Solution of trigonometrical equations Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $\tan n\theta = \tan m\theta$.
$\tan x = \tan y$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $x = N\pi + y$ છે,જ્યાં $N \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$n\theta = N\pi + m\theta$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(n - m)\theta = N\pi$ મળે છે.
આમ,$\theta = \frac{N\pi}{n - m}$.
$N = 1, 2, 3, \dots$ ના વિવિધ પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે,$\theta$ ના મૂલ્યો $\frac{\pi}{n - m}, \frac{2\pi}{n - m}, \frac{3\pi}{n - m}, \dots$ મળે છે.
આ શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d = \frac{\pi}{n - m}$ છે,જે સૂચવે છે કે આ મૂલ્યો $A.P.$ માં છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $8\sec^2 \theta - 6\sec \theta + 1 = 0$ છે.
ધારો કે $x = \sec \theta$. સમીકરણ $8x^2 - 6x + 1 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $8x^2 - 4x - 2x + 1 = 0 \implies 4x(2x - 1) - 1(2x - 1) = 0$.
આથી $(4x - 1)(2x - 1) = 0$ મળે.
તેથી,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
આમ,$\sec \theta = \frac{1}{4}$ અથવા $\sec \theta = \frac{1}{2}$.
જોકે,કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$\sec \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.
કારણ કે $\frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{2}$ બંને $(-1, 1)$ અંતરાલમાં છે,તેથી $\theta$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણોનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\cos y \cos (\frac{\pi}{2} - x) - \cos (\frac{\pi}{2} - y) \cos x + \sin y \cos (\frac{\pi}{2} - x) + \cos x \sin (\frac{\pi}{2} - y) = 0$
$\cos (\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ અને $\sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos y \sin x - \sin y \cos x + \sin y \sin x + \cos x \cos y = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(\sin x \cos y - \cos x \sin y) + (\sin x \sin y + \cos x \cos y) = 0$
$\sin(x - y) + \cos(x - y) = 0$
$\tan(x - y) = -1$
$x - y = n\pi - \frac{\pi}{4}$
$x = n\pi - \frac{\pi}{4} + y, (n \in I)$

(D) આપેલ છે કે $\cos(\alpha - \beta) = 1$ અને $-\pi < \alpha, \beta < \pi$.
તેથી $-2\pi < \alpha - \beta < 2\pi$ થાય.
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ હોવાથી $\alpha - \beta = 0$,એટલે કે $\alpha = \beta$.
હવે $\alpha = \beta$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા,$\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ મળે.
અહીં $-\pi < \alpha < \pi$ હોવાથી $-2\pi < 2\alpha < 2\pi$ થાય.
અંતરાલ $(-2\pi, 2\pi)$ માં $\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ ના $4$ ઉકેલો મળે છે.
તેથી $(\alpha, \beta)$ ની કુલ $4$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ શક્ય છે.

(B) આપેલ છે $\sin \theta + \cos \theta = 1$.
બંને બાજુ $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$\theta + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \sin^2 \alpha \implies \theta = n\pi \pm \alpha.$
કારણ કે $\sin^2 \theta = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right),$
તેથી $\alpha = \frac{\pi}{6}.$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}.$

(B) આપેલ છે કે $\sec^2 \theta = \frac{4}{3}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\cos^2 \theta = \frac{3}{4}$ મળે છે.
આને $\cos^2 \theta = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
$\cos^2 \theta = \cos^2 \alpha$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cot \theta - \tan \theta = 2$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\tan \theta} - \tan \theta = 2$
$\Rightarrow \frac{1 - \tan^2 \theta}{\tan \theta} = 2$
$\Rightarrow 1 - \tan^2 \theta = 2 \tan \theta$
$\Rightarrow \tan^2 \theta + 2 \tan \theta - 1 = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,$\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = 2 \cot 2\theta$
તેથી,$2 \cot 2\theta = 2 \Rightarrow \cot 2\theta = 1$
$\Rightarrow \tan 2\theta = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\tan x = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે.
તેથી,$2\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આને $\sin \frac{\pi}{3} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ તરીકે લખી શકાય.
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{4}$.
