MHT CET 2018 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना कि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ है। पहले गोले का प्रारंभिक वेग $v$ है और दूसरे गोले का $0$ है। माना कि उनके अंतिम वेग क्रमशः $V_1$ और $V_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v + m(0) = m V_1 + m V_2$
$v = V_1 + V_2$ --- $(1)$
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ की परिभाषा के अनुसार:
$e = \frac{V_2 - V_1}{u_1 - u_2}$
$e = \frac{V_2 - V_1}{v - 0}$
$e v = V_2 - V_1$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$v + e v = (V_1 + V_2) + (V_2 - V_1)$
$v(1 + e) = 2 V_2$
$V_2 = \frac{v(e + 1)}{2}$
दूसरे गोले के अंतिम वेग $(V_2)$ और पहले गोले के प्रारंभिक वेग $(v)$ का अनुपात है:
$\frac{V_2}{v} = \frac{e + 1}{2}$

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि बम शुरू में विराम अवस्था में है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग शून्य है। अतः,कुल अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए तीसरे भाग का संवेग $\vec{p}_3$ है।
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0$
$(-3 p \hat{i}) + (2 p \hat{j}) + \vec{p}_3 = 0$
$\vec{p}_3 = 3 p \hat{i} - 2 p \hat{j}$
तीसरे भाग के संवेग का परिमाण है:
$|\vec{p}_3| = \sqrt{(3p)^2 + (-2p)^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{9p^2 + 4p^2}$
$|\vec{p}_3| = \sqrt{13} p$

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $g$ का मान $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$g$ में परिवर्तन $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R})$ है।
पृथ्वी की सतह से $x$ गहराई पर $g$ का मान $g_x = g(1 - \frac{x}{R})$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$g$ में परिवर्तन $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R})$ है।
यह दिया गया है कि ऊँचाई $h$ और गहराई $x$ पर $g$ में परिवर्तन समान है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$g(\frac{2h}{R}) = g(\frac{x}{R})$.
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 2h$ प्राप्त होता है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mu^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$m$ से भाग देने और पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{GM}{R+h} = \frac{GM}{R} - \frac{u^2}{2}$
$GM = gR^2$ का उपयोग करने पर: $\frac{gR^2}{R+h} = gR - \frac{u^2}{2} = \frac{2gR - u^2}{2}$
$\frac{R+h}{R^2} = \frac{2g}{2gR - u^2}$
$R+h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2}$
$h = \frac{2gR^2}{2gR - u^2} - R = \frac{2gR^2 - 2gR^2 + u^2R}{2gR - u^2} = \frac{u^2R}{2gR - u^2}$

(D) एक आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है:
$C_P - C_V = R$
हमें मोलर विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ भी दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $C_P = \gamma C_V$।
मेयर के संबंध में $C_P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\gamma C_V - C_V = R$
$C_V(\gamma - 1) = R$
अतः,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$।

(C) स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ का सूत्र $a_t = \alpha r$ होता है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $(a_r)$ का सूत्र $a_r = \frac{u^2}{r}$ होता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण और त्रिज्यीय त्वरण का अनुपात $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{u^2 / r}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{\alpha r^2}{u^2}$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,सदिशों के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$
यहाँ हम देखते हैं कि $B^2 = A^2 + C^2$ $(35 = 14 + 21)$,जो समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अब,सदिश योग संबंध की जाँच करें:
$\vec{B} + \vec{C} = (1+2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} = \vec{A}$
अतः,$\vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$ और $B^2 = A^2 + C^2$ सही शर्त है।

(B) दी गई भौतिक राशि $x = \frac{a^2 b^2}{c}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के सूत्र का उपयोग करते हुए,$x$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta x}{x} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3\%$ और $\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$ हैं।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 2(2\%) + 2(3\%) + 4\%$.
$\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 4\% + 6\% + 4\% = 14\%$.
अतः,$x$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि $14\%$ है।

(D) इकाई सदिश का परिमाण $1$ होता है। सदिश $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया सदिश $(0.8 \hat{i} + b \hat{j} + 0.4 \hat{k})$ है,इसलिए इसका परिमाण $1$ रखने पर:
$\sqrt{(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2} = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2 = 1^2$
$0.64 + b^2 + 0.16 = 1$
$0.80 + b^2 = 1$
$b^2 = 1 - 0.80$
$b^2 = 0.2$
$b = \sqrt{0.2}$

