Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(A) दिया गया है $\tan n\theta = \tan m\theta$.
$\tan x = \tan y$ के लिए व्यापक हल $x = N\pi + y$ है,जहाँ $N \in \mathbb{Z}$.
अतः,$n\theta = N\pi + m\theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(n - m)\theta = N\pi$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\theta = \frac{N\pi}{n - m}$.
$N = 1, 2, 3, \dots$ के विभिन्न पूर्णांक मानों के लिए,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{n - m}, \frac{2\pi}{n - m}, \frac{3\pi}{n - m}, \dots$ प्राप्त होते हैं।
इस अनुक्रम का सार्व अंतर $d = \frac{\pi}{n - m}$ है,जो दर्शाता है कि ये मान $A.P.$ में हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $8\sec^2 \theta - 6\sec \theta + 1 = 0$ है।
माना $x = \sec \theta$. समीकरण $8x^2 - 6x + 1 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $8x^2 - 4x - 2x + 1 = 0 \implies 4x(2x - 1) - 1(2x - 1) = 0$.
इससे $(4x - 1)(2x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$\sec \theta = \frac{1}{4}$ या $\sec \theta = \frac{1}{2}$.
हालाँकि,किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$\sec \theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है।
चूँकि $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{2}$ दोनों $(-1, 1)$ अंतराल में स्थित हैं,इसलिए $\theta$ का कोई वास्तविक मान इन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,मूलों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\cos y \cos (\frac{\pi}{2} - x) - \cos (\frac{\pi}{2} - y) \cos x + \sin y \cos (\frac{\pi}{2} - x) + \cos x \sin (\frac{\pi}{2} - y) = 0$
$\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ और $\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos y \sin x - \sin y \cos x + \sin y \sin x + \cos x \cos y = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\sin x \cos y - \cos x \sin y) + (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 0$
$\sin(x - y) + \cos(x - y) = 0$
$\tan(x - y) = -1$
$x - y = n\pi - \frac{\pi}{4}$
$x = n\pi - \frac{\pi}{4} + y, (n \in I)$

(D) दिया गया है $\cos(\alpha - \beta) = 1$ और $-\pi < \alpha, \beta < \pi$ है।
अतः $-2\pi < \alpha - \beta < 2\pi$ होगा।
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ का अर्थ है $\alpha - \beta = 0$,यानी $\alpha = \beta$ है।
अब $\alpha = \beta$ को दूसरे समीकरण में रखने पर,$\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-\pi < \alpha < \pi$,इसलिए $-2\pi < 2\alpha < 2\pi$ होगा।
अंतराल $(-2\pi, 2\pi)$ में $\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ के $4$ हल प्राप्त होते हैं।
अतः $(\alpha, \beta)$ के कुल $4$ क्रमित युग्म संभव हैं।

(B) दिया गया है $\sin \theta + \cos \theta = 1$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ है।
अतः,$\theta + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$।

(C) दिया गया है $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}.$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \sin^2 \alpha \implies \theta = n\pi \pm \alpha.$
चूंकि $\sin^2 \theta = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right),$
इसलिए $\alpha = \frac{\pi}{6}.$
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}.$

