Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(B) दिया गया है $\tan (A - B) = 1$,अतः $A - B = \frac{\pi}{4} \dots (i)$.
दिया गया है $\sec (A + B) = \frac{2}{\sqrt{3}}$,अतः $A + B = \frac{11\pi}{6} \dots (ii)$.
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$2B = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.
अतः,$B = \frac{19\pi}{24}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos^2 x - 2\cos x = 4\sin x - \sin 2x$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 x - 2\cos x = 4\sin x - 2\sin x \cos x$
$\cos x(\cos x - 2) = 2\sin x(2 - \cos x)$
$\cos x(\cos x - 2) + 2\sin x(\cos x - 2) = 0$
$(\cos x - 2)(\cos x + 2\sin x) = 0$
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $\cos x - 2 \neq 0$,इसलिए $\cos x + 2\sin x = 0$ होना चाहिए।
$\tan x = -\frac{1}{2}$
चूंकि $0 \le x \le \pi$ है और दूसरे चतुर्थांश में $\tan x$ ऋणात्मक होता है,इसलिए हल $x = \pi + \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ है।

(A) दिया गया है: ${\left( {\frac{{\sin \theta }}{{\sin \phi }}} \right)^2} = \frac{{\tan \theta }}{{\tan \phi }} = 3$
समीकरण ${\left( {\frac{{\sin \theta }}{{\sin \phi }}} \right)^2} = \frac{{\sin \theta \cos \phi }}{{\cos \theta \sin \phi }}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{{\sin^2 \theta }}{{\sin^2 \phi }} = \frac{{\sin \theta \cos \phi }}{{\cos \theta \sin \phi }}$
$\Rightarrow \sin \theta \cos \theta = \sin \phi \cos \phi $
$\Rightarrow \sin 2\theta = \sin 2\phi $
यह दर्शाता है कि $2\theta = n\pi + (-1)^n 2\phi$।
साथ ही,हमें $\frac{{\tan \theta }}{{\tan \phi }} = 3$ दिया गया है।
चूंकि $\frac{{\sin^2 \theta }}{{\sin^2 \phi }} = 3$,इसलिए $\sin^2 \theta = 3 \sin^2 \phi$ है।
$\frac{{\tan \theta }}{{\tan \phi }} = 3$ का उपयोग करते हुए,$\tan \theta = 3 \tan \phi$ प्राप्त होता है।
$\tan \phi = \frac{{\tan \theta }}{3}$ को $\sin^2 \theta = 3 \sin^2 \phi$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan^2 \theta = 3$ मिलता है,जिसका हल $\theta = n\pi \pm \frac{\pi }{3}$ है।
तब $\tan \phi = \frac{{\tan \theta }}{3} = \pm \frac{{\sqrt{3}}}{3} = \pm \frac{1}{{\sqrt{3}}}$,जो $\phi = n\pi \pm \frac{\pi }{6}$ देता है।

(A) दिया गया समीकरण: $2(\sin x - \cos 2x) - \sin 2x(1 + 2\sin x) + 2\cos x = 0$
$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\sin x - (1 - 2\sin^2 x)) - 2\sin x \cos x(1 + 2\sin x) + 2\cos x = 0$
$2\sin x - 2 + 4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x \cos x + 2\cos x = 0$
पदों को समूहित करने पर:
$(4\sin^2 x + 2\sin x - 2) - \cos x(2\sin x + 4\sin^2 x - 2) = 0$
$(4\sin^2 x + 2\sin x - 2)(1 - \cos x) = 0$
$2(2\sin^2 x + \sin x - 1)(1 - \cos x) = 0$
$2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)(1 - \cos x) = 0$
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$,$\sin x = -1$,या $\cos x = 1$ प्राप्त होता है।
$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$,जो $x = \frac{\pi}{6}(4n + 1)$ या $x = \frac{\pi}{6}(4n + 5)$ में सरल होता है।
$\sin x = -1$ के लिए,$x = 2n\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}(4n - 1)$.
$\cos x = 1$ के लिए,$x = 2n\pi = \frac{\pi}{2}(4n)$.
हल विकल्प $A$ से मेल खाता है।