(A) तार के तैरने के लिए,नीचे की ओर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
तार पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल (भार) $W = mg = (\text{आयतन} \times \rho) g = (\pi r^2 l) \rho g$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $l$ तार की लंबाई है।
पृष्ठ तनाव बल पानी की सतह पर तार के दोनों किनारों पर कार्य करता है,इसलिए ऊपर की ओर बल $F_s = 2Tl$ है।
तैरने की सीमा स्थिति के लिए बलों को बराबर करने पर: $Mg = 2Tl$.
मान रखने पर: $(\pi r^2 l) \rho g = 2Tl$.
दोनों तरफ से $l$ को हटाने पर: $\pi r^2 \rho g = 2T$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r^2 = \frac{2T}{\pi \rho g}$,जिससे $r = \sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम त्रिज्या $\sqrt{\frac{2T}{\pi \rho g}}$ के समानुपाती है।

(C) $y$ गहराई पर स्थित छेद से पानी के प्रवाह की दर (डिस्चार्ज) $Q = A_v \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A_v$ छेद का क्षेत्रफल है और $v = \sqrt{2gy}$ बाहर निकलने वाले पानी का वेग है।
$h$ गहराई पर स्थित छेद $A$ के लिए: क्षेत्रफल $A_A = L^2$,वेग $v_A = \sqrt{2gh}$। अतः,$Q_A = L^2 \sqrt{2gh}$।
$3h$ गहराई पर स्थित छेद $B$ के लिए: क्षेत्रफल $A_B = \pi r^2$,वेग $v_B = \sqrt{2g(3h)} = \sqrt{6gh}$। अतः,$Q_B = \pi r^2 \sqrt{6gh}$।
यह दिया गया है कि प्रवाह की दर समान है,इसलिए $Q_A = Q_B$:
$L^2 \sqrt{2gh} = \pi r^2 \sqrt{6gh}$
$L^2 = \pi r^2 \frac{\sqrt{6gh}}{\sqrt{2gh}} = \pi r^2 \sqrt{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$L = \sqrt{\pi r^2 \sqrt{3}} = r \sqrt{\pi} (3)^{\frac{1}{4}} = r (\pi)^{\frac{1}{2}} (3)^{\frac{1}{4}}$।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$ होता है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना किया जाता है, तो नई त्रिज्या $R' = 2R$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi (2R)^2 = 2 \times 4 \pi (4R^2) = 32 \pi R^2$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_f = T \times (32 \pi R^2) = 32 \pi R^2 T$ है।
किया गया कार्य $W = E_f - E_i$ है।
$W = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$।

(B) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि $T, \theta, \rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $rh = \text{constant}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $r \propto \sqrt{A}$ होता है।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = A$ और अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = \frac{A}{9}$ दिया गया है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{A_2}{A_1}} = \sqrt{\frac{A/9}{A}} = \frac{1}{3}$ है।
संबंध $r_1 h_1 = r_2 h_2$ का उपयोग करने पर,$h_2 = h_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$h_2 = h \times 3 = 3h$ होगा।

(C) यंग मापांक $Y$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$Y = \frac{F L}{A \Delta L}$
$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$
अतः,लंबाई में होने वाली कमी $\frac{F L}{A Y}$ है।

(B) दिया गया है: व्यास $d = 50 \ cm = 0.5 \ m$।
त्रिज्या $r = d/2 = 0.25 \ m = 25 \times 10^{-2} \ m$।
आवृत्ति $f = 2 \ Hz$।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad/s$।
$U.C.M.$ में अभिकेंद्र त्वरण $a = r \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = (25 \times 10^{-2}) \times (4 \pi)^2$।
$a = 0.25 \times 16 \pi^2$।
$a = 4 \pi^2 \ m/s^2$।

(B) दोलन की पथ लंबाई दो चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी है, जो $2a$ के बराबर है, जहाँ $a$ आयाम है।
दिया गया है, $2a = 16 \,cm$, इसलिए आयाम $a = 8 \,cm$ है।
लोलक की लंबाई $l = 1 \,m$ है।
सरल लोलक की कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
$g = \pi^2 \,m/s^2$ और $l = 1 \,m$ रखने पर, हमें $\omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \,rad/s$ प्राप्त होता है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम वेग $v_{max} = a\omega$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $v_{max} = 8 \,cm \times \pi \,rad/s = 8\pi \,cm/s$।