(B) दिया गया है $\sec^2 \theta = \frac{4}{3}$.
व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\cos^2 \theta = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
इसे $\cos^2 \theta = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\cos^2 \theta = \cos^2 \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cot \theta - \tan \theta = 2$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\tan \theta} - \tan \theta = 2$
$\Rightarrow \frac{1 - \tan^2 \theta}{\tan \theta} = 2$
$\Rightarrow 1 - \tan^2 \theta = 2 \tan \theta$
$\Rightarrow \tan^2 \theta + 2 \tan \theta - 1 = 0$
वैकल्पिक रूप से,$\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = 2 \cot 2\theta$
अतः,$2 \cot 2\theta = 2 \Rightarrow \cot 2\theta = 1$
$\Rightarrow \tan 2\theta = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\tan x = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है।
इसलिए,$2\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
इसे $\sin \frac{\pi}{3} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{4}$.
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ है।
इसलिए,$\theta + \frac{\pi}{3} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$.
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta - 2\cos \theta + \frac{1}{4} = 0$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos^2 \theta - 2\cos \theta + \frac{1}{4} = 0$
$-\cos^2 \theta - 2\cos \theta + \frac{5}{4} = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$\cos^2 \theta + 2\cos \theta - \frac{5}{4} = 0$
द्विघात सूत्र $\cos \theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-\frac{5}{4})}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 5}}{2} = \frac{-2 \pm 3}{2}$
इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$1) \cos \theta = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$
$2) \cos \theta = \frac{-2 - 3}{2} = -\frac{5}{2}$
चूँकि $|\cos \theta| \le 1$,इसलिए $\cos \theta = -\frac{5}{2}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$।
$\cos \theta = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ होता है।
इसलिए,$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया है: $\sqrt{2} \sec \theta + \tan \theta = 1$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$
$\Rightarrow \sqrt{2} + \sin \theta = \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta - \cos \theta = -\sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = -1$
$-1$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = 1$
$\Rightarrow \cos \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 1$
चूंकि $\cos \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 2n\pi$,इसलिए:
$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi$
$\Rightarrow \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया समीकरण: $2\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2\tan^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$
दोनों पक्षों से $\tan^2 \theta$ घटाने पर:
$\tan^2 \theta = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\tan^2 \theta = \tan^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ के लिए,व्यापक हल $\theta = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।

(B) दिया गया समीकरण: $2\sin \theta + \tan \theta = 0$
$\tan \theta$ को $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ के रूप में लिखने पर:
$2\sin \theta + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 0$
$\sin \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin \theta \left( 2 + \frac{1}{\cos \theta} \right) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
स्थिति $2$: $2 + \frac{1}{\cos \theta} = 0$ $\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} = -2$ $\Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)$,इसलिए व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$\theta$ के व्यापक मान $n\pi$ और $2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan 3\theta + \tan 2\theta \tan 3\theta = 1$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{3}(\tan 2\theta + \tan 3\theta) = 1 - \tan 2\theta \tan 3\theta$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}(1 - \tan 2\theta \tan 3\theta)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\tan 2\theta + \tan 3\theta}{1 - \tan 2\theta \tan 3\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(2\theta + 3\theta) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$\tan 5\theta = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$\tan x = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है।
अतः,$5\theta = n\pi + \frac{\pi}{6}$
$\theta = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{30} = \left(n + \frac{1}{6}\right)\frac{\pi}{5}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\tan 2\theta \tan \theta = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\tan 2\theta = \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$
सर्वसमिका $\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2\theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$
$\tan x = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः: $2\theta = n\pi + \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$
दोनों पक्षों में $\theta$ जोड़ने पर: $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$
$3$ से भाग देने पर: $\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{\pi}{3}$.

