Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A - \sin C = 2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
$\cos C - \cos A = 2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}}{2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}} = \cot B$
$\cot \frac{A + C}{2} = \cot B$
$\frac{A + C}{2} = B$
$A + C = 2B$
આ શરત સૂચવે છે કે $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = 180^\circ$ છે.
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ પદને ધ્યાનમાં લો.
$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin(A+B)\cos(A-B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $A+B = 180^\circ - C$ હોવાથી,$\sin(A+B) = \sin C$ થાય.
તેથી,$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin C \cos(A-B)$.
હવે,$\sin 2C = 2\sin C \cos C = 2\sin C \cos(180^\circ - (A+B)) = -2\sin C \cos(A+B)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin C \cos(A+B)$.
$= 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\sin C [2\sin A \sin B] = 4\sin A \sin B \sin C$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sin 2A + \sin 2B - \sin 2C$
$\sin X + \sin Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin(A+B) \cos(A-B) - \sin 2C$
કારણ કે $A+B+C = \pi$,તેથી $A+B = \pi - C$,એટલે કે $\sin(A+B) = \sin C$ અને $\cos(A+B) = -\cos C$.
$= 2 \sin C \cos(A-B) - 2 \sin C \cos C$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos C]$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
$\cos(X-Y) + \cos(X+Y) = 2 \cos X \cos Y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin C [2 \cos A \cos B]$
$= 4 \cos A \cos B \sin C$.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = \pi$ થાય છે.
તેથી,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan \left( \frac{A+B}{2} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \right) = \cot \frac{C}{2}$.
સૂત્ર $\tan \left( \frac{A}{2} + \frac{B}{2} \right) = \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot \frac{C}{2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$.
આમ,$\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$ હોવાથી,$\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$ થાય.

(B) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3/4}{5} = \frac{\sin B}{7}$.
$\Rightarrow \sin B = \frac{3}{4} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{20}$.
$\sin B$ ની કિંમત $\le 1$ હોવી જોઈએ અને $\frac{21}{20} = 1.05 > 1$ હોવાથી,આવો ત્રિકોણ શક્ય નથી.
તેથી,આવા ત્રિકોણની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $(s - a)(s - b) = s(s - c)$ છે.
બંને બાજુને $s(s - c)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)} = 1$ મળે છે.
આપણે અડધા ખૂણાના ટેન્જન્ટનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}}$.
કિંમત મૂકતા,આપણને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{1} = 1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{C}{2} = 45^o$ થાય.
આમ,$C = 90^o$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં અડધા ખૂણાના સાઈન માટેનું સૂત્ર: $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{bc}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s - b)(s - c)}{bc}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(s - b)(s - c) = bc \sin^2 \frac{A}{2}$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $(s - b)(s - c) = x \sin^2 \frac{A}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = bc$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $A + C = 2B$.
$A + B + C = 180^\circ$ હોવાથી,$A + C = 2B$ મૂકતા $3B = 180^\circ$ મળે,એટલે કે $B = 60^\circ$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
$B = 60^\circ$ મૂકતા,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $ac = a^2 + c^2 - b^2$ મળે,જેનું પુનઃગોઠવણ કરતા $b^2 = a^2 + c^2 - ac$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = (b + c)\cos A + (c + a)\cos B + (a + b)\cos C$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $E = b\cos A + c\cos A + c\cos B + a\cos B + a\cos C + b\cos C$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $E = (b\cos C + c\cos B) + (c\cos A + a\cos C) + (a\cos B + b\cos A)$
પ્રોજેક્શન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $a = b\cos C + c\cos B$,$b = a\cos C + c\cos A$,અને $c = a\cos B + b\cos A$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $E = a + b + c$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $A + B + C = 180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\sin(A + B) = \sin(180^{\circ} - C) = \sin C$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\sin B}{\sin(A + B)} = \frac{\sin B}{\sin C}$ મળે છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $\sin(A + B) = \sin(180^{\circ} - C) = \sin C$.
તેથી,$\frac{\sin(A - B)}{\sin(A + B)} = \frac{\sin A \cos B - \sin B \cos A}{\sin C}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\frac{a}{2R} \cos B - \frac{b}{2R} \cos A}{\frac{c}{2R}} = \frac{a \cos B - b \cos A}{c}$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ અને $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{a(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}) - b(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})}{c} = \frac{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2c} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}}{c} = \frac{a^2 + c^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2c^2} = \frac{2a^2 - 2b^2}{2c^2} = \frac{a^2 - b^2}{c^2}$.

