Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $4 \sin^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ મૂકતા:
$4(1 - \cos^2 x) - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$4 - 4 \cos^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$-4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 4 \cos x + 13 = 0$
$4 \cos^3 x + 4 \cos^2 x + 4 \cos x = 13$
ધારો કે $f(t) = 4t^3 + 4t^2 + 4t$ જ્યાં $t = \cos x \in [-1, 1]$.
$[-1, 1]$ પર $f(t)$ ની મહત્તમ કિંમત $t = 1$ આગળ મળે છે:
$f(1) = 4(1)^3 + 4(1)^2 + 4(1) = 4 + 4 + 4 = 12$.
ડાબી બાજુની મહત્તમ કિંમત $12$ હોવાથી,તે ક્યારેય $13$ ને સમાન ન હોઈ શકે.
તેથી,કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ છે $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 1$.
અડધા ખૂણાના આદેશ $t = \tan \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ અને $\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) - 3 \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) = 1$.
$4 - 4t^2 - 6t = 1 + t^2 \implies 5t^2 + 6t - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $t = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-3 + 2 \sqrt{6}}{5}$ (કારણ કે $t > 0$).
$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{4}{3 \sqrt{6} - 2}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $2 \sin^2 \theta - \cos 2 \theta = 0$ અને $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0$,જે $4 \sin^2 \theta = 1$ માં પરિણમે છે,તેથી $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}$,એટલે કે $\sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0$,જે $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા,$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$ મળે.
$\sin \theta = -2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2}$ મળે.
બંને શરતોને સંતોષતા,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ ઉકેલ મળે.
અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ માટે $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ મળે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{5}{4} \cos ^2 2x + (\cos ^4 x + \sin ^4 x) + (\cos ^6 x + \sin ^6 x) = 2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^4 x + \sin ^4 x = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x$
અને $\cos ^6 x + \sin ^6 x = 1 - 3 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin ^2 2x$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{5}{4} \cos ^2 2x + (1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x) + (1 - \frac{3}{4} \sin ^2 2x) = 2$
$\frac{5}{4} \cos ^2 2x + 2 - \frac{5}{4} \sin ^2 2x = 2$
$\frac{5}{4} (\cos ^2 2x - \sin ^2 2x) = 0$
$\frac{5}{4} \cos 4x = 0$
$\cos 4x = 0$,જ્યાં $x \in [0, 2\pi] \Rightarrow 4x \in [0, 8\pi]$
$4x$ ની કિંમતો જેના માટે $\cos 4x = 0$ થાય તે $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}, \frac{15\pi}{2}$ છે.
આમ,કુલ $8$ ભિન્ન ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + (2 - \sqrt{6}) \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - \sqrt{6} \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
$2 \cos \theta (\sqrt{2} \cos \theta + 1) - \sqrt{3} (\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
$(2 \cos \theta - \sqrt{3})(\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
$1) \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2) \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta \in [-2 \pi, 2 \pi]$ માટે:
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે,ઉકેલો $\theta = \pm \frac{\pi}{6}, \pm \frac{11 \pi}{6}$ ($4$ ઉકેલો) છે.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,ઉકેલો $\theta = \pm \frac{3 \pi}{4}, \pm \frac{5 \pi}{4}$ ($4$ ઉકેલો) છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $= 4 + 4 = 8$.

(A) ધારો કે $x = \operatorname{cosec} \theta$. સમીકરણ $\sqrt{3}x^2 - 2(\sqrt{3}-1)x - 4 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^2 + 16\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}$
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{16+8\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm (2\sqrt{3}+2)}{2\sqrt{3}}$.
કિસ્સો $1$: $x = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $2$: $x = -\frac{2}{\sqrt{3}} \implies \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતરાલ $\theta \in [-\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$ માં,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ ના $3$ ઉકેલો છે અને $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ના $3$ ઉકેલો છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $3 + 3 = 6$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x + 3 \tan x = \pi$ છે.