(C) दिया गया समीकरण: $1 + \cot \theta = \text{cosec} \theta$
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ के रूप में लिखने पर: $1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$
$\sin \theta$ से गुणा करने पर $(\sin \theta \neq 0)$: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
$\theta = 2n\pi$ और $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$\theta = 2n\pi$ के लिए $\cot \theta$ और $\text{cosec} \theta$ अपरिभाषित हैं,अतः यह संभव नहीं है।
इसलिए,व्यापक हल $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = 3$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ और $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - (1 - 2\sin^2 \theta)}{1 + (2\cos^2 \theta - 1)} = 3$
$\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta} = 3$
$\tan^2 \theta = 3$
$\tan^2 \theta = (\sqrt{3})^2 = \tan^2(\frac{\pi}{3})$
$\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) दिया गया है $3(\sec^2 \theta + \tan^2 \theta) = 5$,अतः $\sec^2 \theta + \tan^2 \theta = \frac{5}{3}$.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होती है।
दिए गए समीकरण से इस सर्वसमिका को घटाने पर: $(\sec^2 \theta + \tan^2 \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) = \frac{5}{3} - 1$.
$2 \tan^2 \theta = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan^2 \theta = \frac{1}{3}$.
चूंकि $\tan^2 \theta = \frac{1}{3} = \tan^2(\frac{\pi}{6})$,इसलिए $\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 7\theta = \cos \theta - \sin 4\theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin 4\theta = \cos \theta - \cos 7\theta$
सूत्र $\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 4\theta = 2 \sin 4\theta \sin 3\theta$
$\sin 4\theta (1 - 2 \sin 3\theta) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 4\theta = 0$ $\Rightarrow 4\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}$
स्थिति $2$: $1 - 2 \sin 3\theta = 0 \Rightarrow \sin 3\theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$
व्यापक हल $\sin x = \sin \alpha \Rightarrow x = n\pi + (-1)^n \alpha$ का उपयोग करने पर:
$3\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{18}$
अतः,$\theta$ के व्यापक मान $\frac{n\pi}{4}, \frac{n\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{18}$ हैं।

(A) दिया गया है: $\frac{1 - \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{1}{\sec^2 \theta} = \cos^2 \theta$ और $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$,हमारे पास है:
$\cos^2 \theta (1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}) = \frac{1}{2}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{1}{2}$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$2$ से भाग देने पर,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \sec \theta = \frac{5}{2}$.
चूँकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $\cos \theta + \frac{1}{\cos \theta} = \frac{5}{2}$.
$2 \cos \theta$ से गुणा करने पर,$2 \cos^2 \theta + 2 = 5 \cos \theta$,जो $2 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta + 2 = 0$ में परिवर्तित होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta - 2) = 0$.
इससे $\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = 2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos \theta = 2$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ का व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ होता है।
इसलिए,$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।

(C) दिया गया है: $\cot \theta + \tan \theta = 2 \csc \theta$
$\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
चूँकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$: $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\sin \theta \neq 0$ मानते हुए,दोनों पक्षों से $\sin \theta$ को हटाने पर: $\frac{1}{\cos \theta} = 2$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ होता है।
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$,इसलिए व्यापक मान $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^2 \theta - (1 + \sqrt{3}) \tan \theta + \sqrt{3} = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$\tan^2 \theta - \tan \theta - \sqrt{3} \tan \theta + \sqrt{3} = 0$
$\tan \theta (\tan \theta - 1) - \sqrt{3} (\tan \theta - 1) = 0$
$(\tan \theta - \sqrt{3})(\tan \theta - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \tan \theta = \sqrt{3}$ $\Rightarrow \tan \theta = \tan(\frac{\pi}{3})$ $\Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{3}$
$2) \tan \theta = 1$ $\Rightarrow \tan \theta = \tan(\frac{\pi}{4})$ $\Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, n\pi + \frac{\pi}{4}$ है।

(A) दिए गए समीकरण $\sin \theta = \sin \alpha$ और $\cos \theta = \cos \alpha$ हैं।
$\sin \theta = \sin \alpha$ से,व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$\cos \theta = \cos \alpha$ से,व्यापक हल $\theta = 2m\pi \pm \alpha$ है,जहाँ $m \in \mathbb{Z}$ है।
दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए,कोण को $\alpha$ के साथ को-टर्मिनल होना चाहिए।
अतः $\theta = 2n\pi + \alpha$ प्राप्त होता है,जहाँ $n$ कोई भी पूर्णांक है।

