MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = \frac{2}{5} MR^2$ ... $(i)$
$M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली ठोस डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} Mr^2$ होता है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,उसके किनारे से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:
$I = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2} Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2} Mr^2$ ... (ii)
चूंकि गोले को डिस्क में ढाला गया है,इसलिए द्रव्यमान $M$ समान रहेगा। समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{2}{5} MR^2 = \frac{3}{2} Mr^2$
$\frac{r^2}{R^2} = \frac{2 \times 2}{5 \times 3} = \frac{4}{15}$
$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{4}{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$

(B) समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{CM}$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$M$ डिस्क का द्रव्यमान है,और $d$ द्रव्यमान केंद्र से अक्ष की लंबवत दूरी है।
चूंकि डिस्क के लिए $I_{CM}$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए जड़त्व आघूर्ण $I$,द्रव्यमान केंद्र $(A)$ से दूरी $d$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक है।
द्रव्यमान केंद्र $A$ से बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ की दूरियों की तुलना करने पर:
- बिंदु $A$ के लिए,$d = 0$ है।
- बिंदु $B$ के लिए,$d = R$ (डिस्क की त्रिज्या) है।
- बिंदु $C$ के लिए,$d < R$ है।
- बिंदु $D$ के लिए,$d < R$ है।
चूंकि बिंदु $B$ द्रव्यमान केंद्र से अधिकतम दूरी $(d = R)$ पर है,इसलिए बिंदु $B$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होगा।

(A) डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{2}$ है।
समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I_{axis} = I_{cm} + Mh^2$ होता है।
रिम को स्पर्श करने वाली अक्ष के लिए,केंद्र से दूरी $h = R$ है। इसलिए,जड़त्व आघूर्ण $I_1$ होगा:
$I_1 = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$.
केंद्र और रिम के बीच के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के लिए,केंद्र से दूरी $h = R/2$ है। इसलिए,जड़त्व आघूर्ण $I_2$ होगा:
$I_2 = \frac{MR^2}{2} + M(R/2)^2 = \frac{MR^2}{2} + \frac{MR^2}{4} = \frac{3}{4} MR^2$.
दोनों जड़त्व आघूर्णों का अनुपात है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{3}{2} MR^2}{\frac{3}{4} MR^2} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) वर्ग के केंद्र $O$ से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः वर्गाकार फ्रेम का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक छड़ के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं।
$M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की एक छड़ के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसकी लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{ML^2}{12}$ होता है।
वर्ग के केंद्र से प्रत्येक छड़ के केंद्र की दूरी $d = \frac{L}{2}$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,वर्ग के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः एक छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ है।
चूंकि ऐसी चार छड़ें हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{ML^2}{3} = \frac{4ML^2}{3}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि तीन छड़ें $1$,$2$ और $3$ क्रमशः $X$,$Y$ और $Z$ अक्षों के अनुदिश रखी गई हैं।
$1$. $X$ अक्ष के अनुदिश छड़ $1$ का $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: चूंकि छड़ $X$ अक्ष पर स्थित है,$Z$ अक्ष से इसकी दूरी $0$ से $L$ तक बदलती है। एक सिरे से गुजरने वाली और छड़ के लंबवत अक्ष के परितः $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{3}$ होता है। अतः,$I_1 = \frac{ML^2}{3}$।
$2$. $Y$ अक्ष के अनुदिश छड़ $2$ का $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: इसी प्रकार,छड़ $Y$ अक्ष पर स्थित है और $Z$ अक्ष मूल बिंदु पर इसके लंबवत है। अतः,$I_2 = \frac{ML^2}{3}$।
$3$. $Z$ अक्ष के अनुदिश छड़ $3$ का $Z$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ स्वयं $Z$ अक्ष पर स्थित है। इसलिए,छड़ का प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $Z$ अक्ष से $0$ दूरी पर है। अतः,$I_3 = 0$।
कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2 ML^2}{3}$।

