Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{2} x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
सर्वसमिका $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$\sin ^{2} x - (1 - 2 \sin ^{2} x) = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x - 1 = 2 - \sin 2 x$
$3 \sin ^{2} x + \sin 2 x - 3 = 0$
चूँकि $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ और $1 = \sin ^{2} x + \cos ^{2} x$,हम $3 = 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x)$ लिख सकते हैं:
$3 \sin ^{2} x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^{2} x + \cos ^{2} x) = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^{2} x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
इसका अर्थ है $\cos x = 0$ या $2 \sin x = 3 \cos x$।
शर्त $3 \cos x \neq 2 \sin x$ के अनुसार,$\cos x = 0$ होना चाहिए।
$\cos x = 0$ का व्यापक हल $x = n \pi + \frac{\pi}{2}, n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2\theta = \tan 3\theta$.
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta) = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$ का उपयोग करने पर।
इसे समीकरण में रखने पर: $\tan \theta + \tan 2\theta = \frac{\tan 2\theta + \tan \theta}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}$.
इसका अर्थ है $(\tan \theta + \tan 2\theta) \left(1 - \frac{1}{1 - \tan 2\theta \tan \theta}\right) = 0$.
स्थिति $1$: $\tan \theta + \tan 2\theta = 0$ $\Rightarrow \frac{\sin 3\theta}{\cos \theta \cos 2\theta} = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $1 - \tan 2\theta \tan \theta = 1 \Rightarrow \tan 2\theta \tan \theta = 0$.
इसका मतलब है $\tan \theta = 0$ या $\tan 2\theta = 0$.
यदि $\tan \theta = 0$,तो $\theta = n\pi$.
यदि $\tan 2\theta = 0$,तो $2\theta = k\pi \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{2}$.
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi$ या $\theta = \frac{p\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^{2} x \sec x = \tan x - \sin x + 1$
$\cos x$ से गुणा करने पर $(\cos x \neq 0)$:
$\sin^{2} x = \sin x - \sin x \cos x + \cos x$
$\sin^{2} x - \sin x + \sin x \cos x - \cos x = 0$
$\sin x(\sin x - 1) + \cos x(\sin x - 1) = 0$
$(\sin x + \cos x)(\sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin x = 1 \implies x = 2n \pi + \frac{\pi}{2} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ ($n \in \mathbb{Z}$ के लिए).
स्थिति $2$: $\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = m \pi - \frac{\pi}{4} = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ ($m \in \mathbb{Z}$ के लिए).
अतः,व्यापक हल $x = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{2}$ या $x = m \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta = 2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \cos^{2} \theta + 3 \cos \theta - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2 \cos^{2} \theta + 4 \cos \theta - \cos \theta - 2 = 0$
$2 \cos \theta(\cos \theta + 2) - 1(\cos \theta + 2) = 0$
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0$
इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -2$
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $\cos \theta = -2$ संभव नहीं है।
अतः,अनुमेय मान $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta \in [0, \pi]$ है,इस अंतराल में साइन फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ को संतुष्ट करने वाले $\theta$ के मान $\theta = \frac{\pi}{4}$ और $\theta = \frac{3\pi}{4}$ हैं।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
$\sin C + \sin D = 2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin 3x = 0$ या $\cos 2x = -\frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}$।
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ के लिए,संभावित मान $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ हैं।
स्थिति $2$: $\cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।
$x \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ के लिए,संभावित मान $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ हैं।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,अलग-अलग हल $x = \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$ हैं।
अतः,हलों की कुल संख्या $3$ है।

(D) दिया गया समीकरण $\tan 2\theta = 1$ है।
चूंकि $\tan 2\theta$ धनात्मक है,इसलिए $2\theta$ प्रथम या तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
मुख्य हलों के लिए,हम $0 \le \theta < 2\pi$ पर विचार करते हैं,जिसका अर्थ है $0 \le 2\theta < 4\pi$।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,यहाँ $4$ मुख्य हल मौजूद हैं।