(A) दिया गया समीकरण: $4\sin^2 \theta + 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta = 4 + \sqrt{3}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(1 - \cos^2 \theta) + 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta = 4 + \sqrt{3}$
$4 - 4\cos^2 \theta + 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta = 4 + \sqrt{3}$
$4\cos^2 \theta - 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta + \sqrt{3} = 0$
माना $x = \cos \theta$. तब $4x^2 - 2(\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0$
$4x^2 - 2\sqrt{3}x - 2x + \sqrt{3} = 0$
$2x(2x - \sqrt{3}) - 1(2x - \sqrt{3}) = 0$
$(2x - 1)(2x - \sqrt{3}) = 0$
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
स्थिति $1$: $\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
स्थिति $2$: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6}) \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$
अतः,व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ या $2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cot \theta + \cot \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) = 2$
$\cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin(\theta + \frac{\pi}{4} + \theta)}{\sin \theta \sin(\frac{\pi}{4} + \theta)} = 2$
$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + 2\theta)}{\sin \theta \sin(\frac{\pi}{4} + \theta)} = 2$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\frac{\pi}{4} + 2\theta) = \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4} + 2\theta)$
$\sin(\frac{\pi}{4} + 2\theta) + \cos(\frac{\pi}{4} + 2\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(2\theta + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$
$\cos(2\theta) = \frac{1}{2}$
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$

(A) दिया गया समीकरण $\cos 2\theta + 3\cos \theta = 0$ है।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 \theta - 1 + 3\cos \theta = 0$
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 1 = 0$
$\cos \theta$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos \theta = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,इसलिए $\frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$ मान्य नहीं है।
अतः,$\cos \theta = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$।
इसलिए,$\theta = 2n\pi \pm \cos^{-1}\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right)$।

(A) दिया गया है $\tan m\theta = \tan n\theta$.
$\tan x = \tan y$ के व्यापक हल का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $m\theta = p\pi + n\theta$,जहाँ $p \in \mathbb{Z}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $(m - n)\theta = p\pi$.
अतः,$\theta = \frac{p\pi}{m - n}$.
$p$ के विभिन्न पूर्णांक मानों $(p = 0, 1, 2, \dots)$ के लिए,$\theta$ के मान $0, \frac{\pi}{m - n}, \frac{2\pi}{m - n}, \dots$ होंगे।
ये मान $\frac{\pi}{m - n}$ के सार्व अंतर के साथ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।

(D) दिया गया है: $\tan \theta - \sqrt{2} \sec \theta = \sqrt{3}$
$\cos \theta$ से गुणा करने पर: $\sin \theta - \sqrt{2} = \sqrt{3} \cos \theta$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{2}$
$2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})$
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$\theta - \frac{\pi}{3} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया है: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \alpha$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \cos \alpha$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \cos \alpha$
$\cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \alpha$
$\cos x = \cos y$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm y$ होता है।
अतः,$\theta - \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \alpha$
$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \pm \alpha$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2\theta + \tan 3\theta = \tan \theta \tan 2\theta \tan 3\theta$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta + \tan 2\theta + \tan 3\theta - \tan \theta \tan 2\theta \tan 3\theta = 0$।
हम जानते हैं कि: $\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$।
माना $A = \theta, B = 2\theta, C = 3\theta$ है। तब $A+B+C = 6\theta$ होगा।
$\tan(6\theta)$ का अंश वही व्यंजक है जो प्रश्न में दिया गया है।
अतः,$\tan(6\theta) = 0$।
$\tan x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi$ होता है।
इसलिए,$6\theta = n\pi$,जिसका अर्थ है $\theta = \frac{n\pi}{6}$।

(A) दिया गया है: $3 \tan (A - 15^{\circ}) = \tan (A + 15^{\circ})$
$\Rightarrow 3 \frac{\sin (A - 15^{\circ})}{\cos (A - 15^{\circ})} = \frac{\sin (A + 15^{\circ})}{\cos (A + 15^{\circ})}$
$\Rightarrow 3 \sin (A - 15^{\circ}) \cos (A + 15^{\circ}) = \sin (A + 15^{\circ}) \cos (A - 15^{\circ})$
$2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$3 [\sin(2A) + \sin(-30^{\circ})] = \sin(2A) + \sin(30^{\circ})$
$3 \sin(2A) - 3 \sin(30^{\circ}) = \sin(2A) + \sin(30^{\circ})$
$2 \sin(2A) = 4 \sin(30^{\circ})$
$2 \sin(2A) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$
$\sin(2A) = 1$
चूंकि $\sin(\theta) = 1 \Rightarrow \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$2A = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
$A = n\pi + \frac{\pi}{4}$

