निम्नलिखित प्रत्येक समीकरणों का व्यापक हल ज्ञात कीजिए
$\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0$
$\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0$
$(\sin x+\sin 5 x)+\sin 3 x=0$
$\Rightarrow\left[2 \sin \left(\frac{x+5 x}{2}\right) \cos \left(\frac{x-5 x}{2}\right)\right]+\sin 3 x=0$ $\left[\sin A+\sin B=2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)\right]$
$\Rightarrow 2 \sin 3 x \cos (-2 x)+\sin 3 x=0$
$\Rightarrow 2 \sin 3 x \cos 2 x+\sin 3 x=0$
$\Rightarrow \sin 3 x(2 \cos 2 x+1)=0$
$\Rightarrow \sin 3 x=0 \quad$ or $\quad 2 \cos 2 x+1=0$
Now, $\sin 3 x=0 \Rightarrow 3 x=n \pi,$ where $n \in Z$
i.e., $x=\frac{n \pi}{3},$ where $n \in Z$
$2 \cos 2 x+1=0$
$\Rightarrow \cos 2 x=\frac{-1}{2}=-\cos \frac{\pi}{3}=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$
$\Rightarrow \cos 2 x=\cos \frac{2 \pi}{3}$
$\Rightarrow 2 x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3},$ where $n \in Z$
$\Rightarrow x=n \pi \pm \frac{\pi}{3},$ where $n \in Z$
Therefore, the general solution is $\frac{n \pi}{3}$ or $n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$
यदि समीकरण निकाय $2 \sin ^2 \theta-\cos 2 \theta=0$ तथा $2 \cos ^2 \theta+3 \sin \theta=0$ के अंतराल $[0,2 \pi]$ में हलों का योगफल $k \pi$ है, तो $k$ बराबर है $......$
यदि $\sin 2\theta = \cos 3\theta $ व $\theta $ एक न्यूनकोण है, तो $\sin \theta $ का मान है
यदि समीकरण $4 \cos \theta+5 \sin \theta=1$. का हल $\alpha,-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ है, तो $\tan \alpha$ का मान है
यदि समीकरण $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}=\cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$ को संतुष्ट करने वाले अंतराल $[-\pi, \pi]$ में $\theta$ के धनात्मक तथा ऋणात्मक मानों की संख्या क्रमशः $m$ तथा $n$ है, तो $\mathrm{mn}$ बराबर है____________.
यदि $f(x) = \cos \sqrt x $, तब निम्न कथन सत्य है