Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $\tan (A - B) = 1$. તેથી $A - B = \frac{\pi}{4} \dots (i)$.
આપેલ છે કે $\sec (A + B) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. તેથી $A + B = \frac{11\pi}{6} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$2B = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.
તેથી,$B = \frac{19\pi}{24}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 x - 2\cos x = 4\sin x - \sin 2x$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 x - 2\cos x = 4\sin x - 2\sin x \cos x$
$\cos x(\cos x - 2) = 2\sin x(2 - \cos x)$
$\cos x(\cos x - 2) + 2\sin x(\cos x - 2) = 0$
$(\cos x - 2)(\cos x + 2\sin x) = 0$
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $\cos x - 2 \neq 0$ હોવાથી,$\cos x + 2\sin x = 0$ મળે.
$\tan x = -\frac{1}{2}$
$0 \le x \le \pi$ હોવાથી અને બીજા ચરણમાં $\tan x$ ઋણ હોવાથી,ઉકેલ $x = \pi + \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે: ${\left( {\frac{{\sin \theta }}{{\sin \phi }}} \right)^2} = \frac{{\tan \theta }}{{\tan \phi }} = 3$
સમીકરણ ${\left( {\frac{{\sin \theta }}{{\sin \phi }}} \right)^2} = \frac{{\sin \theta \cos \phi }}{{\cos \theta \sin \phi }}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{{\sin^2 \theta }}{{\sin^2 \phi }} = \frac{{\sin \theta \cos \phi }}{{\cos \theta \sin \phi }}$
$\Rightarrow \sin \theta \cos \theta = \sin \phi \cos \phi $
$\Rightarrow \sin 2\theta = \sin 2\phi $
આ સૂચવે છે કે $2\theta = n\pi + (-1)^n 2\phi$.
વધુમાં,આપણને $\frac{{\tan \theta }}{{\tan \phi }} = 3$ આપેલ છે.
$\frac{{\sin^2 \theta }}{{\sin^2 \phi }} = 3$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 3 \sin^2 \phi$ મળે.
$\frac{{\tan \theta }}{{\tan \phi }} = 3$ નો ઉપયોગ કરીને,$\tan \theta = 3 \tan \phi$ મળે.
$\tan \phi = \frac{{\tan \theta }}{3}$ ને $\sin^2 \theta = 3 \sin^2 \phi$ માં મૂકતા,આપણને $\tan^2 \theta = 3$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \frac{\pi }{3}$ છે.
ત્યારબાદ $\tan \phi = \frac{{\tan \theta }}{3} = \pm \frac{{\sqrt{3}}}{3} = \pm \frac{1}{{\sqrt{3}}}$,જે $\phi = n\pi \pm \frac{\pi }{6}$ આપે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2(\sin x - \cos 2x) - \sin 2x(1 + 2\sin x) + 2\cos x = 0$
$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ મૂકતા:
$2(\sin x - (1 - 2\sin^2 x)) - 2\sin x \cos x(1 + 2\sin x) + 2\cos x = 0$
$2\sin x - 2 + 4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x \cos x + 2\cos x = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$(4\sin^2 x + 2\sin x - 2) - \cos x(2\sin x + 4\sin^2 x - 2) = 0$
$(4\sin^2 x + 2\sin x - 2)(1 - \cos x) = 0$
$2(2\sin^2 x + \sin x - 1)(1 - \cos x) = 0$
$2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)(1 - \cos x) = 0$
આથી $\sin x = \frac{1}{2}$,$\sin x = -1$,અથવા $\cos x = 1$ મળે.
$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$,જે $x = \frac{\pi}{6}(4n + 1)$ અથવા $x = \frac{\pi}{6}(4n + 5)$ થાય.
$\sin x = -1$ માટે,$x = 2n\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}(4n - 1)$.
$\cos x = 1$ માટે,$x = 2n\pi = \frac{\pi}{2}(4n)$.
ઉકેલ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(D) આપેલ છે કે $\tan(x - y) = 1$,તેથી $x - y = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$ (ધન મૂલ્યો ધ્યાનમાં લેતા).
આપેલ છે કે $\sec(x + y) = \frac{2}{\sqrt{3}}$,તેથી $\cos(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,એટલે કે $x + y = \frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \dots$ (ધન મૂલ્યો ધ્યાનમાં લેતા).
$x, y > 0$ હોવાથી,$x + y > x - y$ થવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $x + y = \frac{11\pi}{6}$ અને $x - y = \frac{\pi}{4}$. સરવાળો કરતા $2x = \frac{25\pi}{12} \Rightarrow x = \frac{25\pi}{24}$. તેથી $y = \frac{19\pi}{24}$.
કિસ્સો $2$: $x + y = \frac{11\pi}{6}$ અને $x - y = \frac{5\pi}{4}$. સરવાળો કરતા $2x = \frac{37\pi}{12} \Rightarrow x = \frac{37\pi}{24}$. તેથી $y = \frac{7\pi}{24}$.
બંને જોડી માન્ય ધન ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2\cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2\cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x + 1}{\cos x} = 2\cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2\cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x) [1 - 2(1 - \sin x)] = 0$
$\Rightarrow (1 + \sin x) (2\sin x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$. જ્યારે $\sin x = -1$ હોય,ત્યારે $\cos x = 0$ થાય,તેથી $\tan x$ અને $\sec x$ અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5\pi}{6}$ પર મળે છે.