આને $\tan x = \frac{\pi}{3} - \frac{2x}{3}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $x \in [-2\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં $y = \tan x$ અને $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ ના આલેખ દોરીએ છીએ.
$y = \tan x$ વિધેયને $x = \pm \frac{\pi}{2}$ અને $x = \pm \frac{3\pi}{2}$ પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) છે.
રેખા $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ નો ઢાળ ઋણ છે અને તે $(0, \frac{\pi}{3})$ માંથી પસાર થાય છે.
$\tan x$ ના આલેખ અને સીધી રેખાના છેદબિંદુઓનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપેલ પ્રદેશમાં $5$ છેદબિંદુઓ છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(4-\sqrt{3}) \sin x - 2 \sqrt{3} \cos^2 x = -\frac{4}{1+\sqrt{3}}$
$RHS$ નું સંમેયીકરણ કરતા: $-\frac{4(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = 2 - 2\sqrt{3}$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$2\sqrt{3} \sin^2 x + (4-\sqrt{3}) \sin x - 2 = 0$
$(2 \sin x - 1)(\sqrt{3} \sin x + 2) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ મળે.
$x \in [-2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ અંતરાલમાં $\sin x = \frac{1}{2}$ ના ઉકેલો: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} + \cos \frac{5 \theta}{2} = 2 \cos^3 \frac{5 \theta}{2}$
નિત્યસમ $2 \cos^3 A - \cos A = \cos 3A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2}$
આ સમીકરણનો ઉકેલ $\theta = \frac{n \pi}{3}$ અને $\theta = \frac{2n \pi}{9}$ મળે છે.
અંતરાલ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં ઉકેલો $\theta \in \{-\frac{4 \pi}{9}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2 \pi}{9}, 0, \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{9}\}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $7$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ગુણતા (જ્યાં $\cos x \neq 0$): $\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
પદોને ગોઠવતા: $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
આનાથી બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -1$
કિસ્સો $1$: જો $\sin x = -1$,તો $x = \frac{3 \pi}{2}$. $x = \frac{3 \pi}{2}$ પર $\cos x = 0$ થાય છે,જે $\tan x$ અને $\sec x$ ને અવ્યાખ્યાયિત બનાવે છે. તેથી,આ ઉકેલ માન્ય નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\sin x = \frac{1}{2}$,તો $x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5 \pi}{6}$. બંને કિંમતો અંતરાલ $[0, 2 \pi]$ માં છે અને આ બિંદુઓ પર $\cos x \neq 0$ છે.
તેથી,કુલ $2$ માન્ય ઉકેલો છે.

(D) ધારો કે $e^{\sin x} = y$. કારણ કે $e^{\sin x} > 0$,તેથી $y > 0$.
સમીકરણ $y - \frac{1}{y} = 4$ બને છે,જે $y^2 - 4y - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$y = 2 \pm \sqrt{5}$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = 2 + \sqrt{5}$.
આમ,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ એટલે કે $\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$2 + \sqrt{5} \approx 4.236$.
$e \approx 2.718$ હોવાથી,$\ln(4.236) > 1$.
તેથી,$\sin x > 1$,જે કોઈ પણ વાસ્તવિક $x$ માટે શક્ય નથી.
આમ,આપેલ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $\tan 3\theta = \cot \theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
તેથી,$\tan 3\theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
$\tan x = \tan y$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + y$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$3\theta = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \theta)$.
બંને બાજુ $\theta$ ઉમેરતા,આપણને $4\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$4\theta = \frac{(2n+1)\pi}{2}$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{8}$ મળે છે,જ્યાં $n \in Z$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
નિત્યસમ $\cos(x) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
આથી $\frac{\pi}{4} \cot \theta = n \pi + (-1)^n \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$n=0$ માટે,$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta \implies \cot \theta + \tan \theta = 2 \implies \frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = 2$.
ધારો કે $\tan \theta = t$,તો $\frac{1}{t} + t = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies \tan \theta = 1$.