(D) $SHM$ की पथ लंबाई $2A$ के बराबर होती है,जहाँ $A$ आयाम है।
दी गई पथ लंबाई $= 0.01 \ m$,इसलिए $2A = 0.01 \ m$,जिसका अर्थ है $A = 0.005 \ m$.
आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
$SHM$ में कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = m \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $F_{max} = m (2 \pi f)^2 A = m (4 \pi^2 f^2) A$.
मान रखने पर: $F_{max} = 1 \times 4 \times \pi^2 \times (50)^2 \times 0.005$.
$F_{max} = 4 \times \pi^2 \times 2500 \times 0.005$.
$F_{max} = 10000 \times \pi^2 \times 0.005 = 50 \pi^2 \ N$.

(D) $S.H.M.$ की आवृत्ति $n = 5 Hz$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n = 2 \pi \times 5 = 10 \pi rad s^{-1}$ है।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग बिना खिंची हुई है,जिसका अर्थ है कि विस्थापन $x = 0$ है। $S.H.M.$ में,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करता है,$k x_0 = mg$,जहाँ $x_0$ स्थिर विस्तार है।
दोलन का आयाम $A$ इस स्थिर विस्तार $x_0$ के बराबर है,क्योंकि कण अपने पथ के शीर्ष पर बिना खिंची हुई स्थिति $(x=0)$ तक पहुँचता है। अतः,$A = x_0 = \frac{mg}{k}$.
हम जानते हैं कि $\omega^2 = \frac{k}{m}$,इसलिए $k = m \omega^2 = m(10 \pi)^2 = 100 \pi^2 m$.
$k$ का मान आयाम समीकरण में रखने पर: $A = \frac{mg}{100 \pi^2 m} = \frac{g}{100 \pi^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi} m$.
अधिकतम गति $V_{max} = \omega A = (10 \pi) \times (\frac{1}{10 \pi}) = \frac{1}{\pi} m s^{-1}$.

(B) एक पूर्ण दोलन में,$SHM$ में गति कर रहा कण माध्य स्थिति से एक चरम बिंदु $(A)$ तक,वापस माध्य स्थिति $(A)$ तक,दूसरे चरम बिंदु $(A)$ तक और फिर वापस माध्य स्थिति $(A)$ तक जाता है।
$1$ दोलन में तय की गई कुल दूरी $= A + A + A + A = 4 \ A$ है।
एक पूर्ण दोलन में लगा समय आवर्तकाल $T$ कहलाता है।
दोलन की आवृत्ति $n = \frac{1}{T}$ है,जिसका अर्थ है कि $T = \frac{1}{n}$।
औसत चाल को कुल दूरी और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{4 \ A}{T}$।
$T = \frac{1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\text{औसत चाल} = 4 \ A \ n$ प्राप्त होता है।

(B) अपनी केंद्रीय अक्ष के परितः डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha$,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\alpha$ कोणीय त्वरण है।
रिम पर लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $F$,टॉर्क $\tau = F \times R$ प्रदान करता है।
कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{\omega}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
इन मानों को टॉर्क समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F \times R = (\frac{1}{2} M R^2) \times (\frac{\omega}{t})$.
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{M R \omega}{2 t}$.

(B) प्रारंभिक स्थिति: जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$,कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$. प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2} I \omega^2$.
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$I \omega = (I + I) \omega_2$,जहाँ $\omega_2$ अंतिम कोणीय वेग है।
$I \omega = 2I \omega_2 \implies \omega_2 = \frac{\omega}{2}$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2} (2I) \omega_2^2 = I \left(\frac{\omega}{2}\right)^2 = \frac{I \omega^2}{4}$.
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = KE_i - KE_f = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{4} I \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.

(B) $L$ लंबाई और $M$ द्रव्यमान वाली एक पतली एकसमान छड़ की उसके द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ है।
द्रव्यमान केंद्र से दिए गए अक्ष की दूरी $x = \frac{L}{2} - \frac{L}{3} = \frac{L}{6}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{CM} + M x^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{6} \right)^2$.
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{36}$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,$I = \frac{3 M L^2 + M L^2}{36} = \frac{4 M L^2}{36} = \frac{M L^2}{9}$.

