Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે $\sin 2\theta = \cos 3\theta$.
આને $\sin 2\theta = \sin(\frac{\pi}{2} - 3\theta)$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin x = \sin y$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n y$ છે.
કિસ્સો $1$: $2\theta = 2n\pi + (\frac{\pi}{2} - 3\theta)$ $\Rightarrow 5\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{2n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$.
$n=0$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{10} = 18^\circ$.
કિસ્સો $2$: $2\theta = (2n+1)\pi - (\frac{\pi}{2} - 3\theta) \Rightarrow \theta = -2n\pi - \frac{\pi}{2}$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,આપણે $\theta = 18^\circ$ લઈએ છીએ.
તેથી $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4\sin^4 x + \cos^4 x = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^4 x = (1 - \sin^2 x)^2 = 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4\sin^4 x + (1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x) = 1$
$5\sin^4 x - 2\sin^2 x = 0$
$\sin^2 x(5\sin^2 x - 2) = 0$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin^2 x = 0$ $\Rightarrow \sin x = 0$ $\Rightarrow x = n\pi$.
કિસ્સો $2$: $5\sin^2 x = 2$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$.
આમ,$x = n\pi$ એ ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\cos 3x + \sin \left( 2x - \frac{7\pi}{6} \right) = -2$ છે.
$\cos \theta$ અને $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,સરવાળો $-2$ ત્યારે જ થાય જો $\cos 3x = -1$ અને $\sin \left( 2x - \frac{7\pi}{6} \right) = -1$ હોય.
$\cos 3x = -1$ માટે,$3x = (2k + 1)\pi \Rightarrow x = \frac{(2k + 1)\pi}{3}$.
$\sin \left( 2x - \frac{7\pi}{6} \right) = -1$ માટે,$2x - \frac{7\pi}{6} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow 2x = 2n\pi + \frac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow x = n\pi + \frac{\pi}{3}$.
$x$ ની કિંમતો સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $x = \frac{\pi}{3}(6k + 1)$ બંને શરતોનું પાલન કરે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{\tan 3x - \tan 2x}{1 + \tan 3x \tan 2x} = 1$ છે.
નિત્યસમ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan(3x - 2x) = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\tan x = 1$ થાય છે.
$\tan x = 1$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
પરંતુ,આપણે મૂળ પદાવલિનો પ્રદેશ તપાસવો જોઈએ. જો $\tan 3x$ અથવા $\tan 2x$ અવ્યાખ્યાયિત હોય,અથવા $1 + \tan 3x \tan 2x = 0$ હોય,તો પદાવલિ અવ્યાખ્યાયિત બને છે.
જો $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ હોય,તો $2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ થાય.
કારણ કે $\tan 2x = \tan(2n\pi + \frac{\pi}{2})$ અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ માટે પદાવલિ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આમ,સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવું $x$ નું કોઈ મૂલ્ય નથી.
તેથી સાચો ગણ $\phi$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan \theta + \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{3}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{3}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ મળે.
બંને બાજુ $(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ વડે ભાગતા,$\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{3}$ મળે.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(3\theta) = \sqrt{3}$ મળે.
કારણ કે $\tan(\pi / 3) = \sqrt{3},$ તેથી $\tan(3\theta) = \tan(\pi / 3).$
વ્યાપક ઉકેલ $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, \forall n \in I$ છે.
$3$ વડે ભાગતા,$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{9} = (3n + 1)\frac{\pi}{9}, \forall n \in I$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $1 - \cos \theta = \sin \theta \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} (1 - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
આનો અર્થ છે કે $\sin^2 \frac{\theta}{2} = 0$ અથવા $\cos \frac{\theta}{2} = 1$.
જો $\sin \frac{\theta}{2} = 0$,તો $\frac{\theta}{2} = k\pi \implies \theta = 2k\pi$.
જો $\cos \frac{\theta}{2} = 1$,તો $\frac{\theta}{2} = 2k\pi \implies \theta = 4k\pi$.
