Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^3\alpha - 7\sin^2\alpha + 7\sin\alpha - 2 = 0$.
ધારો કે $x = \sin\alpha$. તો $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0$.
$x = 1$ એ એક ઉકેલ છે.
$(x - 1)$ વડે ભાગતા,$(x - 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0$ મળે.
અવયવ પાડતા: $(x - 1)(2x - 1)(x - 2) = 0$.
તેથી,$\sin\alpha = 1$,$\sin\alpha = \frac{1}{2}$,અથવા $\sin\alpha = 2$.
$\sin\alpha = 2$ શક્ય નથી.
$\sin\alpha = 1$ માટે $[0, 2\pi]$ માં $\alpha = \frac{\pi}{2}$ ($1$ મૂલ્ય).
$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ માટે $[0, 2\pi]$ માં $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ મૂલ્યો).
કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા = $1 + 2 = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2x - 2 \cos x + 4 \sin x = 4$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos x - 2 \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
અવયવ પાડતા:
$2 \cos x (\sin x - 1) + 4 (\sin x - 1) = 0$
$(2 \cos x + 4)(\sin x - 1) = 0$
$2(\cos x + 2)(\sin x - 1) = 0$
કારણ કે $\cos x + 2 \neq 0$,તેથી $\sin x = 1$ મળે.
અંતરાલ $[0, 5\pi]$ માં,$\sin x = 1$ માટે $x$ ના મૂલ્યો:
$x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$:
$(\sin 3x + \sin x) - \sin 2x = 0$
$2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0$
$\sin 2x (2 \cos x - 1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin 2x = 0$ અથવા $\cos x = \frac{1}{2}$.
$\sin 2x = 0$ માટે,$2x = n\pi$,તેથી $x = \frac{n\pi}{2}$. $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ આપેલ હોવાથી,માત્ર $x = 0$ ઉકેલ મળે છે.
$\cos x = \frac{1}{2}$ માટે,$x = \frac{\pi}{3}$ ($0 \le x < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી).
$x$ ના મૂલ્યો $0$ અને $\frac{\pi}{3}$ છે.
આમ,મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
ધારો કે $t = \cos^2 2\theta$. તો $t^2 - t + 1 = \frac{3}{4} \Rightarrow t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$
$(t - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos^2 2\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\cos^2 2\theta - 1 = 0$
$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 4\theta = 0$
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$4\theta \in (0, 2\pi)$.
$\cos 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$
કિંમતોનો સરવાળો = $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $2\cos^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \sin^2 \theta) + 3\sin \theta = 0$
$2 - 2\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$
$(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$
$\sin \theta = 2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$\theta \in [-2\pi, 2\pi]$ માટે,$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ ના ઉકેલો:
$\theta = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
ઘટકોનો સરવાળો = $(-\frac{\pi}{6}) + (-\frac{5\pi}{6}) + (\frac{7\pi}{6}) + (\frac{11\pi}{6}) = \frac{12\pi}{6} = 2\pi$.

(C) આપેલ સમીકરણ $1 + \sin^4 x = \cos^2 3x$ છે.
અહીં $\sin^4 x \ge 0$ હોવાથી,ડાબી બાજુ $1 + \sin^4 x \ge 1$ થાય.
જમણી બાજુ $\cos^2 3x \le 1$ થાય.
સમાનતા માટે,$1 + \sin^4 x = 1$ અને $\cos^2 3x = 1$ હોવું જોઈએ.
$1 + \sin^4 x = 1 \implies \sin x = 0 \implies x = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
હવે $x = n\pi$ માટે $\cos^2 3x = 1$ ચકાસતા:
$\cos^2(3n\pi) = 1$ જે હંમેશા સત્ય છે.
$x \in [-\frac{5\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ અંતરાલમાં $x = n\pi$ ના મૂલ્યો:
$n = -2, -1, 0, 1, 2$ માટે $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$.