બંને કિંમતો માન્ય છે. તેથી,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4\cos^2 \theta - 2\sqrt{2}\cos \theta - 1 = 0$.
$\cos \theta$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{24}}{8} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{4}$.
કિસ્સો $1$: $\cos \theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{12}$ અથવા $\theta = \frac{23\pi}{12}$.
કિસ્સો $2$: $\cos \theta = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)$.
તેથી,$\theta = \frac{7\pi}{12}$ અથવા $\theta = \frac{17\pi}{12}$.
ઉકેલનો સમૂહ $\left\{ \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \frac{23\pi}{12} \right\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $sin^2 \theta - \frac{4}{\sin^3 \theta - 1} = 1 - \frac{4}{\sin^3 \theta - 1}$.
બંને બાજુથી $-\frac{4}{\sin^3 \theta - 1}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$sin^2 \theta = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = 1$ અથવા $\sin \theta = -1$.
જોકે,પદ $\frac{4}{\sin^3 \theta - 1}$ એ $\sin^3 \theta - 1 = 0$ હોય ત્યારે અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે $\sin \theta = 1$.
તેથી,$\sin \theta = 1$ એ માન્ય ઉકેલ નથી.
આપણે $\sin \theta = -1$ સાથે બાકી રહીએ છીએ.
$\sin \theta = -1$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ છે,જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.
અનંત પૂર્ણાંકો $n$ હોવાથી,અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ છે $\tan(5\pi \cos \theta) = \cot(5\pi \sin \theta)$.
નિત્યસમ $\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(5\pi \cos \theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - 5\pi \sin \theta)$.
વ્યાપક ઉકેલ $5\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - 5\pi \sin \theta$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi$ વડે ભાગતા,$5 \cos \theta + 5 \sin \theta = n + \frac{1}{2}$,જે $\cos \theta + \sin \theta = \frac{2n + 1}{10}$ માં પરિણમે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા,$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{2n + 1}{10\sqrt{2}}$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ ની કિંમત $[-1, 1]$ માં હોવાથી,$-10\sqrt{2} \le 2n + 1 \le 10\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$10\sqrt{2} \approx 14.14$,તેથી $-14.14 \le 2n + 1 \le 14.14$.
$-15.14 \le 2n \le 13.14$,જેનો અર્થ છે $-7.57 \le n \le 6.57$.
આમ,$n \in \{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,જે $n$ માટે $14$ શક્ય કિંમતો આપે છે.
દરેક $n$ માટે,સમીકરણ $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = k$ (જ્યાં $|k| < 1$) ને $(0, 2\pi)$ અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો મળે છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $14 \times 2 = 28$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 5x = \sin 2x + \sin 4x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(3x) \cos(-2x) = 2 \sin(3x) \cos(-x)$
$\cos(-\theta) = \cos \theta$ હોવાથી:
$2 \sin(3x) \cos(2x) = 2 \sin(3x) \cos(x)$
$2 \sin(3x) [\cos(2x) - \cos(x)] = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin(3x) = 0 \implies 3x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{3}$
કિસ્સો $2$: $\cos(2x) - \cos(x) = 0 \implies \cos(2x) = \cos(x)$
$2x = 2n\pi \pm x$
$+$ માટે,$x = 2n\pi$. $-$ માટે,$3x = 2n\pi \implies x = \frac{2n\pi}{3}$
$\frac{n\pi}{3}$ એ $\frac{2n\pi}{3}$ અને $2n\pi$ સહિતના તમામ ઉકેલોને આવરી લે છે,તેથી વ્યાપક ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$1 - \sin^2 x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = 0$
$-\sin^2 x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$
$-4$ વડે ગુણતા:
$4 \sin^2 x - 2(\sqrt{3} + 1) \sin x + \sqrt{3} = 0$
$4 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x - 2 \sin x + \sqrt{3} = 0$
$2 \sin x (2 \sin x - \sqrt{3}) - 1(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$
$(2 \sin x - 1)(2 \sin x - \sqrt{3}) = 0$
તેથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$[-\pi, \pi]$ માં $\sin x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
$[-\pi, \pi]$ માં $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cot x - \cos x = 1 - \cot x \cos x$
પદોને ગોઠવતા: $\cot x - 1 - \cos x + \cot x \cos x = 0$
$\cot x(1 + \cos x) - 1(1 + \cos x) = 0$
$(\cot x - 1)(1 + \cos x) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\cot x = 1$ અથવા $\cos x = -1$.
કિસ્સો $1$: $\cot x = 1 \implies \tan x = 1$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\cos x = -1$. અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$x = \pi$.
નોંધો કે $x = \pi$ પર,$\cot x$ અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,$x = \pi$ ઉકેલ નથી.
માન્ય ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}$ અને $x = \frac{5\pi}{4}$ છે.
તેથી,મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે $\theta = x - \pi/4$. તેથી $x = \theta + \pi/4$ અને $2x = 2\theta + \pi/2$.
આમ,$\cos 2x = \cos(2\theta + \pi/2) = -\sin 2\theta$.
