अवकल समीकरण sqrt{1-y^2} dx + x dy - sin^{-1} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1-y^2} dx + (x - \sin^{-1} y) dy = 0$ है। $dy$ और $\sqrt{1-y^2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{\sqrt{1

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$x = \sin^{-1} y - 1 + c e^{-\sin^{-1} y}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1-y^2} dx + (x - \sin^{-1} y) dy = 0$ है। $dy$ और $\sqrt{1-y^2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ और $Q(y) = \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}}$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy} = e^{\sin^{-1} y}$ है। हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + c$ है। $x e^{\sin^{-1} y} = \int \frac{\sin^{-1} y}{\sqrt{1-y^2}} e^{\sin^{-1} y} dy + c$. माना $t = \sin^{-1} y$,तब $dt = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} dy$. $x e^{\sin^{-1} y} = \int t e^t dt + c = (t e^t - e^t) + c = e^t(t - 1) + c$. $t = \sin^{-1} y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x e^{\sin^{-1} y} = e^{\sin^{-1} y}(\sin^{-1} y - 1) + c$ प्राप्त होता है। $e^{\sin^{-1} y}$ से भाग देने पर,$x = \sin^{-1} y - 1 + c e^{-\sin^{-1} y}$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\sqrt{1-y^2} dx + x dy - \sin^{-1} y dy = 0$ का हल है

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