(D) दिया गया है $\tan(x - y) = 1$,इसलिए $x - y = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$ (धनात्मक मानों पर विचार करते हुए)।
दिया गया है $\sec(x + y) = \frac{2}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\cos(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,यानी $x + y = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \dots$ (धनात्मक मानों पर विचार करते हुए)।
चूंकि $x, y > 0$,इसलिए $x + y > x - y$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $x + y = \frac{11\pi}{6}$ और $x - y = \frac{\pi}{4}$। जोड़ने पर $2x = \frac{25\pi}{12} \Rightarrow x = \frac{25\pi}{24}$। अतः $y = \frac{19\pi}{24}$।
स्थिति $2$: $x + y = \frac{11\pi}{6}$ और $x - y = \frac{5\pi}{4}$। जोड़ने पर $2x = \frac{37\pi}{12} \Rightarrow x = \frac{37\pi}{24}$। अतः $y = \frac{7\pi}{24}$।
दोनों जोड़े मान्य धनात्मक समाधान हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2\cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2\cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2\cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2\cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x) [1 - 2(1 - \sin x)] = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x) (2\sin x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$. जब $\sin x = -1$ होता है,तो $\cos x = 0$ होता है,इसलिए $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हैं। अतः,यह हल नहीं है।
स्थिति $2$: $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
अंतराल $(0, 2\pi)$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ पर होता है।
दोनों मान मान्य हैं। इसलिए,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $4\cos^2 \theta - 2\sqrt{2}\cos \theta - 1 = 0$.
$\cos \theta$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{24}}{8} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4}$.
स्थिति $1$: $\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{12}$ या $\theta = \frac{23\pi}{12}$.
स्थिति $2$: $\cos \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$.
अतः,$\theta = \frac{7\pi}{12}$ या $\theta = \frac{17\pi}{12}$.
हल का समुच्चय $\left\{ \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{23\pi}{12} \right\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $sin^2 \theta - \frac{4}{\sin^3 \theta - 1} = 1 - \frac{4}{\sin^3 \theta - 1}$.
दोनों पक्षों से $-\frac{4}{\sin^3 \theta - 1}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$sin^2 \theta = 1$.
इसका अर्थ है $\sin \theta = 1$ या $\sin \theta = -1$.
हालाँकि,पद $\frac{4}{\sin^3 \theta - 1}$ तब अपरिभाषित है जब $\sin^3 \theta - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 1$.
इसलिए,$\sin \theta = 1$ एक मान्य हल नहीं है।
हमारे पास $\sin \theta = -1$ बचता है।
$\sin \theta = -1$ के लिए व्यापक हल $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ है,जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।
चूँकि अनंत पूर्णांक $n$ हैं,इसलिए अनंत मूल प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है $\tan(5\pi \cos \theta) = \cot(5\pi \sin \theta)$.
सर्वसमिका $\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर,$\tan(5\pi \cos \theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - 5\pi \sin \theta)$.
व्यापक हल $5\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - 5\pi \sin \theta$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi$ से भाग देने पर,$5 \cos \theta + 5 \sin \theta = n + \frac{1}{2}$,जो $\cos \theta + \sin \theta = \frac{2n + 1}{10}$ में सरल होता है।
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर,$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{2n + 1}{10\sqrt{2}}$.
चूंकि $-1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$,इसलिए $-10\sqrt{2} \le 2n + 1 \le 10\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ लेने पर,$10\sqrt{2} \approx 14.14$,अतः $-14.14 \le 2n + 1 \le 14.14$.
$-15.14 \le 2n \le 13.14$,जिसका अर्थ है $-7.57 \le n \le 6.57$.
अतः,$n \in \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,जो $n$ के लिए $14$ संभावित मान देता है।
प्रत्येक $n$ के लिए,समीकरण $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = k$ (जहाँ $|k| < 1$) के अंतराल $(0, 2\pi)$ में $2$ हल होते हैं।
इसलिए,हलों की कुल संख्या $14 \times 2 = 28$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 5x = \sin 2x + \sin 4x$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(3x) \cos(-2x) = 2 \sin(3x) \cos(-x)$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$,इसलिए:
$2 \sin(3x) \cos(2x) = 2 \sin(3x) \cos(x)$
$2 \sin(3x) [\cos(2x) - \cos(x)] = 0$
स्थिति $1$: $\sin(3x) = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}$
स्थिति $2$: $\cos(2x) - \cos(x) = 0 \implies \cos(2x) = \cos(x)$
$2x = 2n\pi \pm x$
$+$ के लिए,$x = 2n\pi$. $-$ के लिए,$3x = 2n\pi \implies x = \frac{2n\pi}{3}$
चूंकि $\frac{n\pi}{3}$ में $\frac{2n\pi}{3}$ और $2n\pi$ सहित सभी हल शामिल हैं,इसलिए व्यापक हल $x = \frac{n\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^2 x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \sin^2 x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = 0$
$-\sin^2 x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$
$-4$ से गुणा करने पर:
$4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} + 1) \sin x + \sqrt{3} = 0$
$4 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x - 2 \sin x + \sqrt{3} = 0$
$2 \sin x (2 \sin x - \sqrt{3}) - 1(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$
$(2 \sin x - 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$
अतः,$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$[-\pi, \pi]$ में $\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
$[-\pi, \pi]$ में $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.
कुल मूलों की संख्या $4$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cot x - \cos x = 1 - \cot x \cos x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cot x - 1 - \cos x + \cot x \cos x = 0$
$\cot x(1 + \cos x) - 1(1 + \cos x) = 0$
$(\cot x - 1)(1 + \cos x) = 0$
इसका अर्थ है $\cot x = 1$ या $\cos x = -1$ है।
स्थिति $1$: $\cot x = 1 \implies \tan x = 1$। अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ है।
स्थिति $2$: $\cos x = -1$। अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x = \pi$ है।
ध्यान दें कि $x = \pi$ पर,$\cot x$ अपरिभाषित है। अतः,$x = \pi$ हल नहीं है।
मान्य हल $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अतः,मानों की संख्या $2$ है।