સમીકરણ $2^{\tan \theta} - 2(1/4)^{\frac{\sin^2 \theta}{-\sin 2\theta}} + 1 = 0$ બને છે.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ હોવાથી,ઘાતાંક $\frac{\sin^2 \theta}{-2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{1}{2} \tan \theta$ થાય.
તેથી,$2^{\tan \theta} - 2(2^{-2})^{-\frac{1}{2} \tan \theta} + 1 = 0$.
$2^{\tan \theta} - 2(2^{\tan \theta}) + 1 = 0$.
$2^{\tan \theta} - 2 \cdot 2^{\tan \theta} + 1 = 0$ $\Rightarrow 1 - 2^{\tan \theta} = 0$ $\Rightarrow 2^{\tan \theta} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \theta = 0$,તેથી $\theta = n\pi$.
આમ,$x - \pi/4 = n\pi \Rightarrow x = n\pi + \pi/4$.
મૂળ સમીકરણમાં છેદમાં $\cos 2x$ હોવાથી,આપણે પ્રદેશ તપાસવો જોઈએ.
$\cos 2x \neq 0$ માટે,$2x \neq n\pi + \pi/2 \Rightarrow x \neq n\pi/2 + \pi/4$.
$x = n\pi + \pi/4$ માટે,$2x = 2n\pi + \pi/2$,તેથી $\cos 2x = 0$.
છેદ શૂન્ય હોવાથી,આ સમીકરણ $x = n\pi + \pi/4$ માટે અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,ઉકેલનો ગણ ખાલી ગણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) + \cos(5x) = 0$ છે.
કોસાઇનના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} \cos(rx) = \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}\right)$.
$n=5$ માટે,$\frac{\sin(5x/2)}{\sin(x/2)} \cos(3x) = 0$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(5x/2) = 0$ અથવા $\cos(3x) = 0$,જ્યાં $\sin(x/2) \neq 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos(3x) = 0$. $(0, \pi)$ માં,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$.
કિસ્સો $2$: $\sin(5x/2) = 0$. $(0, \pi)$ માં,$5x/2 = \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \implies x = \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}$.
કુલ ઉકેલો $x = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{5}, \frac{5\pi}{6}$ છે.
આમ,કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \tan 2x + \tan 3x = \tan x \tan 2x \tan 3x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ હોય,તો $\tan(A+B+C) = 0$ થાય.
અહીં $A=x, B=2x, C=3x$ લેતા,$A+B+C = 6x$ મળે.
તેથી,$\tan(6x) = 0$.
આથી $6x = n\pi$,જ્યાં $n \in I$.
તેથી,$x = \frac{n\pi}{6}$ મળે.
પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $x = \frac{n\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\tan 3x - \tan 2x - \tan x = 0$ છે.
નિત્યસમ $\tan 3x = \tan(2x + x)$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $\tan 3x \tan 2x \tan x = 0$ માં ફેરવાય છે.
$x \in [0, 2\pi)$ માટે ઉકેલો $0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ મળે છે.
કુલ $6$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta = \sin \alpha$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$n = 0$ માટે,$\theta = \alpha$,તેથી $\sin \frac{\theta}{3} = \sin \frac{\alpha}{3}$.
$n = 1$ માટે,$\theta = \pi - \alpha$,તેથી $\sin \frac{\theta}{3} = \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{3} \right)$.
$n = -1$ માટે,$\theta = -\pi - \alpha$,તેથી $\sin \frac{\theta}{3} = \sin \left( -\frac{\pi}{3} - \frac{\alpha}{3} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\alpha}{3} \right)$.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો શક્ય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0$
બંને બાજુ $2 \sin(\frac{x}{2})$ વડે ગુણતા:
$\sin(\frac{x}{2}) + 2 \sin(\frac{x}{2})(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x) = 0$
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{9x}{2}) = 0$,જ્યાં $\sin(\frac{x}{2}) \neq 0$.
$\frac{9x}{2} = n\pi \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{9}$.
$\sin(\frac{x}{2}) \neq 0$ હોવાથી,$n$ એ $9$ નો ગુણક ન હોઈ શકે (એટલે કે $n \neq 9m$).

(B) $8 \cos x = x$ સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેને $\cos x = \frac{x}{8}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ $y = \cos x$ અને $y = \frac{x}{8}$ ના આલેખ વચ્ચેના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવા સમાન છે.
$y = \cos x$ નો આલેખ $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે $2\pi \approx 6.28$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે.
રેખા $y = \frac{x}{8}$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$x > 0$ માટે,રેખા $y = \frac{x}{8}$ એ $x = 8$ પર $y = 1$ સુધી પહોંચે છે. $2\pi \approx 6.28$ અને $4\pi \approx 12.56$ હોવાથી,રેખા $(0, 8]$ અંતરાલમાં કોસાઇન વક્રને બે બિંદુઓ પર છેદે છે.
$x < 0$ માટે,રેખા $y = \frac{x}{8}$ એ $x = -8$ પર $y = -1$ સુધી પહોંચે છે. રેખા $[-8, 0)$ અંતરાલમાં કોસાઇન વક્રને બે બિંદુઓ પર છેદે છે.