આમ,કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log _{1 / 2}|\sin x|=2-\log _{1 / 2}|\cos x|$,જ્યાં $x \in [0, 2\pi]$.
પદોને ગોઠવતા: $\log _{1 / 2}|\sin x| + \log _{1 / 2}|\cos x| = 2$.
ગુણધર્મ $\log_a m + \log_a n = \log_a (mn)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log _{1 / 2}(|\sin x \cos x|) = 2$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $|\sin x \cos x| = (1/2)^2 = 1/4$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $|2 \sin x \cos x| = 2 \times (1/4) = 1/2$.
આમ,$|\sin 2x| = 1/2$.
અંતરાલ $x \in [0, 2\pi]$ માટે,ખૂણો $2x$ એ $[0, 4\pi]$ અંતરાલમાં આવે છે.
$|\sin \theta| = 1/2$ માટે,દરેક $2\pi$ લંબાઈના અંતરાલમાં $4$ ઉકેલો મળે છે.
અહીં $2x$ માટેનો અંતરાલ $[0, 4\pi]$ હોવાથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4 \times 2 = 8$ થશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin x$ પ્રથમ અને બીજા ચરણમાં ધન હોવાથી,બીજો ઉકેલ બીજા ચરણમાં મળે છે.
$\sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{2\pi}{3}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
કારણ કે $\tan x$ બીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ છે,તેથી:
$\tan x = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{5 \pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
અને
$\tan x = \tan(2 \pi - \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{11 \pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $\frac{5 \pi}{6}$ અને $\frac{11 \pi}{6}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$\sin x = -\sin \frac{\pi}{3}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{4\pi}{3}$ મળે.
$\sin x = \sin \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\alpha = \frac{4\pi}{3}$ મૂકતા,$x = n\pi + (-1)^n \frac{4\pi}{3}$ મળે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપણી પાસે છે,$\cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
$\cos x = \cos \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in Z$.

(N/A) આપણી પાસે છે,$\tan 2x = -\cot \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
$\tan \theta = -\cot \alpha = \tan \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2x = \tan \left(\frac{\pi}{2} + x + \frac{\pi}{3}\right)$
$\tan 2x = \tan \left(x + \frac{5\pi}{6}\right)$
વ્યાપક ઉકેલ માટે,$2x = n\pi + x + \frac{5\pi}{6}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
તેથી,$x = n\pi + \frac{5\pi}{6}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

આપેલ સમીકરણ $\sin 6x + \sin 2x - \sin 4x = 0$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4x \cos 2x - \sin 4x = 0$.
$\sin 4x$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 4x (2 \cos 2x - 1) = 0$.
આથી કાં તો $\sin 4x = 0$ અથવા $\cos 2x = \frac{1}{2}$.
$\sin 4x = 0$ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $4x = n\pi$ છે,જે $x = \frac{n\pi}{4}$ આપે છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે,જે $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ આપે છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(N/A) આપેલ સમીકરણ $2 \cos^{2} x + 3 \sin x = 0$ છે.
નિત્યસમ $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \sin^{2} x) + 3 \sin x = 0$
$2 - 2 \sin^{2} x + 3 \sin x = 0$
$2 \sin^{2} x - 3 \sin x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(2 \sin x + 1)(\sin x - 2) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \sin x = -\frac{1}{2}$
$2) \sin x = 2$
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ શક્ય નથી.
$\sin x = -\frac{1}{2}$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
$\sin x = \sin \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^{n}\alpha$ છે.
તેથી,$x = n\pi + (-1)^{n}(-\frac{\pi}{6})$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan x = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan x$ પ્રથમ અને ત્રીજા ચરણમાં ધન હોવાથી,મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ માટે,આપણે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે જો $\tan x = \tan \alpha$ હોય,તો $x = n\pi + \alpha$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
અહીં,$\alpha = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{\pi}{3}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ છે $\sec x = 2$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ હોવાથી,$\cos x = \frac{1}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\cos x$ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં ધન હોવાથી,મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ માટે,જો $\cos x = \cos \alpha$ હોય,તો $x = 2n\pi \pm \alpha$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
અહીં $\alpha = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

આપેલ સમીકરણ: $\cot x = -\sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
$\cot x$ બીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોવાથી:
$\cot (\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} \Rightarrow \cot \frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3}$.
