MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) साम्यावस्था से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए,विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = \frac{T}{12}$ और $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,इसलिए विस्थापन $x = A \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{A}{2}$ होगा।
स्थितिज ऊर्जा ($P$.$E$.) का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ है।
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} m \omega^2 A^2$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा ($K$.$E$.) का सूत्र $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ है।
$x = \frac{A}{2}$ रखने पर,हमें $K = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$ प्राप्त होता है।
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8} m \omega^2 A^2}{\frac{3}{8} m \omega^2 A^2} = \frac{1}{3}$ है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले दोलक के लिए,$x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
चरम स्थिति पर,विस्थापन $x = A$ होता है,इसलिए $PE = \frac{1}{2} k A^2$ होगा।
सरल लोलक के लिए,प्रत्यानयन बल $F = -\frac{Mg}{L} x$ होता है,इसलिए बल नियतांक $k = \frac{Mg}{L}$ है।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $k$ का मान रखने पर:
$PE = \frac{1}{2} \left( \frac{Mg}{L} \right) A^2$.
$PE = \frac{MgA^2}{2L}$.

(B) सरल आवर्त गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t)$ है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
पिंड माध्य स्थिति से शुरू होता है,इसलिए विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ और वेग $v = A \omega \cos(\omega t)$ है।
कुल ऊर्जा $(TE)$ $\frac{1}{2} k A^2$ है।
हमें दिया गया है कि $KE = 75 \% \text{ of } TE = \frac{3}{4} TE$.
अतः,$\frac{1}{2} k (A \cos(\omega t))^2 = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} k A^2)$.
$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$.
$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\omega t = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ रेडियन}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$.
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{T}{12}$ प्राप्त होता है।

(D) चरम स्थिति पर सरल आवर्त दोलक की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$
सरल लोलक के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ होती है।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{g}{L}}\right)^2 A^2$
$P.E. = \frac{1}{2} m \left(\frac{g}{L}\right) A^2$
$P.E. = \frac{mgA^2}{2L}$

(A) दिया गया है: माध्य स्थिति में गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $= 16 \ J$,आयाम $(A)$ $= 25 \ cm = 0.25 \ m$,द्रव्यमान $(m)$ $= 5.12 \ kg$.
सरल आवर्त गति में माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा कण की कुल ऊर्जा $(E)$ के बराबर होती है।
कुल ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
मान रखने पर: $16 = \frac{1}{2} \times 5.12 \times \omega^2 \times (0.25)^2$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{16 \times 2}{5.12 \times 0.0625} = \frac{32}{0.32} = 100$.
अतः,$\omega = \sqrt{100} = 10 \ rad/s$.
दोलन का आवर्तकाल $(T)$ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2 \pi}{10} = \frac{\pi}{5} \ s$.

(D) एकसमान वृत्तीय गति करने वाले कण के लिए, अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है, व्यास $d = 1 \ m$, इसलिए त्रिज्या $r = d/2 = 0.5 \ m$ है।
आवृत्ति $f = 4 \ Hz$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (4) = 8 \pi \ rad/s$ है।
इन मानों को त्वरण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$a = (8 \pi)^2 \times 0.5$
$a = 64 \pi^2 \times 0.5$
$a = 32 \pi^2 \ m/s^2$.

(A) दिए गए विस्थापन समीकरण:
$y_1 = a_1 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right) \quad \dots(i)$
$y_2 = a_2 \cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi\right) \quad \dots(ii)$
कलाओं की तुलना करने के लिए,हम $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$ सर्वसमिका का उपयोग करके कोसाइन फलन को साइन फलन में बदलते हैं:
$y_2 = a_2 \sin \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) \quad \dots(iii)$
$y_1$ की कला $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t)$ की तुलना $y_2$ की कला $(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2})$ से करने पर,कलान्तर:
$\Delta \phi = \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\frac{2 \pi x}{\lambda} - \omega t\right)$
$\Delta \phi = \phi + \frac{\pi}{2}$

(C) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ है।
प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ और अवमंदन स्थिरांक $r = \frac{b}{2m}$ को परिभाषित करते हुए,अवमंदित दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega^{\prime}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - r^2}$
मान रखने पर:
$\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{b}{2m}\right)^2}$

(C) विस्थापन का समीकरण $y = A \cos(\pi t + \pi \phi)$ है।
समय के सापेक्ष अवकलन करने पर,वेग $v = \frac{dy}{dt} = -A\pi \sin(\pi t + \pi \phi)$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$y_0 = A \cos(\pi \phi)$ और $v_0 = -A\pi \sin(\pi \phi)$ है।
इससे,$\cos(\pi \phi) = \frac{y_0}{A}$ और $\sin(\pi \phi) = -\frac{v_0}{A\pi}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2(\pi \phi) + \sin^2(\pi \phi) = 1$ का उपयोग करने पर,$\left(\frac{y_0}{A}\right)^2 + \left(-\frac{v_0}{A\pi}\right)^2 = 1$ मिलता है।
यह सरल होकर $y_0^2 + \frac{v_0^2}{\pi^2} = A^2$ हो जाता है।
दिए गए मान $y_0 = 2 \text{ cm}$ और $v_0 = 2\pi \text{ cm/s}$ रखने पर:
$2^2 + \frac{(2\pi)^2}{\pi^2} = A^2$.
$4 + 4 = A^2$.
$A^2 = 8$.
$A = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ cm}$.

(D) $S.H.M.$ में,एक पूर्ण दोलन $2 \pi \ rad$ के कला परिवर्तन के बराबर होता है।
इसलिए,$n$ दोलनों के लिए,कुल कला परिवर्तन $\Delta \phi = n \times 2 \pi \ rad$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि कण $n = 2$ दोलन पूरे करता है।
अतः,कला में परिवर्तन $= 2 \times 2 \pi \ rad = 4 \pi \ rad$ होगा।

(B) दोलन की आवृत्ति $n = 10 \ Hz$ है। कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n = 20 \pi \ rad/s$ है।
ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,संतुलन स्थिति बिना खिंची हुई स्थिति से $x_0 = \frac{mg}{k}$ की दूरी पर होती है।
चूंकि दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग बिना खिंची हुई है,इसलिए दोलन का आयाम $A$ संतुलन स्थिति के विस्थापन के बराबर है,अतः $A = x_0 = \frac{mg}{k}$।
हम जानते हैं कि $\omega^2 = \frac{k}{m}$,इसलिए $k = m \omega^2$।
$A$ के व्यंजक में $k$ का मान रखने पर: $A = \frac{mg}{m \omega^2} = \frac{g}{\omega^2}$।
अधिकतम चाल $v_{\max} = \omega A = \omega \left( \frac{g}{\omega^2} \right) = \frac{g}{\omega}$ है।
मान रखने पर: $v_{\max} = \frac{10}{20 \pi} = \frac{1}{2 \pi} \ m/s$।

(C) $S.H.M.$ के लिए,अधिकतम वेग $\alpha = A \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
इससे,हमें $\omega = \frac{\alpha}{A}$ प्राप्त होता है ... $(i)$
अधिकतम त्वरण $\beta = A \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण $(i)$ से $\omega$ का मान त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$\beta = A \left( \frac{\alpha}{A} \right)^2 = A \left( \frac{\alpha^2}{A^2} \right) = \frac{\alpha^2}{A}$
आयाम $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A = \frac{\alpha^2}{\beta}$ प्राप्त होता है।
$S.H.M.$ में कण की पथ लंबाई दो चरम स्थितियों के बीच की कुल दूरी के बराबर होती है,जो $2A$ है।
अतः,पथ लंबाई $= 2A = \frac{2 \alpha^2}{\beta}$.

(C) माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है, जिसे $v_{\max} = A\omega$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ $A = 4 \,cm$ और $v_{\max} = 12 \,cm/s$ दिया गया है।
अतः, $\omega = \frac{v_{\max}}{A} = \frac{12}{4} = 3 \,rad/s$.
किसी भी विस्थापन $x$ पर वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$.
$x$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $x^2 = A^2 - \frac{v^2}{\omega^2}$.
$A = 4$, $v = 6$ और $\omega = 3$ का मान रखने पर:
$x^2 = 4^2 - \frac{6^2}{3^2} = 16 - \frac{36}{9} = 16 - 4 = 12$.
अतः, $x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \,cm$.

(A) दिया गया है: विस्थापन $Y = A \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ cm = 0.2\sqrt{3} \ m$.
आयाम $A = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - Y^2)$.
मान रखने पर: $200 = \frac{1}{2} k((0.4)^2 - (0.2\sqrt{3})^2)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.16 - 0.12)$.
$200 = \frac{1}{2} k(0.04)$.
$200 = k(0.02)$.
$k = \frac{200}{0.02} = 10000 \ N/m = 1 \times 10^4 \ N/m$.
$1 \times 10^x \ N/m$ से तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(C) सरल आवर्त गति $(SHM)$ में,विस्थापन $x$ पर वेग $V$ का सूत्र $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ होता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ --- $(1)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{A^2 - x_1^2}{A^2 - x_2^2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$V_1^2(A^2 - x_2^2) = V_2^2(A^2 - x_1^2)$
$V_1^2 A^2 - V_1^2 x_2^2 = V_2^2 A^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$A^2(V_1^2 - V_2^2) = V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2$
$A^2 = \frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}$
वर्गमूल लेने पर,आयाम प्राप्त होता है:
$A = \sqrt{\frac{V_1^2 x_2^2 - V_2^2 x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(C) दिया गया है:
- प्रारंभिक अधिकतम वेग $V = A\omega$ है।
- आयाम दोगुना हो जाता है: $A' = 2A$।
- आवर्तकाल एक-तिहाई हो जाता है: $T' = \frac{T}{3}$।
चरण $1$: नई कोणीय आवृत्ति $\omega'$ की गणना करें।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,नई कोणीय आवृत्ति है:
$\omega' = \frac{2\pi}{T'} = \frac{2\pi}{T/3} = 3 \left(\frac{2\pi}{T}\right) = 3\omega$।
चरण $2$: नए अधिकतम वेग $V'$ की गणना करें।
अधिकतम वेग का सूत्र $V_{\max} = A\omega$ है।
$V' = A' \omega' = (2A)(3\omega) = 6(A\omega)$।
चूंकि $V = A\omega$,हमें प्राप्त होता है:
$V' = 6V$।

(D) मान लीजिए कि दो क्षणों पर कण की स्थितियाँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
$SHM$ में त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है। परिमाणों पर विचार करते हुए,$a_1 = \omega^2 |x_1|$ और $a_2 = \omega^2 |x_2|$ है।
$SHM$ में वेग $v^2 = \omega^2 (A^2 - x^2)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले क्षण के लिए: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
दूसरे क्षण के लिए: $V^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$ . . . $(iii)$
त्वरण समीकरणों से: $a_2 - a_1 = \omega^2 (x_2 - x_1)$ (मानते हुए कि $x_2 > x_1$)।
हालाँकि,स्थितियों के बीच की दूरी $|x_2 - x_1|$ है।
$a_1 = \omega^2 x_1$ और $a_2 = \omega^2 x_2$ का उपयोग करने पर,हमें $x_1 = a_1/\omega^2$ और $x_2 = a_2/\omega^2$ प्राप्त होता है।
वेग अंतर में मान रखने पर: $u^2 - V^2 = \omega^2 (x_2^2 - x_1^2) = \omega^2 (a_2^2/\omega^4 - a_1^2/\omega^4) = \frac{1}{\omega^2} (a_2^2 - a_1^2)$।
इसका अर्थ है $\omega^2 = \frac{a_2^2 - a_1^2}{u^2 - V^2}$।
दूरी $d = |x_2 - x_1| = |\frac{a_2 - a_1}{\omega^2}| = |\frac{a_2 - a_1}{(a_2^2 - a_1^2)/(u^2 - V^2)}| = |\frac{u^2 - V^2}{a_2 + a_1}|$।
अतः,दूरी $\frac{u^2 - V^2}{a_1 + a_2}$ है।

(B) $S.H.M.$ कर रहे कण की माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर चाल $V$ को सूत्र $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ और विस्थापन $x = \frac{a}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - (\frac{a}{3})^2}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{8 a^2}{9}}$
$V = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$
$V = \frac{4 \sqrt{2} \pi a}{3 T}$

(D) दी गई तरंग का समीकरण $Y = 3 \sin 2 \pi \left( \frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.01} \right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $Y = A \sin 2 \pi \left( ft - \frac{x}{\lambda} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें आवृत्ति $f = \frac{1}{0.04} = 25 \ Hz$ प्राप्त होती है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 25 = 50 \pi \ rad/s$ है।
अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ का सूत्र $a_{\max} = \omega^2 A$ है।
मान रखने पर: $a_{\max} = (50 \pi)^2 \times 3 = 2500 \times \pi^2 \times 3$.
दिया गया है कि $\pi^2 = 10$,इसलिए $a_{\max} = 2500 \times 10 \times 3 = 75000 \ cm/s^2 = 7.5 \times 10^4 \ cm/s^2$.

(C) $S.H.M.$ में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम वेग $V_{\max} = \omega A$ है।
दिया गया है कि चाल $V = \frac{V_{\max}}{3} = \frac{\omega A}{3}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{\omega A}{3} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{A^2}{9} = A^2 - x^2$।
$x^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 = A^2 - \frac{A^2}{9} = \frac{8A^2}{9}$।
वर्गमूल लेने पर: $x = \sqrt{\frac{8}{9} A^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} A$।

(A) मान लीजिए कि दो क्षणों पर कण की स्थितियाँ $x_1$ और $x_2$ हैं।
$S.H.M.$ में,त्वरण $a = -\omega^2 x$ होता है। परिमाणों पर विचार करने पर,$\alpha = \omega^2 |x_1|$ और $\beta = \omega^2 |x_2|$.
अतः,$|x_1| = \frac{\alpha}{\omega^2}$ और $|x_2| = \frac{\beta}{\omega^2}$.
$S.H.M.$ में वेग $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ द्वारा दिया जाता है।
पहले क्षण के लिए: $u^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_1^2$ . . . $(i)$
दूसरे क्षण के लिए: $v^2 = \omega^2 A^2 - \omega^2 x_2^2$ . . . $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2) = \omega^2(x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$.
चूंकि $\alpha = \omega^2 x_1$ और $\beta = \omega^2 x_2$,हमारे पास $\alpha + \beta = \omega^2(x_1 + x_2)$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $u^2 - v^2 = \omega^2(x_2 - x_1) \cdot \frac{\alpha + \beta}{\omega^2}$.
इसलिए,दोनों स्थितियों के बीच की दूरी $|x_2 - x_1| = \frac{u^2 - v^2}{\alpha + \beta}$ है।

(A) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की लंबाई है और $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
जब निलंबन बिंदु '$a$' त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करता है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g + a}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g + a > g$ है,इसलिए हर (denominator) का मान बढ़ जाता है,जिसके कारण मूल आवर्तकाल $T$ की तुलना में नया आवर्तकाल $T'$ घट जाता है।

(C) तनी हुई डोरी की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,आवृत्ति $n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}$ है।
जब तनाव को $44\%$ बढ़ाया जाता है,तो नया तनाव $T_2 = T_1 + 0.44T_1 = 1.44T_1$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
$n_2$ और $n_1$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{1.44T_1}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T_1}{\mu}}} = \sqrt{\frac{1.44T_1}{T_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
$1.2$ को भिन्न में बदलने पर,हमें $1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_2:n_1$ का अनुपात $6:5$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{l}$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1$ है और लंबाई $l_1$ है,और अंतिम आवर्तकाल $T_2$ है और लंबाई $l_2$ है।
हम आवर्तकाल को दोगुना करना चाहते हैं,इसलिए $T_2 = 2 T_1$ होगा।
अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
$T_2 = 2 T_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{l_2}{l_1} \Rightarrow l_2 = 4 l_1$
अतः,सरल लोलक का आवर्तकाल तब दोगुना हो जाता है जब उसकी लंबाई मूल लंबाई की चार गुनी कर दी जाती है।

(C) एक सरल लोलक के लिए,आवर्तकाल का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ होता है।
अतः,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}$ और $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T_1^2 = 4 \pi^2 \frac{l_1}{g}$ और $T_2^2 = 4 \pi^2 \frac{l_2}{g}$ प्राप्त होता है।
इससे,हम लंबाई को $l_1 = \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2}$ और $l_2 = \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अब,$(l_1 - l_2)$ लंबाई के लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1 - l_2}{g}}$ होगा।
$l_1$ और $l_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{g} \left( \frac{T_1^2 g}{4 \pi^2} - \frac{T_2^2 g}{4 \pi^2} \right)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{g}{g \cdot 4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{4 \pi^2} (T_1^2 - T_2^2)}$.
$T = 2 \pi \cdot \frac{1}{2 \pi} \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.
$T = \sqrt{T_1^2 - T_2^2}$.

