वृत्तों S_alpha: x^2+y^2+2alpha x+k=0 और S_be | vedclass

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Question

(A-IV, B-I, C-III, D-II) दिए गए वृत्त $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ और $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ हैं,जहाँ $k>0$ है।$(A)$ $S_\alpha=0$ के लिए

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(A-IV, B-I, C-III, D-II) दिए गए वृत्त $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ और $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ हैं,जहाँ $k>0$ है।$(A)$ $S_\alpha=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ है। बिंदु वृत्त के लिए,$r=0$,अतः $\alpha^2-k=0 \Rightarrow \alpha = \pm \sqrt{k}$। केंद्र $(-\alpha, 0) = (\mp \sqrt{k}, 0)$ है। अतः,बिंदु वृत्त $(\pm \sqrt{k}, 0)$ हैं। यह (iv) से मेल खाता है।$(B)$ $S_\beta=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\beta^2-(-k)} = \sqrt{\beta^2+k}$ है। चूंकि $k>0$,सभी वास्तविक $\beta$ के लिए $\beta^2+k > 0$ है। अतः,$r$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता। बिंदु वृत्त अस्तित्व में नहीं हैं। यह $(i)$ से मेल खाता है।$(C)$ $S_\alpha=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ है। यदि $\alpha^2  k$ है,तो वृत्त वास्तविक और गैर-प्रतिच्छेदी हैं। यह (iii) से मेल खाता है।$(D)$ $S_\beta=0$ के लिए,त्रिज्या $r = \sqrt{\beta^2+k}$ है। ये $y$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों का एक परिवार है। विभिन्न $\beta$ के लिए उनकी त्रिज्या अलग-अलग होने के कारण,वे प्रतिच्छेदी हैं। यह (ii) से मेल खाता है।अतः,सही मिलान $A-(iv), B-(i), C-(iii), D-(ii)$ है।

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $S_\alpha=0$ के बिंदु वृत्त	$(i)$ अस्तित्व में नहीं हैं
$(B)$ $S_\beta=0$ के बिंदु वृत्त	(ii) प्रतिच्छेदी
$(C)$ $S_\alpha=0$ में वृत्त हैं	(iii) गैर-प्रतिच्छेदी
$(D)$ $S_\beta=0$ में वृत्त हैं	(iv) $(\pm \sqrt{k}, 0)$
	$(v)$ $(0, \pm \sqrt{k})$

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यदि $(p, q)$ उस वृत्त का केंद्र है जो तीन वृत्तों $x^2+y^2-2x-4y+4=0$,$x^2+y^2+2x-4y+1=0$ और $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है,तो $p+q=$

$(1,1)$ से गुजरने वाले और $x^2+y^2+13x-3y=0$ तथा $2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण है

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