुब्बारे के केंद्र की दूरी है।
अतः,$l = r \csc\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ है।
जमीन से केंद्र $B$ की ऊँचाई $H$ द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\sin \beta = \frac{H}{l}$ है।
इसलिए,$H = l \sin \beta = r \csc\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin \beta$ है।