(D) $S.H.M.$ में वेग के लिए समीकरण दिया गया है: $4V^2 = 50 - x^2$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$V^2 = \frac{1}{4}(50 - x^2) = \frac{1}{4}(50 - x^2)$ प्राप्त होता है।
इसे मानक $S.H.M.$ वेग समीकरण $V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए समीकरण को $V^2 = \frac{1}{4} \cdot 50 - \frac{1}{4}x^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $\omega^2 = \frac{1}{4}$,इसलिए $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ है।
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,$T = 4 \times \frac{22}{7} = \frac{88}{7} \text{ सेकंड}$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए आवर्तकाल $\frac{x}{7}$ के साथ तुलना करने पर,$x = 88$ प्राप्त होता है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि आवर्तकाल $T$ लंबाई $l$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $T \propto \sqrt{l}$।
सरल लोलक का आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान,आकार या घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ और प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
मान लीजिए नई लंबाई $l_2$ और नया आवर्तकाल $T_2 = 2T$ है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{l}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{2T}{T} = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$।
$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{l_2}{l}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई लंबाई $l_2 = 4l$ है।

(B) $S.H.M.$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_1 = 3 \ cm$ के लिए,$v_1 = 8 \ cm/s$: $8 = \omega \sqrt{A^2 - 3^2} \implies 8 = \omega \sqrt{A^2 - 9}$ ... $(i)$
$x_2 = 4 \ cm$ के लिए,$v_2 = 6 \ cm/s$: $6 = \omega \sqrt{A^2 - 4^2} \implies 6 = \omega \sqrt{A^2 - 16}$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{8}{6} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}} \implies \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{A^2 - 9}}{\sqrt{A^2 - 16}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{16}{9} = \frac{A^2 - 9}{A^2 - 16} \implies 16(A^2 - 16) = 9(A^2 - 9)$
$16A^2 - 256 = 9A^2 - 81 \implies 7A^2 = 175 \implies A^2 = 25 \ cm^2$.
$A^2 = 25$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$6 = \omega \sqrt{25 - 16} = \omega \sqrt{9} = 3\omega \implies \omega = 2 \ rad/s$.
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi \ s$ प्राप्त होता है।

(B) साम्यावस्था से शुरू होने वाले $S.H.M.$ कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
कण का वेग $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t) \dots (i)$ है।
दिया गया है: $v = \pi \ m/s$,$T = 12 \ s$,और $t = 2 \ s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6} \ rad/s$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{6} \times 2\right)$
$\pi = A \times \frac{\pi}{6} \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5 = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$1 = \frac{A}{6} \times \frac{1}{2}$
$1 = \frac{A}{12}$
$A = 12 \ m$.

(D) तैरती हुई वस्तु के छोटे ऊर्ध्वाधर दोलनों के लिए $S.H.M.$ का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ द्रव में डूबी हुई वस्तु की गहराई है।
तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए लकड़ी का आयतन $V = a \times b \times c$ है।
लकड़ी का द्रव्यमान $= V \times d \times \rho_w = (abc) \times d \times \rho_w$ (जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है)।
विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = b \times c \times h'$.
विस्थापित पानी का भार $= (bc h') \times \rho_w \times g$.
दोनों को बराबर करने पर: $(abc) \times d \times \rho_w \times g = (bc h') \times \rho_w \times g$.
$h'$ के लिए हल करने पर,हमें $h' = ad$ प्राप्त होता है।
इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{ad}{g}}$।

(D) सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) में एक कण का अधिकतम वेग $(V_{\max})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{\max} = A \omega$,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 7 \ mm = 7 \times 10^{-3} \ m$,अधिकतम वेग $V_{\max} = 4.4 \ ms^{-1}$,और $\pi = \frac{22}{7}$.
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{2 \times 22/7}{T}\right)$.
व्यंजक को सरल करने पर: $4.4 = (7 \times 10^{-3}) \times \left(\frac{44}{7T}\right)$.
$4.4 = \frac{44 \times 10^{-3}}{T}$.
$T = \frac{44 \times 10^{-3}}{4.4} = 10 \times 10^{-3} = 0.01 \ s$.

(C) वस्तु के प्लेटफॉर्म पर बने रहने के लिए, अभिलंब बल $N$ शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। $m$ द्रव्यमान की वस्तु के लिए गति का समीकरण $mg - N = ma$ है, जहाँ $a$ प्लेटफॉर्म का त्वरण है।
वस्तु के सतह से संपर्क खोने के लिए, अभिलंब बल $N = 0$ हो जाता है।
अतः, $mg = ma$, जिसका अर्थ है $a = g$।
$S.H.M.$ में कण का त्वरण $a = A\omega^2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
अलग होने से बचने के लिए, प्लेटफॉर्म का अधिकतम नीचे की ओर त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
इसलिए, $A\omega^2 \leq g$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $A = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$:
$0.4 \omega^2 = 10$
$\omega^2 = \frac{10}{0.4} = 25$
$\omega = 5 \text{ rad/s}$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, हमारे पास है:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5} = 0.4\pi \text{ s}$।
अतः, दोलन का न्यूनतम आवर्तकाल $0.4\pi \text{ s}$ है।

(B) कण की गति का दिया गया समीकरण $a = -bx$ है।
इसे सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{b}$।
$SHM$ का आवर्त काल $T$ सूत्र $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{b}}$ प्राप्त होता है।

(C) $S.H.M.$ में माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्तों के लिए:
$V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_1^2)$ $(i)$
$V_2^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2)$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर:
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(A^2 - x_2^2 - A^2 + x_1^2)$
$V_2^2 - V_1^2 = \omega^2(x_1^2 - x_2^2)$
$\omega^2 = \frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}$
$\omega = \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$
चूंकि आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi}$ होती है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{V_2^2 - V_1^2}{x_1^2 - x_2^2}}$

(B) कोणीय संवेग $L$ को सूत्र $L = I \omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
एक ठोस गोले के लिए,उसकी घूर्णन अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
घूर्णन काल $T$ के पदों में कोणीय वेग $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होता है।
इन मानों को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = I \omega = \left( \frac{2}{5} MR^2 \right) \left( \frac{2 \pi}{T} \right)$.
अतः,$L = \frac{4 \pi MR^2}{5 T}$।

(A) घूर्णन करती वस्तु का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ होती है।
हम $L$ को $K$ और $\omega$ के पदों में $L = \frac{2K}{\omega}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी दोगुना हो जाता है। मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $(L_1, K_1, \omega_1)$ है और अंतिम स्थिति $(L_2, K_2, \omega_2)$ है।
हमें $K_2 = \frac{K_1}{2}$ और $\omega_2 = 2\omega_1$ दिया गया है।
संबंध $\frac{L_2}{L_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{L_2}{L} = \frac{K_1/2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(B) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_1 \omega_1$,जहाँ $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ और $\omega_1 = \omega$ है।
अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{\text{disc1}} + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{3}) R^2 = \frac{1}{2} R^2 (M + \frac{M}{3}) = \frac{1}{2} R^2 (\frac{4M}{3}) = \frac{2}{3} M R^2$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ है।
मान रखने पर: $(\frac{1}{2} M R^2) \omega = (\frac{2}{3} M R^2) \omega_2$।
$\omega_2$ के लिए हल करने पर: $\omega_2 = \frac{1/2}{2/3} \omega = \frac{3}{4} \omega$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान का एक कण जो $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ वेग से गति कर रहा है,उसका कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम वेग को $v = \frac{L}{mr}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
वेग $v$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L^2}{m} = Fr^3$ प्राप्त होता है।

