Height and Distance Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરથી પ્રથમ બિંદુનું અંતર $x$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{OA}$ $\Rightarrow OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{OB}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + OA}$ $\Rightarrow 20 + OA = h\sqrt{3}$.
$OA = \frac{h}{\sqrt{3}}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$20 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$20 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$
$20 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$
$h = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, m$.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 20 \, m$ છે અને પાયાથી અંતર $d$ છે.
ટાવર અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(30^\circ) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પાયો}} = \frac{20}{d}$
$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{d}$
$d = 20\sqrt{3} \, m$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે ટાવર $OP$ ની ઊંચાઈ $h$ છે,જ્યાં $O$ એ ટાવરનો પાયો છે.
$\triangle OAP$ માં,$\tan \alpha = \frac{h}{OA} \Rightarrow OA = h \cot \alpha$.
$\triangle OBP$ માં,$\tan \beta = \frac{h}{OB} \Rightarrow OB = h \cot \beta$.
$OA$ દક્ષિણ દિશામાં અને $OB$ પૂર્વ દિશામાં હોવાથી,$\triangle OAB$ એ $O$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\triangle OAB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OA^2 + OB^2 = AB^2$.
$(h \cot \alpha)^2 + (h \cot \beta)^2 = d^2$.
$h^2 (\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta) = d^2$.
$h^2 = \frac{d^2}{\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta}$.
$h = \frac{d}{\sqrt{\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta}}$.

(A) ધારો કે ઝાડની ઊંચાઈ $h$ છે અને નદીની પહોળાઈ $b$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પ્રથમ ત્રિકોણમાં,$\tan 60^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \tan 60^\circ = b\sqrt{3}$.
બીજા ત્રિકોણમાં,$\tan 30^\circ = \frac{h}{b + 40} \Rightarrow h = (b + 40) \tan 30^\circ = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$b\sqrt{3} = \frac{b + 40}{\sqrt{3}}$
$3b = b + 40$
$2b = 40$
$b = 20 \ m$.

(B) ધારો કે થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. નીચેનો ભાગ $\frac{H}{3}$ છે અને ઉપરનો ભાગ $\frac{2H}{3}$ છે. બિંદુ પાયાથી $d = 20 \, m$ અંતરે છે. ધારો કે $\alpha$ એ નીચેના ભાગ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે અને $\beta$ એ આખા થાંભલા દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે. ઉપરના ભાગ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\theta = \beta - \alpha$ છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
આપણને મળે છે $\tan \alpha = \frac{H}{3d}$ અને $\tan \beta = \frac{H}{d}$.
સૂત્ર $\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{\frac{H}{d} - \frac{H}{3d}}{1 + \frac{H^2}{3d^2}} = \frac{2Hd}{3d^2 + H^2}$.
આમ,$H^2 - 4dH + 3d^2 = 0$.
$d = 20$ મૂકતા,$H^2 - 80H + 1200 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(H - 20)(H - 60) = 0$.
તેથી,થાંભલાની શક્ય ઊંચાઈઓ $H = 20 \, m$ અને $H = 60 \, m$ છે.

(D) ધારો કે $H = 60 \ m$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે અને $h$ એ ઘરની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $d$ એ ટાવર અને ઘર વચ્ચેનું અંતર છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ:
$\tan \alpha = \frac{H - h}{d} \Rightarrow d = \frac{60 - h}{\tan \alpha}$
$\tan \beta = \frac{H}{d} \Rightarrow d = \frac{60}{\tan \beta}$
$d$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{60 - h}{\tan \alpha} = \frac{60}{\tan \beta}$
$(60 - h) \tan \beta = 60 \tan \alpha$
$60 \tan \beta - h \tan \beta = 60 \tan \alpha$
$h \tan \beta = 60(\tan \beta - \tan \alpha)$
$h = 60 \left( \frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$
$h = 60 \left( \frac{\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha}{\cos \beta \cos \alpha} \right) \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$
$h = \frac{60 \sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha \sin \beta}$
આપેલ પદ $\frac{60 \sin(\beta - \alpha)}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \cos \alpha \sin \beta$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઝાડની ઊંચાઈ $h$ છે. ધારો કે કાર શરૂઆતમાં બિંદુ $A$ પર છે અને $3 \text{ મિનિટ}$ પછી બિંદુ $B$ પર છે.
$30^\circ$ ના ખૂણા સાથે બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઝાડના પાયાથી અંતર $x_1 = h \cot(30^\circ) = h\sqrt{3}$ છે.
$60^\circ$ ના ખૂણા સાથે બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,ઝાડના પાયાથી અંતર $x_2 = h \cot(60^\circ) = \frac{h}{\sqrt{3}}$ છે.
$3 \text{ મિનિટ}$ માં કાપેલું અંતર $d = x_1 - x_2 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ છે.
કાર $\frac{2h}{\sqrt{3}}$ અંતર $3 \text{ મિનિટ}$ માં કાપે છે,તેથી ઝડપ $v = \frac{2h}{3\sqrt{3}} \text{ પ્રતિ મિનિટ}$ છે.
ઝાડ સુધીનું બાકીનું અંતર $x_2 = \frac{h}{\sqrt{3}}$ છે.
બાકીનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{h/\sqrt{3}}{2h/(3\sqrt{3})} = \frac{h}{\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{3}}{2h} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ મિનિટ}$.

