बिंदु $(3,5)$ से दीर्घवृत्तों $3x^2 + 5y^2 = 32$ और $25x^2 + 9y^2 = 450$ पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या है

यदि सरल रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ वक्र $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को स्पर्श करती है,तो सिद्ध कीजिए कि $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$.

एक दीर्घवृत्त (ellipse) के दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाई क्रमशः $10$ और $8$ है और इसका दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है। इसके केंद्र को मूलबिंदु मानते हुए,दीर्घवृत्त का समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए $f(x)=x^2+9$,$g(x)=\frac{x}{x-9}$,$a=f(g(10))$,और $b=g(f(3))$ है। यदि $e$ और $l$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई को दर्शाते हैं,तो $8e^2+l^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P_1$ और $P_2$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ पर दो बिंदु हैं,जहाँ स्पर्श रेखाएँ बिंदुओं $(0, 1)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर हैं,तो $P_1$ और $P_2$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a < b$,बिंदु $(4, 3)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है। तो इसके नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए: