यदि $\tan (\pi \cos \theta ) = \cot (\pi \sin \theta )$, तब $\sin \left( {\theta  + \frac{\pi }{4}} \right)$ का मान होगा  

निम्नलिखित प्रत्येक समीकरणों का व्यापक हल ज्ञात कीजिए

$\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x=0$

मान लीजिये कि $\alpha$ चर वास्तविक संख्या है जो $\pi / 2$ का पूर्णांकीय गुणित $(integral\,multiple)$ नहीं है। दिये गए तत्समक $(equality)$ $\frac{\sin (\lambda \alpha)}{\sin \alpha}-\frac{\cos (\lambda \alpha)}{\cos \alpha}=\lambda-1$ को संत्ष्ट करने वाली कितनी वास्तविक संख्याएँ $\lambda$ हैं?

$\lambda$ के सभी मानों जिनके लिए समीकरण $\cos ^2 2 x-2 \sin ^4 x-2 \cos ^2 x=\lambda$ का एक वास्तविक हल $x$ है का समुच्चय है :-

मान लें $A=\left\{\theta \in R:\left(\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{2}{3} \cos \theta\right)^2=\frac{1}{3} \sin ^2 \theta+\frac{2}{3} \cos ^2 \theta\right\}$

त्रिभुज $P Q R$ में, $P$ वृहत्तम कोण है तथा $\cos P=\frac{1}{3}$ । इसके अतिरिक्त त्रिभुज का अन्तःवृत्त भुजाओं $P Q, Q R$ तथा $R P$ को क्रमशः $N, L$ तथा $M$ पर इस तरह स्पर्श करता है कि $P N, Q L$ तथा $R M$ की लम्बाईयाँ क्रमागत सम पूर्ण संख्याएं है। तब त्रिभुज की भुजा (भुजाओं) की सम्भावित लम्बाई (लम्बाईयाँ) है (हैं)

$(A)$ $16$ $(B)$ $18$ $(C)$ $24$ $(D)$ $22$