(A) ધારો કે બે ઘર વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. બારી $64 \ m$ ની ઊંચાઈ પર છે. $100 \ m$ ઊંચાઈ ધરાવતું ઘર બારીમાંથી પસાર થતી આડી રેખા દ્વારા બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે: એક ભાગ $64 \ m$ (બારીની નીચે) અને બીજો ભાગ $(100 - 64) = 36 \ m$ (બારીની ઉપર).
ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે નીચેનો ભાગ $d$ અંતરની આડી રેખા સાથે બનાવે છે. તેથી $\tan \theta = \frac{64}{d}$.
ઉપરનો ભાગ આડી રેખા સાથે $(90^\circ - \theta)$ ખૂણો બનાવે છે. તેથી $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{36}{d}$,જેનો અર્થ છે $\cot \theta = \frac{36}{d}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $\tan \theta \times \cot \theta = \frac{64}{d} \times \frac{36}{d}$.
$1 = \frac{64 \times 36}{d^2}$.
$d^2 = 64 \times 36$.
$d = \sqrt{64 \times 36} = 8 \times 6 = 48 \ m$.

(A) ધારો કે $OP = l$ એ થાંભલાની લંબાઈ છે,જે શિરોલંબ સાથે $10^\circ$ ના ખૂણે નમેલો છે. $O$ એ થાંભલાનો પાયો છે અને $S$ એ પડછાયાનો છેડો છે. પડછાયાની લંબાઈ $OS = 2.05 \text{ m}$ છે.
$\triangle SPO$ માં,સૂર્યનો ઉન્નતકોણ $\angle OSP = 38^\circ$ છે.
થાંભલા અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $10^\circ$ છે. શિરોલંબ અને જમીન વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
તેથી,થાંભલા અને જમીન વચ્ચેનો ખૂણો $\angle SOP = 90^\circ + 10^\circ = 100^\circ$ થાય.
$\triangle SPO$ માં ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$\angle SPO = 180^\circ - (38^\circ + 100^\circ) = 42^\circ$.
$\triangle SPO$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{OP}{\sin \angle OSP} = \frac{OS}{\sin \angle SPO}$
$\frac{l}{\sin 38^\circ} = \frac{2.05}{\sin 42^\circ}$
$l = \frac{2.05 \sin 38^\circ}{\sin 42^\circ}$

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે.
આપેલ છે કે પાયાથી અંતર $20 \ m$ છે અને ઉત્સેધકોણ $45^\circ$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(45^\circ) = \frac{h}{20}$
કારણ કે $\tan(45^\circ) = 1$,તેથી:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \ m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $20 \ m$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે અને બીજા ટાવરની ઊંચાઈ $H = 150 \ m$ છે.
તેમની વચ્ચેનું આડું અંતર $d = 60 \ m$ છે.
બીજા ટાવરની ટોચ પરથી પ્રથમ ટાવરની ટોચનો અવસેધકોણ $30^\circ$ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ ટાવરની ટોચથી બીજા ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ પણ $30^\circ$ છે.
ઊંચાઈના તફાવત અને આડા અંતર દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા:
$\tan(30^\circ) = \frac{H - h}{d}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150 - h}{60}$
$150 - h = \frac{60}{\sqrt{3}}$
$150 - h = 20\sqrt{3}$
$h = 150 - 20\sqrt{3} \ m$.
આમ,પ્રથમ ટાવરની ઊંચાઈ $(150 - 20\sqrt{3}) \ m$ છે.

(B) ધારો કે લાઇટહાઉસની ઊંચાઈ $h = 60 \ m$ છે અને લાઇટહાઉસના પાયાથી હોડીનું અંતર $x \ m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,હોડીથી ટોચનો ઉત્સેધકોણ એ અવસેધકોણ જેટલો જ એટલે કે $15^\circ$ હોય છે.
તેથી,$\tan(15^\circ) = \frac{60}{x}$.
માટે,$x = 60 \cot(15^\circ) = 60 \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \right) \ m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે ખડકની ઊંચાઈ $h \ m$ છે અને નિરીક્ષકનું ખડકના પાયાથી અંતર $x \ m$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,ટાવરની ઊંચાઈ $60 \ m$ છે.
ખડક અને નિરીક્ષક દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h \cot(30^\circ) = h\sqrt{3}$.
ટાવર અને ખડક બંને દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કુલ ઊંચાઈ $(h + 60) \ m$ છે:
$\tan(60^\circ) = \frac{h + 60}{x} \Rightarrow x = \frac{h + 60}{\tan(60^\circ)} = \frac{h + 60}{\sqrt{3}}$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$h\sqrt{3} = \frac{h + 60}{\sqrt{3}}$
$3h = h + 60$
$2h = 60$
$h = 30 \ m$.