$x = 0$ પર,$\cos(0) = 1$ અને $\frac{0}{8} = 0$,તેથી ઉગમબિંદુ પર કોઈ છેદબિંદુ નથી.
છેદબિંદુઓની ગણતરી કરતા: $x > 0$ માટે બે અને $x < 0$ માટે બે,કુલ $2 + 2 = 4$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3 \tan(\theta - \alpha) = \tan(\theta + \alpha)$.
આને $\frac{\tan(\theta + \alpha)}{\tan(\theta - \alpha)} = 3$ તરીકે લખી શકાય.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા:
$\frac{\tan(\theta + \alpha) + \tan(\theta - \alpha)}{\tan(\theta + \alpha) - \tan(\theta - \alpha)} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$.
નિત્યસમ $\tan A \pm \tan B = \frac{\sin(A \pm B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(2\theta)}{\sin(2\alpha)} = 2 \implies \sin(2\theta) = 2 \sin(2\alpha)$.
આ સમીકરણને $\theta$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ ન મળે જો $2 \sin(2\alpha)$ એ $[-1, 1]$ ની બહાર હોય.
તેથી,$|2 \sin(2\alpha)| > 1 \implies |\sin(2\alpha)| > \frac{1}{2}$.
વિકલ્પો તપાસતા,$B$ વિકલ્પ માટે $|\sin(\frac{5\pi}{9})| > 0.5$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sec x = 1 + \cos x + \cos^2 x + \dots \infty$ છે.
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \cos x$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ થાય,જ્યાં $|r| < 1$.
તેથી,$\sec x = \frac{1}{1 - \cos x}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1 - \cos x}$,જેનું સાદું રૂપ $1 - \cos x = \cos x$ થાય છે.
તેથી,$2 \cos x = 1$,અથવા $\cos x = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{5\pi}{3}$ છે.
અંતરાલ $[-50\pi, 50\pi]$ ની લંબાઈ $100\pi$ છે,જેમાં $2\pi$ ના $50$ પૂર્ણ આવર્તનો સમાવિષ્ટ છે.
દરેક $2\pi$ ના આવર્તનમાં $2$ ઉકેલો હોવાથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $50 \times 2 = 100$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2\theta + \cos 2\theta = -\frac{1}{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$
$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$
અહીં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$2\theta \in (0, \pi)$,તેથી $2\theta + \frac{\pi}{4} \in (\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$.
ધારો કે $\alpha = 2\theta + \frac{\pi}{4}$. આપણે અંતરાલ $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ માં $\sin \alpha = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
$\sin \alpha$ એ ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોય છે,અને આપણો અંતરાલ $(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$ ત્રીજા ચરણને આવરી લે છે,તેથી $(\pi, \frac{5\pi}{4})$ માં $\alpha$ ની એક જ કિંમત મળે છે.
આમ,કુલ $1$ ઉકેલ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^2(2x) = 2\cos^2(8x) + \cos(10x)$
$2\sin^2(\theta) = 1 - \cos(2\theta)$ અને $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos(4x) = 1 + \cos(16x) + \cos(10x)$
$\cos(16x) + \cos(10x) + \cos(4x) = 0$
$\cos(16x) + \cos(4x) = 2\cos(10x)\cos(6x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos(10x)\cos(6x) + \cos(10x) = 0$
$\cos(10x)(2\cos(6x) + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\cos(10x) = 0 \implies x = (2n+1)\frac{\pi}{20}$.
$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$6$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\cos(6x) = -\frac{1}{2} \implies x = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}$.
$x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$4$ ઉકેલો મળે છે.
કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $= 6 + 4 = 10$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\text{sgn}(\sin x) = \sin^2 x + 2\sin x + \text{sgn}(\sin^2 x)$.
જ્યારે $\sin x \neq 0$ હોય ત્યારે $\sin^2 x > 0$ હોવાથી,$\text{sgn}(\sin^2 x) = 1$ થાય.
કિસ્સો $1$: જો $\sin x > 0$ હોય,તો $\text{sgn}(\sin x) = 1$. સમીકરણ $1 = \sin^2 x + 2\sin x + 1$ બને,જે $\sin^2 x + 2\sin x = 0$ એટલે કે $\sin x(\sin x + 2) = 0$ માં પરિણમે છે. $\sin x > 0$ હોવાથી,અહીં કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\sin x < 0$ હોય,તો $\text{sgn}(\sin x) = -1$. સમીકરણ $-1 = \sin^2 x + 2\sin x + 1$ બને,જે $\sin^2 x + 2\sin x + 2 = 0$ માં પરિણમે છે. વિવેચક $D = 4 - 8 = -4 < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $3$: જો $\sin x = 0$ હોય,તો $\text{sgn}(0) = 0$ અને $\text{sgn}(\sin^2 x) = 0$. સમીકરણ $0 = 0$ બને છે,જે સત્ય છે. આથી $x = n\pi$ ઉકેલ છે.
અંતરાલ $\left[ -\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2} \right]$ માં,$x \in \{ -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi \}$ મળે છે.
કુલ $6$ ઉકેલો છે.

(C) ધારો કે $x = \sin \theta$. સમીકરણ $(x-1)^{1/3} + x^{1/3} + (x+1)^{1/3} = 0$ છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે કે $\sin \theta = 0$ એ ઉકેલ છે.