(B) कुल आपतित ऊष्मीय ऊर्जा की दर $P_i = 1000 \ J \ min^{-1}$ है।
ऊष्मीय विकिरण के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,परावर्तन $(r)$,अवशोषण $(a)$ और संचरण $(t)$ गुणांकों का योग $1$ होता है,अर्थात $r + a + t = 1$।
यहाँ $r = 0.1$ और $a = 0.8$ दिया गया है,इसलिए संचरण गुणांक $(t)$ होगा:
$t = 1 - (r + a) = 1 - (0.1 + 0.8) = 1 - 0.9 = 0.1$।
संचरित ऊष्मीय ऊर्जा की दर $P_t = t \times P_i = 0.1 \times 1000 \ J \ min^{-1} = 100 \ J \ min^{-1}$ है।
$5$ मिनट की समयावधि के लिए,कुल संचरित ऊष्मीय ऊर्जा $(Q_t)$:
$Q_t = P_t \times \text{समय} = 100 \ J \ min^{-1} \times 5 \ min = 500 \ J$।

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ ओवरटोन $(n+1)^{th}$ हार्मोनिक के अनुरूप होता है।
यहाँ,पांचवां ओवरटोन छठा हार्मोनिक $(n=6)$ है।
डोरी की लंबाई $L = 2.4 \ m$ है।
$n^{th}$ हार्मोनिक के लिए शर्त $L = n \frac{\lambda}{2}$ है।
मान रखने पर: $2.4 = 6 \times \frac{\lambda}{2}$।
इससे $\frac{\lambda}{2} = \frac{2.4}{6} = 0.4 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 0.8 \ m$।
एक निस्पंद और क्रमागत प्रस्पंद के बीच की दूरी हमेशा $\frac{\lambda}{4}$ होती है।
इसलिए,दूरी $= \frac{0.8 \ m}{4} = 0.2 \ m$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n_a = n \left[ \frac{v \pm v_0}{v \mp v_s} \right]$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रेक्षक स्थिर है,इसलिए $v_0 = 0$ है।
जैसे-जैसे स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,हर $(v - v_s)$ हो जाता है,इसलिए $n_a = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$।
चूंकि $(v - v_s) < v$,इसलिए आभासी आवृत्ति $n_a$ बढ़ जाती है।
चूंकि माध्यम में ध्वनि की गति $v$ स्थिर रहती है और $v = n_a \lambda_a$ होता है,इसलिए आवृत्ति $n_a$ में वृद्धि के परिणामस्वरूप प्रेक्षित तरंगदैर्ध्य $\lambda_a$ में कमी आती है।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,प्राकृतिक आवृत्तियाँ $f_k = (2k - 1) \frac{V}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ मोड संख्या है।
यहाँ $V = 332 \ m/s$ और $L = 83 \ cm = 0.83 \ m$ दिया गया है।
मूल आवृत्ति $(k=1)$ $f_1 = \frac{V}{4L} = \frac{332}{4 \times 0.83} = \frac{332}{3.32} = 100 \ Hz$ है।
संभावित आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति के विषम गुणज हैं: $f_k = (2k - 1) \times 100 \ Hz$.
हमें उन आवृत्तियों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $f_k < 1000 \ Hz$ हो।
$(2k - 1) \times 100 < 1000 \implies 2k - 1 < 10 \implies 2k < 11 \implies k < 5.5$.
चूँकि $k$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k = 1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है।
आवृत्तियाँ $100 \ Hz, 300 \ Hz, 500 \ Hz, 700 \ Hz, 900 \ Hz$ हैं।
अतः,कुल $5$ संभावित आवृत्तियाँ हैं।

(D) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $e = e_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $e_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है。
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \Omega$ है。
$RMS$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \text{ V}$ है。
$AC$ एमीटर का पाठ्यांक $RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{X_C}$ देता है。
मान रखने पर, $I_{rms} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$ प्राप्त होता है।

(B) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है।
दिया गया है: $P = 4.4 kW = 4400 W$,$V_p = 220 V$,$V_s = 3.3 kV = 3300 V$.
द्वितीयक कुंडली के लिए $P = V_s \times I_s$ होने के कारण:
$I_s = \frac{P}{V_s} = \frac{4400}{3300} A$.
$I_s = \frac{44}{33} A = \frac{4}{3} A$.
अतः,द्वितीयक कुंडली में प्रत्यावर्ती धारा $\frac{4}{3} A$ है।