(A) माना $\theta = x - \pi/4$ है। तब $x = \theta + \pi/4$ और $2x = 2\theta + \pi/2$ होगा।
अतः,$\cos 2x = \cos(2\theta + \pi/2) = -\sin 2\theta$ है।
समीकरण $2^{\tan \theta} - 2(1/4)^{\frac{\sin^2 \theta}{-\sin 2\theta}} + 1 = 0$ बन जाता है।
चूंकि $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ है,घातांक $\frac{\sin^2 \theta}{-2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{1}{2} \tan \theta$ है।
अतः,$2^{\tan \theta} - 2(2^{-2})^{-\frac{1}{2} \tan \theta} + 1 = 0$ है।
$2^{\tan \theta} - 2(2^{\tan \theta}) + 1 = 0$ है।
$2^{\tan \theta} - 2 \cdot 2^{\tan \theta} + 1 = 0$ $\Rightarrow 1 - 2^{\tan \theta} = 0$ $\Rightarrow 2^{\tan \theta} = 1$ है।
इसका अर्थ है $\tan \theta = 0$,इसलिए $\theta = n\pi$ है।
अतः,$x - \pi/4 = n\pi \Rightarrow x = n\pi + \pi/4$ है।
चूंकि मूल समीकरण में हर में $\cos 2x$ है,हमें डोमेन की जांच करनी चाहिए।
$\cos 2x \neq 0$ के लिए,$2x \neq n\pi + \pi/2 \Rightarrow x \neq n\pi/2 + \pi/4$ है।
$x = n\pi + \pi/4$ के लिए,$2x = 2n\pi + \pi/2$,इसलिए $\cos 2x = 0$ है।
चूंकि हर शून्य है,समीकरण $x = n\pi + \pi/4$ के लिए अपरिभाषित है।
इसलिए,मानों का समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।

(C) दिया गया समीकरण $\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) + \cos(5x) = 0$ है।
कोसाइन के योग सूत्र का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} \cos(rx) = \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)$.
$n=5$ के लिए,$\frac{\sin(5x/2)}{\sin(x/2)} \cos(3x) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\sin(5x/2) = 0$ या $\cos(3x) = 0$,जहाँ $\sin(x/2) \neq 0$ है।
स्थिति $1$: $\cos(3x) = 0$. $(0, \pi)$ में,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$.
स्थिति $2$: $\sin(5x/2) = 0$. $(0, \pi)$ में,$5x/2 = \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \implies x = \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}$.
कुल हल $x = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{5}, \frac{5\pi}{6}$ हैं।
अतः,कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan x + \tan 2x + \tan 3x = \tan x \tan 2x \tan 3x$.
हम जानते हैं कि यदि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ है,तो $\tan(A+B+C) = 0$ होता है।
यहाँ $A=x, B=2x, C=3x$ लेने पर,$A+B+C = 6x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan(6x) = 0$.
इससे $6x = n\pi$,जहाँ $n \in I$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = \frac{n\pi}{6}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $x = \frac{n\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $\tan 3x - \tan 2x - \tan x = 0$ है।
सर्वसमिका $\tan 3x = \tan(2x + x)$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\tan 3x \tan 2x \tan x = 0$ में बदल जाता है।
$x \in [0, 2\pi)$ के लिए हल $0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ प्राप्त होते हैं।
कुल $6$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है $\sin \theta = \sin \alpha$,जिसका व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$n = 0$ के लिए,$\theta = \alpha$,अतः $\sin \frac{\theta}{3} = \sin \frac{\alpha}{3}$।
$n = 1$ के लिए,$\theta = \pi - \alpha$,अतः $\sin \frac{\theta}{3} = \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{3} \right)$।
$n = -1$ के लिए,$\theta = -\pi - \alpha$,अतः $\sin \frac{\theta}{3} = \sin \left( -\frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{3} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\alpha}{3} \right)$।
अतः,सभी दिए गए विकल्प संभव हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0$
दोनों पक्षों को $2 \sin(\frac{x}{2})$ से गुणा करने पर:
$\sin(\frac{x}{2}) + 2 \sin(\frac{x}{2})(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x) = 0$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{9x}{2}) = 0$,जहाँ $\sin(\frac{x}{2}) \neq 0$.
$\frac{9x}{2} = n\pi \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{9}$.
चूँकि $\sin(\frac{x}{2}) \neq 0$,इसलिए $n$ का मान $9$ का गुणज नहीं हो सकता (अर्थात $n \neq 9m$).