(B) ધારો કે ટાવર $OT$ ની ઊંચાઈ $H$ છે,જ્યાં $O$ ટાવરનો પાયો છે. ધારો કે $A$ જમીન પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $\angle OAT = \alpha$ થાય. તેથી,$\triangle AOT$ માં,$\tan \alpha = \frac{H}{AO}$,જેનો અર્થ છે કે $AO = H \cot \alpha$.
ધારો કે $P$ એ $A$ ની ઉપર $l$ મીટર ઊંચાઈએ આવેલું બિંદુ છે,તેથી $PA = l$. $P$ થી પાયા $O$ નો અવસેધકોણ $\beta$ છે,તેથી $\angle POA = \beta$. $\triangle PAO$ માં,$\tan \beta = \frac{PA}{AO} = \frac{l}{AO}$,જેનો અર્થ છે કે $AO = l \cot \beta$.
$AO$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $H \cot \alpha = l \cot \beta$.
તેથી,$H = l \frac{\cot \beta}{\cot \alpha} = l \tan \alpha \cot \beta$.

(B) ધારો કે $O$ એ ટાવરનો પાયો છે અને $H = 100 \ m$ તેની ઊંચાઈ છે.
$\triangle AOT$ માં,જ્યાં $T$ એ ટાવરની ટોચ છે,$\tan 30^\circ = \frac{H}{OA} \implies OA = \frac{100}{\tan 30^\circ} = 100\sqrt{3} \ m$.
$\triangle BOT$ માં,$\tan 45^\circ = \frac{H}{OB} \implies OB = \frac{100}{\tan 45^\circ} = 100 \ m$.
$OA$ દક્ષિણ દિશામાં છે અને $OB$ પશ્ચિમ દિશામાં હોવાથી,$\angle AOB = 90^\circ$.
કાટકોણ $\triangle AOB$ માં,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{(100\sqrt{3})^2 + 100^2} = \sqrt{30000 + 10000} = \sqrt{40000} = 200 \ m$.

$(B)$ ધારો કે વિમાનની ઊંચાઈ $H = 1 \ km$ છે। ધારો કે વિમાન દ્વારા $10$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $d$ છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$d = H \cot(30^\circ) - H \cot(60^\circ)$
$d = 1 \times \sqrt{3} - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \ km$.
લીધેલ સમય $t = 10 \ \text{સેકન્ડ} = \frac{10}{3600} \ \text{કલાક} = \frac{1}{360} \ \text{કલાક}$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2/\sqrt{3}}{1/360} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 360 = \frac{720}{\sqrt{3}} = 240\sqrt{3} \ km/h$.

(B) ધારો કે અવલોકન બિંદુ $P$ સરોવરની સપાટીથી $a$ મીટર ઊંચાઈએ છે. ધારો કે વાદળ $C$ સરોવરની સપાટીથી $H$ ઊંચાઈએ છે. વાદળનું પ્રતિબિંબ સરોવરની સપાટીથી $H$ ઊંડાઈએ $C'$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\tan \alpha = \frac{H - a}{x}$ અને $\tan \beta = \frac{H + a}{x}$,જ્યાં $x$ એ સમક્ષિતિજ અંતર છે.
તેથી,$x = (H - a) \cot \alpha = (H + a) \cot \beta$.
આ સમીકરણને ઉકેલતા,$H(\cot \alpha - \cot \beta) = a(\cot \alpha + \cot \beta)$.
સાદુરૂપ આપતા,$H = \frac{a \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta - \alpha)}$.

(C) ટાવરની ટોચ પરથી જમીન પરના બિંદુ $A$ નો અવસેધકોણ એ ટોચ પરથી પસાર થતી સમક્ષિતિજ રેખા અને બિંદુ $A$ તરફની દ્રષ્ટિરેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
યુગ્મકોણના ગુણધર્મને આધારે,જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ (ટોચ પરની સમક્ષિતિજ રેખા અને જમીન) ને એક છેદિકા (દ્રષ્ટિરેખા) છેદે,ત્યારે અવસેધકોણ અને ઉત્સેધકોણ સમાન હોય છે.
તેથી,જો અવસેધકોણ $30^\circ$ હોય,તો બિંદુ $A$ થી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ પણ $30^\circ$ થશે.

(B) ધારો કે દરેક થાંભલાની ઊંચાઈ $h \, m$ છે. બે થાંભલાઓ વચ્ચેનું અંતર $120 \, m$ છે.
તેમના તળિયાને જોડતી રેખા પર $A$ અને $B$ એવા બિંદુઓ છે કે જેથી $AB = 30 \, m$ થાય.
આકૃતિ મુજબ,પ્રથમ થાંભલાના પાયાથી $A$ નું અંતર $h$ થશે (કારણ કે $\tan 45^\circ = \frac{h}{dist} = 1$).
તે જ રીતે,બીજા થાંભલાના પાયાથી $B$ નું અંતર $h$ થશે.
બંને થાંભલાઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર = (પ્રથમ થાંભલાથી $A$ નું અંતર) + $AB$ + ($B$ થી બીજા થાંભલાનું અંતર).
તેથી,$h + 30 + h = 120$.
$2h = 90$.
$h = 45 \, m$.

(A) ધારો કે ધ્રુવની ઊંચાઈ $p$ છે. ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને તે અવલોકનકારથી $2h$ અંતરે છે.
ટાવર દ્વારા બનતો ખૂણો $\alpha$ છે. તેથી,$\tan \alpha = \frac{h}{2h} = \frac{1}{2}$.
ધ્રુવ ટાવરની ઉપર છે. ધ્રુવ દ્વારા બનતો ખૂણો પણ $\alpha$ છે.
ટાવર અને ધ્રુવ દ્વારા સાથે બનતો કુલ ખૂણો $\alpha + \alpha = 2\alpha$ છે.
કુલ ઊંચાઈ $h + p$ છે.
તેથી,$\tan(2\alpha) = \frac{h + p}{2h}$.
સૂત્ર $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h + p}{2h} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\frac{h + p}{2h} = \frac{4}{3}$ $\Rightarrow h + p = \frac{8h}{3}$ $\Rightarrow p = \frac{8h}{3} - h = \frac{5h}{3}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ ઘરની ઊંચાઈ $H$ છે. ધારો કે બારી જમીનથી $y$ ઊંચાઈ પર છે. ઘરો વચ્ચેનું અંતર $d = 6 \ m$ છે.
પ્રથમ ઘરના તળિયેથી,બીજા ઘરના પાયાથી અને બારીથી બનતા ત્રિકોણ પરથી,$\tan(60^\circ) = \frac{y}{6}$.
તેથી,$y = 6 \tan(60^\circ) = 6\sqrt{3} \ m$.
ધારો કે બારી $H$ ઊંચાઈના ઘરને બે ભાગ $h_1$ અને $h_2$ માં વિભાજિત કરે છે જેથી $H = h_1 + h_2$. બારી જમીનથી $y$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી $h_2 = y = 6\sqrt{3} \ m$.
બારી આગળ ઘર દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $90^\circ$ છે. ધારો કે બારીથી ઘરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ $\alpha$ છે. તો બારીથી ઘરના તળિયાનો અવસેધકોણ $90^\circ - \alpha$ થશે.
ઉપરના ત્રિકોણમાં,$\tan(\alpha) = \frac{h_1}{6}$. નીચેના ત્રિકોણમાં,$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha) = \frac{y}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$.
$\cot(\alpha) = \sqrt{3}$ હોવાથી,આપણને $\tan(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
તેથી,$h_1 = 6 \tan(\alpha) = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \ m$.
કુલ ઊંચાઈ $H = h_1 + h_2 = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \ m$.

(B) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને પડછાયાની લંબાઈ $s$ છે.
આપેલ છે કે $s = \sqrt{3}h$.
ધારો કે સૂર્યનો ઉત્સેધકોણ $\alpha$ છે.
થાંભલા અને તેના પડછાયા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan \alpha = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પડછાયો}} = \frac{h}{\sqrt{3}h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\alpha = 30^o$ મળે છે.

(B) ધારો કે નિસરણીની લંબાઈ $L$ છે અને દીવાલની ઊંચાઈ $h = 6\sqrt{3} \text{ m}$ છે.
આપેલ છે કે નિસરણી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
નિસરણી,દીવાલ અને જમીન દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\sin(\theta) = \frac{\text{દીવાલની ઊંચાઈ}}{\text{નિસરણીની લંબાઈ}}$
$\sin(60^{\circ}) = \frac{6\sqrt{3}}{L}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{L}$
$L = \frac{6\sqrt{3} \times 2}{\sqrt{3}}$
$L = 12 \text{ m}$.
આમ,નિસરણીની લંબાઈ $12 \text{ m}$ છે.

(C) ધારો કે બે ટાવરની ઊંચાઈ $H_1$ અને $H_2$ છે,અને મધ્યબિંદુથી દરેક ટાવરના પાયા સુધીનું અંતર $d$ છે.
આપેલ માહિતી પરથી:
$H_1 = d \tan 60^\circ = d \sqrt{3}$
$H_2 = d \tan 30^\circ = d \frac{1}{\sqrt{3}}$
તેથી,તેમની ઊંચાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{d \sqrt{3}}{d / \sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = \frac{3}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $3 : 1$ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ઉત્સેધકોણ અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે: $\cot \alpha = 3/5$ અને $\cot \beta = 2/5$.
પ્રથમ બિંદુથી ટાવરના પાયા સુધીનું અંતર $x_1 = h \cot \alpha = 3h/5$ છે.
બીજા બિંદુથી ટાવરના પાયા સુધીનું અંતર $x_2 = h \cot \beta = 2h/5$ છે.
ટાવર તરફ કાપેલું અંતર $x_1 - x_2 = 32 \, m$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3h/5 - 2h/5 = 32$.
$h/5 = 32$.
$h = 32 \times 5 = 160 \, m$.

(C) ધારો કે ઝાડની કુલ ઊંચાઈ $H = 20 \ m$ છે. ધારો કે ઝાડ જમીનથી $h$ ઊંચાઈએથી તૂટે છે. તૂટેલો ભાગ કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ $l$ બનાવે છે,જ્યાં $l = 20 - h$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin 30^\circ = \frac{h}{l}$.
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} = \frac{h}{20 - h}$.
$20 - h = 2h \implies 3h = 20 \implies h = \frac{20}{3} \ m$.