$\cot (2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} \Rightarrow \cot \frac{11\pi}{6} = -\sqrt{3}$.
આમ,મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{5\pi}{6}$ અને $x = \frac{11\pi}{6}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે જો $\cot x = \cot \alpha$ હોય,તો $x = n\pi + \alpha$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
મુખ્ય કિંમત $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ લેતા,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \frac{5\pi}{6}$ મળે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(N/A) આપેલ છે $\csc x = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\csc \frac{\pi}{6} = 2$.
$\csc x$ ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\csc(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\csc \frac{\pi}{6} = -2$ અને $\csc(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\csc \frac{\pi}{6} = -2$.
તેથી,$\csc \frac{7\pi}{6} = -2$ અને $\csc \frac{11\pi}{6} = -2$.
મુખ્ય ઉકેલો $x = \frac{7\pi}{6}$ અને $x = \frac{11\pi}{6}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે $\csc x = \csc \frac{7\pi}{6}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\sin x = \sin \frac{7\pi}{6}$.
$\sin x = \sin \alpha$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\alpha = \frac{7\pi}{6}$ મૂકતા,વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 4x = \cos 2x$
$\Rightarrow \cos 4x - \cos 2x = 0$
સૂત્ર $\cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-2 \sin \left(\frac{4x+2x}{2}\right) \sin \left(\frac{4x-2x}{2}\right) = 0$
$-2 \sin 3x \sin x = 0$
$\sin 3x \sin x = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin 3x = 0$ અથવા $\sin x = 0$.
જો $\sin 3x = 0$,તો $3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
જો $\sin x = 0$,તો $x = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{3}$ અથવા $x = n\pi$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

આપેલ સમીકરણ: $\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0$
નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left( \frac{3x+x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) - \cos 2x = 0$
$2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x (2 \cos x - 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = (2n+1) \frac{\pi}{4}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos x - 1 = 0$ $\Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 2x + \cos x = 0$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos x + \cos x = 0$
$\cos x$ સામાન્ય લેતા:
$\cos x (2 \sin x + 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\cos x = 0$
$\cos x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $2$: $2 \sin x + 1 = 0$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\sin x = -\sin \frac{\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{7\pi}{6}$.
$\sin x = \sin \alpha$ નો વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sec^{2} 2x = 1 - \tan 2x$
નિત્યસમ $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + \tan^{2} 2x = 1 - \tan 2x$
$\tan^{2} 2x + \tan 2x = 0$
$\tan 2x(\tan 2x + 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\tan 2x = 0$
$2x = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$
કિસ્સો $2$: $\tan 2x = -1$
$\tan 2x = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{3\pi}{4}$
$2x = n\pi + \frac{3\pi}{4}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}, n \in \mathbb{Z}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{2}$ અથવા $x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}, n \in \mathbb{Z}$ છે.

આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{5x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x-x}{2}\right) + \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0$
$3x = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2x + 1 = 0$
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\cos 2x = -\cos \frac{\pi}{3} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3}$
$2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{3}$ અથવા $x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $|\cot x| = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $\cot x \ge 0$ હોય,તો $|\cot x| = \cot x$. સમીકરણ $\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sin x} = 0$. આનો કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\cot x < 0$ હોય,તો $|\cot x| = -\cot x$. સમીકરણ $-\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2\cot x + \frac{1}{\sin x} = 0$ થાય છે.