(A) घूर्णन गति में एक कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ होता है।
कोणीय संवेग $L$ को $L = I \omega$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $L^2 = I^2 \omega^2$।
गतिज ऊर्जा के समीकरण में $\omega^2 = \frac{L^2}{I^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{2} I \left( \frac{L^2}{I^2} \right) = \frac{L^2}{2I}$ प्राप्त होता है।
'$r$' त्रिज्या के वृत्त में गति कर रहे '$m$' द्रव्यमान के कण के लिए,केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = mr^2$ होता है।
गतिज ऊर्जा के व्यंजक में $I = mr^2$ रखने पर,हमें $E = \frac{L^2}{2(mr^2)} = \frac{L^2}{2 mr^2}$ प्राप्त होता है।

(C) वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूँकि $I$ स्थिर रहता है,इसलिए $KE \propto \omega^2$ होगा।
कोणीय वेग में $20 \%$ की वृद्धि होने पर,नया कोणीय वेग $\omega_2 = \omega_1 + 0.20 \omega_1 = 1.2 \omega_1$ होगा।
नई गतिज ऊर्जा $(KE_2)$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(KE_1)$ का अनुपात:
$\frac{KE_2}{KE_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = \frac{(1.2 \omega_1)^2}{\omega_1^2} = (1.2)^2 = 1.44$।
अतः,$KE_2 = 1.44 KE_1$।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left( \frac{KE_2 - KE_1}{KE_1} \right) \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$।

(B) वलयाकार रिंग (या खोखली डिस्क) के लिए उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = \frac{1}{2} M(R_1^2 + R_2^2)$
जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$R_1$ आंतरिक त्रिज्या है और $R_2$ बाहरी त्रिज्या है।
दिया गया है:
$M = 10 \ kg$
$R_1 = 5 \ m$
$R_2 = 10 \ m$
मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times 10 \times (5^2 + 10^2)$
$I = 5 \times (25 + 100)$
$I = 5 \times 125 = 625 \ kg \cdot m^2$

(A) ठोस गोले का उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m R^2$ होता है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसकी रिम से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा: $I_{rim} = I_{cm} + m r^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m r^2 = \frac{3}{2} m r^2$ होता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में जड़त्व आघूर्ण समान है $(I_{sphere} = I_{disc})$:
$\frac{2}{5} m R^2 = \frac{3}{2} m r^2$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$.
अतः,$r = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2 R}{\sqrt{15}}$।

(B) दोनों लूप एक ही समान तार से बनाए गए हैं,इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ स्थिर रहेगा।
लूप $P$ का द्रव्यमान $M_P = \lambda \times (2\pi r) = 2\pi r\lambda$ है।
लूप $Q$ का द्रव्यमान $M_Q = \lambda \times (2\pi nr) = 2\pi nr\lambda$ है।
वृत्ताकार लूप का उसकी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = Mr^2$ होता है।
लूप $P$ के लिए,$I_P = M_P r^2 = (2\pi r\lambda) r^2 = 2\pi r^3 \lambda$।
लूप $Q$ के लिए,$I_Q = M_Q (nr)^2 = (2\pi nr\lambda) (nr)^2 = 2\pi n^3 r^3 \lambda$।
दिया गया है कि $I_Q = 4 I_P$,अतः:
$2\pi n^3 r^3 \lambda = 4 \times (2\pi r^3 \lambda)$।
$n^3 = 4$।
$n = (4)^{1/3} = (2^2)^{1/3} = (2)^{2/3}$।

(A) मान लीजिए कि वृत्ताकार डिस्क और वृत्ताकार वलय दोनों का द्रव्यमान $M$ और त्रिज्या $R$ है।
वृत्ताकार डिस्क के लिए,इसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
यदि $K_d$ डिस्क की घूर्णन त्रिज्या है,तो $I_d = MK_d^2$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,$MK_d^2 = \frac{1}{2} MR^2$,जिससे $K_d = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार वलय के लिए,इसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_r = MR^2$ होता है।
यदि $K_r$ वलय की घूर्णन त्रिज्या है,तो $I_r = MK_r^2$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,$MK_r^2 = MR^2$,जिससे $K_r = R$ प्राप्त होता है।
डिस्क और वलय की घूर्णन त्रिज्या का अनुपात $\frac{K_d}{K_r} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(C) लूप (रिंग) का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$I_A = M_1 R_1^2$ और $I_B = M_2 R_2^2$ ... $(i)$
चूंकि लूप एक समान तार से बने हैं,द्रव्यमान $M$ परिधि $(2 \pi R)$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है। तब $M_1 = 2 \pi R_1 m$ और $M_2 = 2 \pi R_2 m$ होगा।
इसलिए,$\frac{M_1}{M_2} = \frac{R_1}{R_2}$ ... (ii)
जड़त्व आघूर्ण के अनुपात में (ii) को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right) \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दिया गया है कि $\frac{I_A}{I_B} = 27$,इसलिए $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = 27$ है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$\frac{R_1}{R_2} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1}{3}$।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए,उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_D)$ है:
$I_D = \frac{MR^2}{4}$
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली रिंग के लिए,उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I_T)$ समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके निकाला जाता है:
$I_T = I_{CM} + MR^2$
चूंकि रिंग का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{CM} = \frac{MR^2}{2}$ होता है,इसलिए:
$I_T = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$
डिस्क के उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण और रिंग के उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण का अनुपात है:
$\frac{I_D}{I_T} = \frac{\frac{MR^2}{4}}{\frac{3}{2} MR^2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$
अतः,अनुपात $1: 6$ है।

(B) द्रव्यमान $=$ आयतन $\times$ घनत्व।
माना द्रव्यमान $M_A$ और $M_B$ हैं,और त्रिज्याएँ $R_A$ और $R_B$ हैं।
चूंकि $M_A = M_B = M$,इसलिए:
$M = \frac{4}{3} \pi R_A^3 \rho_A = \frac{4}{3} \pi R_B^3 \rho_B$।
इससे,$\frac{R_B^3}{R_A^3} = \frac{\rho_A}{\rho_B}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R_B}{R_A} = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3}$।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
अतः,$\frac{I_B}{I_A} = \frac{\frac{2}{5} M R_B^2}{\frac{2}{5} M R_A^2} = \frac{R_B^2}{R_A^2}$।
त्रिज्याओं के अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_B}{I_A} = ((\frac{\rho_A}{\rho_B})^{1/3})^2 = (\frac{\rho_A}{\rho_B})^{2/3}$।

(C) डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M R_d^2$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M$ स्थिर रहता है,हम आयतन की तुलना करते हैं:
$V_{\text{disc}} = V_{\text{sphere}}$
$\pi R_d^2 \times (R_d/8) = \frac{4}{3} \pi R_s^3$
$\frac{R_d^3}{8} = \frac{4}{3} R_s^3 \implies R_s^3 = \frac{3}{32} R_d^3 \implies R_s^2 = \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R_s^2$ है।
$R_s^2$ का मान रखने पर:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} R_d^2$.
चूंकि $M R_d^2 = 2I$,इसलिए:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} (2I) \left(\frac{3}{32}\right)^{2/3} = \frac{4I}{5} \left(\frac{9}{1024}\right)^{1/3} \approx \frac{I}{5}$.