$\sin x = \sin \alpha$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$\theta + \frac{\pi}{3} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$.
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta - 2\cos \theta + \frac{1}{4} = 0$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - \cos^2 \theta - 2\cos \theta + \frac{1}{4} = 0$
$-\cos^2 \theta - 2\cos \theta + \frac{5}{4} = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$\cos^2 \theta + 2\cos \theta - \frac{5}{4} = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $\cos \theta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-\frac{5}{4})}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 5}}{2} = \frac{-2 \pm 3}{2}$
આથી બે શક્ય કિંમતો મળે છે:
$1) \cos \theta = \frac{-2 + 3}{2} = \frac{1}{2}$
$2) \cos \theta = \frac{-2 - 3}{2} = -\frac{5}{2}$
$|\cos \theta| \le 1$ હોવાથી,$\cos \theta = -\frac{5}{2}$ શક્ય નથી.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે: $\sqrt{2} \sec \theta + \tan \theta = 1$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$
$\Rightarrow \sqrt{2} + \sin \theta = \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta - \cos \theta = -\sqrt{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = -1$
$-1$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = 1$
$\Rightarrow \cos \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 1$
કારણ કે $\cos \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = 2n\pi$,તેથી:
$\theta + \frac{\pi}{4} = 2n\pi$
$\Rightarrow \theta = 2n\pi - \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\tan^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$
બંને બાજુથી $\tan^2 \theta$ બાદ કરતા:
$\tan^2 \theta = 1$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan^2 \theta = \tan^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2\sin \theta + \tan \theta = 0$
$\tan \theta$ ને $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ તરીકે લખતા:
$2\sin \theta + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 0$
$\sin \theta$ સામાન્ય લેતા:
$\sin \theta \left( 2 + \frac{1}{\cos \theta} \right) = 0$
આથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin \theta = 0 \Rightarrow \theta = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $2$: $2 + \frac{1}{\cos \theta} = 0$ $\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta} = -2$ $\Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,$\theta$ ના વ્યાપક મૂલ્યો $n\pi$ અને $2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan 3\theta + \tan 2\theta \tan 3\theta = 1$
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt{3}(\tan 2\theta + \tan 3\theta) = 1 - \tan 2\theta \tan 3\theta$
બંને બાજુ $\sqrt{3}(1 - \tan 2\theta \tan 3\theta)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\tan 2\theta + \tan 3\theta}{1 - \tan 2\theta \tan 3\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(2\theta + 3\theta) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$\tan 5\theta = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)$
$\tan x = \tan \alpha$ માટેનું વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે.
તેથી,$5\theta = n\pi + \frac{\pi}{6}$
$\theta = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{30} = \left(n + \frac{1}{6}\right)\frac{\pi}{5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan 2\theta \tan \theta = 1$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\tan 2\theta = \frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$
નિત્યસમ $\cot \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$
$\tan x = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી: $2\theta = n\pi + \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$
બંને બાજુ $\theta$ ઉમેરતા: $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$
$3$ વડે ભાગતા: $\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \left( n + \frac{1}{2} \right) \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 + \cot \theta = \text{cosec} \theta$
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ ના સ્વરૂપમાં લખતા: $1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta}$
$\sin \theta$ વડે ગુણતા $(\sin \theta \neq 0)$: $\sin \theta + \cos \theta = 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
$\theta = 2n\pi$ અને $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$\theta = 2n\pi$ માટે $\cot \theta$ અને $\text{cosec} \theta$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તે શક્ય નથી.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = 3$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ અને $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 - (1 - 2\sin^2 \theta)}{1 + (2\cos^2 \theta - 1)} = 3$
$\frac{2\sin^2 \theta}{2\cos^2 \theta} = 3$
$\tan^2 \theta = 3$
$\tan^2 \theta = (\sqrt{3})^2 = \tan^2(\frac{\pi}{3})$
$\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $3(\sec^2 \theta + \tan^2 \theta) = 5$,તેથી $\sec^2 \theta + \tan^2 \theta = \frac{5}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ છે.
આપેલ સમીકરણમાંથી આ નિત્યસમ બાદ કરતા: $(\sec^2 \theta + \tan^2 \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) = \frac{5}{3} - 1$.