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = 2$
चूंकि $\tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \theta$,समीकरण इस प्रकार होगा: $\tan \theta + \cot \theta = 2$
$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$
$\tan \theta$ से गुणा करने पर: $\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$
$(\tan \theta - 1)^2 = 0$
$\tan \theta = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\tan \theta = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + \alpha$ है।
अतः,$\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\cos 2\theta = (\sqrt{2} + 1) \left( \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2 \theta - 1 = (\sqrt{2} + 1)\cos \theta - \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
सरल करने पर:
$2\cos^2 \theta - (\sqrt{2} + 1)\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(2\cos \theta - 1)(\sqrt{2}\cos \theta - 1) = 0$
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan \theta = \cot \alpha$
हम जानते हैं कि $\cot \alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
$\tan \theta = \tan \beta$ का व्यापक हल $\theta = n\pi + \beta$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{\cos \theta} - \frac{1}{\sin \theta} = \frac{4}{3}$
$\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{4}{3}$
$3(\sin \theta - \cos \theta) = 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin 2\theta$
$\sin 2\theta = 3/4$ लेने पर,$2\theta = n\pi + (-1)^n \sin^{-1}(3/4)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \frac{1}{2}[n\pi + (-1)^n \sin^{-1}(3/4)]$। इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(B) समीकरण $\cos x = \cos y$ का व्यापक हल $x = 2n\pi \pm y$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया समीकरण $\cos p\theta = \cos q\theta$ है।
व्यापक हल सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $p\theta = 2n\pi \pm q\theta$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$p\theta \mp q\theta = 2n\pi$
$(p \mp q)\theta = 2n\pi$
$\theta = \frac{2n\pi}{p \pm q}$.

(B) दिया गया समीकरण: $4\cos^2 x + 6\sin^2 x = 5$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$4(1 - \sin^2 x) + 6\sin^2 x = 5$
$4 - 4\sin^2 x + 6\sin^2 x = 5$
$4 + 2\sin^2 x = 5$
$2\sin^2 x = 1$
$\sin^2 x = \frac{1}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{4}$
चूंकि $\sin^2 x = \sin^2 \alpha \Rightarrow x = n\pi \pm \alpha$,इसलिए:
$x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$

(A) दिया गया है $\sin \left( \frac{\pi }{4} \cot \theta \right) = \cos \left( \frac{\pi }{4} \tan \theta \right)$.
सर्वसमिका $\cos x = \sin \left( \frac{\pi }{2} - x \right)$ का उपयोग करने पर,$\sin \left( \frac{\pi }{4} \cot \theta \right) = \sin \left( \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} \tan \theta \right)$.
इसका तात्पर्य है कि $\frac{\pi }{4} \cot \theta = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} \tan \theta$.
$\frac{\pi }{4}$ से विभाजित करने पर,$\cot \theta = 2 - \tan \theta$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\tan \theta + \cot \theta = 2$.
चूंकि $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$,इसलिए $\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(\tan \theta - 1)^2 = 0$ है,अतः $\tan \theta = 1$.
इस प्रकार,$\theta = n\pi + \frac{\pi }{4}$।