અંતરાલ $[0, 4\pi]$ માં $\sin \theta = 0$ માટે $\theta \in \{0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi\}$ મળે છે.
આમ,કુલ $5$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan x \sin x - 2 \tan x + \cos x = 0$
$\frac{2 \sin^2 x}{\cos x} - \frac{2 \sin x}{\cos x} + \cos x = 0$
$\frac{2 \sin^2 x - 2 \sin x + \cos^2 x}{\cos x} = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$\frac{\sin^2 x - 2 \sin x + 1}{\cos x} = 0$
$\frac{(\sin x - 1)^2}{\cos x} = 0$
આથી $\sin x = 1$ અને $\cos x \neq 0$ મળે.
$\sin x = 1$ માટે,$x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$[0, k\pi]$ અંતરાલમાં ઉકેલો $x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ છે.
જો $k=1$,અંતરાલ $[0, \pi]$ છે,ઉકેલ $x = \frac{\pi}{2}$ ($1$ ઉકેલ). તેથી $k=1$ શક્ય છે.
જો $k=2$,અંતરાલ $[0, 2\pi]$ છે,ઉકેલ $x = \frac{\pi}{2}$ ($1$ ઉકેલ). અહીં $k=2$ પણ ઉકેલોની સંખ્યા $1 \neq k$. તેથી $k=2$ શક્ય નથી.
આમ,માત્ર $k=1$ શરતનું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\tan \theta} = 2 \sin \theta$.
$\sqrt{\tan \theta}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\tan \theta \ge 0$.
વળી,$2 \sin \theta \ge 0$,તેથી $\sin \theta \ge 0$.
આમ,$\theta \in [0, \pi/2] \cup \{\pi, 2\pi\}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\tan \theta = 4 \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{4 \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
કિસ્સો $1$: $\tan \theta = 0
\Rightarrow \theta = 0, \pi, 2\pi$.
કિસ્સો $2$: $\tan \theta \neq 0$,$\tan \theta$ વડે ભાગતા: $1 = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}
\Rightarrow 1 + \tan^2 \theta = 4 \tan \theta
\Rightarrow \tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \theta = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$\tan \theta = 2 + \sqrt{3}$ માટે,$\theta = \frac{5\pi}{12}$.
$\tan \theta = 2 - \sqrt{3}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{12}$.
કુલ ઉકેલો $\{0, \pi, 2\pi, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\}$ છે,જે $5$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3\cos^2x - 8\sin x = 0$ છે.
નિત્યસમ $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$3(1 - \sin^2x) - 8\sin x = 0$ મળે.
આ સાદું રૂપ આપતા $3 - 3\sin^2x - 8\sin x = 0$,અથવા $3\sin^2x + 8\sin x - 3 = 0$ થાય.
ધારો કે $t = \sin x$. તો $3t^2 + 8t - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 + 9t - t - 3 = 0 \implies 3t(t + 3) - 1(t + 3) = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{3}$ અથવા $t = -3$.
કારણ કે $-1 \leq \sin x \leq 1$,આપણે $t = -3$ ને અવગણીશું.
આમ,$\sin x = \frac{1}{3}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો છે.
અંતરાલ $[2\pi, 3\pi]$ માં,$\sin x$ ધન છે,તેથી $1$ વધારાનો ઉકેલ મળે છે.
$[0, 3\pi]$ માં કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2 + 1 = 3$ છે.

(A) આપણને સમીકરણ $\sin 2x + \sin 4x = 2$ આપેલું છે.
સાઇન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin 2x = 1$ અને $\sin 4x = 1$ બંને એકસાથે થાય.
$\sin 2x = 1$ માટે,$2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
$\sin 4x = 1$ માટે,$4x = 2m\pi + \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$ જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
જો આપણે $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ ને $\sin 4x$ માં મૂકીએ,તો $\sin(4(n\pi + \frac{\pi}{4})) = \sin(4n\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0$ મળે.
$0 \neq 1$ હોવાથી,એવી કોઈ $x$ ની કિંમત નથી જે બંને સમીકરણોનું એકસાથે સમાધાન કરે.
તેથી,$x$ ની કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) નિત્યસમ $\cos(60^{\circ} - x)\cos(60^{\circ} + x) = \cos^2(60^{\circ}) - \sin^2(x) = \frac{1}{4} - \sin^2(x)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $4\cos(x) \left(\frac{1}{4} - \sin^2(x)\right) = 1$.
$4\cos(x) \left(\frac{1 - 4\sin^2(x)}{4}\right) = 1$.
$\cos(x)(1 - 4\sin^2(x)) = 1$.
$\cos(x)(1 - 4(1 - \cos^2(x))) = 1$.
$\cos(x)(4\cos^2(x) - 3) = 1$.
$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 1$.
$\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\cos(3x) = 1$ મળે છે.
$x \in (0, 2\pi)$ માટે, $3x \in (0, 6\pi)$.
$3x = 2\pi, 4\pi$.
$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 2x + \cos^2 \frac{5x}{4} = \cos 2x \cos^2 5x$.
સમીકરણ સંતોષાય તે માટે,આપણે વિધેયોના વિસ્તારનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$\cos^2 2x - \cos 2x \cos^2 5x + \cos^2 \frac{5x}{4} = 0$.