(D) मान लीजिए $I$ वर्गाकार प्लेट का केंद्र '$O$' से गुजरने वाले और प्लेट के तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,प्लेट के तल में स्थित और केंद्र पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो परस्पर लंबवत अक्षों के लिए,उन अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है।
अक्ष $1$ और $2$ (विकर्ण) के लिए,$I = I_1 + I_2$।
अक्ष $3$ और $4$ (मध्य-रेखाएं) के लिए,$I = I_3 + I_4$।
चूंकि प्लेट एक वर्ग है,समरूपता के कारण $I_1 = I_2$ और $I_3 = I_4$ होता है।
इस प्रकार,$I = 2I_1$ और $I = 2I_3$,जिसका अर्थ है कि $I_1 = I_3$।
इसलिए,लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_3$ (या $I_2 + I_4$,या $I_1 + I_4$,आदि) है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $I_1 + I_3$ है।

(A) $x$-अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण तीनों छड़ों के $x$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण का योग है: $I_{\text{total}} = I_x + I_y + I_z$.
$m$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली पतली छड़ के लिए,जब अक्ष एक सिरे से गुजरती है और छड़ के लंबवत होती है,तो जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{mL^2}{3}$ होता है।
$1$. $x$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: चूँकि छड़ $x$-अक्ष पर ही स्थित है,इसलिए $x$-अक्ष से इसकी दूरी शून्य है। अतः,$I_x = 0$.
$2$. $y$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: घूर्णन अक्ष ($x$-अक्ष) छड़ के लंबवत है और एक सिरे से गुजरती है। यहाँ $m = 2M$ है,इसलिए $I_y = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
$3$. $z$-अक्ष पर स्थित छड़ के लिए: इसी प्रकार,$x$-अक्ष इस छड़ के लंबवत है और एक सिरे से गुजरती है। यहाँ $m = 2M$ है,इसलिए $I_z = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$.
कुल जड़त्व आघूर्ण: $I_{\text{total}} = 0 + \frac{2ML^2}{3} + \frac{2ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = E - \phi$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$E_1 = 3\phi$,अतः $K.E_1 = 3\phi - \phi = 2\phi$.
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 9\phi$,अतः $K.E_2 = 9\phi - \phi = 8\phi$.
चूंकि $K.E = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए अनुपात $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{2\phi}{8\phi} = \frac{1}{4} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$.
वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $v_2 = 2v_1$.
यहाँ $v_1 = 6 \times 10^6 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v_2 = 2 \times 6 \times 10^6 = 12 \times 10^6 \ m/s$ होगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E. = h n - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
पहले फोटोकैथोड के लिए: $\frac{1}{2}mV_1^2 = hn_1 - \phi$ $(1)$
दूसरे फोटोकैथोड के लिए: $\frac{1}{2}mV_2^2 = hn_2 - \phi$ $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$\frac{1}{2}mV_1^2 - \frac{1}{2}mV_2^2 = (hn_1 - \phi) - (hn_2 - \phi)$
$\frac{1}{2}m(V_1^2 - V_2^2) = h(n_1 - n_2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \frac{2h}{m}(n_1 - n_2)$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव (stopping potential) $V_0$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $f$ से इस समीकरण द्वारा संबंधित है: $eV_0 = hf - \Phi$,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
ग्राफ से,निरोधी विभव का परिमाण $|V_0^1| < |V_0^2| < |V_0^3| < |V_0^4|$ है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए निरोधी विभव $V_0$ आवृत्ति $f$ के सीधे समानुपाती होता है,इसलिए निरोधी विभव का बड़ा परिमाण आपतित विकिरण की उच्च आवृत्ति के अनुरूप होता है।
अतः,आवृत्तियों का क्रम $f_a > f_b > f_c > f_d$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है: $K_{max} = hv - \phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,हमें $y = K_{max}$,$x = v$,ढाल $m = h$,और अंतःखंड $c = -\phi$ प्राप्त होता है।
चूँकि ढाल $h$ धनात्मक है और अंतःखंड $-\phi$ ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो देहली आवृत्ति $v_0$ (जहाँ $K_{max} = 0$ होता है) से शुरू होती है और आवृत्ति $v$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
यह ग्राफ $(1)$ के अनुरूप है।

(C) प्रकाश-धारा आपतित फोटॉन की आवृत्ति से स्वतंत्र होती है,बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो।
हालाँकि,जब आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ती है,तो प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित होने वाले फोटॉनों की संख्या बढ़ जाती है।
इससे धातु की सतह से उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या में वृद्धि होती है,जिससे प्रकाश-धारा बढ़ जाती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ होती है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0 \implies E_1 \lambda_1 = hc - W_0 \lambda_1 \implies hc = E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1$ ... $(i)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0 \implies E_2 \lambda_2 = hc - W_0 \lambda_2 \implies hc = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$E_1 \lambda_1 + W_0 \lambda_1 = E_2 \lambda_2 + W_0 \lambda_2$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 \lambda_2 - W_0 \lambda_1$
$E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2 = W_0 (\lambda_2 - \lambda_1)$
$W_0 = \frac{E_1 \lambda_1 - E_2 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(C) आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
पहले मामले के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$E_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
दूसरे मामले के लिए तरंगदैर्ध्य $\frac{\lambda}{2}$ है:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... (ii)
दिया गया है कि $E_1 = \frac{1}{4} E_2$,जिसका अर्थ है $4E_1 = E_2$ ... (iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को (iii) में रखने पर:
$4\left(\frac{hc}{\lambda} - \phi\right) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - 4\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{4hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 4\phi - \phi$
$\frac{2hc}{\lambda} = 3\phi$
$\phi = \frac{2hc}{3\lambda}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है,और $W_0$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि निरोधी विभव $V_s$ अधिकतम गतिज ऊर्जा से $eV_s = K_{max}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $eV_s = hv - W_0$ होगा।
$V_s$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $V_s = \frac{h}{e}v - \frac{W_0}{e}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि निरोधी विभव $V_s$ आपतित विकिरण की आवृत्ति $v$ के सीधे समानुपाती है।
इसलिए,यदि आवृत्ति $v$ को बढ़ाया जाता है,तो निरोधी विभव $V_s$ भी बढ़ेगा।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
पहले मामले के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है:
$K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$
दूसरे मामले के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda / 3$ है:
$K_2 = \frac{hc}{\lambda / 3} - \phi = \frac{3hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$
दिया गया है कि $K_2 = 4K_1$,मान रखने पर:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = 4 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi \right)$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$\frac{3hc}{\lambda} - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - 4\phi$
$\phi$ के लिए हल करने पर:
$4\phi - \phi = \frac{4hc}{\lambda} - \frac{3hc}{\lambda}$
$3\phi = \frac{hc}{\lambda}$
$\phi = \frac{hc}{3\lambda}$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार है: $K_{max} = h\nu - \Phi_0$,जहाँ $\Phi_0$ कार्य फलन है।
चूंकि $K_{max} = eV_0$,हम लिख सकते हैं: $eV_0 = h\nu - \Phi_0$.
$e$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $V_0 = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\Phi_0}{e}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$,ढाल $(m) = \frac{h}{e}$ है।
ढाल को इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है: $m \times e = (\frac{h}{e}) \times e = h$.
अतः,यह गुणनफल प्लांक नियतांक $(h)$ प्रदान करता है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
पहली स्थिति के लिए,$E_1 = 2\phi_0$,इसलिए $K.E_1 = 2\phi_0 - \phi_0 = \phi_0$.
दूसरी स्थिति के लिए,$E_2 = 3\phi_0$,इसलिए $K.E_2 = 3\phi_0 - \phi_0 = 2\phi_0$.
चूंकि $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{K.E_1}{K.E_2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\phi_0}{2\phi_0} = \frac{1}{2}$.
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$e V_s = h \nu - \Phi_0$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\Phi_0}{e}$
जहाँ $\Phi_0$ कार्य फलन है और $\nu_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है, जिससे $\Phi_0 = h \nu_0$ होता है।
दिए गए ग्राफ से, आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड देहली आवृत्ति $\nu_0$ को दर्शाता है।
चूंकि सतह $A$ के लिए देहली आवृत्ति $\nu_{0,A}$, सतह $B$ के लिए देहली आवृत्ति $\nu_{0,B}$ से कम है ( $\nu_{0,A} < \nu_{0,B}$ ),
इसलिए कार्य फलन $\Phi_{0,A} = h \nu_{0,A}$, कार्य फलन $\Phi_{0,B} = h \nu_{0,B}$ से छोटा है।
अतः, $A$ का कार्य फलन $B$ से छोटा है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए,$h \nu = \phi_0 + KE_{\text{max}}$.
चूंकि $KE_{\text{max}} = eV_s$,हमारे पास है $\frac{hc}{\lambda} = \phi_0 + e(4V_0)$ ....$(i)$
इसी प्रकार,$3\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए,$\frac{hc}{3\lambda} = \phi_0 + eV_0$ ....(ii)
समीकरण (ii) को $4$ से गुणा करने पर:
$\frac{4hc}{3\lambda} = 4\phi_0 + 4eV_0$ ....(iii)
समीकरण (iii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$\frac{4hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = (4\phi_0 + 4eV_0) - (\phi_0 + 4eV_0)$
$\frac{hc}{3\lambda} = 3\phi_0$
$\phi_0 = \frac{hc}{9\lambda}$
चूंकि कार्य फलन $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है,इसलिए हमें $\lambda_0 = 9\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,निरोधी विभव (stopping potential) केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और धातु की सतह के कार्य फलन (work function) पर निर्भर करता है। चूंकि चारों वक्र विभव अक्ष को एक ही बिंदु पर काटते हैं (समान निरोधी विभव),इसलिए चारों विकिरणों की आवृत्ति समान होनी चाहिए। अतः,$f_a = f_b = f_c = f_d$ है।
संतृप्ति फोटोकरंट आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होता है। ग्राफ से,संतृप्ति धारा के मान $I_a < I_b < I_c < I_d$ हैं। इसलिए,तीव्रताएं भी इसी क्रम में होंगी: $I_a < I_b < I_c < I_d$।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में निरोधी विभव $(V_0)$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है, जो आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_0 = h\nu - \Phi$ के अनुसार केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु के कार्य फलन पर निर्भर करता है।
प्रकाश के बिंदु स्रोत को दूर ले जाने से धातु की सतह पर आपतित प्रकाश की तीव्रता बदल जाती है, लेकिन आपतित फोटॉनों की आवृत्ति नहीं बदलती है।
चूंकि निरोधी विभव आपतित प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए यह स्थिर रहेगा।