તેથી,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(5+3 \sin \theta)(2 \cos \theta+1)=0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $(5+3 \sin \theta)=0$ અથવા $(2 \cos \theta+1)=0$.
કિસ્સો $1$: $5+3 \sin \theta = 0 \implies \sin \theta = -\frac{5}{3}$. $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં હોય છે.
અંતરાલ $[0, 2\pi)$ માં,ઉકેલો $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ છે.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{2\pi}{3}$ અને $\frac{4\pi}{3}$ છે.

(D) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ માટે,મુખ્ય કિંમતો $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ અને $\theta = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$ છે.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,મુખ્ય કિંમતો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ છે.
બંને ગણમાં સામાન્ય કિંમત $\theta = \frac{7 \pi}{6}$ છે.
જોકે,$\tan \theta$ નો મુખ્ય ઉકેલ અંતરાલ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $\theta = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,તેથી કોઈ સામાન્ય મુખ્ય ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$ અને $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} + \frac{1}{\cos 2\theta} = 1$.
ધારો કે $x = \cos 2\theta$. તો $\frac{1-x}{1+x} + \frac{1}{x} = 1$.
$\frac{x(1-x) + 1+x}{x(1+x)} = 1 \implies x - x^2 + 1 + x = x + x^2$.
$2x^2 - x - 1 = 0 \implies (2x + 1)(x - 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos 2\theta = 1 \implies 2\theta = 2n\pi \implies \theta = n\pi$.
કિસ્સો $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{2} \implies 2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \sqrt{3} \cos^2 \theta = \sin \theta$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sqrt{3} (1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$
$2 \sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin \theta - 2 \sqrt{3} = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ (જે શક્ય નથી).
તેથી,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{3}$
વ્યાપક ઉકેલ: $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan \theta = \tan \alpha$ છે.
ટેન્જન્ટ વિધેયનું આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી,$\tan \theta = \tan \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi + \alpha$ થાય,જ્યાં $n \in Z$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$4 - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta = 1$
$4\cos^2 \theta + 4\cos \theta - 3 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $4x^2 + 4x - 3 = 0$
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -\frac{3}{2}$ (અસ્વીકાર્ય)
$[0, 2\pi]$ માં $\cos \theta = \frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}$ અથવા $\theta = \frac{5\pi}{3}$
આમ,ઉકેલ ગણ $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - 3 \sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3 \cos 2x + \cos 3x$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 3x + \sin x) - 3 \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3 \cos 2x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2 \sin 2x \cos x - 3 \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x - 3 \cos 2x$
$\sin 2x (2 \cos x - 3) = \cos 2x (2 \cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2 \cos x - 3) = 0$
કારણ કે $2 \cos x - 3 = 0$ નો અર્થ $\cos x = 1.5$ થાય છે,જે અશક્ય છે,તેથી $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, n \in Z$

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan(x) \tan(x-50^{\circ})$
$x = 30^{\circ}$ મૂકતા:
$LHS$: $\tan(30^{\circ}+100^{\circ}) = \tan(130^{\circ}) = -\tan 50^{\circ}$.
$RHS$: $\tan(80^{\circ}) \tan(30^{\circ}) \tan(-20^{\circ})$.
આ કિંમતો સમાન હોવાથી,$x = 30^{\circ}$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^2 x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
નિત્યસમ $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^2 x$ અને $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^2 x - (1 - 2 \sin ^2 x) = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x - 1 = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 = 0$
$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$ હોવાથી,$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^2 x + \cos ^2 x) = 0$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \sin ^2 x - 3 \cos ^2 x = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^2 x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
આથી $\cos x = 0$ અથવા $2 \sin x - 3 \cos x = 0$ મળે.
આપેલ છે કે $3 \cos x \neq 2 \sin x$,તેથી $\cos x = 0$ હોવું જોઈએ.
$\cos x = 0$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = (2 n + 1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \cos x = 1$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}, n \in Z$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{\tan 3x - 1}{\tan 3x + 1} = \sqrt{3}$ છે.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan 3x - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan 3x \tan(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan(3x - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{3})$.