(C) $m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार डिस्क के व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$ का सूत्र है: $I = \frac{1}{4} m R^2$।
घूर्णन त्रिज्या $(k)$ को संबंध $I = m k^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $k = \sqrt{\frac{I}{m}}$।
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $k = \sqrt{\frac{\frac{1}{4} m R^2}{m}} = \sqrt{\frac{R^2}{4}} = \frac{R}{2}$।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले लूप का जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप एक ही सामग्री से बने हैं,मान लीजिए $\lambda$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
लूप का द्रव्यमान $M = \lambda \cdot (2\pi R)$ होता है।
इस मान को $I$ के व्यंजक में रखने पर:
$I = (\lambda \cdot 2\pi R) \cdot R^2 = 2\pi\lambda R^3$.
अतः,$I \propto R^3$.
इसलिए,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{I_P}{I_Q} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दिया गया है कि $\frac{I_P}{I_Q} = 27$,इसलिए:
$27 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{27} = 3$.
अतः,अनुपात $R_1 / R_2$ का मान $3:1$ है।

(B) माना कि पतले गोलीय कोश और ठोस गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः $R_1$ और $R_2$ हैं।
पतले गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{shell}} = \frac{2}{3} MR_1^2$ ... $(i)$
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_2^2$ ... (ii)
दिया गया है कि दोनों पिंडों के द्रव्यमान $(M)$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ समान हैं,इसलिए समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3} MR_1^2 = \frac{2}{5} MR_2^2$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं,जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान $m$ है। अक्ष शीर्ष $A$ से गुजरती है और भुजा $BC$ के समानांतर है।
कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$,$I = \sum mr^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ अक्ष से प्रत्येक द्रव्यमान की लंबवत दूरी है।
$1$. शीर्ष $A$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष पर ही स्थित है,इसलिए इसकी लंबवत दूरी $r_A = 0$ है। अतः,जड़त्व आघूर्ण में इसका योगदान $m(0)^2 = 0$ है।
$2$. शीर्ष $B$ और $C$ पर स्थित द्रव्यमान अक्ष से $h$ की लंबवत दूरी पर हैं। $L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज में,ऊँचाई $h = L \sin 60^{\circ} = L \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ होती है।
$3$. कुल जड़त्व आघूर्ण $I$ तीनों द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्णों का योग है:
$I = m(r_A)^2 + m(r_B)^2 + m(r_C)^2$
$I = 0 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$
$h$ का मान रखने पर:
$I = 2m \left( L \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
$I = 2m \left( \frac{3L^2}{4} \right)$
$I = \frac{3mL^2}{2}$

(B) आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रैखिक त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$.
एक ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ का मान $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
दिए गए मानों $\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \times 0.5}{\frac{7}{5}} = \frac{0.5g \times 5}{7} = \frac{2.5g}{7} = \frac{5g}{14}$.

(B) कालीन का घनत्व $\rho = M/V$ स्थिर रहता है।
माना $M_1 = M$ और $R_1 = R$ है। आयतन $V = \pi R^2 l$ है,जहाँ $l$ कालीन की लंबाई है।
जब इसे $R_2 = R/2$ त्रिज्या तक खोला जाता है,तो बेलनाकार रूप में बची हुई कालीन का द्रव्यमान $M_2$ उसके आयतन के समानुपाती होता है।
$M_2 = \frac{M}{\pi R^2 l} \times \pi (R/2)^2 l = \frac{M}{4}$।
प्रारंभिक लपेटी हुई कालीन की स्थितिज ऊर्जा (द्रव्यमान केंद्र $R$ ऊंचाई पर मानते हुए) $U_1 = MgR$ है।
अंतिम लपेटी हुई कालीन की स्थितिज ऊर्जा ($R_2 = R/2$ त्रिज्या और $M_2 = M/4$ द्रव्यमान के साथ) $U_2 = M_2 g R_2 = (M/4) g (R/2) = \frac{1}{8} MgR$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_1 - U_2 = MgR - \frac{1}{8} MgR = \frac{7}{8} MgR$ है।

(D) बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{k^2}{R^2})$ द्वारा दी जाती है।
वलय के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k = R$ है,इसलिए $K.E._{\text{ring}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + 1) = Mv^2$।
दिया गया है $K.E._{\text{ring}} = 6 \ J$,इसलिए $Mv^2 = 6 \ J$।
चकती के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ है,इसलिए $k^2 = \frac{1}{2} R^2$।
$K.E._{\text{disc}} = \frac{1}{2} Mv^2 (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} Mv^2 (\frac{3}{2}) = \frac{3}{4} Mv^2$।
चकती के समीकरण में $Mv^2 = 6 \ J$ रखने पर:
$K.E._{\text{disc}} = \frac{3}{4} \times 6 = \frac{18}{4} = 4.5 \ J = \frac{9}{2} \ J$।

(A) आनत तल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु का रेखीय त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
एक ठोस गोले के लिए,घूर्णन त्रिज्या $K$ और त्रिज्या $R$ के बीच संबंध $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ होता है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5 = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}}$
$a = \frac{g \times (1/2)}{7/5}$
$a = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.