(C) दिया गया समीकरण $\tan^2 x = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\tan x = \pm 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan x = \tan \alpha$ का अर्थ है $x = n \pi + \alpha$।
$\tan x = 1$ के लिए,$x = n \pi + \frac{\pi}{4}$।
$\tan x = -1$ के लिए,$x = n \pi - \frac{\pi}{4}$।
इन दोनों परिणामों को मिलाने पर,व्यापक हल $x = n \pi \pm \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(C) दिया गया समीकरण $\sin 2x + \cos 2x = 0$ है।
$\cos 2x$ से भाग देने पर,$\tan 2x = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = -1$ का अर्थ है $\theta = n\pi - \frac{\pi}{4}$,इसलिए $2x = n\pi - \frac{\pi}{4}$।
अतः,$x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = \frac{(4n - 1)\pi}{8}$।
$\pi < x < 2\pi$ के लिए:
यदि $n = 3$ है,तो $x = \frac{11\pi}{8}$।
यदि $n = 4$ है,तो $x = \frac{15\pi}{8}$।
दोनों मान $(\pi, 2\pi)$ अंतराल में स्थित हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ जहाँ $x \in [0, 2 \pi]$ है।
चरण $1$: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ और $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
चरण $2$: $\cos x$ से गुणा करने पर (जहाँ $\cos x \neq 0$):
$\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
चरण $3$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x) \implies 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
चरण $4$: गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -1$
चरण $5$: हल ज्ञात करने पर:
$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}$.
$\sin x = -1 \implies x = \frac{3 \pi}{2}$ (यहाँ $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हैं)।
सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3 \sin^2 x - 6 \sin x - \sin x + 2 = 0$.
$3 \sin x(\sin x - 2) - 1(\sin x - 2) = 0$.
$(3 \sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
इससे $\sin x = \frac{1}{3}$ या $\sin x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ संभव नहीं है।
अतः,हम $\sin x = \frac{1}{3}$ को हल करते हैं।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल मिलते हैं।
अंतराल $(0, 4 \pi)$ में $2 \times 2 = 4$ हल मिलते हैं।
अंतराल $(4 \pi, 5 \pi)$ में $1$ हल मिलता है।
$(0, 5 \pi)$ में कुल हलों की संख्या $2 + 2 + 2 = 6$ है।

(B) दिए गए समीकरण $\cot \theta = \sqrt{3}$ और $\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ हैं।
$\cot \theta = \sqrt{3}$ से,हमें $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि $\theta$ प्रथम या तृतीय चतुर्थांश में है।
$\sqrt{3} \sec \theta + 2 = 0$ से,हमें $\sec \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\cos \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए $\theta$ द्वितीय या तृतीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,$\theta$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
तृतीय चतुर्थांश में,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 \theta = \sin \theta$
सर्वसमिका $\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 \theta = \sin \theta$
$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
इससे $\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -1$ प्राप्त होता है।
$(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
$(0, 2 \pi)$ में $\sin \theta = -1$ के लिए,$\theta = \frac{3 \pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,हल $\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $3$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$ है।
$\sqrt{3} \sec x = -2$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos x$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,हम $[0, 2\pi]$ में मान ज्ञात करते हैं।
दूसरे चतुर्थांश में: $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।
तीसरे चतुर्थांश में: $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$।
अतः,मुख्य हल $\frac{5\pi}{6}$ और $\frac{7\pi}{6}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \sec \theta = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta} = 2 \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2 \cos^2 \theta$
$\Rightarrow \sin \theta + 1 = 2(1 - \sin^2 \theta)$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$
$\therefore \sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -1$
$\theta \in (0, 2\pi)$ के लिए:
यदि $\sin \theta = \frac{1}{2}$,तो $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$।
यदि $\sin \theta = -1$,तो $\theta = \frac{3\pi}{2}$।
हालाँकि,$\theta = \frac{3\pi}{2}$ पर $\tan \theta$ और $\sec \theta$ अपरिभाषित हैं।
अतः,मान्य हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5\pi}{6}$ हैं।
इसलिए,हलों की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ के लिए परिभाषित है।
दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[1 - 2(1 - \sin x)] = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x)(2 \sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$. इसका अर्थ है $x = \frac{3 \pi}{2}$,लेकिन $x = \frac{3 \pi}{2}$ पर $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हैं। इसलिए,यह हल नहीं है।
स्थिति $2$: $2 \sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5 \pi}{6}$ पर होता है।
अतः,हलों की संख्या $2$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $16^{\sin^2 x} + 16^{\cos^2 x} = 10$
चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$,इसलिए:
$16^{\sin^2 x} + 16^{1 - \sin^2 x} = 10$
$16^{\sin^2 x} + \frac{16}{16^{\sin^2 x}} = 10$
मान लीजिए $t = 16^{\sin^2 x}$. तब $t + \frac{16}{t} = 10$,जिसका अर्थ है $t^2 - 10t + 16 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर: $(t - 8)(t - 2) = 0$,अतः $t = 8$ या $t = 2$.
स्थिति $1$: $16^{\sin^2 x} = 2$ $\Rightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^1$ $\Rightarrow 4\sin^2 x = 1$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \pm \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ ($4$ हल प्राप्त होते हैं)।
स्थिति $2$: $16^{\sin^2 x} = 8$ $\Rightarrow 2^{4\sin^2 x} = 2^3$ $\Rightarrow 4\sin^2 x = 3$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ ($4$ हल प्राप्त होते हैं)।
कुल हलों की संख्या = $4 + 4 = 8$.