$2 \tan^2 \theta = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan^2 \theta = \frac{1}{3}$.
કારણ કે $\tan^2 \theta = \frac{1}{3} = \tan^2(\frac{\pi}{6})$,તેથી $\tan^2 \theta = \tan^2 \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos 7\theta = \cos \theta - \sin 4\theta$
પદોને ગોઠવતા: $\sin 4\theta = \cos \theta - \cos 7\theta$
સૂત્ર $\cos C - \cos D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{D-C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 4\theta = 2 \sin 4\theta \sin 3\theta$
$\sin 4\theta (1 - 2 \sin 3\theta) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 4\theta = 0$ $\Rightarrow 4\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}$
કિસ્સો $2$: $1 - 2 \sin 3\theta = 0 \Rightarrow \sin 3\theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$
વ્યાપક ઉકેલ $\sin x = \sin \alpha \Rightarrow x = n\pi + (-1)^n \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{18}$
આમ,$\theta$ ના વ્યાપક મૂલ્યો $\frac{n\pi}{4}, \frac{n\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{18}$ છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{1 - \tan^2 \theta}{\sec^2 \theta} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sec^2 \theta} = \cos^2 \theta$ અને $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ હોવાથી:
$\cos^2 \theta (1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}) = \frac{1}{2}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \frac{1}{2}$
$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$2$ વડે ભાગતા,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta + \sec \theta = \frac{5}{2}$.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ હોવાથી,$\cos \theta + \frac{1}{\cos \theta} = \frac{5}{2}$.
$2 \cos \theta$ વડે ગુણતા,$2 \cos^2 \theta + 2 = 5 \cos \theta$,જે $2 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta + 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta - 2) = 0$.
આથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = 2$.
$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\cos \theta = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે: $\cot \theta + \tan \theta = 2 \csc \theta$
$\sin$ અને $\cos$ માં રૂપાંતર કરતા: $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી: $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\sin \theta \neq 0$ ધારીને,બંને બાજુથી $\sin \theta$ ને દૂર કરતા: $\frac{1}{\cos \theta} = 2$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ હોવાથી,વ્યાપક મૂલ્ય $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2 \theta - (1 + \sqrt{3}) \tan \theta + \sqrt{3} = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$\tan^2 \theta - \tan \theta - \sqrt{3} \tan \theta + \sqrt{3} = 0$
$\tan \theta (\tan \theta - 1) - \sqrt{3} (\tan \theta - 1) = 0$
$(\tan \theta - \sqrt{3})(\tan \theta - 1) = 0$
આથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
$1) \tan \theta = \sqrt{3}$ $\Rightarrow \tan \theta = \tan(\frac{\pi}{3})$ $\Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{3}$
$2) \tan \theta = 1$ $\Rightarrow \tan \theta = \tan(\frac{\pi}{4})$ $\Rightarrow \theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, n\pi + \frac{\pi}{4}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $\sin \theta = \sin \alpha$ અને $\cos \theta = \cos \alpha$ છે.
$\sin \theta = \sin \alpha$ પરથી,સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ પરથી,સામાન્ય ઉકેલ $\theta = 2m\pi \pm \alpha$ છે,જ્યાં $m \in \mathbb{Z}$.
બંને સમીકરણોનું એકસાથે સમાધાન કરવા માટે,ખૂણો $\alpha$ સાથે કો-ટર્મિનલ હોવો જોઈએ.