(A) बल्ब की चमक परिपथ में बहने वाली धारा $I$ पर निर्भर करती है,जहाँ $I = \frac{V}{Z}$ है। $LR$ परिपथ का प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ है। चमक कम होने के लिए,धारा $I$ को कम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z$ को बढ़ना चाहिए।
$1$. जब कुंडली में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो पारगम्यता (permeability) बढ़ने के कारण स्व-प्रेरकत्व $L$ बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,$X_L$ बढ़ता है,$Z$ बढ़ता है,और धारा $I$ कम हो जाती है,जिससे चमक कम हो जाती है।
$2$. यदि आवृत्ति $f$ कम की जाती है,तो $X_L$ कम होता है,$Z$ कम होता है,और धारा $I$ बढ़ती है,जिससे चमक बढ़ जाती है।
$3$. यदि फेरों की संख्या $N$ कम की जाती है,तो $L$ कम होता है (क्योंकि $L \propto N^2$),$X_L$ कम होता है,$Z$ कम होता है,और धारा $I$ बढ़ती है,जिससे चमक बढ़ जाती है।
$4$. संधारित्र जोड़ने से यदि परिपथ अनुनाद (resonance) में आता है तो धारा बढ़ती है,कम नहीं होती।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रेरकत्व (inductor) में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर,$U = \frac{1}{2} \times 1 \times 1^2 = 0.5 \text{ J}$ प्राप्त होता है।
जब परिपथ को तोड़ा जाता है,तो स्पार्किंग को रोकने के लिए यह ऊर्जा संधारित्र में स्थानांतरित हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ होती है।
दोनों ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$।
$C$ के लिए हल करने पर: $C = L \left( \frac{I}{V} \right)^2$।
मान रखने पर: $C = 1 \times \left( \frac{1}{500} \right)^2 = \frac{1}{250000} \text{ F}$।
$C = 4 \times 10^{-6} \text{ F} = 4 \mu \text{ F}$।

(C) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 5 \mu H = 5 \times 10^{-6} \ H$ और धारा $I = 2 \ A$।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (2)^2$।
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 4$।
$U = 10 \times 10^{-6} \ J = 10 \mu J$।

(A) प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है। $A.C.$ परिपथ में धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ के अनुसार बदलती है,इसलिए ऊर्जा $U_B \propto \sin^2(\omega t)$ के अनुसार बदलती है।
ऊर्जा अधिकतम से न्यूनतम मान में आवर्तकाल $T$ के $\frac{1}{4}$ समय में बदलती है।
दिया गया है,$\frac{T}{4} = 5 \ ms = 5 \times 10^{-3} \ s$.
अतः,$T = 20 \times 10^{-3} \ s = 0.02 \ s$.
आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = 50 \ Hz$ होगी।

(D) परिपथ में $L/2$ प्रेरकत्व वाले दो प्रेरक समांतर क्रम में जुड़े हैं,जो श्रेणी क्रम में $3L/4$ प्रेरकत्व वाले एक प्रेरक के साथ जुड़े हैं।
सबसे पहले,समांतर क्रम में जुड़े दो प्रेरकों का तुल्य प्रेरकत्व $L_p$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{L_p} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
$\therefore L_p = \frac{L}{4}$
अब,श्रेणी क्रम में जुड़े प्रेरक को जोड़कर कुल तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ ज्ञात करें:
$L_{eq} = L_p + \frac{3L}{4} = \frac{L}{4} + \frac{3L}{4} = \frac{4L}{4} = L$

(C) प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र है: $E = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है: ऊर्जा $E = 64 \times 10^{-3} \ J$ और धारा $I = 80 \ mA = 80 \times 10^{-3} \ A$।
प्रेरकत्व $L$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $L = \frac{2E}{I^2}$।
मान रखने पर: $L = \frac{2 \times 64 \times 10^{-3}}{(80 \times 10^{-3})^2}$।
$L = \frac{128 \times 10^{-3}}{6400 \times 10^{-6}} = \frac{128 \times 10^{-3}}{6.4 \times 10^{-3}} = \frac{128}{6.4} = 20 \ H$।

(D) कुंडली का प्रेरकत्व उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है $(L \propto l)$।
जब कुंडली को दो समान भागों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक भाग का प्रेरकत्व $L_1 = L_2 = \frac{L}{2}$ होता है।
जब इन दो प्रेरकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L/2} + \frac{1}{L/2} = \frac{2}{L} + \frac{2}{L} = \frac{4}{L}$
अतः,$L_{eq} = \frac{L}{4}$।

(B) दिया गया है: धारा $I = 4 \ A$,फेरों की संख्या $N = 400$,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$.
चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $N\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कुंडली का स्व-प्रेरकत्व है।
सबसे पहले,स्व-प्रेरकत्व $L$ की गणना करें:
$L = \frac{N\phi}{I} = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{4} = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3 \ H$.
प्रेरक में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} LI^2$ है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times (4)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 0.3 \times 16$
$U = 0.3 \times 8 = 2.4 \ J$.