(D) दिया गया है $\cos 2\theta = \sin \alpha$।
हम जानते हैं कि $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$।
अतः,$\cos 2\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$।
$\cos x = \cos y$ का व्यापक हल $x = 2n\pi \pm y$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
इसे लागू करने पर,$2\theta = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \alpha)$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $\theta = n\pi \pm (\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \theta = \tan \alpha$ का अर्थ $\theta = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$ है।
दिया गया है $\tan 3x = 1$।
चूँकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,इसलिए $\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$।
अतः,$3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in Z$ है।

(A) दिया गया है $\cos x = |\sin x|$.
चूंकि $|\sin x| \ge 0$,इसलिए $\cos x \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x$ प्रथम या चतुर्थ चतुर्थांश में है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 x = \sin^2 x$ प्राप्त होता है।
यह $\tan^2 x = 1$ में सरल हो जाता है,अतः $\tan x = \pm 1$।
$\tan x = 1$ के लिए,$x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ और $\tan x = -1$ के लिए,$x = n\pi - \frac{\pi}{4}$।
अतः $x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।
हालाँकि,$\cos x \ge 0$ की शर्त को पूरा करने के लिए,केवल सम $n$ वाले मान ही मान्य होंगे।
अतः,व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ है।

(B) दिया गया है,$\cot \theta + \tan \theta = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = 2$
$\Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \sin 2 \theta = 1 = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
हम जानते हैं कि,यदि $\sin x = \sin \alpha$ है,तो $x = n \pi + (-1)^n \alpha$
अतः,$2 \theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow \theta = \frac{n \pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{4}$

(A) दिया गया है,$\sin x - \cos x = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1$
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$
चूँकि $\sin \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$:
$x - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$
$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$

(D) दिया है,$\sin 2x = 4 \cos x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos x = 4 \cos x$
$2 \sin x \cos x - 4 \cos x = 0$
$2 \cos x (\sin x - 2) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\cos x = 0$ या $\sin x = 2$ है।
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$\cos x = 0$।
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जिसे $x = n \pi + \frac{\pi}{2}$ या $x = 2n \pi \pm \frac{\pi}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n \in Z$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5\theta - \sin 3\theta + \sin \theta = 0$ जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 5\theta + \sin \theta) = \sin 3\theta$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta = \sin 3\theta$.
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$.
$\sin 3\theta (2 \cos 2\theta - 1) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin 3\theta = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $2 \cos 2\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos 2\theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{3}$ हैं। विकल्पों के अनुसार,$\frac{\pi}{6}$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया समीकरण: $1+\sin ^{2} x=3 \sin x \cdot \cos x$,जहाँ $\tan x \neq \frac{1}{2}$ है।
दोनों पक्षों को $\cos ^{2} x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} = 3 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos ^{2} x}$
$\sec ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
चूँकि $\sec ^{2} x = 1 + \tan ^{2} x$,इसलिए:
$1 + \tan ^{2} x + \tan ^{2} x = 3 \tan x$
$2 \tan ^{2} x - 3 \tan x + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \tan ^{2} x - 2 \tan x - \tan x + 1 = 0$
$2 \tan x(\tan x - 1) - 1(\tan x - 1) = 0$
$(\tan x - 1)(2 \tan x - 1) = 0$
अतः,$\tan x = 1$ या $\tan x = \frac{1}{2}$।
शर्त $\tan x \neq \frac{1}{2}$ दी गई है,इसलिए हम $\tan x = 1$ लेंगे।
$\tan x = 1$ के लिए व्यापक हल $x = n \pi + \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in Z$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 2x + \cos 4x = 2$
सर्वसमिका $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2x + 1 - 2\sin^2 2x = 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2\sin^2 2x - \sin 2x + 1 = 0$
माना $t = \sin 2x$। समीकरण $2t^2 - t + 1 = 0$ बन जाता है।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant) $D = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7$ है।
चूंकि $D < 0$,इसलिए $t$ के लिए कोई वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,$x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।