(A) $C_1$ धारिता वाले $N_1$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1}{N_1}$ है।
इस संयोजन में संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (3V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{N_1} \right) 9V^2 = \frac{9 C_1 V^2}{2 N_1}$ है।
$C_2$ धारिता वाले $N_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq2} = N_2 C_2$ है।
इस संयोजन में संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} N_2 C_2 V^2$ है।
दिया गया है कि दोनों संयोजनों में संचित कुल ऊर्जा समान है $(E_1 = E_2)$:
$\frac{9 C_1 V^2}{2 N_1} = \frac{N_2 C_2 V^2}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{V^2}{2}$ को हटाने पर,हमें $\frac{9 C_1}{N_1} = N_2 C_2$ प्राप्त होता है।
$C_1$ के लिए हल करने पर,हमें $C_1 = \frac{C_2 N_1 N_2}{9}$ प्राप्त होता है।

(D) आयाम मॉडुलन में,उच्च-आवृत्ति वाली वाहक तरंग (carrier wave) का आयाम मॉडुलन (सूचना) संकेत के तात्कालिक आयाम के अनुसार बदलता है,जबकि वाहक तरंग की आवृत्ति और कला (phase) स्थिर रहती है।

(D) माना गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ है और कुल धारा $I$ है। जब $S_1 = 3 \Omega$ का शंट जोड़ा जाता है,तो गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = \frac{I}{4}$ होती है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करने पर: $I_g = I \left( \frac{S_1}{G + S_1} \right) \Rightarrow \frac{I}{4} = I \left( \frac{3}{G + 3} \right)$.
$G$ के लिए हल करने पर: $G + 3 = 12 \Rightarrow G = 9 \Omega$.
अब,पहले वाले $S_1 = 3 \Omega$ शंट के समानांतर में $S_2 = 2 \Omega$ का एक अतिरिक्त शंट जोड़ा जाता है। तुल्य शंट प्रतिरोध $S_{eq}$ है:
$S_{eq} = \frac{S_1 \times S_2}{S_1 + S_2} = \frac{3 \times 2}{3 + 2} = \frac{6}{5} = 1.2 \Omega$.
गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित नई धारा $I_g'$ है:
$I_g' = I \left( \frac{S_{eq}}{G + S_{eq}} \right) = I \left( \frac{1.2}{9 + 1.2} \right) = I \left( \frac{1.2}{10.2} \right) = I \left( \frac{12}{102} \right) = I \left( \frac{1}{8.5} \right)$.
अतः,गैल्वेनोमीटर में विक्षेप प्रारंभिक मान का $\left(\frac{1}{8.5}\right)^{th}$ हो जाएगा।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है,$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,जिसका अर्थ है $L_1 d_1^2 = L_2 d_2^2$,या $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$।
प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{d_2^2}{d_1^2}$ है।
समीकरण में $\frac{L_1}{L_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) \times \left(\frac{d_2^2}{d_1^2}\right) = \frac{d_2^4}{d_1^4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं। प्रतिरोध $R_{AB} = 15\Omega$,$R_{BC} = 3\Omega$,$R_{AD} = 20\Omega$,$R_{CD} = 4\Omega$ और गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_G = 6\Omega$ है।
सबसे पहले,संतुलित स्थिति की जाँच करें: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{15}{20} = 0.75$ और $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3}{4} = 0.75$.
चूंकि $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$,ब्रिज संतुलित है। इसलिए,गैल्वेनोमीटर $(G)$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
यह परिपथ को दो समानांतर शाखाओं में सरल करता है: एक $(15+3) = 18\Omega$ के साथ और दूसरी $(20+4) = 24\Omega$ के साथ।
कुल धारा $I = 2.1 A$,$I_1$ ($18\Omega$ शाखा के माध्यम से) और $I_2$ ($24\Omega$ शाखा के माध्यम से) में विभाजित हो जाती है।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए: $I_1 = I \times \frac{R_{parallel2}}{R_{parallel1} + R_{parallel2}} = 2.1 \times \frac{24}{18+24} = 2.1 \times \frac{24}{42} = 2.1 \times \frac{4}{7} = 1.2 A$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{h}{p}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ होती है,इसलिए संवेग को $p = \sqrt{2m(K.E.)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(K.E.)}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\lambda^2 = \frac{h^2}{2m(K.E.)}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$K.E. = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को संबंध $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mKE}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,गतिज ऊर्जा $KE$ को $KE = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों के लिए समान है,इसलिए हमारे पास $KE \propto \frac{1}{m}$ है।
क्योंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg)$ प्रोटॉन के द्रव्यमान $(m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg)$ से बहुत कम है,इसलिए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा से अधिक होगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = hf - \phi$
चूंकि निरोधी विभव $(V_s)$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $K_{max} = eV_s$ द्वारा संबंधित है,हम लिख सकते हैं:
$eV_s = hf - \phi$
$V_s = (h/e)f - (\phi/e)$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,ढाल $(h/e)$ (एक धनात्मक स्थिरांक) है और $V_s$-अक्ष पर अंतःखंड $(-\phi/e)$ है।
जब $V_s = 0$ होता है,तो $hf = \phi$ होता है,जिससे $f = \phi/h = f_0$ (देहली आवृत्ति) प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$V_s$ बनाम $f$ का ग्राफ आवृत्ति अक्ष पर $f = f_0$ से शुरू होने वाली एक सीधी रेखा है।
ग्राफ $(1)$ इस रैखिक संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $e V_0 = h f - \Phi$, जहाँ $\Phi = h f_0$ कार्य फलन (work function) है।
निरोधी विभव $V_0$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V_0 = \frac{h}{e} f - \frac{h f_0}{e}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$, $e$, और $f_0$ स्थिरांक हैं, $V_0$ आपतित आवृत्ति $f$ का एक रैखिक फलन है।
जैसे-जैसे आपतित विकिरण की आवृत्ति $f$ बढ़ती है, पद $\frac{h}{e} f$ का मान बढ़ता है।
अतः, निरोधी विभव $V_0$ बढ़ता है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,$\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व वाली एक समान रूप से आवेशित पतली अनंत समतल शीट के बाहर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$
यहाँ,$\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र के व्यंजक में दूरी $d$ शामिल नहीं है,इसलिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता समतल शीट से दूरी $d$ से स्वतंत्र है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_x = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
हमें दिया गया है कि $B_x = \frac{B}{8}$. $B$ का मान रखने पर:
$\frac{B}{8} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R} = \frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R^3} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{R^2 + x^2}$
$R^2 + x^2 = 4R^2$
$x^2 = 3R^2$
$x = R\sqrt{3}$.