વ્યાપક ઉકેલ માટે,$3x - \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{3}$.
$3x = n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{7\pi}{12}$.
$x = \frac{n\pi}{3} + \frac{7\pi}{36}$.
$x = \frac{n\pi}{p} + \frac{7\pi}{q}$ સાથે સરખાવતા,$p = 3$ અને $q = 36$ મળે.
તેથી,$\frac{p}{q} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^2 \theta - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} = 0$
$\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$ મૂકતા:
$(1 - \sin ^2 \theta) - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} = 0$
$\sin ^2 \theta + 2 \sin \theta - \frac{5}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$4 \sin ^2 \theta + 8 \sin \theta - 5 = 0$
અવયવ પાડતા:
$4 \sin ^2 \theta + 10 \sin \theta - 2 \sin \theta - 5 = 0$
$2 \sin \theta(2 \sin \theta + 5) - 1(2 \sin \theta + 5) = 0$
$(2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 5) = 0$
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin \theta = -\frac{5}{2}$.
$\sin \theta = -\frac{5}{2}$ શક્ય નથી કારણ કે $-1 \le \sin \theta \le 1$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ છે.
$\theta = \frac{n \pi}{A} + (-1)^n \frac{\pi}{B}$ સાથે સરખાવતા,$A = 1$ અને $B = 6$ મળે.
તેથી,$A + B = 1 + 6 = 7$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3 \sec^2 \theta = 2 \operatorname{cosec} \theta$
$\Rightarrow \frac{3}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\Rightarrow \frac{3}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\Rightarrow 3 \sin \theta = 2 - 2 \sin^2 \theta$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$
$\sin \theta = -2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n \pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ સમીકરણ: $\sec x + \tan x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
કારણ કે $\sin x = -1$ લેવાથી $\cos x = 0$ થાય છે,જે અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $1 + \sin x \neq 0$.
બંને બાજુ $(1 + \sin x)$ વડે ભાગતા:
$1 = 2(1 - \sin x)$
$\Rightarrow 1 = 2 - 2 \sin x$
$\Rightarrow 2 \sin x = 1$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
અંતરાલ $[0, 2 \pi)$ માં,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\cot x + \sqrt{3} = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\cot x = -\sqrt{3}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$,અને કોટિજ્યા વિધેય બીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોય છે,તેથી:
$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{5 \pi}{6}$ અને $\frac{11 \pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^{2} x + 7 \cos x = 5$
$\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(1 - \cos^{2} x) + 7 \cos x = 5$
$2 - 2 \cos^{2} x + 7 \cos x = 5$
$2 \cos^{2} x - 7 \cos x + 3 = 0$
ધારો કે $t = \cos x$. તો $2t^{2} - 7t + 3 = 0$
$2t^{2} - 6t - t + 3 = 0$
$2t(t - 3) - 1(t - 3) = 0$
$(2t - 1)(t - 3) = 0$
તેથી,$t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = 3$.
$\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$t = 3$ શક્ય નથી.
તેથી,$\cos x = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $\theta = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \frac{4\pi}{3}$ માટે $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,$2x = \frac{2\pi}{3}$ અથવા $2x = \frac{4\pi}{3}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{\pi}{3}$ અથવા $x = \frac{2\pi}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}=3$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ અને $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = 3$
$\tan^2 x = 3$
$\tan^2 x = 3$ હોવાથી,$\tan^2 x = (\sqrt{3})^2 = \tan^2 \frac{\pi}{3}$ મળે.
$\tan^2 x = \tan^2 \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \sin (4 \theta) + \sin (7 \theta) = 0$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીને,$\sin \theta$ અને $\sin (7 \theta)$ ને જોડતા:
$2 \sin (4 \theta) \cos (3 \theta) + \sin (4 \theta) = 0$.
$\sin (4 \theta)$ સામાન્ય લેતા:
$\sin (4 \theta) (2 \cos (3 \theta) + 1) = 0$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin (4 \theta) = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ માટે,કિંમતો $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ છે.