આથી $\theta = 2n\pi + \alpha$ મળે,જ્યાં $n$ કોઈ પણ પૂર્ણાંક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4\sin^2 \theta + 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta = 4 + \sqrt{3}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ મૂકતા:
$4(1 - \cos^2 \theta) + 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta = 4 + \sqrt{3}$
$4 - 4\cos^2 \theta + 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta = 4 + \sqrt{3}$
$4\cos^2 \theta - 2(\sqrt{3} + 1)\cos \theta + \sqrt{3} = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $4x^2 - 2(\sqrt{3} + 1)x + \sqrt{3} = 0$
$4x^2 - 2\sqrt{3}x - 2x + \sqrt{3} = 0$
$2x(2x - \sqrt{3}) - 1(2x - \sqrt{3}) = 0$
$(2x - 1)(2x - \sqrt{3}) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
કિસ્સો $1$: $\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
કિસ્સો $2$: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6}) \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ અથવા $2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot \theta + \cot \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) = 2$
$\cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(\theta + \frac{\pi}{4} + \theta)}{\sin \theta \sin(\frac{\pi}{4} + \theta)} = 2$
$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + 2\theta)}{\sin \theta \sin(\frac{\pi}{4} + \theta)} = 2$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{\pi}{4} + 2\theta) = \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4} + 2\theta)$
$\sin(\frac{\pi}{4} + 2\theta) + \cos(\frac{\pi}{4} + 2\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(2\theta + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$
$\cos(2\theta) = \frac{1}{2}$
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$

(A) આપેલ સમીકરણ $\cos 2\theta + 3\cos \theta = 0$ છે.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2 \theta - 1 + 3\cos \theta = 0$
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 1 = 0$
$\cos \theta$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
$\cos \theta$ ની કિંમત $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી $\frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$ શક્ય નથી.
આમ,$\cos \theta = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$.
તેથી,$\theta = 2n\pi \pm \cos^{-1}\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{4}\right)$.

(A) આપેલ છે કે $\tan m\theta = \tan n\theta$.
$\tan x = \tan y$ માટેના વ્યાપક ઉકેલનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $m\theta = p\pi + n\theta$,જ્યાં $p \in \mathbb{Z}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $(m - n)\theta = p\pi$.
આમ,$\theta = \frac{p\pi}{m - n}$.
$p$ ના વિવિધ પૂર્ણાંક મૂલ્યો $(p = 0, 1, 2, \dots)$ માટે,$\theta$ ના મૂલ્યો $0, \frac{\pi}{m - n}, \frac{2\pi}{m - n}, \dots$ થશે.
આ મૂલ્યો $\frac{\pi}{m - n}$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.

(D) આપેલ છે: $\tan \theta - \sqrt{2} \sec \theta = \sqrt{3}$
$\cos \theta$ વડે ગુણતા: $\sin \theta - \sqrt{2} = \sqrt{3} \cos \theta$
ગોઠવતા: $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = \sqrt{2}$
$2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})$
$\sin x = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$\theta - \frac{\pi}{3} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \alpha$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \cos \alpha$
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \cos \alpha$
$\cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \alpha$
$\cos x = \cos y$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm y$ છે.
તેથી,$\theta - \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \alpha$
$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4} \pm \alpha$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan 2\theta + \tan 3\theta = \tan \theta \tan 2\theta \tan 3\theta$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\tan \theta + \tan 2\theta + \tan 3\theta - \tan \theta \tan 2\theta \tan 3\theta = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$.
ધારો કે $A = \theta, B = 2\theta, C = 3\theta$. તેથી $A+B+C = 6\theta$.
$\tan(6\theta)$ નો અંશ એ આપેલ સમીકરણ છે.
તેથી,$\tan(6\theta) = 0$.
$\tan x = 0$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi$ છે.
તેથી,$6\theta = n\pi$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{n\pi}{6}$.