આ $\cos 2x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે: $(\cos 2x)^2 - (\cos^2 5x)\cos 2x + \cos^2 \frac{5x}{4} = 0$.
વાસ્તવિક ઉકેલો માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (\cos^2 5x)^2 - 4 \cos^2 \frac{5x}{4} \ge 0$.
કારણ કે $\cos^2 5x \le 1$ અને $\cos^2 \frac{5x}{4} \ge 0$,આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\cos 2x = 0$ અને $\cos \frac{5x}{4} = 0$ હોય.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{3}]$ માં $\cos 2x = 0$ ઉકેલતા $2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$ મળે.
$x = \frac{\pi}{4}$ ને $\cos \frac{5x}{4} = 0$ માં તપાસતા: $\cos \frac{5\pi}{16} \neq 0$.
આમ,આપેલ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ છે.
આપેલ સમીકરણમાં આનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(2x - x) = 1$.
આથી $\tan x = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan x = \tan(\frac{\pi}{4})$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5\theta \cos 3\theta = \sin 9\theta \cos 7\theta$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin 5\theta \cos 3\theta = 2 \sin 9\theta \cos 7\theta$
નિત્યસમ $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(5\theta + 3\theta) + \sin(5\theta - 3\theta) = \sin(9\theta + 7\theta) + \sin(9\theta - 7\theta)$
$\sin 8\theta + \sin 2\theta = \sin 16\theta + \sin 2\theta$
$\sin 8\theta - \sin 16\theta = 0$
$\sin 8\theta - 2 \sin 8\theta \cos 8\theta = 0$
$\sin 8\theta (1 - 2 \cos 8\theta) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 8\theta = 0 \Rightarrow 8\theta = n\pi \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{8}$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$n = 0, 1, 2$. કિંમતો $0, \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}$ છે.
કિસ્સો $2$: $\cos 8\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow 8\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4} \pm \frac{\pi}{24}$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$ માટે,$n=0$ લેતા $\theta = \frac{\pi}{24}$ અને $n=1$ લેતા $\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{24} = \frac{5\pi}{24}$ મળે.
ઉકેલોનો ગણ ${0, \frac{\pi}{24}, \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{24}, \frac{\pi}{4}}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\csc \theta - \cot \theta = 1$
$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = 1$
$\Rightarrow 1 - \cos \theta = \sin \theta$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$\Rightarrow 2 \sin \frac{\theta}{2} (\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{\theta}{2} = 0, \pi$ $\Rightarrow \theta = 0, 2\pi$. જોકે,$\theta = 0$ અને $\theta = 2\pi$ પર $\csc \theta$ અને $\cot \theta$ અવ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આ ઉકેલો નથી.
કિસ્સો $2$: $\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2} = 0 \Rightarrow \tan \frac{\theta}{2} = 1$
$\Rightarrow \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{4}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ ચકાસતા: $\csc(\frac{\pi}{2}) - \cot(\frac{\pi}{2}) = 1 - 0 = 1$. આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ છે.

(C) સમીકરણ $\sin^2 x + \sin x \cos x - 6\cos^2 x = 0$ ને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$\tan^2 x + \tan x - 6 = 0$
અવયવ પાડતા: $(\tan x + 3)(\tan x - 2) = 0$
તેથી $\tan x = -3$ અથવા $\tan x = 2$.
અહીં $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ હોવાથી $\tan x$ ઋણ હશે,તેથી $\tan x = -3$.
સૂત્ર $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2x = \frac{1 - (-3)^2}{1 + (-3)^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.

(C) નિત્યસમ $\sin \theta \sin(\frac{\pi}{3} - \theta) \sin(\frac{\pi}{3} + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $\theta = \frac{x}{3}$.
તેથી સમીકરણ $4 \sin \frac{x}{3} \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{3}) \sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{x}{3}) = 1$ બને છે.
અહીં $\sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{x}{3}) = \sin(\pi - (\frac{\pi}{3} - \frac{x}{3})) = \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{3})$ છે.
આમ,પદાવલિ $4 \sin \frac{x}{3} \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{x}{3}) \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{3}) = 4 \times \frac{1}{4} \sin(3 \times \frac{x}{3}) = \sin x$ થાય છે.
તેથી,$\sin x = 1$.
$x \in (0, 4\pi)$ માટે,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{2}$ અને $x = \frac{5\pi}{2}$ છે.
ઉકેલોનો સરવાળો $\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} = 3\pi$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{65}x - \cos^{65}x = -1$.
અહીં $-1 \le \sin x \le 1$ અને $-1 \le \cos x \le 1$ હોવાથી,$-1 \le \sin^{65}x \le 1$ અને $-1 \le \cos^{65}x \le 1$ થાય.
ધારો કે $u = \sin^{65}x$ અને $v = \cos^{65}x$. તો $u - v = -1$,એટલે કે $v = u + 1$.
$v \in [-1, 1]$ હોવાથી,$-1 \le u + 1 \le 1$,એટલે કે $-2 \le u \le 0$.
વળી,$u = \sin^{65}x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$u$ ની શક્ય કિંમતો $[-1, 0]$ માં છે.