(B) समीकरण $8 \cos x = x$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इसे $\cos x = \frac{x}{8}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह $y = \cos x$ और $y = \frac{x}{8}$ के ग्राफ के बीच प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
$y = \cos x$ का ग्राफ $-1$ और $1$ के बीच $2\pi \approx 6.28$ के आवर्तकाल के साथ दोलन करता है।
रेखा $y = \frac{x}{8}$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है।
$x > 0$ के लिए,रेखा $y = \frac{x}{8}$,$x = 8$ पर $y = 1$ तक पहुँचती है। चूँकि $2\pi \approx 6.28$ और $4\pi \approx 12.56$ है,रेखा $(0, 8]$ अंतराल में कोसाइन वक्र को दो बिंदुओं पर काटती है।
$x < 0$ के लिए,रेखा $y = \frac{x}{8}$,$x = -8$ पर $y = -1$ तक पहुँचती है। रेखा $[-8, 0)$ अंतराल में कोसाइन वक्र को दो बिंदुओं पर काटती है।
$x = 0$ पर,$\cos(0) = 1$ और $\frac{0}{8} = 0$,इसलिए मूल बिंदु पर कोई प्रतिच्छेदन नहीं है।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की गणना करने पर: $x > 0$ के लिए दो और $x < 0$ के लिए दो,कुल $2 + 2 = 4$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $3 \tan(\theta - \alpha) = \tan(\theta + \alpha)$.
इसे $\frac{\tan(\theta + \alpha)}{\tan(\theta - \alpha)} = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan(\theta + \alpha) + \tan(\theta - \alpha)}{\tan(\theta + \alpha) - \tan(\theta - \alpha)} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$.
सर्वसमिका $\tan A \pm \tan B = \frac{\sin(A \pm B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(2\theta)}{\sin(2\alpha)} = 2 \implies \sin(2\theta) = 2 \sin(2\alpha)$.
इस समीकरण का $\theta$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं होगा यदि $2 \sin(2\alpha)$ का मान $[-1, 1]$ के बाहर हो।
अतः,$|2 \sin(2\alpha)| > 1 \implies |\sin(2\alpha)| > \frac{1}{2}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $B$ के लिए $|\sin(\frac{5\pi}{9})| > 0.5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sec x = 1 + \cos x + \cos^2 x + \dots \infty$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \cos x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
अतः,$\sec x = \frac{1}{1 - \cos x}$।
इसका अर्थ है $\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - \cos x}$,जो सरल होकर $1 - \cos x = \cos x$ बनता है।
इसलिए,$2 \cos x = 1$,या $\cos x = \frac{1}{2}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,हल $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{5\pi}{3}$ हैं।
अंतराल $[-50\pi, 50\pi]$ की लंबाई $100\pi$ है,जिसमें $2\pi$ के $50$ पूर्ण आवर्त शामिल हैं।
चूंकि प्रत्येक $2\pi$ के आवर्त में $2$ हल हैं,इसलिए कुल हलों की संख्या $50 \times 2 = 100$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 2\theta + \cos 2\theta = -\frac{1}{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$
चूँकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $2\theta \in (0, \pi)$,अतः $2\theta + \frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$।
माना $\alpha = 2\theta + \frac{\pi}{4}$। हमें अंतराल $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ में $\sin \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
$\sin \alpha$ तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,और हमारा अंतराल $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ तीसरे चतुर्थांश को कवर करता है,इसलिए $(\pi, \frac{5\pi}{4})$ में $\alpha$ का केवल एक मान प्राप्त होता है।
अतः,कुल $1$ हल है।

(A) दिया गया समीकरण: $2\sin^2(2x) = 2\cos^2(8x) + \cos(10x)$
$2\sin^2(\theta) = 1 - \cos(2\theta)$ और $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos(4x) = 1 + \cos(16x) + \cos(10x)$
$\cos(16x) + \cos(10x) + \cos(4x) = 0$
$\cos(16x) + \cos(4x) = 2\cos(10x)\cos(6x)$ का उपयोग करने पर:
$2\cos(10x)\cos(6x) + \cos(10x) = 0$
$\cos(10x)(2\cos(6x) + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\cos(10x) = 0 \implies x = (2n+1)\frac{\pi}{20}$.
$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$6$ हल प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos(6x) = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}$.
$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$4$ हल प्राप्त होते हैं।
कुल मानों की संख्या $= 6 + 4 = 10$.

(B) दिया गया समीकरण: $\text{sgn}(\sin x) = \sin^2 x + 2\sin x + \text{sgn}(\sin^2 x)$.
चूंकि $\sin x \neq 0$ के लिए $\sin^2 x > 0$ होता है,इसलिए $\text{sgn}(\sin^2 x) = 1$ होगा।
स्थिति $1$: यदि $\sin x > 0$ है,तो $\text{sgn}(\sin x) = 1$। समीकरण $1 = \sin^2 x + 2\sin x + 1$ बन जाता है,जो $\sin^2 x + 2\sin x = 0$ यानी $\sin x(\sin x + 2) = 0$ में बदल जाता है। $\sin x > 0$ होने के कारण,यहाँ कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\sin x < 0$ है,तो $\text{sgn}(\sin x) = -1$। समीकरण $-1 = \sin^2 x + 2\sin x + 1$ बन जाता है,जो $\sin^2 x + 2\sin x + 2 = 0$ में बदल जाता है। विविक्तकर $D = 4 - 8 = -4 < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $\sin x = 0$ है,तो $\text{sgn}(0) = 0$ और $\text{sgn}(\sin^2 x) = 0$। समीकरण $0 = 0$ बन जाता है,जो सत्य है। अतः $x = n\pi$ हल है।
अंतराल $\left[ -\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right]$ में,$x \in \{ -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi \}$ प्राप्त होते हैं।
कुल $6$ हल हैं।