(D) दिया गया समीकरण: $2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$
चूंकि $\sin \theta$ का मान $2$ नहीं हो सकता,इसलिए $2\sin \theta + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = -\frac{1}{2} = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n\pi + (-1)^n (-\frac{\pi}{6})$.
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\tan 3x = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ होता है।
अतः,$\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$.
$\tan \theta = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
इसे लागू करने पर,$3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\sin^2 \theta \sec \theta + \sqrt{3} \tan \theta = 0$ है।
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\sin \theta \tan \theta + \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan \theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\tan \theta (\sin \theta + \sqrt{3}) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \tan \theta = 0 \Rightarrow \theta = n\pi, n \in Z$
$2) \sin \theta = -\sqrt{3}$. चूंकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin \theta = -\sqrt{3}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi, n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$.
सर्वसमिका $\sec 2\theta = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \theta + \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} = 1$.
माना $x = \tan^2 \theta$. तब $x + \frac{1+x}{1-x} = 1$.
$x(1-x) + 1 + x = 1 - x$
$x - x^2 + 1 + x = 1 - x$
$3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0$.
अतः,$\tan^2 \theta = 0$ या $\tan^2 \theta = 3$.
यदि $\tan^2 \theta = 0$,तो $\tan \theta = 0 \Rightarrow \theta = m\pi$ जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
यदि $\tan^2 \theta = 3$,तो $\tan \theta = \pm \sqrt{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,व्यापक हल $\theta = m\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $\cos 2\theta = \sin \alpha$ है।
सर्वसमिका $\sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$।
$\cos x = \cos y$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm y$ होता है।
अतः,$2\theta = 2n\pi \pm \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\theta = n\pi \pm \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 6\theta + \sin 4\theta + \sin 2\theta = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 6\theta + \sin 2\theta) + \sin 4\theta = 0$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4\theta \cos 2\theta + \sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 4\theta (2 \cos 2\theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 4\theta = 0$
$4\theta = n\pi \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2\theta + 1 = 0$
$\cos 2\theta = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,इसलिए व्यापक हल है:
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
अतः,$\theta = \frac{n\pi}{4}$ या $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta + \sin \theta = 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin^2 \theta + \sin \theta - 2 = 0$
माना $x = \sin \theta$. तब समीकरण $x^2 + x - 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 1$ या $x = -2$ मिलता है।
चूंकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin \theta = 1$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = 1 = \sin(\frac{\pi}{2})$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
$\alpha = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $\tan 5\theta = \cot 2\theta$ है।
हम जानते हैं कि $\cot 2\theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$।
अतः,$\tan 5\theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$।
$\tan x = \tan \alpha$ का व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ होता है।
इसलिए,$5\theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - 2\theta$।
दोनों पक्षों में $2\theta$ जोड़ने पर,$7\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$7$ से भाग देने पर,$\theta = \frac{n\pi}{7} + \frac{\pi}{14}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $3\sin^2 x + 10\cos x - 6 = 0$
सर्वसमिका $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$3(1 - \cos^2 x) + 10\cos x - 6 = 0$
$3 - 3\cos^2 x + 10\cos x - 6 = 0$
$-3\cos^2 x + 10\cos x - 3 = 0$
$3\cos^2 x - 10\cos x + 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3\cos x - 1)(\cos x - 3) = 0$
इससे दो संभावनाएं प्राप्त होती हैं:
$1) \cos x = 3$ (संभव नहीं है,क्योंकि $-1 \le \cos x \le 1$)
$2) \cos x = 1/3$
$\cos x = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$x = 2n\pi \pm \cos^{-1}(1/3)$।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\cos 3\theta + \cos \theta) + \cos 2\theta = 0$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\cos 2\theta (2 \cos \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\cos 2\theta = 0$
$2\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$
$\theta = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$
स्थिति $2$: $2 \cos \theta + 1 = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
$\theta = 2m\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
अतः,विकल्पों के अनुसार $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $2\sqrt{3} \cos \theta = \tan \theta$
चूँकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,इसलिए $2\sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से गुणा करने पर: $2\sqrt{3} \cos^2 \theta = \sin \theta$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ रखने पर: $2\sqrt{3}(1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$
$2\sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin \theta - 2\sqrt{3} = 0$
यह $\sin \theta$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin \theta = \frac{-1 \pm 7}{4\sqrt{3}}$
स्थिति $1$: $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ (असंभव)
स्थिति $2$: $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}$.