(A) साइक्लोट्रॉन में,प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र की आवृत्ति $f$,साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f_c = \frac{eB}{2\pi m}$ के बराबर होती है।
इससे,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2\pi mf}{e}$ प्राप्त होता है।
निकास त्रिज्या $R$ पर प्रोटॉन का अधिकतम वेग $v = \omega R = (2\pi f)R$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$v = 2\pi f R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K.E. = \frac{1}{2}m(2\pi f R)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2 f^2 R^2) = 2\pi^2 mf^2 R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\frac{2\pi mf}{e}$ है और गतिज ऊर्जा $2\pi^2 mf^2 R^2$ है।

(B) अनुचुंबकीय पदार्थों के लिए क्यूरी के नियम के अनुसार,चुंबकन $M_z$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B$ के सीधे आनुपातिक और परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $M_z \propto \frac{B}{T}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
क्यूरी स्थिरांक $C$ को शामिल करने पर,हमें संबंध $M_z = C \frac{B}{T}$ या $M_z = \frac{C B}{T}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $M_z = \frac{C B}{T}$ है।

(B) छड़ चुंबक की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2Md}{(d^2-l^2)^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ केंद्र से दूरी है और $2l$ चुंबकीय लंबाई है।
दिया गया है $d_1 = 10 \ cm$ और $d_2 = 10 + 10 = 20 \ cm$.
अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{d_1}{d_2} \left( \frac{d_2^2 - l^2}{d_1^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{10}{20} \left( \frac{20^2 - l^2}{10^2 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2}$.
$\frac{1}{2} \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = \frac{25}{2} \Rightarrow \left( \frac{400 - l^2}{100 - l^2} \right)^2 = 25$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{400 - l^2}{100 - l^2} = 5$.
$400 - l^2 = 500 - 5l^2 \Rightarrow 4l^2 = 100 \Rightarrow l^2 = 25$.
अतः,$l = 5 \ cm$.
चुंबकीय लंबाई $2l = 2 \times 5 \ cm = 10 \ cm$ है।

(C) चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ यह मापती है कि कोई पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में कितनी आसानी से चुंबकित हो सकता है।
अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थों के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ छोटी और धनात्मक होती है,जिसका अर्थ है कि वे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की ओर दुर्बल रूप से आकर्षित होते हैं।
प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) पदार्थों के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ छोटी और ऋणात्मक होती है,जिसका अर्थ है कि वे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं।
अतः,सही क्रम अनुचुंबकीय के लिए छोटी,धनात्मक और प्रतिचुंबकीय पदार्थों के लिए छोटी,ऋणात्मक है।