(C) माना $x = \sin \theta$. समीकरण $(x-1)^{1/3} + x^{1/3} + (x+1)^{1/3} = 0$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\sin \theta = 0$ एक हल है।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में $\sin \theta = 0$ के लिए $\theta \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi\}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $5$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \tan x \sin x - 2 \tan x + \cos x = 0$
$\frac{2 \sin^2 x}{\cos x} - \frac{2 \sin x}{\cos x} + \cos x = 0$
$\frac{2 \sin^2 x - 2 \sin x + \cos^2 x}{\cos x} = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ रखने पर:
$\frac{\sin^2 x - 2 \sin x + 1}{\cos x} = 0$
$\frac{(\sin x - 1)^2}{\cos x} = 0$
इसका अर्थ है $\sin x = 1$ और $\cos x \neq 0$ है।
$\sin x = 1$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अंतराल $[0, k\pi]$ में हल $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ हैं।
यदि $k=1$,अंतराल $[0, \pi]$ है,हल $x = \frac{\pi}{2}$ ($1$ हल) है। अतः $k=1$ संभव है।
यदि $k=2$,अंतराल $[0, 2\pi]$ है,हल $x = \frac{\pi}{2}$ ($1$ हल) है। यहाँ $k=2$ लेकिन हलों की संख्या $1 \neq k$ है। अतः $k=2$ संभव नहीं है।
इस प्रकार,केवल $k=1$ शर्त को पूरा करता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{\tan \theta} = 2 \sin \theta$.
$\sqrt{\tan \theta}$ को परिभाषित होने के लिए,$\tan \theta \ge 0$.
साथ ही,$2 \sin \theta \ge 0$,इसलिए $\sin \theta \ge 0$.
अतः,$\theta \in [0, \pi/2] \cup \{\pi, 2\pi\}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\tan \theta = 4 \sin^2 \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$,हमारे पास $\tan \theta = \frac{4 \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ है।
स्थिति $1$: $\tan \theta = 0
\Rightarrow \theta = 0, \pi, 2\pi$.
स्थिति $2$: $\tan \theta \neq 0$,$\tan \theta$ से भाग देने पर: $1 = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}
\Rightarrow 1 + \tan^2 \theta = 4 \tan \theta
\Rightarrow \tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan \theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$\tan \theta = 2 + \sqrt{3}$ के लिए,$\theta = \frac{5\pi}{12}$.
$\tan \theta = 2 - \sqrt{3}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{12}$.
कुल हल $\{0, \pi, 2\pi, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\}$ हैं,जो $5$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण $3\cos^2x - 8\sin x = 0$ है।
सर्वसमिका $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ का उपयोग करने पर,$3(1 - \sin^2x) - 8\sin x = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $3 - 3\sin^2x - 8\sin x = 0$,या $3\sin^2x + 8\sin x - 3 = 0$ मिलता है।
माना $t = \sin x$ है। तब $3t^2 + 8t - 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 + 9t - t - 3 = 0 \implies 3t(t + 3) - 1(t + 3) = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0$।
अतः,$t = \frac{1}{3}$ या $t = -3$।
चूंकि $-1 \leq \sin x \leq 1$,हम $t = -3$ को छोड़ देते हैं।
इस प्रकार,$\sin x = \frac{1}{3}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल हैं।
अंतराल $[2\pi, 3\pi]$ में,$\sin x$ धनात्मक है,इसलिए $1$ अतिरिक्त हल प्राप्त होता है।
$[0, 3\pi]$ में हलों की कुल संख्या $2 + 1 = 3$ है।

(A) हमें समीकरण $\sin 2x + \sin 4x = 2$ दिया गया है।
चूंकि साइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए समीकरण $\sin 2x + \sin 4x = 2$ तभी संभव है जब $\sin 2x = 1$ और $\sin 4x = 1$ दोनों एक साथ हों।
$\sin 2x = 1$ के लिए,$2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$\sin 4x = 1$ के लिए,$4x = 2m\pi + \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
यदि हम $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ को $\sin 4x$ में प्रतिस्थापित करते हैं,तो हमें $\sin(4(n\pi + \frac{\pi}{4})) = \sin(4n\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0 \neq 1$,इसलिए $x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे।
अतः,$x$ के मानों की संख्या $0$ है।

(A) सर्वसमिका $\cos(60^{\circ} - x)\cos(60^{\circ} + x) = \cos^2(60^{\circ}) - \sin^2(x) = \frac{1}{4} - \sin^2(x)$ का उपयोग करते हुए।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4\cos(x) \left(\frac{1}{4} - \sin^2(x)\right) = 1$.
$4\cos(x) \left(\frac{1 - 4\sin^2(x)}{4}\right) = 1$.
$\cos(x)(1 - 4\sin^2(x)) = 1$.
$\cos(x)(1 - 4(1 - \cos^2(x))) = 1$.
$\cos(x)(4\cos^2(x) - 3) = 1$.
$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 1$.
सर्वसमिका $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$ का उपयोग करने पर, हमें $\cos(3x) = 1$ प्राप्त होता है।
$x \in (0, 2\pi)$ के लिए, $3x \in (0, 6\pi)$.
$3x = 2\pi, 4\pi$.
$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
हलों का योग $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^2 2x + \cos^2 \frac{5x}{4} = \cos 2x \cos^2 5x$ है।
समीकरण के संतुष्ट होने के लिए,हम फलनों के परिसर का विश्लेषण करते हैं।
$\cos^2 2x - \cos 2x \cos^2 5x + \cos^2 \frac{5x}{4} = 0$ है।
यह $\cos 2x$ में एक द्विघात समीकरण है: $(\cos 2x)^2 - (\cos^2 5x)\cos 2x + \cos^2 \frac{5x}{4} = 0$ है।
वास्तविक हलों के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए:
$D = (\cos^2 5x)^2 - 4 \cos^2 \frac{5x}{4} \ge 0$ है।
चूंकि $\cos^2 5x \le 1$ और $\cos^2 \frac{5x}{4} \ge 0$ है,यह केवल तभी संभव है जब $\cos 2x = 0$ और $\cos \frac{5x}{4} = 0$ हो।
अंतराल $[0, \frac{\pi}{3}]$ में $\cos 2x = 0$ को हल करने पर $2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{\pi}{4}$ को $\cos \frac{5x}{4} = 0$ में जांचने पर: $\cos \frac{5\pi}{16} \neq 0$ है।
अतः,दिए गए अंतराल में कोई हल नहीं है।