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2\cos x + 1}{\sin x} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ છે કે $2\cos x + 1 = 0$,તેથી $\cos x = -\frac{1}{2}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x = -\frac{1}{2}$ એ $x = \frac{2\pi}{3}$ અને $x = \frac{4\pi}{3}$ માટે મળે છે.
શરત $\cot x < 0$ તપાસતા: $x = \frac{2\pi}{3}$ માટે,$\cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (માન્ય).
$x = \frac{4\pi}{3}$ માટે,$\cot(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (અમાન્ય,કારણ કે તે $\cot x < 0$ નો વિરોધાભાસ કરે છે).
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ છે.

(A) અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $x + 2 \tan x = \frac{\pi}{2}$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખીએ છીએ:
$2 \tan x = \frac{\pi}{2} - x$
$\tan x = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$
આપણે અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં $y = \tan x$ અને $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$ ના આલેખના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$1$. અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2})$ માં,$\tan x$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે રેખા $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$ એ $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. અહીં બરાબર $1$ છેદબિંદુ મળે છે.
$2$. અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં,$\tan x$ એ $-\infty$ થી $\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે રેખા $0$ થી $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ સુધી ઘટે છે. અહીં બરાબર $1$ છેદબિંદુ મળે છે.
$3$. અંતરાલ $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ માં,$\tan x$ એ $-\infty$ થી $0$ સુધી વધે છે,જ્યારે રેખા $-\frac{\pi}{2}$ થી $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.35$ સુધી ઘટે છે. અહીં બરાબર $1$ છેદબિંદુ મળે છે.
આમ,કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \cos^2 x = (\sqrt{3}-1) \cos x + 1$
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x + \cos x - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $\sqrt{3} \cos x (\cos x - 1) + 1 (\cos x - 1) = 0$
$(\sqrt{3} \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$ (જે અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં છે)
કિસ્સો $2$: $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. કારણ કે $\cos x$ બીજા ચરણમાં ઋણ હોય છે અને $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ છે,તેથી આપેલ અંતરાલમાં આ કિસ્સા માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,માત્ર $1$ ઉકેલ છે,જે $x = 0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta = 1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$.
તેથી,$1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$.
$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \frac{\sin^{2} 2\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{2} = 0$.
$2 - \sin^{2} 2\theta - \sin 2\theta = 0 \Rightarrow \sin^{2} 2\theta + \sin 2\theta - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(\sin 2\theta + 2)(\sin 2\theta - 1) = 0$.
$\sin 2\theta = 1$ મળે,કારણ કે $\sin 2\theta = -2$ શક્ય નથી.
$\theta \in [0, 4\pi]$ માટે,$2\theta \in [0, 8\pi]$.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$.
સરવાળો $S = 7\pi$.
તેથી,$\frac{8S}{\pi} = 56$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos x(4 \sin(\frac{\pi}{4}+x) \sin(\frac{\pi}{4}-x)-1)=1$
નિત્યસમ $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos x(4(\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(4(\frac{1}{2} - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(2 - 4\sin^2 x - 1) = 1$
$2 \cos x(1 - 4\sin^2 x) = 1$
$1 - 4\sin^2 x = 4\cos^2 x - 3$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$2 \cos x(4\cos^2 x - 3) = 1$
$8\cos^3 x - 6\cos x = 1$
$4\cos^3 x - 3\cos x = \frac{1}{2}$
ત્રિ-ગુણિત નિત્યસમ $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ હોવાથી,$3x \in [0, 3\pi]$.
$3x$ માટેના ઉકેલો $\frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}$ છે,એટલે કે $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
ઉકેલોની સંખ્યા $n = 3$.
સરવાળો $S = \frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} = \frac{13\pi}{9}$.

(A) આપેલ છે $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$,જ્યાં $x \in [0, 4\pi]$.
$\sin^{2} x \leq 1$ અને $\cos^{2} x \leq 1$ હોવાથી,$\sin^{7} x \leq \sin^{2} x$ અને $\cos^{7} x \leq \cos^{2} x$ થાય.
