(1+2x+3x^2+ldots)^{-1/2} के विस्तार में x^n क | vedclass

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Question

(A) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$. $x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर:

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$1$

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(A) माना $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$. $x$ से गुणा करने पर,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ प्राप्त होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}$. अतः,$S = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$. दिया गया व्यंजक $(S)^{1/2} = ((1-x)^{-2})^{1/2} = (1-x)^{-1}$ है। द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ प्राप्त होता है। अतः,$x^n$ का गुणांक $1$ है।

$(1+2x+3x^2+\ldots)^{-1/2}$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक,जहाँ $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है,ज्ञात कीजिए।

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$1+\frac{4}{15}+\frac{4 \times 10}{15 \times 30}+\frac{4 \times 10 \times 16}{15 \times 30 \times 45}+\ldots \quad \infty=$

श्रेणी $\frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \dots$ का योग ज्ञात कीजिए।

$\frac{(1 + 3x)^2}{1 - 2x}$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक क्या होगा?

श्रेणी $\frac{3}{4 \cdot 8}-\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16}-\ldots$ का योग ज्ञात कीजिए।

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