(C) $\Delta ABC$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$
આપેલ છે કે $c^2 + a^2 - b^2 = ac$,તેથી આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\cos B = \frac{ac}{2ac} = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos B = \frac{1}{2}$,તેથી $B = \frac{\pi}{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)}$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)} \left( a \sin^2 \frac{B}{2} + b \sin^2 \frac{A}{2} \right)$
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)} \left( a \frac{(s-a)(s-c)}{ac} + b \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \right)$
સાદુરૂપ આપતા:
$E = \frac{\cos(C/2)}{\sin(A/2)\sin(B/2)} \cdot \frac{s-c}{c} (s-a+s-b) = c \cot \frac{C}{2}$.

(A) આપેલ બાજુઓ $a = 16, b = 24, c = 20$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{16 + 24 + 20}{2} = \frac{60}{2} = 30$.
સૂત્ર $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s - b)}{ac}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{30(30 - 24)}{16 \times 20}}$
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{30 \times 6}{320}}$
$\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{180}{320}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$
$\cos \frac{B}{2} = \frac{3}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = 180^{\circ},$ તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}.$
$1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}$
$= \frac{\cos(\frac{A}{2} + \frac{B}{2})}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}} = \frac{\cos(90^{\circ} - \frac{C}{2})}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}} = \frac{\sin \frac{C}{2}}{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}$
અર્ધ-ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sin \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}},$ $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},$ અને $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}},$ આપણને મળે છે:
$= \frac{\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}}{\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} \cdot \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}} = \frac{c}{s}$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$\frac{c}{s} = \frac{2c}{a+b+c}.$

(A) આપેલ પદાવલિ: ${b^2}\cos 2A - {a^2}\cos 2B$
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= {b^2}(1 - 2\sin^2 A) - {a^2}(1 - 2\sin^2 B)$
$= {b^2} - 2{b^2}\sin^2 A - {a^2} + 2{a^2}\sin^2 B$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,તેથી $a = 2R\sin A$ અને $b = 2R\sin B$.
આમ,${b^2}\sin^2 A = (2R\sin B)^2 \sin^2 A = 4R^2 \sin^2 B \sin^2 A$ અને ${a^2}\sin^2 B = (2R\sin A)^2 \sin^2 B = 4R^2 \sin^2 A \sin^2 B$.
તેથી,${b^2}\sin^2 A = {a^2}\sin^2 B$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= {b^2} - {a^2} - 2({b^2}\sin^2 A - {a^2}\sin^2 B)$
$= {b^2} - {a^2} - 2(0) = {b^2} - {a^2}$.

(A) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k.$
તેથી,$a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C.$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a \sin (B - C) + b \sin (C - A) + c \sin (A - B) = k [\sin A \sin (B - C) + \sin B \sin (C - A) + \sin C \sin (A - B)]$
$\Delta ABC$ માં,$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$A = \pi - (B + C),$ તેથી $\sin A = \sin (B + C).$
$\sin A = \sin (B + C)$ મૂકતા:
$= k [\sin (B + C) \sin (B - C) + \sin (C + A) \sin (C - A) + \sin (A + B) \sin (A - B)]$
નિત્યસમ $\sin (x + y) \sin (x - y) = \sin^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= k [(\sin^2 B - \sin^2 C) + (\sin^2 C - \sin^2 A) + (\sin^2 A - \sin^2 B)]$
$= k [0] = 0.$