(B) ધારો કે ખડકની ઊંચાઈ $h = 500 \ m$ છે.
ધારો કે પાયાનો વ્યાસ $D = d_1 + d_2$ છે.
બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી:
$d_1 = h \cot(60^\circ) = 500 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{500}{\sqrt{3}} \ m$.
$d_2 = h \cot(30^\circ) = 500 \times \sqrt{3} = 500\sqrt{3} \ m$.
વ્યાસ $D = d_1 + d_2 = \frac{500}{\sqrt{3}} + 500\sqrt{3}$.
$D = \frac{500 + 500(3)}{\sqrt{3}} = \frac{500 + 1500}{\sqrt{3}} = \frac{2000}{\sqrt{3}} \ m$.

(B) ધારો કે ઘરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ઘરની ટોચથી ઉપર ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે.
અવસેધકોણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ પરથી,$\tan(30^\circ) = \frac{h}{12}$ મળે.
તેથી,$h = 12 \tan(30^\circ) = 12 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \ m$.
ઉત્સેધકોણ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ પરથી,$\tan(60^\circ) = \frac{H}{12}$ મળે.
તેથી,$H = 12 \tan(60^\circ) = 12 \sqrt{3} \ m$.
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h + H = 4\sqrt{3} + 12\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \ m$ થાય.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે. માણસની આંખનું સ્તર જમીનથી $h = 1.5 \ m$ ઉપર છે.
ટાવરથી માણસનું અંતર $d = 10 \ m$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\theta = 60^\circ$ છે.
દ્રષ્ટિરેખા,સમક્ષિતિજ અંતર અને આંખના સ્તરથી ઉપરની ટાવરની ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા:
$\tan(60^\circ) = \frac{\text{આંખના સ્તરથી ઉપરની ઊંચાઈ}}{d}$
$\sqrt{3} = \frac{H - 1.5}{10}$
$H - 1.5 = 10\sqrt{3}$
$H = (10\sqrt{3} + 1.5) \ m$.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે અને પાયાથી અંતર $d$ છે.
પ્રથમ બિંદુ પરથી,$\tan(30^\circ) = H/d$,તેથી $H = d \tan(30^\circ) = d/\sqrt{3}$.
પ્રથમ બિંદુથી $h$ ઊંચાઈએ આવેલા બીજા બિંદુએથી ટાવરના પાયાનો અવસેધકોણ $60^\circ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan(60^\circ) = h/d$,તેથી $d = h/\tan(60^\circ) = h/\sqrt{3}$.
$d$ ની કિંમત $H$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$H = (h/\sqrt{3}) / \sqrt{3} = h/3$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $h/3$ છે.

(B) ધારો કે ટાવર $AB$ ની ઊંચાઈ $b$ છે અને ધ્રુવ $BP$ ની ઊંચાઈ $p$ છે. બિંદુ $O$ એ $A$ થી $a$ અંતરે છે.
આપેલ છે કે $\angle AOB = \alpha$ અને $\angle POB = \alpha$.
$\triangle OAB$ માં,$\tan \alpha = \frac{AB}{OA} = \frac{b}{a}$.
$\triangle OAP$ માં,$\angle POA = 2\alpha$.
તેથી,$\tan 2\alpha = \frac{AP}{OA} = \frac{p + b}{a}$.
સૂત્ર $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2(b/a)}{1 - (b/a)^2} = \frac{p + b}{a}$
$\frac{2ba}{a^2 - b^2} = \frac{p + b}{a}$
$p + b = \frac{2ba^2}{a^2 - b^2}$
$p = \frac{b(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$.

(C) ધારો કે ઝાડની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. તૂટેલા ભાગને $x$ અને બાકીના ભાગને $h$ કહીએ.
ઝાડના થડથી જ્યાં ટોચ જમીનને સ્પર્શે છે તે અંતર $d = 10 \ m$ છે.
કાટ
કાટ્રાયંગલના નિયમ મુજબ,$\tan(45^\circ) = \frac{h}{10} \implies 1 = \frac{h}{10} \implies h = 10 \ m$.
તે જ રીતે,$\cos(45^\circ) = \frac{10}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{x} \implies x = 10\sqrt{2} \ m$.
ઝાડની કુલ લંબાઈ $H = h + x = 10 + 10\sqrt{2} = 10(1 + \sqrt{2}) \ m$ થાય.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 30 \, m$ છે અને ટાવરના પાયાથી જહાજનું અંતર $x$ છે.
અવસેધકોણ $60^\circ$ હોવાથી,જહાજથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ પણ $60^\circ$ થશે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે:
$\tan 60^\circ = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{અંતર}} = \frac{30}{x}$
$\sqrt{3} = \frac{30}{x}$
$x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10 \sqrt{3} \, m$.

(A) ધારો કે સરોવરની સપાટીથી વાદળની ઊંચાઈ $H$ છે અને અવલોકન બિંદુની ઊંચાઈ $h = 2500 \, m$ છે.
ઉત્સેધકોણ પરથી,$\tan(15^\circ) = \frac{H - h}{x}$,તેથી $x = (H - h) \cot(15^\circ)$.
પ્રતિબિંબના અવસેધકોણ પરથી,$\tan(45^\circ) = \frac{H + h}{x}$,તેથી $x = (H + h) \cot(45^\circ)$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $(H - h) \cot(15^\circ) = (H + h) \cot(45^\circ)$.
$\cot(45^\circ) = 1$ અને $\cot(15^\circ) = 2 + \sqrt{3}$ કિંમતો મૂકતા:
$(H - 2500)(2 + \sqrt{3}) = H + 2500$.
$H(1 + \sqrt{3}) = 2500(3 + \sqrt{3}) = 2500 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)$.
તેથી,$H = 2500 \sqrt{3} \, m$.