(C) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ होती है।
दिए गए समीकरण में इसे लागू करने पर: $\tan(2x - x) = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\tan x = 1$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\tan x = \tan(\frac{\pi}{4})$,इसलिए व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5\theta \cos 3\theta = \sin 9\theta \cos 7\theta$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin 5\theta \cos 3\theta = 2 \sin 9\theta \cos 7\theta$
सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(5\theta + 3\theta) + \sin(5\theta - 3\theta) = \sin(9\theta + 7\theta) + \sin(9\theta - 7\theta)$
$\sin 8\theta + \sin 2\theta = \sin 16\theta + \sin 2\theta$
$\sin 8\theta - \sin 16\theta = 0$
$\sin 8\theta - 2 \sin 8\theta \cos 8\theta = 0$
$\sin 8\theta (1 - 2 \cos 8\theta) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 8\theta = 0 \Rightarrow 8\theta = n\pi \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{8}$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$n = 0, 1, 2$. मान $0, \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}$ हैं।
स्थिति $2$: $\cos 8\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow 8\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4} \pm \frac{\pi}{24}$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ के लिए,$n=0$ पर $\theta = \frac{\pi}{24}$ और $n=1$ पर $\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$ प्राप्त होता है।
हलों का समुच्चय ${0, \frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{24}, \frac{\pi}{4}}$ है।
कुल हलों की संख्या $5$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\csc \theta - \cot \theta = 1$
$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = 1$
$\Rightarrow 1 - \cos \theta = \sin \theta$
अर्ध-कोण सूत्रों $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$\Rightarrow 2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
स्थिति $1$: $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{\theta}{2} = 0, \pi$ $\Rightarrow \theta = 0, 2\pi$. हालाँकि,$\theta = 0$ और $\theta = 2\pi$ पर $\csc \theta$ और $\cot \theta$ अपरिभाषित हैं। अतः,ये हल नहीं हैं।
स्थिति $2$: $\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2} = 0 \Rightarrow \tan \frac{\theta}{2} = 1$
$\Rightarrow \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ की जाँच करने पर: $\csc(\frac{\pi}{2}) - \cot(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$. यह एक मान्य हल है।
अतः,केवल $1$ हल है।

(C) समीकरण $\sin^2 x + \sin x \cos x - 6\cos^2 x = 0$ को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$\tan^2 x + \tan x - 6 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(\tan x + 3)(\tan x - 2) = 0$
अतः $\tan x = -3$ या $\tan x = 2$।
चूंकि $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ है,इसलिए $\tan x$ ऋणात्मक होगा,अतः $\tan x = -3$।
सूत्र $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2x = \frac{1 - (-3)^2}{1 + (-3)^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$।

