यदि d रेखाओं x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0 के प्रति | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है। इसके लिए सारणिक शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 &

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(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+ky^2-4x-10y+3=0$ रेखाओं का एक युग्म निरूपित करता है। इसके लिए सारणिक शून्य होना चाहिए: $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \ 2 & k & -5 \ -2 & -5 & 3 \end{array}ight| = 0$ सारणिक का विस्तार करने पर: $1(3k-25) - 2(6-10) - 2(-10+2k) = 0$ $3k-25+8+20-4k = 0 \implies k = 3$. समीकरण $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ बन जाता है। गुणनखंड करने पर: $(x+y-3)(x+3y-1) = 0$. रेखाएँ $x+y-3=0$ और $x+3y-1=0$ हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने पर: $x+y=3$ और $x+3y=1$. घटाने पर $2y = -2 \implies y = -1$,अतः $x = 4$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -1)$ है। मूल बिंदु $(0,0)$ से $(4,-1)$ तक की दूरी $d = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$,अतः $d^2 = 17$. मूल बिंदु से रेखाओं $x+y-3=0$ और $x+3y-1=0$ पर लंबवत दूरियाँ $d_1 = \frac{|-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ और $d_2 = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ हैं। गुणनफल $p = d_1 	imes d_2 = \frac{3}{\sqrt{2} 	imes \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$. इस प्रकार,$p^2 = \frac{9}{20}$. अंत में,$d^2 - 20p^2 = 17 - 20 	imes \frac{9}{20} = 17 - 9 = 8$.

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