તેથી,$\sin^{7} x + \cos^{7} x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$.
સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin^{7} x = \sin^{2} x$ અને $\cos^{7} x = \cos^{2} x$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $(\sin x = 0 \text{ અથવા } \sin x = 1)$ અને $(\cos x = 0 \text{ અથવા } \cos x = 1)$.
કિસ્સો $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$. $\cos^{7} x = 1$ ચકાસતા,$x = 0, 2\pi, 4\pi$ મળે.
કિસ્સો $2$: $\cos x = 0 \implies x = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2, 7\pi/2$. $\sin^{7} x = 1$ ચકાસતા,$x = \pi/2, 5\pi/2$ મળે.
આમ,કુલ ઉકેલો $x \in \{0, \pi/2, 2\pi, 5\pi/2, 4\pi\}$ છે.
તેથી,કુલ $5$ ઉકેલો મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(\sin x + \sin 4x) + (\sin 2x + \sin 3x) = 0$
સરવાળાને ગુણાકારમાં ફેરવવાના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} + 2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$
$2 \sin \frac{5x}{2} (\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \frac{5x}{2} (2 \cos x \cos \frac{x}{2}) = 0$
$4 \sin \frac{5x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2} = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin \frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = n\pi \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{5}$. $x \in [0, 2\pi]$ માટે,$x \in \{0, \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}, 2\pi\}$.
કિસ્સો $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
કિસ્સો $3$: $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \pi$.
તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો $= (0 + \frac{2\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} + \frac{6\pi}{5} + \frac{8\pi}{5} + 2\pi) + (\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}) + \pi = 6\pi + 2\pi + \pi = 9\pi$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{4} \cos ^{2} 2 x$.
નિત્યસમ $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$ મૂકતા:
$\frac{1}{4} - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$4$ વડે ગુણતા:
$1 - 4 \sin^2 x = \cos^2 2x$.
$1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ મળે:
$1 - 2(1 - \cos 2x) = \cos^2 2x$.
$1 - 2 + 2 \cos 2x = \cos^2 2x$.
$\cos^2 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0$.
$(\cos 2x - 1)^2 = 0$.
$\cos 2x = 1$.
$2x = 2n\pi \implies x = n\pi$.
$x \in [-3\pi, 3\pi]$ માટે,$n$ ની કિંમતો $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આમ,કુલ $7$ ઉકેલો મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 21 - 4 \cos^{2} x$
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ મૂકતા:
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 17 + 4 \sin^{2} x$
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 6 \sin^{2} x = 17$
ધારો કે $\sin^{2} x = p$,તો $\operatorname{cosec}^{2} x = \frac{1}{p}$:
$6p^{2} + 17p - 14 = 0$
$p = \frac{2}{3}$ (કારણ કે $\sin^{2} x \geq 0$)
$\sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
અંતરાલ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)$ માં કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin x = \cos^{2} x$ છે.
નિત્યસમ $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = 1 - \sin^{2} x$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,દ્વિઘાત સમીકરણ $\sin^{2} x + \sin x - 1 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = \sin x$,તો $t^{2} + t - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે.
$-1 \le \sin x \le 1$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ મળે.
અંતરાલ $(0, 10)$ માં,$10$ રેડિયન એ આશરે $3.18\pi$ જેટલું થાય છે.
$(0, 2\pi)$ માં $2$ ઉકેલ મળે અને $(2\pi, 3.18\pi)$ માં બીજા $2$ ઉકેલ મળે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \theta - \cos^{2} \theta + \sqrt{2} = 0$ છે.
આને $\cos^{2} \theta = 2 \theta + \sqrt{2}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ધારો કે $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ અને $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$.
વિધેય $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ એ $[0, 1]$ વિસ્તાર ધરાવતું આવર્ત વિધેય છે.