કારણ કે $k \in I$ માટે $4k\pi$ એ $2k\pi$ નો ઉપગણ છે,તેથી સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2k\pi, k \in I$ છે.

(B) આપેલ છે: $\frac{\tan 3\theta - 1}{\tan 3\theta + 1} = \sqrt{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$\frac{\tan 3\theta - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan 3\theta \cdot \tan(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{3}$
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(3\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,તેથી:
$\tan(3\theta - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{3})$
$\tan x = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે:
$3\theta - \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{3}$
$3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$
$3\theta = n\pi + \frac{7\pi}{12}$
$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{7\pi}{36}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$
$2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0$
$-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$
$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circ, 150^\circ$
$2) \sin x = 1 \Rightarrow x = 90^\circ$
આમ,$x$ ની કિંમતો $30^\circ, 90^\circ, 150^\circ$ છે.

(D) પદાવલિ $f(x) = \sin x + \cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $a=1$ અને $b=1$ છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,જે $2$ કરતા નાની છે,તેથી સમીકરણ $\sin x + \cos x = 2$ કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત $x$ માટે સંતોષી શકાતું નથી.
તેથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^2 \theta = 4 + 3\cos \theta$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \cos^2 \theta) = 4 + 3\cos \theta$
$2 - 2\cos^2 \theta = 4 + 3\cos \theta$
$\cos \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta + 2 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$. સમીકરણ $2x^2 + 3x + 2 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7$ છે.
વિવેચક ઋણ હોવાથી $(D < 0)$,$\cos \theta$ માટે કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો મળતી નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી $\theta$ ની કોઈ કિંમત નથી.
આમ,મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$ ... $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,જેને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આમાં $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા $2 \sec \theta = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ મળે,તેથી $\sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા $2 \tan \theta = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ મળે,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\theta$ પ્રથમ ચરણમાં હોવો જોઈએ.
$0 < \theta < 2\pi$ માટે,એકમાત્ર ઉકેલ $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5x + \sin 3x + \sin x = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\sin 3x = 0$ અથવા $2 \cos 2x + 1 = 0$.
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$. $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,આપણને $x = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2x = -1 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$,તેથી $2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$0 < x \le \frac{\pi}{2}$ માટે,આપણને $x = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
આમ,$x$ ની કિંમત $\frac{\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે $\sec x \cos 5x + 1 = 0$,તેથી $\cos 5x = -\cos x = \cos(\pi - x)$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $2n\pi \pm \alpha$ છે.
કિસ્સો $1$: $5x = 2n\pi + (\pi - x)$ $\Rightarrow 6x = (2n + 1)\pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n + 1)\pi}{6}$.
$n=0, 1, 2, 3, 4, 5$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
કિસ્સો $2$: $5x = 2n\pi - (\pi - x)$ $\Rightarrow 4x = 2n\pi - \pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n - 1)\pi}{4}$.
$n=1, 2, 3, 4$ માટે,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આપેલા વિકલ્પો સંપૂર્ણ ઉકેલ સાથે મેળ ખાતા ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3\cos \theta + 4\sin \theta = k$ છે.
આને $5 \left( \frac{3}{5}\cos \theta + \frac{4}{5}\sin \theta \right) = k$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ અને $\sin \alpha = \frac{4}{5}$. તેથી સમીકરણ $5\cos(\theta - \alpha) = k$ બને છે.
$|k| = 5$ આપેલ હોવાથી,$k = 5$ અથવા $k = -5$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $k = 5$ હોય,તો $\cos(\theta - \alpha) = 1$. અંતરાલ $0^o \le \theta \le 360^o$ માં,$\theta - \alpha = 0^o$ માટે એક ઉકેલ $\theta = \alpha$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $k = -5$ હોય,તો $\cos(\theta - \alpha) = -1$. અંતરાલ $0^o \le \theta \le 360^o$ માં,$\theta - \alpha = 180^o$ માટે એક ઉકેલ $\theta = 180^o + \alpha$ મળે છે.