(C) આપેલ છે કે $\cot A, \cot B, \cot C$ એ $A.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cot A + \cot C = 2\cot B.$
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ અને સાઈન નિયમ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ નો ઉપયોગ કરતા,
આપણને મળે છે $\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta}, \cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}$ અને $\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta},$
જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિંમતોને $A.P.$ ની શરતમાં મૂકતા:
$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta} = 2 \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta} \right)$
$b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + b^2 - c^2 = 2(a^2 + c^2 - b^2)$
$2b^2 = 2(a^2 + c^2 - b^2)$
$b^2 = a^2 + c^2 - b^2$
$2b^2 = a^2 + c^2$
આ શરત સૂચવે છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે: $(a + c + b)(a + c - b) = 3ac$
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(a + c)^2 - b^2 = 3ac$
$a^2 + c^2 + 2ac - b^2 = 3ac$
$a^2 + c^2 - b^2 = ac$
બંને બાજુ $2ac$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{ac}{2ac} = \frac{1}{2}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$
તેથી,$\cos B = \frac{1}{2}.$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\angle B = 60^\circ$ મળે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\text{cosec } A \sin(B + C)$ મળે છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં $A + B + C = \pi$ હોવાથી,$B + C = \pi - A$ થાય.
તેથી,$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $\text{cosec } A \cdot \sin A = \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: $\cos^2 A + \cos^2 C = \sin^2 B$
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$C = \pi - (A + B)$ મળે,તેથી $\cos C = -\cos(A + B)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos^2 A + \cos^2(A + B) = \sin^2 B$
$\cos^2 A + (\cos A \cos B - \sin A \sin B)^2 = \sin^2 B$
જો $B = 90^\circ$ લઈએ,તો $\sin^2 B = 1$.
ત્યારે $\cos^2 A + \cos^2 C = \cos^2 A + \cos^2(90^\circ - A) = \cos^2 A + \sin^2 A = 1$.
આમ,શરત $B = 90^\circ$ માટે સંતોષાય છે,તેથી ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે ખૂણાઓ $x, 2x,$ અને $7x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$x + 2x + 7x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 10x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 18^{\circ}.$
તેથી,ખૂણાઓ $18^{\circ}, 36^{\circ},$ અને $126^{\circ}$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓ સામેના ખૂણાઓના સાઇન સાથે પ્રમાણસર હોય છે.
સૌથી મોટી બાજુ અને સૌથી નાની બાજુનો ગુણોત્તર $\frac{\sin(126^{\circ})}{\sin(18^{\circ})}$ છે.
$\sin(126^{\circ}) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ અને $\sin(18^{\circ}) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ હોવાથી,
ગુણોત્તર $\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\angle C = 60^{\circ}$,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,જેનો અર્થ છે કે $ab = a^2 + b^2 - c^2$,અથવા $c^2 = a^2 + b^2 - ab$.
આપણે $S = \frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}$ ની કિંમત શોધવી છે.
ગણતરી કરતા,$\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ અને $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \times \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{s-b}{s} = \frac{1}{2}$
$2s - 2b = s$
$s = 2b$
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી $a + b + c = 4b$,જેનો અર્થ છે $a + c = 3b$.
આ શરત $A.P.$,$G.P.$ કે $H.P.$ દર્શાવતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$,$\sin \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}$,અને $\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = \frac{s-b}{b}$ મળે છે.
અહીં $s = \frac{a+b+c}{2}$ અને $a+c = 2b$ હોવાથી,$s = \frac{3b}{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{s-b}{b} = \frac{\frac{3b}{2} - b}{b} = \frac{1}{2}$.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ માં નેપિયરના સામ્યતા (ટેન્જન્ટ નિયમ) મુજબ:
$\tan \frac{B - C}{2} = \frac{b - c}{b + c} \cot \frac{A}{2}$
આપેલ સમીકરણ $\tan \frac{B - C}{2} = x \cot \frac{A}{2}$ સાથે સરખાવતા,
આપણને $x = \frac{b - c}{b + c}$ મળે છે.