વિધેય $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$ એ $2$ ઢાળ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ ના $y$-અંતઃખંડ સાથેની એક સીધી રેખા છે.
કારણ કે $\cos^{2} \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,અને $\theta > 0$ માટે,$g(\theta) > \sqrt{2} > 1$ હોવાથી,$\theta > 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
$\theta < 0$ માટે,રેખા $g(\theta)$ એ વક્ર $f(\theta)$ ને આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ માત્ર એક જ બિંદુએ છેદે છે.

(C) આપણે $x \in [-4 \pi, 4 \pi]$ માટે $|\cos x| = \sin x$ ઉકેલવું છે.
$|\cos x| \geq 0$ હોવાથી,$\sin x \geq 0$ હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $x$ પ્રથમ અથવા બીજા ચરણમાં હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\cos x = \sin x \implies \tan x = 1$. $[0, 2 \pi]$ માં,આ $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ આપે છે. $\sin x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી માત્ર $x = \frac{\pi}{4}$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $-\cos x = \sin x \implies \tan x = -1$. $[0, 2 \pi]$ માં,આ $x = \frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ આપે છે. $\sin x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી માત્ર $x = \frac{3 \pi}{4}$ ઉકેલ છે.
આમ,દરેક $2 \pi$ લંબાઈના અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો મળે છે.
$[-4 \pi, 4 \pi]$ અંતરાલમાં,જે $2 \pi$ લંબાઈના $4$ અંતરાલો ધરાવે છે,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $2 \times 4 = 8$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $2 \sin^{2} \theta - \cos 2\theta = 0$ અને $2 \cos^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે:
$2 \sin^{2} \theta - (1 - 2 \sin^{2} \theta) = 0$
$4 \sin^{2} \theta = 1$
$\sin^{2} \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
બીજા સમીકરણ માટે:
$2(1 - \sin^{2} \theta) + 3 \sin \theta = 0$
$2 - 2 \sin^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$
$2 \sin^{2} \theta - 3 \sin \theta - 2 = 0$
$(2 \sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$.
$\sin \theta = 2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
સામાન્ય ઉકેલો $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ છે.
ઉકેલોનો સરવાળો $= \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} = 3\pi$.
આપેલ સરવાળો $= k\pi$,તેથી $k = 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta(1 + \sqrt{5} \tan 2\theta) = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \sqrt{5} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{5}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
$\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{5}$
$\tan(3\theta) = \sqrt{5}$
ધારો કે $\tan \alpha = \sqrt{5}$,જ્યાં $\alpha \in (0, \pi/2)$. તેથી $3\theta = n\pi + \alpha$,એટલે કે $\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\alpha}{3}$.
$\theta \in [-\pi, \pi/2)$ માટે $n$ ની કિંમતો તપાસતા:
$n = -3, -2, -1, 0, 1$ માટે $5$ ઉકેલો મળે છે જે $S$ માં છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin(9x) + \sin(3x) = 0$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(6x) \cos(3x) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\sin(6x) = 0$ અથવા $\cos(3x) = 0$.
કિસ્સો $1$: $\sin(6x) = 0$ $\Rightarrow 6x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{6}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$x \in [0, 2\pi]$ માટે,$n$ ની કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ હોઈ શકે.
કુલ $13$ કિંમતો મળે છે.
કિસ્સો $2$: $\cos(3x) = 0$ $\Rightarrow 3x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = (2k+1)\frac{\pi}{6}$,જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
આ કિંમતો પહેલેથી જ કિસ્સા $1$ માં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $13$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin(x+x^2) - \sin(x^2) = \sin x$
નિત્યસમ $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{2x^2+x}{2}) = \sin x$
$\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$ હોવાથી,સમીકરણ:
$2 \sin(\frac{x}{2}) [\cos(\frac{2x^2+x}{2}) - \cos(\frac{x}{2})] = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin(\frac{x}{2}) = 0 \Rightarrow x = 2n\pi$. $n=1$ માટે $x=2\pi \approx 6.28$,જે $[2, 3]$ ની બહાર છે.