કિસ્સો $1$: જો $u = -1$,તો $\sin^{65}x = -1 \implies \sin x = -1$. તો $v = -1 + 1 = 0$,એટલે કે $\cos^{65}x = 0 \implies \cos x = 0$.
$x \in (-\pi, \pi)$ માટે,$\sin x = -1$ પરથી $x = -\pi/2$ મળે. $x = -\pi/2$ માટે $\cos x = 0$ થાય છે,જે શરતનું પાલન કરે છે. આમ,$x = -\pi/2$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: જો $u = 0$,તો $\sin^{65}x = 0 \implies \sin x = 0$. તો $v = 0 + 1 = 1$,એટલે કે $\cos^{65}x = 1 \implies \cos x = 1$.
$x \in (-\pi, \pi)$ માટે,$\sin x = 0$ પરથી $x = 0$ મળે. $x = 0$ માટે $\cos x = 1$ થાય છે,જે શરતનું પાલન કરે છે. આમ,$x = 0$ બીજો ઉકેલ છે.
આમ,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan \theta - \cot \theta = -1$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ હોવાથી:
$2 \tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} = -1$
$\tan \theta$ વડે ગુણતા:
$2 \tan^2 \theta + \tan \theta - 1 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(2 \tan \theta - 1)(\tan \theta + 1) = 0$
તેથી,$\tan \theta = 1/2$ અથવા $\tan \theta = -1$
$\tan \theta = -1$ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi - \pi/4$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^{100} x - \cos^{100} x = 1$ છે.
આને $\sin^{100} x = 1 + \cos^{100} x$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,$\sin^{100} x \le 1$ અને $\cos^{100} x \ge 0$,જે સૂચવે છે કે $1 + \cos^{100} x \ge 1$.
સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે,$\sin^{100} x = 1$ અને $1 + \cos^{100} x = 1$ હોવું જોઈએ.
$1 + \cos^{100} x = 1$ પરથી,$\cos^{100} x = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = 0$.
આ કિંમત $x = n\pi + \frac{\pi}{2}, n \in I$ માટે મળે છે.
આ કિંમતોને $\sin^{100} x = 1$ માં મૂકતા,$\sin(n\pi + \frac{\pi}{2}) = \pm 1$ મળે,તેથી $\sin^{100}(n\pi + \frac{\pi}{2}) = (\pm 1)^{100} = 1$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{2}, n \in I$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cos x$
નિત્યસમ $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = \sin x \cos x$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$2 - 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2 \sin x \cos x$
$2 - (2 \sin x \cos x)^2 = 2 \sin x \cos x$
$2 - \sin^2 2x = \sin 2x$
દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$\sin^2 2x + \sin 2x - 2 = 0$
$(\sin 2x + 2)(\sin 2x - 1) = 0$
$\sin 2x$ ની કિંમત $-2$ ન હોઈ શકે,તેથી:
$\sin 2x = 1$
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,$2x \in [0, 4\pi]$.
$\sin 2x = 1$ નો અર્થ છે $2x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\cos(\alpha - \beta) = 1$ અને $\cos(\alpha + \beta) = 1/e$,જ્યાં $\alpha, \beta \in [-\pi, \pi]$.
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ પરથી,$\alpha - \beta = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \beta$.
$\alpha = \beta$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\cos(2\alpha) = 1/e$ મળે છે.
કારણ કે $\alpha, \beta \in [-\pi, \pi]$,તેથી $2\alpha$ નો વિસ્તાર $[-2\pi, 2\pi]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 < 1/e < 1$. અંતરાલ $[-2\pi, 2\pi]$ માં,સમીકરણ $\cos(2\alpha) = 1/e$ માટે $\alpha$ ના ચાર અલગ-અલગ ઉકેલો મળે છે.
કારણ કે $\alpha = \beta$,તેથી $\alpha$ ની દરેક કિંમત માટે એક અનન્ય જોડી $(\alpha, \beta)$ મળે છે.
આમ,આવી કુલ $4$ જોડીઓ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(\sin \theta + 2) (\sin \theta + 3) (\sin \theta + 4) = 6$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,તેથી $1 \leq \sin \theta + 2 \leq 3$,$2 \leq \sin \theta + 3 \leq 4$,અને $3 \leq \sin \theta + 4 \leq 5$ થાય.
જો $\sin \theta = -1$ હોય,તો ગુણાકાર $(1)(2)(3) = 6$ થાય.
જો $\sin \theta > -1$ હોય,તો ગુણાકાર $6$ કરતા મોટો થાય.
તેથી,માત્ર ઉકેલ $\sin \theta = -1$ છે.
અંતરાલ $[0, 4\pi]$ માં,$\sin \theta = -1$ એ $\theta = \frac{3\pi}{2}$ અને $\theta = \frac{7\pi}{2}$ માટે મળે છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{3\pi}{2} + \frac{7\pi}{2} = 5\pi$ થાય.
તેથી $k = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin 2x + \cos 4x = 2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે અને $\cos \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
સરવાળો $2$ થવા માટે,બંને પદોએ એકસાથે તેમની મહત્તમ કિંમત ધારણ કરવી જોઈએ:
$\sin 2x = 1$ અને $\cos 4x = 1$.
નિત્યસમ $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\sin 2x = 1$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\cos 4x = 1 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$.