(C) આપેલ બાજુઓ $a = 3, b = 4, c = 5$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos B = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$.
$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ હોવાથી,$\sin B = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5$.
ડબલ એંગલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 2B = 2 \sin B \cos B$.
તેથી,$\sin 2B = 2 \times (4/5) \times (3/5) = 24/25$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 2$,$b = \sqrt{6}$,અને $c = \sqrt{3} + 1$ છે.
અહીં $c$ સૌથી મોટી બાજુ છે,તેથી તેની સામેનો ખૂણો $C$ સૌથી મોટો ખૂણો હશે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{2^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3} + 1)^2}{2 \times 2 \times \sqrt{6}} = \frac{4 + 6 - (4 + 2\sqrt{3})}{4\sqrt{6}} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
આ કિંમત $\cos(75^o)$ માટે છે.
તેથી,સૌથી મોટો ખૂણો $75^o$ છે.

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = 7$,$b = 4\sqrt{3}$ અને $c = \sqrt{13}$ છે.
અહીં $\sqrt{13} \approx 3.6$ અને $4\sqrt{3} \approx 6.9$ હોવાથી,સૌથી નાની બાજુ $c = \sqrt{13}$ છે.
સૌથી નાનો ખૂણો સૌથી નાની બાજુની સામે હોય છે,તેથી કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ખૂણો $C$ શોધીએ:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}}$
$\cos C = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$C = 30^o$ મળે છે.

(D) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
આપેલ છે $\angle C = 30^\circ$,$a = 47$,$b = 94$:
$\cos 30^\circ = \frac{47^2 + 94^2 - c^2}{2 \times 47 \times 94}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2209 + 8836 - c^2}{8836}$
$4418\sqrt{3} = 11045 - c^2$
$c^2 = 11045 - 7653.58 \approx 3391.42$
$c \approx 58.24 \text{ cm}$
હવે,સાઈનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{47 \times 0.5}{58.24} \approx 0.4035$
$A \approx 23.8^\circ$
$\angle B = 180^\circ - (30^\circ + 23.8^\circ) = 126.2^\circ$
$\angle B > 90^\circ$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) $\Delta ABC$ માં પ્રોજેક્શનના નિયમ મુજબ:
$a = b \cos C + c \cos B$
$b = c \cos A + a \cos C$
$c = a \cos B + b \cos A$
તેથી,બાજુ $b$ એ $c \cos A + a \cos C$ ના બરાબર છે.

(B) આપેલ છે: $\angle C = 90^\circ$,$\angle A = 30^\circ$,અને $c = 20$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$\angle B = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 60^\circ$.
સાઇનના નિયમ મુજબ: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{20 \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = 10$.
$b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{20 \sin 60^\circ}{\sin 90^\circ} = 10\sqrt{3}$.
આમ,$a = 10$ અને $b = 10\sqrt{3}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $c\cos (A - \alpha ) + a\cos (C + \alpha )$ છે.
ત્રિકોણમિતિના વિસ્તરણ સૂત્રો $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ અને $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$c(\cos A \cos \alpha + \sin A \sin \alpha) + a(\cos C \cos \alpha - \sin C \sin \alpha)$
પદોને ગોઠવતા:
$\cos \alpha (c \cos A + a \cos C) + \sin \alpha (c \sin A - a \sin C)$
ત્રિકોણના પ્રક્ષેપના નિયમ મુજબ,$c \cos A + a \cos C = b$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $c \sin A = a \sin C$,તેથી $c \sin A - a \sin C = 0$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$b \cos \alpha + \sin \alpha (0) = b \cos \alpha$.