(D) एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस को वस्तु के बहुत करीब रखा जाता है ताकि एक वास्तविक,उल्टा और आवर्धित प्रतिबिंब बन सके। उच्च आवर्धन और बेहतर विभेदन क्षमता (resolution) प्राप्त करने के लिए,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी कम (छोटी) और द्वारक छोटा होना चाहिए।

(C) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन की सीमा $(d)$ का सूत्र है: $d = \frac{1.22 \lambda}{2 NA}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $NA$ संख्यात्मक द्वारक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि विभेदन की सीमा $(d)$,संख्यात्मक द्वारक $(NA)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $d \propto \frac{1}{NA}$।
अतः,यदि सूक्ष्मदर्शी का संख्यात्मक द्वारक $(NA)$ बढ़ाया जाता है,तो विभेदन की सीमा $(d)$ घट जाती है,जिससे सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता (resolving power) में सुधार होता है।

(A) आपतन कोण को आपतित किरण और आपतन बिंदु पर सतह के अभिलंब के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हालाँकि,आपतित किरण और परावर्तक सतह के बीच के कोण को ग्लेंसिंग एंगल (स्पर्श कोण) कहा जाता है।
दी गई आकृति में,कोण $\theta$ आपतित किरण $I$ और सतह $XY$ के बीच के कोण को दर्शाता है,जो कि ग्लेंसिंग एंगल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि सतह से स्रोत की दूरी $x$ है। कांच के स्लैब की मोटाई $d = 5 \ cm$ है और इसका अपवर्तनांक $\mu = 1.6$ है।
हवा में (जहाँ गति $c$ है) $x$ दूरी तय करने में प्रकाश द्वारा लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{c}$ है।
कांच के स्लैब में (जहाँ गति $v = \frac{c}{\mu}$ है) $d$ मोटाई तय करने में प्रकाश द्वारा लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{v} = \frac{d}{c/\mu} = \frac{\mu d}{c}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$t_1 = t_2$,इसलिए:
$\frac{x}{c} = \frac{\mu d}{c}$
$x = \mu d$
$x = 1.6 \times 5 \ cm = 8 \ cm$.
अतः,सतह से स्रोत की दूरी $8 \ cm$ है।

(C) जब एक $p-n$ जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है,तो बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $p$-साइड से और ऋणात्मक टर्मिनल $n$-साइड से जुड़ा होता है।
यह डिप्लेशन लेयर की चौड़ाई को कम करता है और पोटेंशियल बैरियर को घटाता है।
परिणामस्वरूप,डायोड बहुत कम प्रतिरोध प्रदान करता है और इसमें से विद्युत धारा प्रवाहित होने देता है।
इसलिए,फॉरवर्ड बायस में,$p-n$ जंक्शन डायोड एक बंद स्विच के रूप में कार्य करता है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
अवधारणा: करंट गेन $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\Delta I_C = 1.5 \ mA = 1.5 \times 10^{-3} \ A$ और $\Delta I_B = 20 \ \mu A = 20 \times 10^{-6} \ A$.
$\beta$ की गणना: $\beta = \frac{1.5 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1500}{20} = 75$.
वोल्टेज गेन $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: लोड प्रतिरोध $R_L = 2 \ k\Omega = 2000 \ \Omega$ और इनपुट प्रतिरोध $R_i = 150 \ \Omega$.
मान रखने पर: $A_v = 75 \times \frac{2000}{150} = 75 \times \frac{40}{3} = 25 \times 40 = 1000$.

(B) तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$,इसलिए $I = ka^2$। मान लीजिए $I_1 = ka_1^2$ और $I_2 = ka_2^2$ है।
व्यतिकरण के दौरान अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = k(a_1 + a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2)$ द्वारा दी जाती है।
व्यतिकरण के दौरान न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = k(a_1 - a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का योग $I_{\max} + I_{\min} = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2) + k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ है।
$I_{\max} + I_{\min} = k(2a_1^2 + 2a_2^2) = 2(ka_1^2 + ka_2^2)$।
तीव्रताओं के मान वापस रखने पर,हमें $I_{\max} + I_{\min} = 2(I_1 + I_2)$ प्राप्त होता है।