(B) दिया गया है,$|\sin x| = \cos x$.
चूंकि $|\sin x| \ge 0$,इसलिए $\cos x \ge 0$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 x = \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$1 - \cos^2 x = \cos^2 x$ मिलता है।
यह $2 \cos^2 x = 1$,या $\cos^2 x = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
वर्गमूल लेने पर,$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\cos x \ge 0$,हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं,इसलिए $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ है।
यहाँ,$\cos x = \cos(\frac{\pi}{4})$,इसलिए $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।

(D) दिया गया है $\sin 3 \theta = \sin \theta$.
$\sin 3 \theta - \sin \theta = 0$
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2 \theta \sin \theta = 0$
इसका अर्थ है $\cos 2 \theta = 0$ या $\sin \theta = 0$.
यदि $\sin \theta = 0$ है,तो $\theta = n \pi$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ के लिए,हल $\theta = 0, \pi, 2 \pi$ हैं।
यदि $\cos 2 \theta = 0$ है,तो $2 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = (2n+1) \frac{\pi}{4}$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ के लिए,हल $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $3 + 4 = 7$ है।

(A) दिया गया है $\sin \theta = \sin \alpha$.
दोनों पक्षों से $\sin \alpha$ घटाने पर,हमें $\sin \theta - \sin \alpha = 0$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) \sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$.
यह गुणनफल शून्य होगा यदि या तो $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ या $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ हो।
यदि $\cos \left(\frac{\theta+\alpha}{2}\right) = 0$ है,तो $\frac{\theta+\alpha}{2} = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\theta+\alpha}{2}$,$\frac{\pi}{2}$ का एक विषम गुणज है।
यदि $\sin \left(\frac{\theta-\alpha}{2}\right) = 0$ है,तो $\frac{\theta-\alpha}{2} = n\pi$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\theta-\alpha}{2}$,$\pi$ का एक गुणज है।
अतः,शर्त यह है कि $\frac{\theta+\alpha}{2}$,$\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज है या $\frac{\theta-\alpha}{2}$,$\pi$ का गुणज है।

(D) दिया गया है $\sin \left(5 x+\frac{\pi}{4}\right)=0$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = 0$ का अर्थ है $\theta = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अतः,$5x + \frac{\pi}{4} = n\pi$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{4}$ घटाने पर,$5x = n\pi - \frac{\pi}{4}$.
$5$ से भाग देने पर,$x = \frac{n\pi}{5} - \frac{\pi}{20}$.
इस प्रकार,$x = \frac{-\pi}{20} + \frac{n\pi}{5}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।

(C) दिया गया है कि $2 \sin 2 \theta = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin 2 \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin 2 \theta = \sin 60^{\circ}$।
कोणों की तुलना करने पर,$2 \theta = 60^{\circ}$।
अतः,$\theta = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.
अधिक सरल रूप में:
$2 \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$.
$\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$.
अतः,$x - \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin(2x) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(18^\circ) = \sin(\frac{\pi}{10}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ होता है।
अतः,$\sin(2x) = \sin(\frac{\pi}{10})$ है।
$\sin(\theta) = \sin(\alpha)$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n\alpha$ होता है।
इसे $2x = \frac{\pi}{10}$ पर लागू करने पर:
$2x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{10})$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n(\frac{\pi}{20})$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप $x = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n(m)$ से तुलना करने पर,हमें $m = \frac{\pi}{20}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{3}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
दोनों पक्षों को $(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{3}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर: $\tan(3\theta) = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $\tan(3\theta) = \tan(\frac{\pi}{3})$
व्यापक हल: $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, n \in Z$
$3$ से विभाजित करने पर: $\theta = (3n+1) \frac{\pi}{9}, n \in Z$
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 5x + 3 \sin 3x = 0$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x + 3 \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 3) = 0$
चूँकि $2 \cos 2x + 3 = 0$ का अर्थ है $\cos 2x = -\frac{3}{2}$,जो असंभव है क्योंकि $-1 \le \cos 2x \le 1$,इसलिए $\sin 3x = 0$ होना चाहिए।
अतः,$3x = n\pi$,या $x = \frac{n\pi}{3}$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$\sin x$ के मानों का समुच्चय $\{\sin(0), \sin(\frac{\pi}{3}), \sin(\frac{2\pi}{3}), \sin(\pi), \sin(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{5\pi}{3})\}$ है।
इनकी गणना करने पर: $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ प्राप्त होता है।
भिन्न मानों का समुच्चय $\{0, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ है।