આમ,$|k|=5$ માટે કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $3 \cos x + 4 \sin x = 6$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cos x + b \sin x$ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,વિસ્તાર $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-5, 5]$ છે.
કારણ કે કિંમત $6$ એ વિસ્તાર $[-5, 5]$ ની બહાર છે,તેથી સમીકરણ $3 \cos x + 4 \sin x = 6$ ને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
સરવાળો $\sin x + \sin y + \sin z = -3$ થવા માટે,દરેક પદ તેની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$\sin x = -1, \sin y = -1$ અને $\sin z = -1$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\sin \theta = -1$ નો માત્ર એક જ ઉકેલ છે,જે $\theta = \frac{3\pi}{2}$ છે.
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ $(x, y, z) = (\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\sin 2\theta = \cos \theta$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \theta \cos \theta = \cos \theta$
$2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$
$\cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0$
આથી કાં તો $\cos \theta = 0$ અથવા $2 \sin \theta - 1 = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos \theta = 0$. $0 < \theta < \pi$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $90^o$.
કિસ્સો $2$: $2 \sin \theta - 1 = 0 \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$.
$0 < \theta < \pi$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{6}$ $(30^o)$ અથવા $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ $(150^o)$.
આમ,$\theta$ ની શક્ય કિંમતો $30^o, 90^o, 150^o$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^2 \theta = 3\cos \theta$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \cos^2 \theta) = 3\cos \theta$
$2 - 2\cos^2 \theta = 3\cos \theta$
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$
આનાથી $x$ ની બે કિંમતો મળે છે:
$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{-3 - 5}{4} = -2$
કારણ કે $-1 \le \cos \theta \le 1$,તેથી આપણે $x = -2$ ને અવગણીએ છીએ.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $0 \le \theta \le 2\pi$ માં,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ એ $\theta = \frac{\pi}{3}$ અને $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ પર થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos 6\theta + \cos 4\theta + \cos 2\theta + 1 = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\cos 6\theta + \cos 2\theta) + (\cos 4\theta + 1) = 0$
નિત્યસમ $\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ અને $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos 4\theta \cos 2\theta + 2\cos^2 2\theta = 0$
$2\cos 2\theta (\cos 4\theta + \cos 2\theta) = 0$
$2\cos 2\theta (2\cos 3\theta \cos \theta) = 0$
$4\cos 3\theta \cos 2\theta \cos \theta = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\cos 3\theta = 0$ અથવા $\cos 2\theta = 0$ અથવા $\cos \theta = 0$.
$0 < \theta < 180^\circ$ માટે:
$1$) $\cos 3\theta = 0$ $\Rightarrow 3\theta = 90^\circ, 270^\circ, 450^\circ$ $\Rightarrow \theta = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ$.
$2$) $\cos 2\theta = 0$ $\Rightarrow 2\theta = 90^\circ, 270^\circ$ $\Rightarrow \theta = 45^\circ, 135^\circ$.
$3$) $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ$.
આમ,$\theta$ ની કિંમતો $\theta = 30^\circ, 45^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 150^\circ$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\text{cosec } \theta + 2 = 0$
$\Rightarrow \text{cosec } \theta = -2$
$\Rightarrow \sin \theta = -\frac{1}{2}$
$\sin \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ ત્રીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
ત્રીજા ચરણમાં: $\theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$
ચોથા ચરણમાં: $\theta = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$
આમ,મૂલ્યો $210^\circ$ અને $330^\circ$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2{\sin ^2}x + {\sin ^2}2x = 2$
નિત્યસમ ${\sin ^2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(\frac{1 - \cos 2x}{2}) + {\sin ^2}2x = 2$
$1 - \cos 2x + {\sin ^2}2x = 2$
${\sin ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0$
$(1 - {\cos ^2}2x) - \cos 2x - 1 = 0$
$-{\cos ^2}2x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x(\cos 2x + 1) = 0$
તેથી,$\cos 2x = 0$ અથવા $\cos 2x = -1$.