(A) $A.C.$ परिपथ में प्रेरक का प्रतिघात $X_L = \omega L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ $A.C.$ स्रोत की आवृत्ति है।
$D.C.$ स्रोत के लिए,आवृत्ति $f = 0$ होती है।
इसलिए,$D.C.$ परिपथ में प्रेरक प्रतिघात $X_L = 2\pi (0) L = 0$ होता है।
$A.C.$ स्रोत और $D.C.$ स्रोत में प्रतिघात का अनुपात $\frac{X_{L(ac)}}{X_{L(dc)}} = \frac{\omega L}{0} = \infty$ है।

(A) फैराडे के विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -N \frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कुंडली और चुंबक समान दिशा में समान गति $V$ के साथ चल रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग शून्य है।
परिणामस्वरूप,कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ समय के साथ स्थिर रहता है।
इसलिए,$\frac{d\phi}{dt} = 0$.
अतः,प्रेरित e.m.f. शून्य है।

(D) पहली कुंडली में प्रेरित e.m.f. $e_1 = M \frac{dI_2}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $e_1 = 20 \,mV = 20 \times 10^{-3} \,V$ और $\frac{dI_2}{dt} = 10 \,A/s$।
इन मानों को रखने पर, हमें $M = \frac{e_1}{dI_2/dt} = \frac{20 \times 10^{-3}}{10} = 2 \times 10^{-3} \,H$ प्राप्त होता है।
जब पहली कुंडली से $I_1$ धारा प्रवाहित होती है, तो दूसरी कुंडली में फ्लक्स लिंकेज $\phi_2 = M I_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_1 = 3.6 \,A$, इसलिए $\phi_2 = (2 \times 10^{-3} \,H) \times (3.6 \,A) = 7.2 \times 10^{-3} \,Wb$।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित e.m.f. का परिमाण $|e| = N \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $N = 50$, $B_1 = 2 \times 10^{-2} \,T$, $B_2 = 0 \,T$, $A = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$, और $|e| = 0.1 \,V$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = (B_2 - B_1) A \cos 0^{\circ} = (0 - 2 \times 10^{-2}) \times 10^{-2} = -2 \times 10^{-4} \,Wb$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.1 = 50 \times \frac{2 \times 10^{-4}}{t}$.
$t = \frac{50 \times 2 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{100 \times 10^{-4}}{0.1} = \frac{10^{-2}}{10^{-1}} = 0.1 \,s$.

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ का परिमाण $|e| = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ होता है।
चूंकि कुंडली का प्रतिरोध $R$ है,इसलिए प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R} = \left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\right) \frac{1}{R}$ होगी।
परिपथ से गुजरने वाला कुल प्रेरित आवेश $Q = I \times \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,$Q = \left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t} \cdot \frac{1}{R}\right) \times \Delta t = \frac{\Delta \phi}{R}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित धारा $\left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\right) \frac{1}{R}$ है और प्रेरित आवेश $\frac{\Delta \phi}{R}$ है।

(D) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र है: $e = M \frac{dI_1}{dt} \dots (i)$
दिया गया है $I_1 = I_0 \sin \omega t$, समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI_1}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$
इसे समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$e = M I_0 \omega \cos \omega t$
e.m.f. का अधिकतम मान $(e_{max})$ तब होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो:
$e_{max} = M I_0 \omega$
दिए गए मान: $M = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$, $I_0 = 10 \text{ A}$, और $\omega = 100 \pi \text{ rad/s}$.
इन मानों को रखने पर:
$e_{max} = (5 \times 10^{-3}) \times 10 \times 100 \pi$
$e_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 10^3 \pi$
$e_{max} = 5 \pi \text{ V}$

(D) प्राथमिक कुंडली में तात्कालिक धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है。
दिया गया शिखर मान $I_0 = \frac{2}{\pi} \text{ A}$ और आवृत्ति $v = 50 \text{ Hz}$ है。
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi v = 2 \pi(50) = 100 \pi \text{ rad/s}$ है。
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = I_0 \omega \cos(\omega t)$ है。
धारा के परिवर्तन की दर का अधिकतम मान $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = I_0 \omega$ है。
मान रखने पर: $\left(\frac{dI}{dt}\right)_{\text{max}} = \left(\frac{2}{\pi}\right) \times (100 \pi) = 200 \text{ A/s}$。
द्वितीयक कुंडली में प्रेरित e.m.f. $E = M \left|\frac{dI}{dt}\right|$ है,जहाँ $M = 1 \text{ H}$ है。
अतः,प्रेरित शिखर e.m.f. $E_0 = 1 \times 200 = 200 \text{ V}$ है。

(D) प्रेरित विद्युत वाहक बल (e.m.f.) फैराडे के नियम द्वारा $|e| = \frac{d\phi}{dt}$ के रूप में दिया जाता है।
दिया गया है कि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 50t^2 + 7$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $|e| = \frac{d}{dt}(50t^2 + 7) = 100t$ प्राप्त होता है।
$t = 4 \ s$ पर,प्रेरित e.m.f. $|e| = 100(4) = 400 \ V$ होगा।
ओम के नियम के अनुसार कुंडली में धारा $I = \frac{e}{R}$ है।
मान रखने पर,$I = \frac{400 \ V}{250 \ \Omega} = 1.6 \ A$ प्राप्त होता है।

(B) घूमती हुई छड़ में प्रेरित e.m.f. $e$,छड़ द्वारा तय किए गए क्षेत्रफल से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$e = \frac{d\phi}{dt} = B \frac{dA}{dt}$
एक पूर्ण चक्कर में,छड़ $A = \pi l^2$ का क्षेत्रफल तय करती है।
यदि छड़ प्रति सेकंड $f$ चक्कर लगाती है,तो प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल $\frac{dA}{dt} = f \cdot A = f \cdot \pi l^2$ होगा।
इसे e.m.f. के समीकरण में रखने पर:
$e = B \cdot (f \cdot \pi l^2)$
आवृत्ति $f$ (प्रति सेकंड चक्करों की संख्या) के लिए हल करने पर:
$f = \frac{e}{B \pi l^2}$

(A) कोणीय वेग $\omega$ (रेडियन/सेकंड में) $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ प्रति सेकंड चक्कर की आवृत्ति है। चूँकि $F$ r.p.m. में है,इसलिए $f = \frac{F}{60}$.
अतः,$\omega = 2 \pi \frac{F}{60} = \frac{\pi F}{30}$.
केंद्र से $r$ दूरी पर एक छोटा अवयव $dr$ लें। इस अवयव पर प्रेरित गतिक e.m.f. $dE = B v dr = B (r \omega) dr$ है।
$r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करने पर:
$E = \int_{0}^{R} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} = \frac{1}{2} B \omega R^2$.
$\omega = \frac{2 \pi F}{60}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} B \left( \frac{2 \pi F}{60} \right) R^2 = \frac{B \pi F R^2}{60}$.
नोट: यदि $F$ को प्रति सेकंड चक्कर (rps) के रूप में लिया जाए,तो उत्तर $\frac{1}{2} B \pi F R^2$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(B) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = B A \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ के बीच का कोण है।
जब कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,तो कुंडली का अभिलंब चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ होता है।
अतः,चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = B A \cos(0^{\circ}) = B A$ होता है,जो कि अधिकतम मान है।
प्रेरित $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi_B}{dt} = B A \omega \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 0^{\circ}$ पर,$\omega t = 0$ होता है,इसलिए $\varepsilon = B A \omega \sin(0^{\circ}) = 0$ होता है।
इसलिए,चुंबकीय फ्लक्स अधिकतम है और प्रेरित $e.m.f.$ शून्य है।

(B) छड़ के स्थिर सिरे से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का वेग $v = r \omega$ है।
इस छोटे अवयव में प्रेरित गतिकीय e.m.f. $de = B v dr = B (r \omega) dr$ है।
छड़ की पूरी लंबाई पर कुल प्रेरित e.m.f. ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = l$ तक समाकलन करते हैं:
$e = \int_{0}^{l} B \omega r dr$
$e = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l}$
$e = \frac{1}{2} B l^2 \omega = 0.5 B l^2 \omega$.

(A) घूर्णन करती कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = NAB \omega \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रेरित $EMF$ का शिखर मान $e_0 = NAB \omega$ है।
शिखर धारा $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{NAB \omega}{R}$ है।
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P_{av} = \frac{e_0 i_0}{2}$ या $P_{av} = \frac{e_0^2}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
$e_0$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P_{av} = \frac{(NAB \omega)^2}{2R} = \frac{N^2 A^2 B^2 \omega^2}{2R}$.

