यदि रेखाओं के युग्म x^2+2 sqrt{2} x y+k y^2=0 | vedclass

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Question

(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ है। $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ है। रेखाओं के बीच का कोण $

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$\frac{1}{3}$

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(A) रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} x y+k y^2=0$ है। $ax^2+2hxy+by^2=0$ से तुलना करने पर,$a=1, h=\sqrt{2}, b=k$ है। रेखाओं के बीच का कोण $	heta$ सूत्र $	an 	heta = \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b}$ द्वारा दिया जाता है। $	heta = 45^{\circ}$ दिया गया है,अतः $	an 45^{\circ} = 1 = \frac{2\sqrt{2-k}}{1+k}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1+k)^2 = 4(2-k)$ $\Rightarrow k^2+2k+1 = 8-4k$ $\Rightarrow k^2+6k-7=0$। गुणनखंड करने पर $(k+7)(k-1)=0$ प्राप्त होता है। चूँकि $k>0$,इसलिए $k=1$ है। रेखाओं के युग्म का समीकरण $x^2+2\sqrt{2}xy+y^2=0$ हो जाता है। कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ $\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{1-1} = \frac{xy}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow x^2-y^2=0$ है। यह दो रेखाओं को दर्शाता है: $x-y=0$ और $x+y=0$। तीसरी रेखा $x+2y+1=0$ है। त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: $1$) $x-y=0$ और $x+y=0 \Rightarrow (0,0)$। $2$) $x-y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1/3, x=-1/3$। $3$) $x+y=0$ और $x+2y+1=0 \Rightarrow y=-1, x=1$। त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र से प्राप्त होता है। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 1/3 + 1/3| = \frac{1}{3}$।

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