(D) ધારો કે વિમાનની રસ્તાથી ઊંચાઈ $h$ છે.
બે ક્રમિક માઈલસ્ટોન વચ્ચેનું અંતર $1 \text{ mile}$ છે,તેથી $AP + PB = 1$.
કાટકોણ ત્રિકોણ મુજબ,$AP = h \cot \alpha$ અને $PB = h \cot \beta$.
તેથી,$h \cot \alpha + h \cot \beta = 1$.
$h(\cot \alpha + \cot \beta) = 1$.
$h = \frac{1}{\cot \alpha + \cot \beta}$.
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ હોવાથી,$h = \frac{1}{\frac{1}{\tan \alpha} + \frac{1}{\tan \beta}} = \frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta}$.

(D) ધારો કે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ $h$ છે અને ફુગ્ગાની બરાબર નીચેના બિંદુથી $C$ સુધીનું અંતર $x$ છે. સમસ્યાની ભૂમિતિ મુજબ:
$x = h \cot(3\alpha) \dots (i)$
$x + 100 = h \cot(2\alpha) \dots (ii)$
$x + 300 = h \cot(\alpha) \dots (iii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$100 = h(\cot(2\alpha) - \cot(3\alpha)) = h \left( \frac{\sin(\alpha)}{\sin(2\alpha)\sin(3\alpha)} \right) \dots (iv)$
$(iii)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$200 = h(\cot(\alpha) - \cot(2\alpha)) = h \left( \frac{1}{\sin(2\alpha)} \right) \dots (v)$
$(iv)$ ને $(v)$ વડે ભાગતા:
$\frac{100}{200} = \frac{\sin(\alpha)}{\sin(3\alpha)} \Rightarrow \frac{\sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)} = 2$
$\sin(3\alpha) = 3\sin(\alpha) - 4\sin^3(\alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 - 4\sin^2(\alpha) = 2$ $\Rightarrow 4\sin^2(\alpha) = 1$ $\Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \alpha = 30^\circ$
$(v)$ માં $\alpha = 30^\circ$ મૂકતા:
$200 = h \frac{1}{\sin(60^\circ)} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = 100\sqrt{3}$ મીટર.

(B) ધારો કે થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $h \, ft$ છે. નીચેનો ભાગ $\frac{h}{3}$ છે અને ઉપરનો ભાગ $\frac{2h}{3}$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ થાંભલાના પાયાથી $40 \, ft$ દૂર છે.
ધારો કે $\alpha$ એ નીચેના ભાગ દ્વારા $P$ પર આંતરેલો ખૂણો છે,અને $\beta$ એ આખા થાંભલા દ્વારા $P$ પર આંતરેલો ખૂણો છે.
તેથી $\tan \alpha = \frac{h/3}{40} = \frac{h}{120}$ અને $\tan \beta = \frac{h}{40} = \frac{3h}{120}$.
ઉપરનો ભાગ $P$ પર $\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\theta = \beta - \alpha$,આપણી પાસે $\tan \theta = \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan \beta - \tan \alpha}{1 + \tan \beta \tan \alpha}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{\frac{3h}{120} - \frac{h}{120}}{1 + (\frac{3h}{120})(\frac{h}{120})} = \frac{\frac{2h}{120}}{1 + \frac{3h^2}{14400}} = \frac{h/60}{1 + \frac{h^2}{4800}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{h}{60} \times \frac{4800}{4800 + h^2} = \frac{80h}{4800 + h^2}$.
$4800 + h^2 = 160h \Rightarrow h^2 - 160h + 4800 = 0$.
$(h - 120)(h - 40) = 0$.
તેથી $h = 120$ અથવા $h = 40$.
કારણ કે થાંભલો $100 \, ft$ થી વધુ ઊંચો છે,તેથી $h = 120 \, ft$.

(C) ધારો કે ઘરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે. ઘરના પાયાથી અંતર $d = 70 \ m$ છે. ધ્વજદંડની ઊંચાઈ $20 \ m$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ બિંદુ પર ઘર દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે,અને $\phi$ એ ઘર અને ધ્વજદંડ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો છે.
તેથી $\tan \theta = \frac{h}{70}$ અને $\tan \phi = \frac{h + 20}{70}$.
ધ્વજદંડ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\alpha = \phi - \theta$ છે,જ્યાં $\tan \alpha = \frac{1}{6}$.
સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{\tan \phi - \tan \theta}{1 + \tan \phi \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{h + 20}{70} - \frac{h}{70}}{1 + (\frac{h + 20}{70})(\frac{h}{70})}$
$\frac{1}{6} = \frac{\frac{20}{70}}{1 + \frac{h(h + 20)}{4900}}$
$1 + \frac{h^2 + 20h}{4900} = 6 \times \frac{20}{70} = \frac{12}{7}$
$\frac{h^2 + 20h}{4900} = \frac{5}{7}$
$h^2 + 20h - 3500 = 0$
$(h + 70)(h - 50) = 0$
$h > 0$ હોવાથી,$h = 50 \ m$ મળે.

