एक समतल ax+by+cz+1=0,दो समतलों 2x-2y+z=0 और x | vedclass

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Question

(D) समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ हैं।समतल $ax+by+cz+1=0$ का अभिलंब सदिश

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$2$

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(D) समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के अभिलंब सदिश क्रमशः $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ हैं।समतल $ax+by+cz+1=0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।चूंकि समतल दिए गए दो समतलों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1}$ और $\vec{n_2}$ के सदिश गुणनफल के समानांतर होना चाहिए।$\vec{n} = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -2 & 1 \ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(-2+2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.अतः,अभिलंब सदिश $(-3, -3, 0)$ के समानुपाती है,जिसे $(1, 1, 0)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y+2) + 0(z-1) = 0$ है,जो $x+y+1=0$ में सरल हो जाता है।इसे $ax+by+cz+1=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=1, b=1, c=0$ प्राप्त होता है।इसलिए,$a+b-c = 1+1-0 = 2$.

एक समतल $ax+by+cz+1=0$,दो समतलों $2x-2y+z=0$ और $x-y+2z=4$ के लंबवत है और बिंदु $(1, -2, 1)$ से होकर गुजरता है। तो $a+b-c=$

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समतलों $4x + 4y - 5z = 12$ और $8x + 12y - 13z = 32$ के प्रतिच्छेदन रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा $r = (i - j + k) + t(i + j + k)$ समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ को काटती है।

उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसमें रेखाएँ $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z + 3}{-5}$ और $\frac{x - 8}{7} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{3}$ स्थित हैं।

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