કિસ્સો $2$: $2 \cos (3 \theta) + 1 = 0 \implies \cos (3 \theta) = -\frac{1}{2}$.
$3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ માટે:
જો $n=0$,તો $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
જો $n=1$,તો $\theta = \frac{4 \pi}{9}$ અને $\theta = \frac{8 \pi}{9}$.
બધી કિંમતોને જોડતા,$\theta \in \{ \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{9} \}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = 16^{\sin ^2 x}$. $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ હોવાથી,$16^{\cos ^2 x} = \frac{16}{y}$ થાય.
સમીકરણ: $y + \frac{16}{y} = 10 \implies y^2 - 10y + 16 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(y - 8)(y - 2) = 0$,તેથી $y = 8$ અથવા $y = 2$.
કિસ્સો $1$: $16^{\sin ^2 x} = 8 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આના $4$ ઉકેલો મળે.
કિસ્સો $2$: $16^{\sin ^2 x} = 2 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$. આના $4$ ઉકેલો મળે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $4 + 4 = 8$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ છે.
ધારો કે $t = \sin x$. સમીકરણ $2t^2 + 5t - 3 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(2t - 1)(t + 3) = 0$.
તેથી $t = \frac{1}{2}$ અથવા $t = -3$.
$-1 \le \sin x \le 1$ હોવાથી,$\sin x = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા.
અંતરાલ $[0, 3\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ મળે છે.
કુલ $3$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 - \cos \theta = \sin \theta \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} (1 - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin^2 \frac{\theta}{2} = 0 \implies \frac{\theta}{2} = n\pi \implies \theta = 2n\pi$
કિસ્સો $2$: $1 - \cos \frac{\theta}{2} = 0 \implies \cos \frac{\theta}{2} = 1 \implies \frac{\theta}{2} = 2n\pi \implies \theta = 4n\pi$
બંનેને જોડતા,ઉકેલ $\theta = 2n\pi$ અથવા $\theta = 4n\pi$ જ્યાં $n \in Z$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $t = \sin x$. તો સમીકરણ $3t^2 - 7t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 - 6t - t + 2 = 0 \implies 3t(t - 2) - 1(t - 2) = 0 \implies (3t - 1)(t - 2) = 0$.
તેથી,$t = \frac{1}{3}$ અથવા $t = 2$.
કારણ કે $\sin x$ ની કિંમત $2$ ન હોઈ શકે,તેથી $\sin x = \frac{1}{3}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{3}$ માટે $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $[2\pi, 4\pi]$ માં,બીજા $2$ ઉકેલો મળે છે.
અંતરાલ $[4\pi, 5\pi]$ માં,$1$ ઉકેલ મળે છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $2 + 2 + 1 = 5$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \sec ^2 \theta+2 \tan ^2 \theta=0$
$(1-\tan^2 \theta)(1+\tan^2 \theta) + 2\tan^2 \theta = 0$ નો ઉપયોગ કરતા
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$. જ્યાં $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,તેથી $x \ge 0$.
સમીકરણ $(1-x)(1+x) + 2x = 0$ બને છે
$1 - x^2 + 2x = 0$
$x^2 - 2x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $x = 1 \pm \sqrt{2}$ મળે છે.
$x = \tan^2 \theta \ge 0$ હોવાથી,$x = 1 + \sqrt{2}$ લેતા.
તેથી,$\tan^2 \theta = 1 + \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$.
આમ,$\theta$ ની બે કિંમતો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin \frac{\pi}{3} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n \pi + (-1)^{n} \alpha$ છે: $\theta + \frac{\pi}{3} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4}, n \in Z$
તેથી,$\theta = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, n \in Z$

(D) આપેલ સમીકરણ $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપેલ છે: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[2(1 - \sin x) - 1] = 0$
કારણ કે $\sin x = -1$ નો અર્થ છે $\cos x = 0$,જે $\tan x$ અને $\sec x$ ને અવ્યાખ્યાયિત બનાવે છે,તેથી $1 + \sin x \neq 0$.