(B) ધારો કે નિરીક્ષકથી ફુગ્ગાનું અંતર $d$ છે. પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1$ અને અંતિમ ઊંચાઈ $h_2$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$h_1 = d \tan 45^\circ = d$ અને $h_2 = d \tan 30^\circ = \frac{d}{\sqrt{3}}$.
$10 \, \text{મિનિટ}$ માં નીચે ઉતરેલ અંતર $h_1 - h_2 = d - \frac{d}{\sqrt{3}} = d \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right)$ છે.
આપેલ છે કે નીચે ઉતરવાનો દર $4 \, m/min$ છે,તેથી $10 \, \text{મિનિટ}$ માં કાપેલ અંતર $4 \times 10 = 40 \, m$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $d \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right) = 40$.
$d = \frac{40 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{40 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{40(3 + \sqrt{3})}{2} = 20(3 + \sqrt{3}) \, m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને નદીની પહોળાઈ $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઉત્સેધકોણ $45^\circ$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$\tan(45^\circ) = \frac{\text{ટાવરની ઊંચાઈ}}{\text{નદીની પહોળાઈ}} = \frac{h}{x}$.
કેમ કે $\tan(45^\circ) = 1$,તેથી $1 = \frac{h}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $x = h$.
તેથી,નદીની પહોળાઈ અને ટાવરની ઊંચાઈ સમાન છે.

(B) ધારો કે $AC = x = CB$. તેથી $AB = AC + CB = 2x$.
આપેલ છે કે $AP = 3 \, AB = 3(2x) = 6x$.
ધારો કે $\angle APC = \alpha$. $\Delta ACP$ માં,$\tan \alpha = \frac{AC}{AP} = \frac{x}{6x} = \frac{1}{6}$.
$\Delta ABP$ માં,$\angle APB = \alpha + \beta$. તેથી,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{AB}{AP} = \frac{2x}{6x} = \frac{1}{3}$.
સૂત્ર $\tan \beta = \tan((\alpha + \beta) - \alpha) = \frac{\tan(\alpha + \beta) - \tan \alpha}{1 + \tan(\alpha + \beta)\tan \alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \beta = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}{1 + (\frac{1}{3})(\frac{1}{6})} = \frac{\frac{2-1}{6}}{1 + \frac{1}{18}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{19}{18}} = \frac{1}{6} \times \frac{18}{19} = \frac{3}{19}$.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેના પડછાયાની લંબાઈ $x$ છે. $6 \ m$ ઊંચાઈનો ધ્વજદંડ ટાવરની ટોચ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આપણી પાસે બે સમાન ત્રિકોણ $AEC$ અને $BDC$ છે.
$h$ ઊંચાઈ અને $x$ પડછાયા માટે,$\tan \theta = \frac{h}{x}$ મળે.
કુલ ઊંચાઈ $(h + 6)$ અને કુલ પડછાયા $(x + 2\sqrt{3})$ માટે,$\tan \theta = \frac{h + 6}{x + 2\sqrt{3}}$ મળે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{x} = \frac{h + 6}{x + 2\sqrt{3}}$
$h(x + 2\sqrt{3}) = x(h + 6)$
$hx + 2\sqrt{3}h = xh + 6x$
$2\sqrt{3}h = 6x$
$\frac{h}{x} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^o$ મળે.

(C) ધારો કે ટેકરીની ઊંચાઈ $OP = h$ છે. $O$ એ જમીન પર ટેકરીનો પાયો છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,$AB = 100 \ m$ અને $AB$ શિરોલંબ છે,તેથી $OC = 100 \ m$.
તેથી $CP = OP - OC = h - 100$.
$\triangle AOP$ માં,$\tan \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{h}{OA} \implies OA = h \cot \alpha$.
$\triangle BCP$ માં,$\tan \beta = \frac{CP}{BC} = \frac{h - 100}{BC}$. $BC = OA$ હોવાથી,$BC = h \cot \alpha$.
બીજા સમીકરણમાં $BC$ ની કિંમત મૂકતા: $\tan \beta = \frac{h - 100}{h \cot \alpha}$.
$h \cot \alpha \tan \beta = h - 100$.
$100 = h - h \cot \alpha \tan \beta = h(1 - \cot \alpha \tan \beta)$.
$100 = h \left(1 - \frac{\cot \alpha}{\cot \beta}\right) = h \left(\frac{\cot \beta - \cot \alpha}{\cot \beta}\right)$.
તેથી,$h = \frac{100 \cot \beta}{\cot \beta - \cot \alpha}$.