કિસ્સો $1$: $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = (2n + 1)\frac{\pi }{2}$ $\Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi }{4}$.
$-\pi < x < \pi$ માટે,$x \in \{ \pm \frac{\pi }{4}, \pm \frac{3\pi }{4} \}$.
કિસ્સો $2$: $\cos 2x = -1$ $\Rightarrow 2x = (2n + 1)\pi$ $\Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi }{2}$.
$-\pi < x < \pi$ માટે,$x \in \{ \pm \frac{\pi }{2} \}$.
આમ,$x \in \{ \pm \frac{\pi }{4}, \pm \frac{\pi }{2}, \pm \frac{3\pi }{4} \}$.
આપેલ વિકલ્પોમાં સંપૂર્ણ સેટ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 7\theta = \sin 4\theta - \sin \theta$
પદોને ગોઠવતા: $\sin 7\theta + \sin \theta = \sin 4\theta$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4\theta \cos 3\theta = \sin 4\theta$
$2 \sin 4\theta \cos 3\theta - \sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta (2 \cos 3\theta - 1) = 0$
આથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 4\theta = 0$ $\Rightarrow 4\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\cos 3\theta = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3\theta = \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{9}$.
આમ,$\theta$ ની કિંમતો $\frac{\pi}{9}$ અને $\frac{\pi}{4}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5\cos 2\theta + 2\cos^2\frac{\theta}{2} + 1 = 0$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ અને $2\cos^2\frac{\theta}{2} = 1 + \cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5(2\cos^2\theta - 1) + (1 + \cos\theta) + 1 = 0$
$10\cos^2\theta + \cos\theta - 3 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(5\cos\theta - 3)(2\cos\theta + 1) = 0$
તેથી $\cos\theta = \frac{3}{5}$ અથવા $\cos\theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos\theta = \frac{3}{5}$ માટે,$\theta = \pm\cos^{-1}\frac{3}{5}$.
$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ માટે,$\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે કે,$\cos \theta = \frac{-1}{2}$ જ્યાં $0^o < \theta < 360^o$.
$\cos \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ બીજા અથવા ત્રીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^o = \frac{1}{2}$.
બીજા ચરણમાં,$\theta = 180^o - 60^o = 120^o$.
ત્રીજા ચરણમાં,$\theta = 180^o + 60^o = 240^o$.
તેથી,$\theta$ ની કિંમતો $120^o$ અને $240^o$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(2\cos x - 1)(3 + 2\cos x) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $2\cos x - 1 = 0$ અથવા $3 + 2\cos x = 0$.
કિસ્સો $1$: $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.
$0 \le x \le 2\pi$ માટે,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ છે.
કિસ્સો $2$: $3 + 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{3}{2}$.
$\cos x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,સમીકરણ $\cos x = -\frac{3}{2}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $x$ ની કિંમતો $\frac{\pi}{3}$ અને $\frac{5\pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta$.
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા,$\tan \theta = \sqrt{3}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \theta = \tan \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}$.
આપણને અંતરાલ $-\pi < \theta < 0$ આપેલ છે.
$n = -1$ લેતા,$\theta = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$ મળે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,$-\frac{2\pi}{3}$ ને $-\frac{4\pi}{6}$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$
આનો અર્થ છે: $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ બીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
બીજા ચરણમાં,$\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
ચોથા ચરણમાં,$\theta = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$.
આમ,$\theta$ ના મૂલ્યો $150^\circ$ અને $330^\circ$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \sin^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
$-\sin^2 \theta + \sin \theta + 2 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \theta - \sin \theta - 2 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(\sin \theta - 2)(\sin \theta + 1) = 0$
તેથી $\sin \theta = 2$ અથવા $\sin \theta = -1$.