જોકે,આપણને $\cos 4x = 1$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $-1 \neq 1$,તેથી $x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ,$x$ ની કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan 2\theta \tan \theta = 1$.
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \cdot \tan \theta = 1$
$2 \tan^2 \theta = 1 - \tan^2 \theta$
$3 \tan^2 \theta = 1$
$\tan^2 \theta = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
આથી $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6} = (6n \pm 1)\frac{\pi}{6}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow 1 + \sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta$ (જ્યાં $\cos \theta \neq 0$)
$\Rightarrow \sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 1$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3}$
$\Rightarrow \cos \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{3}$
વ્યાપક ઉકેલ: $\theta + \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$
કિસ્સો $1$: $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 2n\pi + \frac{\pi}{6}$
$n=0$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{6}$ (માન્ય,$\cos \frac{\pi}{6} \neq 0$)
$n=1$ માટે,$\theta = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ (અંતરાલ $[0, 2\pi]$ ની બહાર)
કિસ્સો $2$: $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$
$n=1$ માટે,$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$
$\theta = \frac{3\pi}{2}$ પર,$\cos \theta = 0$,તેથી $\sec \theta$ અને $\tan \theta$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,$[0, 2\pi]$ માં એકમાત્ર માન્ય ઉકેલ $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3}-1) \sin \theta + (\sqrt{3}+1) \cos \theta = 2$
બંને બાજુને $2\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
અહીં $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$\sin \frac{\pi}{12} \sin \theta + \cos \frac{\pi}{12} \cos \theta = \cos \frac{\pi}{4}$
$\cos(\theta - \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{4}$
વ્યાપક ઉકેલ $\cos x = \cos \alpha \Rightarrow x = 2n\pi \pm \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta - \frac{\pi}{12} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$
$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}$,જ્યાં $n \in Z$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^7x + \sin^4x = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4x = (1 - \cos^2x)^2 = 1 - 2\cos^2x + \cos^4x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos^7x + 1 - 2\cos^2x + \cos^4x = 1$
$\cos^7x + \cos^4x - 2\cos^2x = 0$
$\cos^2x(\cos^5x + \cos^2x - 2) = 0$
કિસ્સો $1$: $\cos^2x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \pm \frac{\pi}{2}$.
કિસ્સો $2$: $\cos^5x + \cos^2x - 2 = 0$.
ધારો કે $f(t) = t^5 + t^2 - 2$ જ્યાં $t = \cos x$. $t \in [-1, 1]$ હોવાથી,$t^5 + t^2$ ની મહત્તમ કિંમત $1^5 + 1^2 = 2$ છે.
તેથી,$t^5 + t^2 - 2 = 0$ માત્ર ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $t = 1$,એટલે કે $\cos x = 1$.
$\cos x = 1 \implies x = 0$.
પરિણામોને જોડતા,$(-\pi, \pi)$ માં બીજ $\{ -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2} \}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\tan(\pi \tan x) = \cot(\pi \cot x)$ છે.
નિત્યસમ $\cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\pi \tan x) = \tan(\frac{\pi}{2} - \pi \cot x)$ મળે.
આથી $\pi \tan x = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \cot x$ થાય,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
સરળ કિસ્સા $n=0$ માટે,$\tan x + \cot x = \frac{1}{2}$ મળે.
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ મૂકતા,$\tan x + \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{2}$ મળે.
$\tan x$ વડે ગુણતા,$2 \tan^2 x - \tan x + 2 = 0$ મળે.
વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(2)(2) = 1 - 16 = -15$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$\tan x$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\phi$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 3 \tan 3\theta$.
$\tan(A+B)$ અને $\tan 3\theta$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} = 3 \left( \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} \right)$.
$t = \tan \theta$ લેતા,સમીકરણ $3t^4 - 6t^2 + 8t - 1 = 0$ મળે છે.
ચતુર્ઘાત સમીકરણના બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે.
અહીં $b=0$ અને $a=3$ હોવાથી,સરવાળો $0$ થાય છે.
તેથી,$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma + \tan \delta = 0$.

(D) આપેલ છે $\sin 3x = \cos 2x$.
આપણે તેને $\sin 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
$\sin A = \sin B$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $A = n\pi + (-1)^n B$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આ લાગુ પાડતા,$3x = n\pi + (-1)^n \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right)$.
કિસ્સો $1$: જો $n$ બેકી હોય,ધારો કે $n = 2k$. તો $3x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} - 2x$ $\Rightarrow 5x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{2k\pi}{5} + \frac{\pi}{10} = \frac{(4k+1)\pi}{10}$.
$k=1$ માટે,$x = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (અંતરાલમાં નથી).
$k=2$ માટે,$x = \frac{9\pi}{10}$ (અંતરાલમાં છે).
કિસ્સો $2$: જો $n$ એકી હોય,ધારો કે $n = 2k+1$. તો $3x = (2k+1)\pi - \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right) = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{2} + 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} + 2x$ $\Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$.
$k=0$ માટે,$x = \frac{\pi}{2}$ (અંતરાલમાં નથી).
$k=1$ માટે,$x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$ (અંતરાલમાં નથી).
આમ,અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$ માં માત્ર એક જ ઉકેલ $x = \frac{9\pi}{10}$ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.