(C) सर्वसमिका $\sin \theta \sin(\frac{\pi}{3} - \theta) \sin(\frac{\pi}{3} + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\theta = \frac{x}{3}$ है।
अतः समीकरण $4 \sin \frac{x}{3} \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{3}) \sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{x}{3}) = 1$ हो जाता है।
यहाँ $\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{x}{3}) = \sin(\pi - (\frac{\pi}{3} - \frac{x}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{3})$ है।
इस प्रकार,व्यंजक $4 \sin \frac{x}{3} \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{3}) \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{3}) = 4 \times \frac{1}{4} \sin(3 \times \frac{x}{3}) = \sin x$ हो जाता है।
अतः,$\sin x = 1$ है।
$x \in (0, 4\pi)$ के लिए,हल $x = \frac{\pi}{2}$ और $x = \frac{5\pi}{2}$ हैं।
हलों का योग $\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} = 3\pi$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{65}x - \cos^{65}x = -1$.
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$ और $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $-1 \le \sin^{65}x \le 1$ और $-1 \le \cos^{65}x \le 1$ है।
माना $u = \sin^{65}x$ और $v = \cos^{65}x$ है। तब $u - v = -1$,जिसका अर्थ है $v = u + 1$ है।
चूंकि $v \in [-1, 1]$,इसलिए $-1 \le u + 1 \le 1$,जिसका अर्थ है $-2 \le u \le 0$ है।
साथ ही,$u = \sin^{65}x \in [-1, 1]$,इसलिए $u$ के संभावित मान $[-1, 0]$ में हैं।
स्थिति $1$: यदि $u = -1$,तो $\sin^{65}x = -1 \implies \sin x = -1$ है। तब $v = -1 + 1 = 0$,इसलिए $\cos^{65}x = 0 \implies \cos x = 0$ है।
$x \in (-\pi, \pi)$ के लिए,$\sin x = -1$ से $x = -\pi/2$ प्राप्त होता है। $x = -\pi/2$ पर $\cos x = 0$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है। अतः,$x = -\pi/2$ एक हल है।
स्थिति $2$: यदि $u = 0$,तो $\sin^{65}x = 0 \implies \sin x = 0$ है। तब $v = 0 + 1 = 1$,इसलिए $\cos^{65}x = 1 \implies \cos x = 1$ है।
$x \in (-\pi, \pi)$ के लिए,$\sin x = 0$ से $x = 0$ प्राप्त होता है। $x = 0$ पर $\cos x = 1$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है। अतः,$x = 0$ दूसरा हल है।
इसलिए,हलों की कुल संख्या $2$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2 \tan \theta - \cot \theta = -1$
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,हमारे पास है:
$2 \tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = -1$
$\tan \theta$ से गुणा करने पर:
$2 \tan^2 \theta + \tan \theta - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \tan \theta - 1)(\tan \theta + 1) = 0$
अतः,$\tan \theta = 1/2$ या $\tan \theta = -1$
$\tan \theta = -1$ के लिए,व्यापक हल $\theta = n\pi - \pi/4$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^{100} x - \cos^{100} x = 1$ है।
इसे $\sin^{100} x = 1 + \cos^{100} x$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम जानते हैं कि सभी वास्तविक $x$ के लिए,$\sin^{100} x \le 1$ और $\cos^{100} x \ge 0$,जिसका अर्थ है कि $1 + \cos^{100} x \ge 1$ है।
समानता के लिए,$\sin^{100} x = 1$ और $1 + \cos^{100} x = 1$ होना चाहिए।
$1 + \cos^{100} x = 1$ से,हमें $\cos^{100} x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos x = 0$।
यह $x = n\pi + \frac{\pi}{2}, n \in I$ के लिए होता है।
इन मानों को $\sin^{100} x = 1$ में रखने पर,$\sin(n\pi + \frac{\pi}{2}) = \pm 1$ मिलता है,इसलिए $\sin^{100}(n\pi + \frac{\pi}{2}) = (\pm 1)^{100} = 1$ है।
अतः,व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{2}, n \in I$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cos x$
सर्वसमिका $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = \sin x \cos x$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ सर्वसमिका का उपयोग करने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$2 - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2 \sin x \cos x$
$2 - (2 \sin x \cos x)^2 = 2 \sin x \cos x$
$2 - \sin^2 2x = \sin 2x$
द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर:
$\sin^2 2x + \sin 2x - 2 = 0$
$(\sin 2x + 2)(\sin 2x - 1) = 0$
चूंकि $\sin 2x$ का मान $-2$ नहीं हो सकता,इसलिए:
$\sin 2x = 1$
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$2x \in [0, 4\pi]$.
$\sin 2x = 1$ का अर्थ है $2x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
इस प्रकार,कुल $2$ हल हैं।

(D) दिया गया है कि $\cos(\alpha - \beta) = 1$ और $\cos(\alpha + \beta) = 1/e$,जहाँ $\alpha, \beta \in [-\pi, \pi]$ है।
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ से,हमें $\alpha - \beta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = \beta$।
$\alpha = \beta$ को दूसरे समीकरण में रखने पर,हमें $\cos(2\alpha) = 1/e$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\alpha, \beta \in [-\pi, \pi]$,इसलिए $2\alpha$ का परिसर $[-2\pi, 2\pi]$ है।
हम जानते हैं कि $0 < 1/e < 1$ है। अंतराल $[-2\pi, 2\pi]$ में,समीकरण $\cos(2\alpha) = 1/e$ के लिए $\alpha$ के चार अलग-अलग हल प्राप्त होते हैं।
चूँकि $\alpha = \beta$ है,इसलिए $\alpha$ का प्रत्येक मान एक अद्वितीय युग्म $(\alpha, \beta)$ देता है।
अतः,ऐसे कुल $4$ युग्म हैं।

(B) दिया गया समीकरण $(\sin \theta + 2) (\sin \theta + 3) (\sin \theta + 4) = 6$ है।
चूंकि $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,इसलिए $1 \leq \sin \theta + 2 \leq 3$,$2 \leq \sin \theta + 3 \leq 4$,और $3 \leq \sin \theta + 4 \leq 5$ है।
यदि $\sin \theta = -1$ है,तो गुणनफल $(1)(2)(3) = 6$ है।
यदि $\sin \theta > -1$ है,तो गुणनफल $6$ से अधिक होगा।
अतः,एकमात्र समाधान $\sin \theta = -1$ है।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में,$\sin \theta = -1$ का मान $\theta = \frac{3\pi}{2}$ और $\theta = \frac{7\pi}{2}$ पर होता है।
इन मानों का योग $\frac{3\pi}{2} + \frac{7\pi}{2} = 5\pi$ है।
अतः $k = 5$।

