यदि बिंदु (2, -1, 3) से गुजरने वाले और समतलों | vedclass

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Question

(A) वांछित समतल बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरता है। मान लीजिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3

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$\frac{11}{3}$

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(A) वांछित समतल बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरता है। मान लीजिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है। समतल का समीकरण $a(x - 2) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ है। चूंकि समतल $3x - 2y + z = 9$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश लंबवत हैं,अतः $3a - 2b + c = 0$। चूंकि समतल $x + y + z = 9$ के भी लंबवत है,इसलिए $a + b + c = 0$ है। इन समीकरणों को हल करने पर: $\frac{a}{(-2)(1) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(1)} = \frac{c}{(3)(1) - (-2)(1)}$,जिससे $\frac{a}{-3} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{5} = k$ प्राप्त होता है। अतः अभिलंब सदिश $(-3, -2, 5)$ के समानुपाती है। समतल के समीकरण में मान रखने पर: $-3(x - 2) - 2(y + 1) + 5(z - 3) = 0$। विस्तार करने पर: $-3x + 6 - 2y - 2 + 5z - 15 = 0$,जो सरल होकर $-3x - 2y + 5z - 11 = 0$ हो जाता है। $x + by + cz + d = 0$ के रूप में लाने के लिए $-3$ से भाग देने पर: $x + \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}z + \frac{11}{3} = 0$। तुलना करने पर,$d = \frac{11}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि बिंदु $(2, -1, 3)$ से गुजरने वाले और समतलों $3x - 2y + z = 9$ तथा $x + y + z = 9$ के लंबवत समतल का समीकरण $x + by + cz + d = 0$ है,तो $d =$

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