(C) दिया गया है $3 \operatorname{cosec} x = 4 \sin x$
$\Rightarrow \frac{3}{\sin x} = 4 \sin x$
$\Rightarrow 4 \sin^2 x = 3$
$\Rightarrow \sin^2 x = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$x$ के मान $\pm \frac{\pi}{3}$ हैं।

(C) दिया है,$\cos 2\theta = \cos \theta + \sin \theta$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos \theta + \sin \theta$
$(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta) = \cos \theta + \sin \theta$
$(\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\cos \theta + \sin \theta = 0$ या $\cos \theta - \sin \theta = 1$.
स्थिति $1$: $\cos \theta + \sin \theta = 0 \Rightarrow \tan \theta = -1$.
$\theta \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\cos \theta - \sin \theta = 1$.
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
अतः,$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
$n=0$ के लिए,$\theta = 0$ या $\theta = \frac{3\pi}{2}$.
$n=1$ के लिए,$\theta = 2\pi$ या $\theta = \pi$ (जो हल नहीं है)।
संभावित मान $\theta \in \{0, \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4}, 2\pi\}$ हैं।
योग $= 0 + \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi$.

(D) दिया गया समीकरण: $3 \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1$
$\cos^4 \theta = (1 - \sin^2 \theta)^2 = 1 - 2\sin^2 \theta + \sin^4 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 \sin^4 \theta + (1 - 2\sin^2 \theta + \sin^4 \theta) = 1$
$4 \sin^4 \theta - 2\sin^2 \theta = 0$
$2 \sin^2 \theta (2 \sin^2 \theta - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 0$ या $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$।
स्थिति $1$: $\sin^2 \theta = 0$ $\Rightarrow \sin \theta = 0$ $\Rightarrow \theta = n\pi$.
स्थिति $2$: $\sin^2 \theta = \frac{1}{2} = \sin^2(\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,व्यापक हल $\theta = n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(C) दिया गया समीकरण: $(5+4 \cos \theta)(2 \cos \theta+1)=0$
चूंकि $5+4 \cos \theta$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता (क्योंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,इसलिए $1 \le 5+4 \cos \theta \le 9$),इसलिए हमारे पास होना चाहिए:
$2 \cos \theta + 1 = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\theta$ के वे मान जिनके लिए $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,वे हैं:
$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
अतः,हल समुच्चय $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin 2x + \cos 4x = 2$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है और $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
दो फलनों का योग $2$ होने के लिए,दोनों फलनों को एक साथ अपने अधिकतम मान $1$ तक पहुँचना चाहिए।
अतः,हमें $\sin 2x = 1$ और $\cos 4x = 1$ की आवश्यकता है।
$\sin 2x = 1$ से,$2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$।
$x \in [-\pi, \pi]$ के लिए,संभावित मान $x = -\frac{3\pi}{4}$ और $x = \frac{\pi}{4}$ हैं।
अब,इन मानों को $\cos 4x = 1$ में जाँचें:
यदि $x = -\frac{3\pi}{4}$ है,तो $4x = -3\pi$,और $\cos(-3\pi) = -1 \neq 1$।
यदि $x = \frac{\pi}{4}$ है,तो $4x = \pi$,और $\cos(\pi) = -1 \neq 1$।
चूँकि कोई भी $x$ दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए हलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cos x + \cos 3x = \sin x + \sin 3x$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2x \cos x = 2 \sin 2x \cos x$
$2 \cos x (\cos 2x - \sin 2x) = 0$
$\tan 2x = 1$
$2x = n \pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{8}$।