(D) स्थिति $1$: फिसलने वाले पिंड के लिए,स्थितिज ऊर्जा का रूपांतरण स्थानांतरण गतिज ऊर्जा में होता है: $\frac{1}{2} m V^2 = mgh$ ... $(i)$
स्थिति $2$: लुढ़कने वाली डिस्क के लिए,स्थितिज ऊर्जा का रूपांतरण स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में होता है: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 = mgh$
डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^2$ है और लुढ़कने की शर्त $\omega = \frac{v'}{R}$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} mR^2) (\frac{v'}{R})^2 = mgh$
$\frac{1}{2} m (v')^2 + \frac{1}{4} m (v')^2 = mgh$
$\frac{3}{4} m (v')^2 = mgh$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} m V^2 = \frac{3}{4} m (v')^2$
$V^2 = \frac{3}{2} (v')^2$
$(v')^2 = \frac{2}{3} V^2$
$v' = V \sqrt{\frac{2}{3}}$

(B) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_S = \frac{2}{5} M R^2$ होता है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_C = \frac{1}{2} M R^2$ होता है।
मान लीजिए बेलन की कोणीय गति $\omega_C$ है और गोले की कोणीय गति $\omega_S$ है।
दिया गया है कि $\omega_S = \frac{\omega_C}{2}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
गोले की गतिज ऊर्जा और बेलन की गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{1}{2} I_S \omega_S^2}{\frac{1}{2} I_C \omega_C^2} = \frac{I_S}{I_C} \times \left( \frac{\omega_S}{\omega_C} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{K.E._S}{K.E._C} = \frac{\frac{2}{5} M R^2}{\frac{1}{2} M R^2} \times \left( \frac{\omega_C / 2}{\omega_C} \right)^2 = \frac{2/5}{1/2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$.
अतः,अनुपात $1: 5$ है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर कुल स्थितिज ऊर्जा,नीचे पहुँचने पर स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
एक ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है और शुद्ध लोटनिक गति के लिए $v = R\omega$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$Mgh = \frac{1}{2} M(R\omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2$
$Mgh = \frac{1}{2} MR^2\omega^2 + \frac{1}{4} MR^2\omega^2 = \frac{3}{4} MR^2\omega^2$
अतः,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2)\omega^2 = \frac{1}{4} MR^2\omega^2$ है।
ऊर्जा समीकरण से,$MR^2\omega^2 = \frac{4}{3} Mgh$ प्राप्त होता है।
इस मान को $K_{rot}$ के व्यंजक में रखने पर:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(D) छड़ के केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ML^2}{12}$ है।
निचले बिंदु पर,छड़ की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,जो $K.E. = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $K.E. = \frac{1}{2} \times \frac{ML^2}{12} \times \omega^2 = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे छड़ दोलन करती है,यह गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$P.E. = K.E.$
$Mgh = \frac{ML^2 \omega^2}{24}$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{L^2 \omega^2}{24g}$ प्राप्त होता है।

(C) विराम अवस्था $(\omega_0 = 0)$ से शुरू होने वाली घूर्णी गति के लिए गतिकी समीकरण $\theta(t) = \frac{1}{2} \alpha t^2$ है।
$n^{\text{th}}$ सेकंड में तय किया गया कोण $\theta_n = \theta(n) - \theta(n-1) = \frac{1}{2} \alpha [n^2 - (n-1)^2] = \frac{1}{2} \alpha (2n - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
$2^{\text{nd}}$ सेकंड के लिए $(n=2)$:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha (2(2) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (3) = 1.5 \alpha$.
$3^{\text{rd}}$ सेकंड के लिए $(n=3)$:
$\theta^{\prime} = \frac{1}{2} \alpha (2(3) - 1) = \frac{1}{2} \alpha (5) = 2.5 \alpha$.
अतः अनुपात $\frac{\theta}{\theta^{\prime}} = \frac{1.5 \alpha}{2.5 \alpha} = \frac{1.5}{2.5} = \frac{3}{5}$ है।