$\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin \theta = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin \theta = -1$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ છે.
$n=1$ માટે,$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
અહીં $\frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4}$ હોવાથી,ઉકેલ $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$ અંતરાલમાં છે.

(C) આપેલ સમીકરણો $\tan \theta = -1$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$\tan \theta$ ઋણ છે અને $\cos \theta$ ધન હોવાથી,$\theta$ એ $IV$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $[0, 2\pi)$ માં,બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતી કિંમત $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ છે.
$\tan \theta$ અને $\cos \theta$ બંનેનું આવર્તમાન $2\pi$ હોવાથી,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi + \frac{7\pi}{4}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ અને $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ માટે,$\theta$ એ $III$ અથવા $IV$ ચરણમાં છે.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\theta$ એ $I$ અથવા $III$ ચરણમાં છે.
બંને સમીકરણો ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $\theta$ એ $III$ ચરણમાં હોય.
$III$ ચરણમાં મુખ્ય મૂલ્ય $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ છે.
$\theta$ માટેનું સામાન્ય ઉકેલ $2n\pi + \frac{7\pi}{6}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આ મૂલ્ય આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\tan \theta = 1$.
$\cos \theta$ ઋણ છે અને $\tan \theta$ ધન છે,તેથી $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
ત્રીજા ચરણમાં $\theta$ નું મુખ્ય મૂલ્ય $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ છે.
જ્યારે $\cos \theta = \cos \alpha$ અને $\sin \theta = \sin \alpha$ હોય ત્યારે $\theta$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi + \alpha$ છે.
તેથી,વ્યાપક મૂલ્ય $\theta = 2n\pi + \frac{5\pi}{4}$ છે.
$\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,આપણે તેને $\theta = 2n\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^2 \theta + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \cos^2 \theta) + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$
$2 - 2\cos^2 \theta + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$
$2\cos^2 \theta - \sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0$
$x = \cos \theta$ લેતા,$2x^2 - \sqrt{3}x - 3 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4}$ મળે.
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ લેતા,સૌથી નાનો ધન ખૂણો $\theta = \frac{5\pi}{6}$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cot \theta = \sin 2\theta$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ હોવાથી:
$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$
$\cos \theta = 2 \sin^2 \theta \cos \theta$
$\cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\cos \theta = 0$ અથવા $1 - 2 \sin^2 \theta = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos \theta = 0 \implies \theta = 90^o$.
કિસ્સો $2$: $2 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{2} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$\theta = 45^o$.
આમ,કિંમતો $45^o$ અને $90^o$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta = 2$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = 1$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = 1$.
$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ એ ભૂલભરેલું છે,સાચો જવાબ $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\tan (\pi \cos \theta ) = \cot (\pi \sin \theta )$.
નિત્યસમ $\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan (\pi \cos \theta ) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta \right)$.
આથી $\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$ જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
$\pi$ વડે ભાગતા,$\cos \theta + \sin \theta = n + \frac{1}{2}$.
$\sin \theta + \cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ હોવાથી,$n$ ની શક્ય કિંમત $0$ છે,તેથી $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
હવે,$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin \theta + \cos \theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ છે કે,$\cot (\alpha + \beta ) = 0.$
$\cot \theta = 0$ નો અર્થ છે કે $\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}, n \in I,$
તેથી $\alpha + \beta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}.$
હવે,$\sin (\alpha + 2\beta ) = \sin (2(\alpha + \beta ) - \alpha ) = \sin ((2n + 1)\pi - \alpha ).$
$\sin ((2n + 1)\pi - \alpha ) = \sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha.$

(C) આપેલ સમીકરણ $\cos x - \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = \frac{1}{2}$ મળે.
આને $\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$ મળે.
કારણ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,સમીકરણ $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3}$ બને છે.
$\cos \theta = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
કિસ્સો $1$: $x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{12}$.