(B) ધારો કે નિરીક્ષક જમીનથી $30 \, m$ ની ઊંચાઈએ બિંદુ $O$ પર છે. ઇમારતની ઊંચાઈ $25 \, m$ છે અને તેની ઉપર $5 \, m$ નો ધ્વજદંડ છે,તેથી કુલ ઊંચાઈ $30 \, m$ છે.
ધારો કે નિરીક્ષક અને ઇમારત વચ્ચેનું આડું અંતર $x$ છે.
નિરીક્ષક ધ્વજદંડની ટોચની સપાટી પર જ છે.
ધારો કે ધ્વજદંડ દ્વારા નિરીક્ષક પાસે બનતો ખૂણો $\alpha$ છે.
ધારો કે ઇમારત દ્વારા નિરીક્ષક પાસે બનતો ખૂણો $\alpha$ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,$\tan \alpha = \frac{5}{x}$ અને $\tan 2\alpha = \frac{30}{x}$.
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{30}{x} = \frac{2(5/x)}{1 - (5/x)^2} = \frac{10x}{x^2 - 25}$.
$30(x^2 - 25) = 10x^2$ $\Rightarrow 3x^2 - 75 = x^2$ $\Rightarrow 2x^2 = 75$ $\Rightarrow x = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
નિરીક્ષકનું ધ્વજદંડની ટોચથી અંતર એ આડું અંતર $x$ છે કારણ કે નિરીક્ષક અને ધ્વજદંડની ટોચ સમાન ઊંચાઈ $(30 \, m)$ પર છે.
તેથી,અંતર $5\sqrt{\frac{3}{2}} \, m$ છે.

(C) ધારો કે ઝાડ તૂટતા પહેલા $AC$ હતું,જ્યાં $C$ મૂળ છે અને $A$ ટોચ છે. તે $D$ બિંદુએ તૂટે છે જેથી ટોચ $A$ જમીન પર $B$ બિંદુએ સ્પર્શે છે.
$\triangle BCD$ માં,$\angle DBC = 30^\circ$ અને $BC = 10 \, m$.
ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(30^\circ) = \frac{CD}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{10} \implies CD = \frac{10}{\sqrt{3}} \, m$.
$\cos(30^\circ) = \frac{BC}{BD} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{BD} \implies BD = \frac{20}{\sqrt{3}} \, m$.
ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ $CD + AD = CD + BD$ છે (કારણ કે $AD = BD$).
ઊંચાઈ $= \frac{10}{\sqrt{3}} + \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ નો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ $10 \times 1.732 = 17.32 \, m$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h \ m$ છે.
આપેલ છે કે ટાવરના પાયાથી અંતર $70 \ m$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે છે:
$\tan(45^\circ) = \frac{\text{ઊંચાઈ}}{\text{પાયો}} = \frac{h}{70}$
કારણ કે $\tan(45^\circ) = 1$,તેથી:
$1 = \frac{h}{70}$
$h = 70 \ m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $70 \ m$ છે.

(D) ધારો કે ટાવર $CD$ ની ઊંચાઈ $h$ છે.
$\Delta CDA$ માંથી,$x = h \cot 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\Delta CDB$ માંથી,$y = h \cot 30^\circ = \sqrt{3}h$.
$\Delta ABC$ માં,$A$ એ $C$ ની દક્ષિણે અને $B$ એ $A$ ની પશ્ચિમે હોવાથી,$\angle CAB = 90^\circ$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 + AC^2 = BC^2$,એટલે કે $3^2 + x^2 = y^2$.
કિંમતો મૂકતા,$9 + \frac{h^2}{3} = 3h^2$.
$9 = 3h^2 - \frac{h^2}{3} = \frac{8h^2}{3}$.
$h^2 = \frac{27}{8} = \frac{54}{16}$.
$h = \sqrt{\frac{54}{16}} = \frac{3\sqrt{6}}{4} \, km$.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $AB = h = 15(\sqrt{3} + 1) \ m$ છે.
ધારો કે કાર શરૂઆતમાં $C$ બિંદુ પર છે અને $3 \ s$ માં $D$ બિંદુ પર પહોંચે છે.
$\triangle ABD$ માં,$\tan(45^\circ) = \frac{AB}{BD} \implies 1 = \frac{h}{BD} \implies BD = h$.
$\triangle ABC$ માં,$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BC} \implies BC = h\sqrt{3}$.
કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $CD = BC - BD = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3} - 1)$ છે.
$h = 15(\sqrt{3} + 1)$ મૂકતા:
$CD = 15(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 15(3 - 1) = 15 \times 2 = 30 \ m$.
લાગતો સમય $t = 3 \ s$ છે.
ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{30 \ m}{3 \ s} = 10 \ m/s$.
$m/s$ ને $km/hr$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{18}{5}$ વડે ગુણો:
$v = 10 \times \frac{18}{5} = 36 \ km/hr$.

(D) ધારો કે ટાવર $AB$ છે જેની ઊંચાઈ $40 \, m$ છે. ધારો કે બે માણસો ટાવરની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર $O_1$ અને $O_2$ બિંદુઓ પર છે.
$\Delta O_1BA$ માં,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{O_1B}$ $\Rightarrow 1 = \frac{40}{x}$ $\Rightarrow x = 40 \, m$.
$\Delta O_2BA$ માં,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{O_2B}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{40}{y}$ $\Rightarrow y = 40\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$y = 40 \times 1.732 = 69.28 \, m$.
માણસો વચ્ચેનું અંતર $x + y = 40 + 69.28 = 109.28 \, m$ છે.