$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं। यदि रेखा $\vec{r}=\vec{a}+2 \vec{b}+p(\vec{a}-2 \vec{c})$ और समतल $\vec{r}=3 \vec{a}-q(\vec{c}-\vec{b})+k(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r}=x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}$ है,तो $x y z=$

मान लीजिए कि बिंदु $P (3, -2, -9)$ से बिंदुओं $A (-1, -2, -3)$,$B (9, 3, 4)$,और $C (9, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल पर डाले गए लंब का पाद $Q(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो मूल बिंदु से $Q$ की दूरी है:

मान लीजिए कि बिंदु $P, Q$ और $R$ के स्थिति सदिश मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष क्रमशः $\overrightarrow{r_1} = 3i - 2j - k, \overrightarrow{r_2} = i + 3j + 4k$ और $\overrightarrow{r_3} = 2i + j - 2k$ हैं। तो समतल $OQR$ से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए:

माना $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में एक बिंदु है,जिसका समतल $x+y=3$ में प्रतिबिंब $Q$ (अर्थात,रेखाखंड $PQ$,समतल $x+y=3$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्य-बिंदु समतल $x+y=3$ पर स्थित है) $z$-अक्ष पर स्थित है। माना $x$-अक्ष से $P$ की दूरी $5$ है। यदि $R$,$xy$-समतल में $P$ का प्रतिबिंब है,तो $PR$ की लंबाई है।

रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3}$ और समतल $2x + 3y + z = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु क्या है?

बिंदुओं $(0, 1, 2)$ और $(-1, 0, 3)$ से होकर जाने वाले तथा समतल $2x + 3y + z = 5$ के लंबवत समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।