કિસ્સો $2$: $x = 2n\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{7\pi}{12}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $12 \cot^2 \theta - 31 \csc \theta + 32 = 0$
નિત્યસમ $\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$12(\csc^2 \theta - 1) - 31 \csc \theta + 32 = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$12 \csc^2 \theta - 12 - 31 \csc \theta + 32 = 0$
$12 \csc^2 \theta - 31 \csc \theta + 20 = 0$
$\csc \theta$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$12 \csc^2 \theta - 16 \csc \theta - 15 \csc \theta + 20 = 0$
$(4 \csc \theta - 5)(3 \csc \theta - 4) = 0$
આમ,$\csc \theta$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$\csc \theta = \frac{5}{4}$ અથવા $\csc \theta = \frac{4}{3}$
$\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ હોવાથી:
$\sin \theta = \frac{4}{5}$ અથવા $\sin \theta = \frac{3}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - 3\sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3\cos 2x + \cos 3x$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 3x + \sin x) - 3\sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3\cos 2x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2\sin 2x \cos x - 3\sin 2x = 2\cos 2x \cos x - 3\cos 2x$
$\sin 2x(2\cos x - 3) = \cos 2x(2\cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x - 3) = 0$
કારણ કે $2\cos x - 3 \neq 0$ (કારણ કે $\cos x$ ની કિંમત $1.5$ ન હોઈ શકે),તેથી $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $5\cos^2 \theta + 7\sin^2 \theta - 6 = 0$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5(1 - \sin^2 \theta) + 7\sin^2 \theta - 6 = 0$
$5 - 5\sin^2 \theta + 7\sin^2 \theta - 6 = 0$
$2\sin^2 \theta - 1 = 0$
$2\sin^2 \theta = 1$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\sin^2 \theta = \sin^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$,$\sin^2 \theta = \sin^2 \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

(D) સમીકરણ $a \cos x + b \sin x = c$ ને $\sqrt{a^2 + b^2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
ધારો કે $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \alpha$ અને $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \alpha$,જ્યાં $\tan \alpha = \frac{b}{a}$.
તેથી સમીકરણ $\cos(x - \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ બને છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x - \alpha = 2n\pi \pm \cos^{-1} \left( \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$ છે.
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 2n\pi + \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) \pm \cos^{-1} \left( \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$.

(C) આપેલ છે: $\sec 4\theta - \sec 2\theta = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = 2 \cos 4\theta \cos 2\theta$
સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = \cos 6\theta + \cos 2\theta$
$\Rightarrow - \cos 4\theta = \cos 6\theta$
$\Rightarrow \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow 2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$
કિસ્સો $1$: $\cos 5\theta = 0$ $\Rightarrow 5\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{10}$
કિસ્સો $2$: $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ અથવા $\theta = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2x + \sin 4x = 2\sin 3x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\sin(\frac{2x+4x}{2})\cos(\frac{2x-4x}{2}) = 2\sin 3x$
$2\sin 3x \cos(-x) = 2\sin 3x$
$\cos(-x) = \cos x$ હોવાથી:
$2\sin 3x \cos x - 2\sin 3x = 0$
$2\sin 3x(\cos x - 1) = 0$
આથી $\sin 3x = 0$ અથવા $\cos x = 1$ મળે.
જો $\sin 3x = 0$ હોય,તો $3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$.
જો $\cos x = 1$ હોય,તો $x = 2n\pi$.
$2n\pi$ એ $\frac{n\pi}{3}$ નો ભાગ હોવાથી,સામાન્ય ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan (\cot x) = \cot (\tan x)$
$\cot \theta = \tan (\frac{\pi}{2} - \theta)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (\cot x) = \tan (\frac{\pi}{2} - \tan x)$
$\tan \alpha = \tan \beta$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\alpha = n\pi + \beta$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$\cot x = n\pi + \frac{\pi}{2} - \tan x$
પદોને ગોઠવતા:
$\cot x + \tan x = n\pi + \frac{\pi}{2}$
$\tan x + \cot x = \frac{2}{\sin 2x}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\sin 2x} = \frac{(2n + 1)\pi}{2}$
$\sin 2x$ માટે ઉકેલતા:
$\sin 2x = \frac{4}{(2n + 1)\pi}$

(B) આપેલ છે $\cos p\theta = -\cos q\theta = \cos(\pi + q\theta)$.
