अंतरिक्ष में चार बिंदुओं $A(1, -2, -1)$,$B(4, 0, -3)$,$C(1, 2, -1)$ और $D(2, -4, -5)$ पर विचार करें। यदि $\vec{b} = \vec{AB}$,$\vec{c} = \vec{AC}$ और $\vec{d} = \vec{AD}$ है,तो $\frac{[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}]}{[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}]}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ और $\gamma = i + j + k$ है,तो $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{x}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{y}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$ और $\bar{z}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$ जहाँ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ असमतलीय सदिश हैं,तो $\bar{x} \cdot(\bar{a}+\bar{b})+\bar{y} \cdot(\bar{b}+\bar{c})+\bar{z} \cdot(\bar{c}+\bar{a})$ का मान क्या है?

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन समवर्ती किनारे $OA, OB, OC$ तीन सदिशों $2i + j - k$,$i + 2j + 3k$ और $-3i - j + k$ द्वारा निरूपित हैं। इस प्रकार बने ठोस का आयतन घन इकाइयों में कितना है?

मान लीजिए $S$ उन सभी $(\lambda, \mu)$ का समुच्चय है जिनके लिए सदिश $\lambda \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} + 2\hat{j} + \mu \hat{k}$ और $3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$,जहाँ $\lambda - \mu = 5$,समतलीय हैं,तो $\sum_{(\lambda, \mu) \in S} 80(\lambda^2 + \mu^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $x$ और $y$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$,$x \hat{i}-5 \hat{j}+3 \hat{k}$,और $\hat{i}+y \hat{j}-\hat{k}$ चार समतलीय बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं,तो $P(x, y)$ का बिंदुपथ क्या है?