કિસ્સો $2$: $\cos(\frac{2x^2+x}{2}) = \cos(\frac{x}{2}) \Rightarrow x^2 = 2k\pi$ અથવા $x^2 + x - 2k\pi = 0$.
$k=1$ માટે $x = \sqrt{2\pi} \approx 2.506$ અને $x^2 + x - 2\pi = 0$ નો ધન ઉકેલ $x \approx 2.055$ મળે છે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin \theta + \cos \theta = \sin 2\theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta + \cos \theta$. તો $t^2 = 1 + \sin 2\theta$,તેથી $\sin 2\theta = t^2 - 1$.
સમીકરણ $t = t^2 - 1$ અથવા $t^2 - t - 1 = 0$ બને છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t$ ની રેન્જ $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
$\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \sqrt{2}$ હોવાથી,આ કિંમત શક્ય નથી.
તેથી,$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ જે $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે છે.
આમ,$[-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 \sin 3x + \sin 7x - 3 = 0$ છે.
આને $2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin 3x = 1$ અને $\sin 7x = 1$ બંને હોય.
$\sin 3x = 1$ માટે,$x = \frac{(4n+1)\pi}{6}$ અને $\sin 7x = 1$ માટે,$x = \frac{(4m+1)\pi}{14}$.
આ બંને શરતો સંતોષતા $x$ ના મૂલ્યો $[-2\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં $x = \frac{3\pi}{2}$ અને $x = -\frac{3\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $8 \sin^3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
નિત્યસમ $4 \sin^3 \theta = 3 \sin \theta - \sin 3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(3 \sin \theta - \sin 3 \theta) - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$6 \sin \theta - 2 \sin 3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta = \sin 3 \theta$
$\sin(60^{\circ} - \theta) = \sin 3 \theta$
$60^{\circ} - \theta = 3 \theta \implies 4 \theta = 60^{\circ} \implies \theta = 15^{\circ}$
$15^{\circ}$ એ $(10^{\circ}, 20^{\circ})$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\cos(\sin x) = \sin(\cos x)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
તેથી,$\cos(\sin x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \cos x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin x = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \cos x)$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $1$: $\sin x + \cos x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$\sin x + \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ છે.
$n=0$ માટે,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,જે વિસ્તારની બહાર છે.
કિસ્સો $2$: $\sin x - \cos x = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$.
$\sin x - \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ છે.
$n=0$ માટે,$-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$,જે વિસ્તારની બહાર છે.
કોઈપણ $n$ માટે સમીકરણનું સમાધાન મળતું નથી,તેથી $X$ માં ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^4 x + \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^4 x + \frac{1}{\sin^2 x}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા: $(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ હોવાથી,આપણને મળે: $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
આથી $(\cos^2 x - \sin^2 x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\right) = 0$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ મળે.
તેથી,$\cos 2x \left(1 - \frac{4}{\sin^2 2x}\right) = 0$
આનાથી $\cos 2x = 0$ અથવા $\sin^2 2x = 4$ મળે. $\sin^2 2x$ ની કિંમત $4$ ન હોઈ શકે,તેથી $\cos 2x = 0$ લેતા.
આમ,$2x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,એટલે કે $x = (2n+1)\frac{\pi}{4}$.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માટે,ઉકેલો $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \frac{1}{2} \cos x = \sin^2(x + \frac{\pi}{4})$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin x + \cos x = 2 \sin^2(x + \frac{\pi}{4})$
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x + \cos x = 2 [\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}]^2$
$2 \sin x + \cos x = 2 [\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)]^2$
$2 \sin x + \cos x = 2 \times \frac{1}{2}(\sin x + \cos x)^2$
$2 \sin x + \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી:
$2 \sin x + \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x$
$2 \sin x - 2 \sin x \cos x + \cos x - 1 = 0$
$2 \sin x(1 - \cos x) - 1(1 - \cos x) = 0$
$(2 \sin x - 1)(1 - \cos x) = 0$
આથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos x = 1$ મળે.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
$x \in [0, \pi]$ માટે,$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$.