(B) जब $L$ लंबाई का एक चालक $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $V$ वेग से गति करता है,तो प्रेरित गतिकीय विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ $e = BLV$ होता है।
चूंकि लूप एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रही है,यदि पूरी लूप क्षेत्र के भीतर है तो चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है। हालांकि,यदि लूप क्षेत्र में प्रवेश कर रही है या बाहर निकल रही है,तो क्षेत्र रेखाओं को काटने वाली भुजा पर $e.m.f.$ प्रेरित होता है।
लूप में ऊष्मीय ऊर्जा के उत्पादन की दर (शक्ति) $P = \frac{e^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
$e = BLV$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{(BLV)^2}{R} = \frac{B^2 L^2 V^2}{R}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र है: $e = B \cdot v \cdot l$, जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, $v$ वेग है और $l$ छड़ की लंबाई है।
दिया गया है:
$B = 3.6 \times 10^{-5} \text{ T}$
$v = 2.00 \text{ m/s}$
$l = 2 \text{ m}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = (3.6 \times 10^{-5}) \times 2.00 \times 2$
$e = 14.4 \times 10^{-5} \text{ V}$
$e = 0.144 \times 10^{-3} \text{ V}$
$e = 0.144 \text{ mV}$

(D) डिस्क के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा त्रिज्यीय अवयव (radial element) मानिए।
जैसे ही डिस्क घूमती है,यह अवयव चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत $v = r\omega$ के रैखिक वेग से गति करता है।
इस छोटे अवयव पर प्रेरित गतिक e.m.f. $de = Bv dr = B(r\omega) dr$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र (अक्ष) और रिम (त्रिज्या $R$) के बीच कुल प्रेरित e.m.f. $e$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन (integrate) करते हैं:
$e = \int_{0}^{R} B\omega r dr$
$e = B\omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$
$e = \frac{1}{2} B\omega R^2$.

(A) किसी भी समय $t$ पर कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = N A B \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = N A B \omega \sin(\omega t)$ है।
शिखर $EMF$ $e_0 = N A B \omega$ है।
शिखर धारा $i_0 = \frac{e_0}{R} = \frac{N A B \omega}{R}$ है।
एक पूर्ण चक्र में व्ययित औसत शक्ति $P_{avg} = \frac{1}{2} e_0 i_0$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$P_{avg} = \frac{1}{2} (N A B \omega) \left( \frac{N A B \omega}{R} \right) = \frac{N^2 A^2 B^2 \omega^2}{2 R}$.

(A) एक इंडक्टर से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$,$\phi = LI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ इंडक्टर का स्व-प्रेरकत्व है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ से करने पर,जहाँ $y = \phi$ और $x = I$,हमें ढाल $m = L$ प्राप्त होता है।
चूँकि ग्राफ की ढाल स्व-प्रेरकत्व $L$ को दर्शाती है,इसलिए जिस इंडक्टर की ढाल सबसे कम होगी,उसका स्व-प्रेरकत्व सबसे कम होगा।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $D$ धारा अक्ष ($I$-अक्ष) के साथ सबसे छोटा कोण बनाती है,जिसका अर्थ है कि इसकी ढाल सबसे कम है।
अतः,इंडक्टर $D$ का स्व-प्रेरकत्व सबसे कम है।

(A) स्वप्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{N \phi}{i}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$\phi$ प्रति फेरा चुंबकीय फ्लक्स है और $i$ धारा है।
दिया गया है:
$N = 400$
$\phi = 3 \times 10^{-3} \ Wb$
$i = 0.5 \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$L = \frac{400 \times 3 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1200 \times 10^{-3}}{0.5}$
$L = \frac{1.2}{0.5} = 2.4 \ H$
अतः,परिनालिका का स्वप्रेरकत्व $2.4 \ H$ है।

(D) $r_1$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा ले जाने वाली वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि छल्ले संकेंद्रित और समतलीय हैं,चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे छल्ले (त्रिज्या $r_2$) के क्षेत्रफल पर समान रहता है।
छोटे छल्ले से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_2$ है,जहाँ $A_2 = \pi r_2^2$ छोटे छल्ले का क्षेत्रफल है।
$\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times \pi r_2^2 = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$.
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,$M = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$।

(C) $L_1$ और $L_2$ स्व-प्रेरकत्व वाली दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ का सूत्र $M = k \sqrt{L_1 L_2}$ है,जहाँ $k$ युग्मन गुणांक है।
चूंकि एक कुंडली का फ्लक्स दूसरी कुंडली के साथ पूरी तरह से जुड़ा हुआ है,इसलिए युग्मन पूर्ण है,जिसका अर्थ है $k = 1$ है।
दिया गया है: $L_1 = 25 \ mH$ और $L_2 = 9 \ mH$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$M = \sqrt{25 \ mH \times 9 \ mH} = \sqrt{225 \ mH^2} = 15 \ mH$।

(B) दूसरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र है: $|e_s| = M \left| \frac{dI_p}{dt} \right|$.
दिया गया है $I_p = I_0 \sin \omega t$, समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dI_p}{dt} = I_0 \omega \cos \omega t$.
इस मान को e.m.f. के समीकरण में रखने पर:
$|e_s| = M I_0 \omega \cos \omega t$.
e.m.f. का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos \omega t = 1$ हो:
$|e_s|_{\max} = M I_0 \omega$.
दिए गए मान $M = 0.003 \ H$, $I_0 = 8 \ A$, और $\omega = 100 \pi \ rad \ s^{-1}$ रखने पर:
$|e_s|_{\max} = 0.003 \times 8 \times 100 \pi = 2.4 \pi \ V$.

(D) $r_1$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप जिसके केंद्र पर $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,उसके कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ होता है।
चूंकि $r_2 \ll r_1$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ छोटे लूप के क्षेत्रफल पर लगभग एकसमान रहता है।
छोटे लूप के साथ जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \times A_2$ है,जहाँ $A_2 = \pi r_2^2$ छोटे लूप का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,हमें $\phi = \left( \frac{\mu_0 I}{2 r_1} \right) \times (\pi r_2^2) = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1} I$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरण $M$ को $\phi = M I$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 \pi r_2^2}{2 r_1}$।

(A) म्यूचुअल इंडक्शन के कारण सेकेंडरी कुंडली में प्रेरित e.m.f. का सूत्र इस प्रकार है:
$e_s = M \cdot \frac{dI_p}{dt}$
जहाँ:
$M = 2 \ H$ (म्यूचुअल इंडक्शन का गुणांक)
$e_s = 2 \ kV = 2 \times 10^3 \ V$
$dI_p = 6 \ A - 3 \ A = 3 \ A$
समय $(dt)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$dt = M \cdot \frac{dI_p}{e_s}$
मान रखने पर:
$dt = 2 \times \frac{3}{2 \times 10^3} \ s$
$dt = 3 \times 10^{-3} \ s$

(A) एक परिनालिका (solenoid) का स्व-प्रेरकत्व $L$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
जहाँ $N$ फेरों की कुल संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ कुंडली की लंबाई है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि जब $A$ और $l$ स्थिर रहते हैं,तो $L \propto N^2$ होता है।
यह दिया गया है कि फेरों की संख्या को दोगुना कर दिया गया है,अर्थात $N_2 = 2N_1$।
इसलिए,नया स्व-प्रेरकत्व $L_2$ होगा:
$L_2 = L_1 \times \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$
$L_2 = L_1 \times (2)^2$
$L_2 = 4 L_1$
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का $4$ गुना हो जाता है।

(A) दिया गया है: $N = 100$, $A = 1 \,cm^2 = 1 \times 10^{-4} \,m^2$, $L = 1 \,mH = 1 \times 10^{-3} \,H$, और $I = 2 \,A$।
सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l$ कुंडली की लंबाई है।
इससे, लंबाई $l$ होगी:
$l = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (100)^2 \times (1 \times 10^{-4})}{1 \times 10^{-3}} = 4 \pi \times 10^{-3} \,m$।
सोलेनोइड के केंद्र में चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{\mu_0 N I}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
$l$ का मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 100 \times 2}{4 \pi \times 10^{-3}} = 10^{-7} \times 200 \times 10^3 = 0.2 \,Wb/m^2$।

(C) परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
चूंकि $L \propto n^2$,यदि प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ को तीन गुना $(n' = 3n)$ कर दिया जाए,तो नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ होगा:
$L' = \mu_0 (3n)^2 A l = 9 (\mu_0 n^2 A l) = 9L$.
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का $9$ गुना हो जाएगा।