(A) આપેલ છે: $3 \tan (A - 15^{\circ}) = \tan (A + 15^{\circ})$
$\Rightarrow 3 \frac{\sin (A - 15^{\circ})}{\cos (A - 15^{\circ})} = \frac{\sin (A + 15^{\circ})}{\cos (A + 15^{\circ})}$
$\Rightarrow 3 \sin (A - 15^{\circ}) \cos (A + 15^{\circ}) = \sin (A + 15^{\circ}) \cos (A - 15^{\circ})$
$2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$3 [\sin(2A) + \sin(-30^{\circ})] = \sin(2A) + \sin(30^{\circ})$
$3 \sin(2A) - 3 \sin(30^{\circ}) = \sin(2A) + \sin(30^{\circ})$
$2 \sin(2A) = 4 \sin(30^{\circ})$
$2 \sin(2A) = 4 \times \frac{1}{2} = 2$
$\sin(2A) = 1$
$\sin(\theta) = 1 \Rightarrow \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ હોવાથી:
$2A = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
$A = n\pi + \frac{\pi}{4}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta + \tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = 2$
કારણ કે $\tan \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \theta$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\tan \theta + \cot \theta = 2$
$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$
$\tan \theta$ વડે ગુણતા: $\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$
$(\tan \theta - 1)^2 = 0$
$\tan \theta = 1 = \tan \frac{\pi}{4}$
$\tan \theta = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2\theta = (\sqrt{2} + 1) \left( \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2\cos^2 \theta - 1 = (\sqrt{2} + 1)\cos \theta - \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$
સાદુરૂપ આપતા:
$2\cos^2 \theta - (\sqrt{2} + 1)\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
અવયવ પાડતા:
$(2\cos \theta - 1)(\sqrt{2}\cos \theta - 1) = 0$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ અથવા $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan \theta = \cot \alpha$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \alpha = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
$\tan \theta = \tan \beta$ નો વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \beta$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{\cos \theta} - \frac{1}{\sin \theta} = \frac{4}{3}$
$\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{4}{3}$
$3(\sin \theta - \cos \theta) = 4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin 2\theta$
$\sin 2\theta = 3/4$ લેતા,$2\theta = n\pi + (-1)^n \sin^{-1}(3/4)$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \frac{1}{2}[n\pi + (-1)^n \sin^{-1}(3/4)]$. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) સમીકરણ $\cos x = \cos y$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm y$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આપેલ સમીકરણ $\cos p\theta = \cos q\theta$ છે.
વ્યાપક ઉકેલના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $p\theta = 2n\pi \pm q\theta$ મળે છે.
$\theta$ માટે ઉકેલવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$p\theta \mp q\theta = 2n\pi$
$(p \mp q)\theta = 2n\pi$
$\theta = \frac{2n\pi}{p \pm q}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4\cos^2 x + 6\sin^2 x = 5$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4(1 - \sin^2 x) + 6\sin^2 x = 5$
$4 - 4\sin^2 x + 6\sin^2 x = 5$
$4 + 2\sin^2 x = 5$
$2\sin^2 x = 1$
$\sin^2 x = \frac{1}{2} = \sin^2 \frac{\pi}{4}$
$\sin^2 x = \sin^2 \alpha \Rightarrow x = n\pi \pm \alpha$ હોવાથી:
$x = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$

(A) આપેલ છે કે $\sin \left( \frac{\pi }{4} \cot \theta \right) = \cos \left( \frac{\pi }{4} \tan \theta \right)$.
નિત્યસમ $\cos x = \sin \left( \frac{\pi }{2} - x \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \left( \frac{\pi }{4} \cot \theta \right) = \sin \left( \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} \tan \theta \right)$.
આથી $\frac{\pi }{4} \cot \theta = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} \tan \theta$ મળે.
$\frac{\pi }{4}$ વડે ભાગતા,$\cot \theta = 2 - \tan \theta$ મળે.
ગોઠવતા,$\tan \theta + \cot \theta = 2$.
$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$ હોવાથી,$\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$ મળે.
જે $(\tan \theta - 1)^2 = 0$ છે,તેથી $\tan \theta = 1$.
આમ,$\theta = n\pi + \frac{\pi }{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$
કારણ કે $\sin \theta$ ની કિંમત $2$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $2\sin \theta + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = -\frac{1}{2} = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
તેથી,$\theta = n\pi + (-1)^n (-\frac{\pi}{6})$.
વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\tan 3x = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.
તેથી,$\tan 3x = \tan \frac{\pi}{4}$.
$\tan \theta = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \alpha$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આથી,$3x = n\pi + \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin^2 \theta \sec \theta + \sqrt{3} \tan \theta = 0$ છે.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ હોવાથી,સમીકરણને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \theta \tan \theta + \sqrt{3} \tan \theta = 0$
$\tan \theta$ સામાન્ય લેતા:
$\tan \theta (\sin \theta + \sqrt{3}) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) \tan \theta = 0 \Rightarrow \theta = n\pi, n \in Z$
$2) \sin \theta = -\sqrt{3}$. $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin \theta = -\sqrt{3}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi, n \in Z$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$.
