L एक रेखा है जो बिंदु A(1, 0, -3) से गुजरती ह | vedclass

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Question

(B) रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+3}{-2} = \lambda$ है। रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $P(1, \lambda, -2\lambda - 3)$ के रूप म

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$y - 2z + 4 = 0$

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(B) रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{0} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+3}{-2} = \lambda$ है। रेखा $L$ पर कोई भी बिंदु $P(1, \lambda, -2\lambda - 3)$ के रूप में है। बिंदु $P$ की समतल $2x + 3y + 5z - 1 = 0$ से दूरी $d$ इस प्रकार है: $d = \frac{|2(1) + 3(\lambda) + 5(-2\lambda - 3) - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{|2 + 3\lambda - 10\lambda - 15 - 1|}{\sqrt{38}} = \frac{|-7\lambda - 14|}{\sqrt{38}}$. न्यूनतम दूरी के लिए,$-7\lambda - 14 = 0$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है। $\lambda = -2$ रखने पर,$P$ के निर्देशांक $(1, -2, 1)$ प्राप्त होते हैं। सदिश $\vec{AP} = P - A = (1-1, -2-0, 1-(-3)) = (0, -2, 4)$ है। $P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, -2, 4)$ वाले समतल का समीकरण: $0(x - 1) - 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0$. $-2y - 4 + 4z - 4 = 0 \Rightarrow -2y + 4z - 8 = 0 \Rightarrow y - 2z + 4 = 0$.

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यदि रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ और समतल $2x-y+\sqrt{\lambda}z+4=0$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\sin \theta=\frac{1}{3}$,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के बीच का न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

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