(B) કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,અને $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + c^2 - b^2 + a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માં,$C = 180^\circ - (A + B),$ તેથી $\cos C = -\cos(A + B).$
અંશમાં આ કિંમત મૂકતા: $1 + \cos(A - B)\cos C = 1 - \cos(A - B)\cos(A + B).$
નિત્યસમ $\cos(A - B)\cos(A + B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 - (\cos^2 A - \sin^2 B) = 1 - \cos^2 A + \sin^2 B = \sin^2 A + \sin^2 B$ મળે છે.
તે જ રીતે,છેદ માટે: $1 + \cos(A - C)\cos B = 1 - \cos(A - C)\cos(A + C) = 1 - (\cos^2 A - \sin^2 C) = \sin^2 A + \sin^2 C.$
આમ,પદાવલિ $\frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A + \sin^2 C}$ બને છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k,$ તેથી $\sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k}.$
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{(a/k)^2 + (b/k)^2}{(a/k)^2 + (c/k)^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 + c^2}$ મળે છે.

(B) $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A}{2} = 90^{\circ} - \frac{B + C}{2}$.
તેથી,$\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{B + C}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\cos \frac{B - C}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B - C}{2}}{\cos \frac{B + C}{2}}$.
અંશ અને છેદને $2 \sin \frac{A}{2}$ વડે ગુણતા:
$= \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{b + c}{a}$.

(A) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,તેથી $\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,અને $\sin C = \frac{c}{2R}$.
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
આમ,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{2R}{a} = \frac{R(b^2 + c^2 - a^2)}{abc}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$({b^2} - {c^2})\cot A = ({b^2} - {c^2}) \cdot \frac{R(b^2 + c^2 - a^2)}{abc} = \frac{R}{abc} (b^4 - c^4 - a^2b^2 + a^2c^2)$.
ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$\sum ({b^2} - {c^2})\cot A = \frac{R}{abc} [(b^4 - c^4 - a^2b^2 + a^2c^2) + (c^4 - a^4 - b^2c^2 + b^2a^2) + (a^4 - b^4 - c^2a^2 + c^2b^2)]$.
કૌંસની અંદરના તમામ પદો ઉડી જાય છે અને પરિણામ $0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે $a + c = 2b$.
આપણે તપાસવું છે કે શું $\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ એ $A.P.$ માં છે.
સૂત્ર $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ યાદ કરો.
$\cot \frac{A}{2}, \cot \frac{B}{2}, \cot \frac{C}{2}$ ને $A.P.$ માં હોવા માટે,$2 \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2}$ શરત સંતોષાવી જોઈએ.
સૂત્રો મૂકતા:
$2 \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} + \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
$\sqrt{s}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2 \sqrt{\frac{s-b}{(s-a)(s-c)}} = \frac{s-c + s-a}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}} \cdot \sqrt{s-b} = \frac{2s-a-c}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}$.
$a+c=2b$ અને $a+b+c=2s$ હોવાથી,$2s-a-c = 2b$ થાય. વળી $2s-a-c = 2(s-b)$ થાય.
આમ,પદાવલિ $2 \sqrt{\frac{s-b}{(s-a)(s-c)}} = \frac{2(s-b)}{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}} = 2 \sqrt{\frac{s-b}{(s-a)(s-c)}}$ માં પરિણમે છે.
તેથી,આ શરત સાચી છે અને અડધા ખૂણાઓના કોટાનજન્ટ $A.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $x, 2x, 3x$ છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,$x + 2x + 3x = 180^\circ$,એટલે કે $6x = 180^\circ$,તેથી $x = 30^\circ$.
ખૂણાઓ $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,બાજુઓ $a, b, c$ તેમના સામેના ખૂણાઓના સાઇન સાથે પ્રમાણસર હોય છે:
$a:b:c = \sin(30^\circ) : \sin(60^\circ) : \sin(90^\circ)$.
કિંમતો મૂકતા,$a:b:c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$.
$2$ વડે ગુણતા,$a:b:c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{2\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{2\cos C}{c} = \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca}$
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,અને $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\frac{2(b^2 + c^2 - a^2)}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{2(a^2 + b^2 - c^2)}{2abc} = \frac{a^2 + b^2}{abc}$
બંને બાજુ $2abc$ વડે ગુણતા:
$2(b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + 2(a^2 + b^2 - c^2) = 2(a^2 + b^2)$
$3b^2 + c^2 + a^2 = 2a^2 + 2b^2$
$a^2 = b^2 + c^2$
આથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\angle A = 90^o$.