(C) दिया गया है $\sin x = -\frac{3}{5}$ और $\cos x = -\frac{4}{5}$।
चूंकि $\sin x$ और $\cos x$ दोनों ऋणात्मक हैं,इसलिए $x$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हम जानते हैं कि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$।
$\tan x = \tan \alpha$ का व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$।
अतः,$x = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cos 2x - 4 \sqrt{3} \sin 2x + \cos 3x - \sqrt{3} \sin 3x + \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$
पदों को समूहित करने पर: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + (\cos 3x + \cos x) - \sqrt{3}(\sin 3x + \sin x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $4(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x) + 2 \cos 2x \cos x - 2 \sqrt{3} \sin 2x \cos x = 0$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $2(\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x)(2 + \cos x) = 0$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $2 + \cos x \neq 0$,इसलिए $\cos 2x - \sqrt{3} \sin 2x = 0$
$\Rightarrow \cos 2x = \sqrt{3} \sin 2x$ $\Rightarrow \tan 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2x = n \pi + \frac{\pi}{6}$
$\Rightarrow x = \frac{n \pi}{2} + \frac{\pi}{12}$

(A) दिया गया समीकरण: $2 \cos^2 x - 2 \tan x + 1 = 0$.
हम जानते हैं कि $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$1 + \cos 2x - 2 \tan x + 1 = 0$,जो $\cos 2x - 2 \tan x + 2 = 0$ में सरल होता है।
$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} - 2(\tan x - 1) = 0$.
$(\tan x - 1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$(\tan x - 1) [\frac{1 + \tan x}{1 + \tan^2 x} + 2] = 0$.
स्थिति $1$: $\tan x - 1 = 0$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = n \pi + \frac{\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $2 \tan^2 x + \tan x + 3 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(3) = -23 < 0$ है,इसलिए इस स्थिति में कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,व्यापक हल $x = n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cot \frac{x}{2} - \cot x = \operatorname{cosec} \frac{x}{2}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin(x/2)}$
$\sin(x/2)$ से गुणा करने पर (मान लीजिए $\sin(x/2) \neq 0$):
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{\sin x} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x \cdot \sin(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = 1$
$\cos(x/2) - \frac{\cos x}{2 \cos(x/2)} = 1$
$2 \cos^2(x/2) - \cos x = 2 \cos(x/2)$
चूंकि $2 \cos^2(x/2) = 1 + \cos x$:
$1 + \cos x - \cos x = 2 \cos(x/2)$
$1 = 2 \cos(x/2) \Rightarrow \cos(x/2) = \frac{1}{2}$
$\cos(x/2) = \cos(\frac{\pi}{3})$
$\frac{x}{2} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$x = 4n\pi \pm \frac{2\pi}{3}, n \in Z$

(C) दिया गया समीकरण $\cos(x) - \sin(x) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos(x) = \sin(x)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\cos(x)$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan(x) = 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan(x) = 1 = \tan(\frac{\pi}{4})$।
$\tan(x) = \tan(\alpha)$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$।
अतः,व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in Z$।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) + \cos 2x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 2\cos 2x \cos x + \cos 2x$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर: $\sin 2x(2\cos x + 1) = \cos 2x(2\cos x + 1)$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 2x - \cos 2x = 0 \implies \tan 2x = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
स्थिति $2$: $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
$x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
अतः,व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ और $x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$,जहाँ $n \in Z$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(B) दिया है $\sec \theta - 1 = (\sqrt{2} - 1) \tan \theta$ जहाँ $\cos \theta \neq 0$.
$\Rightarrow \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} = (\sqrt{2} - 1) \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
चूँकि $\cos \theta \neq 0$,इसलिए $1 - \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\sqrt{2} - 1) 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$\Rightarrow 2 \sin \frac{\theta}{2} [\sin \frac{\theta}{2} - (\sqrt{2} - 1) \cos \frac{\theta}{2}] = 0$
इसका अर्थ है या तो $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ या $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{2} - 1$.
स्थिति $1$: $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{\theta}{2} = n \pi$ $\Rightarrow \theta = 2 n \pi, n \in Z$.
स्थिति $2$: $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{2} - 1$. चूँकि $\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$,इसलिए $\frac{\theta}{2} = n \pi + \frac{\pi}{8} \Rightarrow \theta = 2 n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$.
अतः,$\theta = 2 n \pi + \frac{\pi}{4} \text{ या } 2 n \pi, n \in Z$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5x = \cos 2x$।
हम $\cos 2x$ को $\sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\sin 5x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$।
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
इसका उपयोग करने पर,$5x = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - 2x)$।
$5x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2} - (-1)^n 2x$।
$5x + (-1)^n 2x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$।
$x(5 + 2(-1)^n) = \frac{\pi}{2}(2n + (-1)^n)$।
$x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$।
इसे $x = a_n \cdot \frac{\pi}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a_n = \frac{2n + (-1)^n}{5 + 2(-1)^n}$ प्राप्त होता है।