તેથી,$2(1 - \sin x) - 1 = 0$
$\Rightarrow 2 - 2 \sin x - 1 = 0$
$\Rightarrow 2 \sin x = 1$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$[0, 2 \pi]$ અંતરાલમાં,$\sin x = \frac{1}{2}$ એ $x = \frac{\pi}{6}$ અને $x = \frac{5 \pi}{6}$ પર મળે છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin 7 \theta + \sin \theta + \sin 4 \theta = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4 \theta \cos 3 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta (2 \cos 3 \theta + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ માટે,$n = 1, 2, 3$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\cos 3 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3} \implies 3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ માટે:
જો $n=0$,તો $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
જો $n=1$,તો $\theta = \frac{2 \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{9}, \frac{4 \pi}{9}$.
ઉકેલો $\theta \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{2 \pi}{9}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{8 \pi}{9}\}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $= 6$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $8 \cos^2 \theta + 14 \cos \theta + 5 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $8 \cos^2 \theta + 10 \cos \theta + 4 \cos \theta + 5 = 0$
$\therefore 2 \cos \theta (4 \cos \theta + 5) + 1 (4 \cos \theta + 5) = 0$
$\therefore (2 \cos \theta + 1)(4 \cos \theta + 5) = 0$
$\therefore \cos \theta = -\frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = -\frac{5}{4}$
$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\cos \theta = -\frac{5}{4}$ શક્ય નથી.
$\therefore \cos \theta = -\frac{1}{2}$
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ માટે $\theta = \frac{2\pi}{3}$ અને $\theta = \frac{4\pi}{3}$ મળે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3x \cos 2x = \sin 3x$
$\sin 3x (2 \cos 2x - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0 \implies x = \frac{n\pi}{3}$. અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માટે $x = \frac{\pi}{3}$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\cos 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માટે $x = \frac{\pi}{6}$ ઉકેલ છે.
આમ,ઉકેલો $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$ છે.

(A) આપેલ છે $\tan 3 \theta = -1$.
$\tan \frac{3 \pi}{4} = -1$ હોવાથી,$\tan 3 \theta = \tan \frac{3 \pi}{4}$.
વ્યાપક ઉકેલ $3 \theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$3$ વડે ભાગતા,$\theta = \frac{n \pi}{3} + \frac{\pi}{4}$.
મુખ્ય ઉકેલો માટે,$\theta \in [0, 2 \pi)$ લેતા:
$n = 0$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
$n = 1$ માટે,$\theta = \frac{7 \pi}{12}$.
$n = 2$ માટે,$\theta = \frac{11 \pi}{12}$.
$n = 3$ માટે,$\theta = \frac{5 \pi}{4}$.
$n = 4$ માટે,$\theta = \frac{19 \pi}{12}$.
$n = 5$ માટે,$\theta = \frac{23 \pi}{12}$.
આમ,ઉકેલનો ગણ $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{19 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12}\right\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3} \operatorname{cosec} x + 2 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\operatorname{cosec} x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે.
$\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$ હોવાથી,$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin x$ ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોવાથી,મુખ્ય ઉકેલો નીચે મુજબ છે:
$x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{4 \pi}{3}$ અને $\frac{5 \pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x$ બીજા અને ત્રીજા ચરણમાં ઋણ હોવાથી,આપણે $[0, 2\pi)$ અંતરાલમાં મુખ્ય ઉકેલો મેળવીએ છીએ.
$\cos x = -\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$
$\cos x = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6})$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{5\pi}{6}$ અને $x = \frac{7\pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cot x = \sqrt{3}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ હોવાથી,$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $x$ ના મુખ્ય મૂલ્યો $(0, 2\pi)$ અંતરાલમાં હોય છે.
પ્રથમ ચરણમાં,$x = \frac{\pi}{6}$ માટે $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય છે.
$\tan x$ ત્રીજા ચરણમાં ધન હોવાથી,બીજો ઉકેલ $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ મળે.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{7\pi}{6}$ છે.