નિત્યસમ $\sec 2\theta = \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^2 \theta + \frac{1 + \tan^2 \theta}{1 - \tan^2 \theta} = 1$.
ધારો કે $x = \tan^2 \theta$. તો $x + \frac{1+x}{1-x} = 1$.
$x(1-x) + 1 + x = 1 - x$
$x - x^2 + 1 + x = 1 - x$
$3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0$.
તેથી,$\tan^2 \theta = 0$ અથવા $\tan^2 \theta = 3$.
જો $\tan^2 \theta = 0$,તો $\tan \theta = 0 \Rightarrow \theta = m\pi$ જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
જો $\tan^2 \theta = 3$,તો $\tan \theta = \pm \sqrt{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = m\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos 2\theta = \sin \alpha$ છે.
નિત્યસમ $\sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
$\cos x = \cos y$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm y$ છે.
તેથી,$2\theta = 2n\pi \pm \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\theta = n\pi \pm \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin 6\theta + \sin 4\theta + \sin 2\theta = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 6\theta + \sin 2\theta) + \sin 4\theta = 0$
સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 4\theta \cos 2\theta + \sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 4\theta (2 \cos 2\theta + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\sin 4\theta = 0$
$4\theta = n\pi \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2\theta + 1 = 0$
$\cos 2\theta = -\frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,તેથી વ્યાપક ઉકેલ:
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$
આમ,$\theta = \frac{n\pi}{4}$ અથવા $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^2 \theta + \sin \theta = 2$
પદોને ગોઠવતા: $\sin^2 \theta + \sin \theta - 2 = 0$
ધારો કે $x = \sin \theta$. તો સમીકરણ $x^2 + x - 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 1$ અથવા $x = -2$ મળે.
$\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin \theta = -2$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = 1 = \sin(\frac{\pi}{2})$.
$\sin \theta = \sin \alpha$ માટે સામાન્ય ઉકેલ $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ છે.
$\alpha = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા,આપણને $\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\tan 5\theta = \cot 2\theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 2\theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$.
તેથી,$\tan 5\theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right)$.
$\tan x = \tan \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = n\pi + \alpha$ છે.
તેથી,$5\theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - 2\theta$.
બંને બાજુ $2\theta$ ઉમેરતા,$7\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$7$ વડે ભાગતા,$\theta = \frac{n\pi}{7} + \frac{\pi}{14}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3\sin^2 x + 10\cos x - 6 = 0$
નિત્યસમ $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3(1 - \cos^2 x) + 10\cos x - 6 = 0$
$3 - 3\cos^2 x + 10\cos x - 6 = 0$
$-3\cos^2 x + 10\cos x - 3 = 0$
$3\cos^2 x - 10\cos x + 3 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(3\cos x - 1)(\cos x - 3) = 0$
આથી બે શક્યતાઓ મળે છે:
$1) \cos x = 3$ (શક્ય નથી,કારણ કે $-1 \le \cos x \le 1$)
$2) \cos x = 1/3$
$\cos x = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $x = 2n\pi \pm \alpha$ છે.
તેથી,$x = 2n\pi \pm \cos^{-1}(1/3)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta = 0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\cos 3\theta + \cos \theta) + \cos 2\theta = 0$
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta$ સામાન્ય લેતા:
$\cos 2\theta (2 \cos \theta + 1) = 0$
કિસ્સો $1$: $\cos 2\theta = 0$
$2\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$
$\theta = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos \theta + 1 = 0$
$\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3}$
$\theta = 2m\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
આમ,વિકલ્પો મુજબ $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2\sqrt{3} \cos \theta = \tan \theta$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ હોવાથી,$2\sqrt{3} \cos \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ગુણતા: $2\sqrt{3} \cos^2 \theta = \sin \theta$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા: $2\sqrt{3}(1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$
$2\sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin \theta - 2\sqrt{3} = 0$
આ $\sin \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરતા:
$\sin \theta = \frac{-1 \pm 7}{4\sqrt{3}}$
કિસ્સો $1$: $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ (અશક્ય)
કિસ્સો $2$: $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
તેથી,$\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}$.