આનો અર્થ એ છે કે $p\theta = 2n\pi \pm (\pi + q\theta)$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $1$: $p\theta = 2n\pi + \pi + q\theta \implies \theta = \frac{(2n + 1)\pi}{p - q}$. આ $A.P.$ બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d_1 = \frac{2\pi}{|p - q|}$ છે.
કિસ્સો $2$: $p\theta = 2n\pi - (\pi + q\theta) \implies \theta = \frac{(2n - 1)\pi}{p + q}$. આ $A.P.$ બનાવે છે જેનો સામાન્ય તફાવત $d_2 = \frac{2\pi}{p + q}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,સંખ્યાત્મક રીતે સૌથી નાનો સામાન્ય તફાવત $\frac{2\pi}{p + q}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $a \sin x + b \cos x = c$ છે.
બંને બાજુને $\sqrt{a^2 + b^2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
ધારો કે $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \alpha$ અને $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \alpha$.
તેથી સમીકરણ $\sin(x + \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ બને છે.
અહીં $|c| > \sqrt{a^2 + b^2}$ હોવાથી,$\left| \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| > 1$ થાય.
સાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,જો $|k| > 1$ હોય તો $\sin(x + \alpha) = k$ નો કોઈ ઉકેલ મળે નહીં.
તેથી,આપેલ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ $8\sec^2\theta - 6\sec\theta + 1 = 0$ છે.
ધારો કે $x = \sec\theta$,તેથી $8x^2 - 6x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(4x - 1)(2x - 1) = 0$.
તેથી $x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
આમ,$\sec\theta = \frac{1}{4}$ અથવા $\sec\theta = \frac{1}{2}$.
$\sec\theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ હોવાથી,આ કિંમતો શક્ય નથી.
તેથી,વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3\sin^2x - 7\sin x + 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3\sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$
આથી બે શક્યતાઓ મળે છે: $\sin x = \frac{1}{3}$ અથવા $\sin x = 2$
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,આપણે $\sin x = \frac{1}{3}$ માટે ઉકેલ મેળવીએ.
$[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $\sin x = \frac{1}{3}$ ના $2$ ઉકેલો છે.
$[0, 4\pi]$ અંતરાલમાં $4$ ઉકેલો છે.
$[0, 5\pi]$ અંતરાલમાં કુલ $4 + 2 = 6$ ઉકેલો મળે છે,કારણ કે $[4\pi, 5\pi]$ અંતરાલમાં વધારાના $2$ ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos x + \cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) + 2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0$
$2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) [\cos \left(\frac{3x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)] = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos x \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0$
કેસ $1$: $\cos \left(\frac{5x}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \pi, \frac{7\pi}{5}, \frac{9\pi}{5}$
કેસ $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
કેસ $3$: $\cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \pi$ (જે પહેલેથી જ સામેલ છે)
કુલ અલગ મૂલ્યોની સંખ્યા $7$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $8 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right) - \frac{1}{2} \right\} = 1$
નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos(2x) - 1 \right\} = 1$
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$4 \cos x \left\{ \frac{1}{2} + \cos 2x - 1 \right\} = 1$
$4 \cos x \left\{ \cos 2x - \frac{1}{2} \right\} = 1$
$8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$
$2 \cos 3x = 1 \Rightarrow \cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ માટે,$3x \in [0, 3\pi]$.
$3x$ ના ઉકેલો: $3x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $= \frac{13\pi}{9}$.
આમ,$k = \frac{13}{9}$.