(A) दिया गया समीकरण $\sin 2x + \cos 4x = 2$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है और $\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है।
योग $2$ होने के लिए,दोनों पदों को एक साथ अपने अधिकतम मान लेने होंगे:
$\sin 2x = 1$ और $\cos 4x = 1$।
सर्वसमिका $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ का उपयोग करते हुए,हम $\sin 2x = 1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos 4x = 1 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$।
हालाँकि,हमें $\cos 4x = 1$ की आवश्यकता है।
चूंकि $-1 \neq 1$,इसलिए $x$ का कोई ऐसा मान नहीं है जो समीकरण को संतुष्ट करे।
अतः,$x$ के मानों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया है $\tan 2\theta \tan \theta = 1$।
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \cdot \tan \theta = 1$
$2 \tan^2 \theta = 1 - \tan^2 \theta$
$3 \tan^2 \theta = 1$
$\tan^2 \theta = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6} = (6n \pm 1)\frac{\pi}{6}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow 1 + \sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta$ (जहाँ $\cos \theta \neq 0$)
$\Rightarrow \sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 1$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow \cos \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{3}$
व्यापक हल: $\theta + \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$
स्थिति $1$: $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 2n\pi + \frac{\pi}{6}$
$n=0$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{6}$ (मान्य,$\cos \frac{\pi}{6} \neq 0$)
$n=1$ के लिए,$\theta = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ (अंतराल $[0, 2\pi]$ के बाहर)
स्थिति $2$: $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$
$n=1$ के लिए,$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
$\theta = \frac{3\pi}{2}$ पर,$\cos \theta = 0$,इसलिए $\sec \theta$ और $\tan \theta$ अपरिभाषित हैं।
अतः,$[0, 2\pi]$ में एकमात्र मान्य हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
भिन्न हलों की संख्या $1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$
दोनों पक्षों को $2\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
चूंकि $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$,समीकरण बनता है:
$\sin \frac{\pi}{12} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{12} \cos \theta = \cos \frac{\pi}{4}$
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{4}$
व्यापक हल $\cos x = \cos \alpha \Rightarrow x = 2n\pi \pm \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,जहाँ $n \in Z$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^7x + \sin^4x = 1$
हम जानते हैं कि $\sin^4x = (1 - \cos^2x)^2 = 1 - 2\cos^2x + \cos^4x$.
इसे समीकरण में रखने पर: $\cos^7x + 1 - 2\cos^2x + \cos^4x = 1$
$\cos^7x + \cos^4x - 2\cos^2x = 0$
$\cos^2x(\cos^5x + \cos^2x - 2) = 0$
स्थिति $1$: $\cos^2x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \pm \frac{\pi}{2}$.
स्थिति $2$: $\cos^5x + \cos^2x - 2 = 0$.
मान लीजिए $f(t) = t^5 + t^2 - 2$ जहाँ $t = \cos x$. चूँकि $t \in [-1, 1]$,$t^5 + t^2$ का अधिकतम मान $1^5 + 1^2 = 2$ है।
अतः,$t^5 + t^2 - 2 = 0$ केवल तब संभव है जब $t = 1$,जिसका अर्थ है $\cos x = 1$.
$\cos x = 1 \implies x = 0$.
परिणामों को मिलाने पर,$(-\pi, \pi)$ में मूल $\{ -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2} \}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $\tan(\pi \tan x) = \cot(\pi \cot x)$ है।
सर्वसमिका $\cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$\tan(\pi \tan x) = \tan(\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\pi \tan x = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \cot x$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
सरलतम स्थिति $n=0$ के लिए,$\tan x + \cot x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{2}$ मिलता है।
$\tan x$ से गुणा करने पर,$2 \tan^2 x - \tan x + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(2)(2) = 1 - 16 = -15$ है।
चूँकि $D < 0$,$\tan x$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,हल समुच्चय $\phi$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 3 \tan 3\theta$.
$\tan(A+B)$ और $\tan 3\theta$ के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} = 3 \left( \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} \right)$.
$t = \tan \theta$ रखने पर,समीकरण $3t^4 - 6t^2 + 8t - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
चतुर्घात समीकरण के मूलों का योग $-b/a$ होता है।
यहाँ $b=0$ और $a=3$ है,इसलिए योग $0$ है।
अतः,$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma + \tan \delta = 0$।

(D) दिया गया है $\sin 3x = \cos 2x$.
हम इसे $\sin 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\sin A = \sin B$ के लिए व्यापक हल $A = n\pi + (-1)^n B$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
इसे लागू करने पर,$3x = n\pi + (-1)^n \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$.
स्थिति $1$: यदि $n$ सम है,मान लीजिए $n = 2k$. तो $3x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} - 2x$ $\Rightarrow 5x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{2k\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{(4k+1)\pi}{10}$.
$k=1$ के लिए,$x = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (अंतराल में नहीं है)।
$k=2$ के लिए,$x = \frac{9\pi}{10}$ (अंतराल में है)।
स्थिति $2$: यदि $n$ विषम है,मान लीजिए $n = 2k+1$. तो $3x = (2k+1)\pi - \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{2} + 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} + 2x$ $\Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.
$k=0$ के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ (अंतराल में नहीं है)।
$k=1$ के लिए,$x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$ (अंतराल में नहीं है)।
अतः,अंतराल $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ में केवल एक ही हल $x = \frac{9\pi}{10}$ है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।