$x$ के मानों का वह समुच्चय जिसके लिए $\frac{{\tan 3x - \tan 2x}}{{1 + \tan 3x\tan 2x}} = 1$ है

मान लीजिए कि $\theta, 0 < \theta < \pi / 2$, एक कोण इस तरह है कि समीकरण $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ का $x$ के लिए समान मूल हैं। $\theta$ का रेडियन में क्या मान होगा ?

$\theta $का वह मान, जो कि $0$ एवं $\frac{\pi }{2}$ के मध्य हो तथा समीकरण

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }&{4\sin 4\theta }\\{{{\sin }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{4\sin 4\theta }\\{{{\sin }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}\,} \right| = 0$

को संतुष्ट करता हो, है

यदि $|k|\, = 5$ तथा ${0^o} \le \theta  \le {360^o}$, तब 3$\cos \theta  + 4\sin \theta  = k$ के विभिन्न हलों की संख्या होंगी

यदि $\alpha ,$ $\beta$ समीकरण $a\cos x + b\sin x = c,$ को सन्तुष्ट करने वाले  $x$ के भिन्न मान हैं, तब $\tan {\rm{ }}\left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right) = $

$x$ का वह मान, जिसके लिए ${2^{\sin x}} + {2^{\cos x}} > {2^{1 - (1/\sqrt 2 )}}$ अस्तित्व में है, होगा