(D) આપેલ છે કે $3 \cos C = 2$,તેથી $\cos C = \frac{2}{3}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{9^2 + 8^2 - x^2}{2 \times 9 \times 8}$.
$\frac{2}{3} = \frac{81 + 64 - x^2}{144}$.
$144 \times \frac{2}{3} = 145 - x^2$.
$48 \times 2 = 145 - x^2$.
$96 = 145 - x^2$.
$x^2 = 145 - 96 = 49$.
$x = 7$.

(A) નેપિયરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left( \frac{B - C}{2} \right) = \frac{b - c}{b + c} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
આપેલ છે કે $B - C = 90^{\circ}$,$b = \sqrt{3}$,અને $c = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \left( \frac{90^{\circ}}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
$\tan(45^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cot \left( \frac{A}{2} \right)$.
$\cot \left( \frac{A}{2} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
$\cot(15^{\circ}) = 2 + \sqrt{3}$ હોવાથી,$\frac{A}{2} = 15^{\circ}$.
તેથી,$A = 30^{\circ}$.

(C) કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos A$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
આપેલ કિંમતો $a = 2, b = 3$ અને $c = 4$ મૂકતા:
$\cos A = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2(3)(4)}$
$\cos A = \frac{9 + 16 - 4}{24}$
$\cos A = \frac{21}{24}$
$\cos A = \frac{7}{8}$
તેથી,$A = \cos^{-1}\left(\frac{7}{8}\right)$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં નેપિયરના સામ્યતાના નિયમ (Tangent Rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \cot \left( \frac{C}{2} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $\frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A + B}{2}$.
તેથી,$\cot \left( \frac{C}{2} \right) = \cot \left( 90^{\circ} - \frac{A + B}{2} \right) = \tan \left( \frac{A + B}{2} \right)$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b} \tan \left( \frac{A + B}{2} \right)$
બંને બાજુ $\cot \left( \frac{A + B}{2} \right)$ વડે ગુણતા:
$\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \tan \left( \frac{A - B}{2} \right) = \frac{a - b}{a + b}$.

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = p$,$b = q$,અને $c = \sqrt{p^2 + pq + q^2}$ છે.
$p, q > 0$ હોવાથી,$c^2 = p^2 + pq + q^2 > p^2$ અને $c^2 > q^2$ થાય,તેથી $c$ સૌથી મોટી બાજુ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $\theta$ એ સૌથી મોટી બાજુ $c$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos \theta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{p^2 + q^2 - (p^2 + pq + q^2)}{2pq}$.
$\cos \theta = \frac{-pq}{2pq} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \arccos(-1/2) = \frac{2\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $B = 3C$. સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,તેથી $b = k \sin 3C$ અને $c = k \sin C$.
પ્રથમ,$\sqrt{\frac{b + c}{4c}} = \sqrt{\frac{\sin 3C + \sin C}{4 \sin C}}$ ધ્યાનમાં લો.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin X + \sin Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 3C + \sin C = 2 \sin 2C \cos C$ મળે.
તેથી,$\sqrt{\frac{2 \sin 2C \cos C}{4 \sin C}} = \sqrt{\frac{2 (2 \sin C \cos C) \cos C}{4 \sin C}} = \sqrt{\cos^2 C} = \cos C$.
હવે,$\frac{b - c}{2c} = \frac{\sin 3C - \sin C}{2 \sin C}$ ધ્યાનમાં લો.
તફાવતથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin X - \sin Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \sin \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 3C - \sin C = 2 \cos 2C \sin C$ મળે.
તેથી,$\frac{2 \cos 2C \sin C}{2 \sin C} = \cos 2C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ અને $B = 3C$ હોવાથી,$A + 4C = 180^{\circ}$,એટલે કે $2C = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$.
આમ,$\cos 2C = \cos(90^{\circ} - \frac{A}{2}) = \sin \frac{A}{2}$.
તેથી,કિંમતો $\cos C$ અને $\sin \frac{A}{2}$ છે.