બધા $x$ નો સરવાળો $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 0 = \pi$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos^7 \theta - \sin^4 \theta = 1$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\cos^7 \theta = 1 + \sin^4 \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $\theta$ માટે,$\cos^7 \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
વળી,$\sin^4 \theta \geq 0$ હોવાથી,જમણી બાજુ $(RHS)$ $1 + \sin^4 \theta \geq 1$ થાય છે.
સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે,બંને બાજુ $1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$\cos^7 \theta = 1$ અને $\sin^4 \theta = 0$.
$\cos^7 \theta = 1$ પરથી,$\cos \theta = 1$ મળે,જે $[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $\theta = 0, 2\pi$ સૂચવે છે.
$\sin^4 \theta = 0$ પરથી,$\sin \theta = 0$ મળે,જે $[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $\theta = 0, \pi, 2\pi$ સૂચવે છે.
બંને શરતોનું પાલન કરતા સામાન્ય મૂલ્યો $\theta = 0$ અને $\theta = 2\pi$ છે.
તેથી,આપેલ અંતરાલમાં $2$ ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = 2 \cos \frac{9 \theta}{2} \cos 3 \theta$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{5 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2}$.
$\cos \frac{15 \theta}{2} = \cos \frac{5 \theta}{2}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $\frac{15 \theta}{2} = 2 k \pi \pm \frac{5 \theta}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\frac{15 \theta}{2} - \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 5 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{2 k \pi}{5}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{15 \theta}{2} + \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 10 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{k \pi}{5}$.
બંનેને જોડતા,$\theta = \frac{k \pi}{5}$ જ્યાં $k \in \mathbb{Z}$.
$[-\pi, \pi]$ માં,$\theta \in \{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}, 0, \frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$.
ધન કિંમતો $(m)$: $\{\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$,તેથી $m = 5$.
ઋણ કિંમતો $(n)$: $\{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}\}$,તેથી $n = 5$.
તેથી,$mn = 5 \times 5 = 25$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} \tan x=1$
ધારો કે $a = \ln \sin x$ અને $b = \ln \cos x$. તો સમીકરણ $\frac{b-a}{b} + 4\frac{a-b}{a} = 1$ બને છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $t + \frac{4}{t} = 4$ મળે છે,જ્યાં $t = \frac{a}{b}$.
તેથી $(t-2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$.
આથી $\ln \sin x = 2 \ln \cos x \Rightarrow \sin x = \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
સરખામણી કરતા $\alpha = -1$ અને $\beta = 5$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + 5 = 4$.

(NONE) આપેલ સમીકરણ: $3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 = 0$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2(1 - \cos^2 \theta) + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 + 2 \cos^2 \theta + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$
$3 \cos^2 \theta (\cos^2 \theta - 1) = 0$
$3 \cos^2 \theta (-\sin^2 \theta) = 0$
$-3 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 0$
આનો અર્થ છે કે $\cos^2 \theta = 0$ અથવા $\sin^2 \theta = 0$.
કિસ્સો $1$: $\cos^2 \theta = 0 \implies \cos \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
કિસ્સો $2$: $\sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ માં,$\theta = 0, \pi, 2\pi$.
ગણ $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}$.
ઘટકોની સંખ્યા $5$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4 \cos \theta + 5 \sin \theta = 1$.
$\cos \theta$ વડે ભાગતા: $4 + 5 \tan \theta = \sec \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4 + 5 \tan \theta)^2 = 1 + \tan^2 \theta$.
$24 \tan^2 \theta + 40 \tan \theta + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \theta = \frac{-10 \pm \sqrt{10}}{12}$.
શરત $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ મુજબ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.