(A) ધારો કે $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(b - c) \cot \frac{A}{2} = 2R(\sin B - \sin C) \cot \frac{A}{2}$
$= 2R \left( 2 \cos \frac{B+C}{2} \sin \frac{B-C}{2} \right) \cot \frac{A}{2}$
કારણ કે $\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$,તેથી $\cos \frac{B+C}{2} = \sin \frac{A}{2}$.
$= 2R \left( 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B-C}{2} \right) \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}} = 4R \sin \frac{B-C}{2} \cos \frac{A}{2}$
$= 4R \sin \frac{B-C}{2} \sin \frac{B+C}{2} = 2R(\cos(B-C) - \cos(B+C)) = 2R(\cos(B-C) + \cos A)$.
આ રીતે તમામ પદોનો ચક્રીય સરવાળો કરતા જવાબ $0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2a^2b^2 + 2b^2c^2 = a^4 + b^4 + c^4$
પદોને ગોઠવતા: $a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે: $(a^2 - b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 + 2a^2c^2 - 2b^2c^2$
આપેલ શરતને નિત્યસમમાં મૂકતા: $(a^2 - b^2 + c^2)^2 = 2a^2c^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $a^2 - b^2 + c^2 = \pm \sqrt{2}ac$
$2ac$ વડે ભાગતા: $\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \pm \frac{\sqrt{2}ac}{2ac} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,તેથી $\cos B = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,$B = 45^o$ અથવા $B = 135^o$.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $\Delta = 10\sqrt{3}$,$C = 60^{\circ}$,અને પરિમિતિ $a + b + c = 20$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\Delta = \frac{1}{2}ab \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab$.
તેથી,$ab = 40$ ...$(i)$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a^2 + b^2 - c^2 = ab$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$,તેથી $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
આ કિંમત કોસાઇન સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a+b)^2 - 2ab - c^2 = ab \Rightarrow (a+b)^2 - c^2 = 3ab$.
$a+b = 20-c$ હોવાથી:
$(20-c)^2 - c^2 = 3(40)$.
$400 - 40c + c^2 - c^2 = 120$.
$400 - 40c = 120$.
$40c = 280$.
$c = 7$.

(A) આપેલ છે કે $A + C = 2B$. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{1}{2} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,જેનો અર્થ છે કે $ac = a^2 + c^2 - b^2$,અથવા $b^2 = a^2 - ac + c^2$.
તેથી,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} = b$.
આમ,પદાવલિ $\frac{a + c}{b}$ બને છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,તેથી $a = 2R \sin A$,$c = 2R \sin C$,અને $b = 2R \sin B$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2R(\sin A + \sin C)}{2R \sin B} = \frac{\sin A + \sin C}{\sin B}$.
સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin A + \sin C = 2 \sin \frac{A + C}{2} \cos \frac{A - C}{2}$.
$A + C = 120^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A + C}{2} = 60^{\circ}$,તેથી $\sin \frac{A + C}{2} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$\sin B = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $\frac{2 \sin 60^{\circ} \cos \frac{A - C}{2}}{\sin 60^{\circ}} = 2 \cos \frac{A - C}{2}$ થાય.