(D) दिया गया है कि घूर्णन गतिज ऊर्जाएँ समान हैं:
$(K.E.)_A = (K.E.)_B$
$\frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} \implies \frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} \quad ...(i)$
साथ ही,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि गतिज ऊर्जाएँ समान हैं:
$\frac{L_1^2}{2I_1} = \frac{L_2^2}{2I_2}$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{L_2^2}{L_1^2}$
कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{L_2}{L_1} = \sqrt{3}$ होगा।
अतः,$\frac{I_2}{I_1} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
इस प्रकार,$I_2 = 3 I_1$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,निम्नतम बिंदु पर घूर्णी गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2} I \omega^2 = Mgh$
$\therefore h = \frac{I \omega^2}{2Mg} \dots (i)$
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,छड़ के सिरे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $(I)$:
$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2}{3} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$h = \frac{(\frac{ML^2}{3}) \omega^2}{2Mg} = \frac{ML^2 \omega^2}{6Mg} = \frac{L^2 \omega^2}{6g}$

(C) $1$. रैखिक वेग $(\vec{v})$: घूर्णन गति में किसी कण का रैखिक वेग,कोणीय वेग सदिश $(\vec{\omega})$ और स्थिति सदिश $(\vec{r})$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$।
$2$. कोणीय त्वरण $(\vec{\alpha})$: कोणीय त्वरण और रैखिक त्वरण $(\vec{a})$ के बीच का संबंध $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है। सदिश गुणों का उपयोग करते हुए,$\vec{\alpha} = \vec{a} \times \vec{r}$ इस संबंध का मानक निरूपण है।
$3$. कोणीय संवेग $(\vec{L})$: किसी कण का कोणीय संवेग,स्थिति सदिश और रैखिक संवेग का सदिश गुणनफल होता है,अर्थात $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$।
$4$. बल आघूर्ण $(\vec{\tau})$: बल आघूर्ण,स्थिति सदिश और बल सदिश का सदिश गुणनफल होता है,अर्थात $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{f}$।
अतः,विकल्प $C$ में दिए गए सभी संबंध सही हैं।

(A) शक्ति $(P)$ को टॉर्क $(\tau)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \tau \times \omega$
हम जानते हैं कि टॉर्क,जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ का गुणनफल होता है,अर्थात $\tau = I \alpha$।
इस मान को शक्ति के समीकरण में रखने पर:
$P = (I \alpha) \times \omega$
कोणीय वेग $(\omega)$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\omega = \frac{P}{I \alpha}$
$\omega = P(I \alpha)^{-1}$

(B) नियत दाब पर एक प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $Q = \Delta U + W$ है।
दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
किया गया बाह्य कार्य $W = Q - \Delta U = n C_p \Delta T - n C_v \Delta T = n (C_p - C_v) \Delta T = n R \Delta T$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_v = \frac{3}{2} R$ और $C_p = \frac{5}{2} R$ होता है।
कार्य के लिए प्रयुक्त ऊष्मा का अंश $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{2}{5} \times 100 \% = 40 \%$।

(B) माना स्थानांतरित ऊष्मा $Q$ है।
जब छड़ें सिरे से सिरा जोड़कर रखी जाती हैं,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R + R = 2R$ होता है,जहाँ $R = \frac{l}{KA}$ है।
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{Q}{t_1} = \frac{\Delta \theta}{R_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{2 \frac{l}{KA}} = \frac{KA \Delta \theta}{2l}$ है।
दिया गया है $t_1 = 12 \ s$,इसलिए $Q = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12 \dots (i)$।
जब छड़ें लंबाई के अनुदिश (समानांतर) जोड़ी जाती हैं,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R'_{eq} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है,जहाँ $R = \frac{l}{KA}$ है।
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{Q}{t_2} = \frac{\Delta \theta}{R'_{eq}} = \frac{\Delta \theta}{R/2} = \frac{2KA \Delta \theta}{l}$ है।
अतः,$Q = \frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 \dots (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2KA \Delta \theta}{l} \times t_2 = \frac{KA \Delta \theta}{2l} \times 12$
$2 t_2 = \frac{12}{2}$
$4 t_2 = 12$
$t_2 = 3 \ s$।

(B) गोली की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} mv^2$ है।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50\%$ ऊष्मा ऊर्जा $(Q)$ में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा $Q = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} mv^2) = \frac{1}{4} mv^2$ है।
गोली के तापमान को $\Delta T$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = ms \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $J$ ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक है,हम $W = JQ$ संबंध का उपयोग करते हैं,जहाँ $W$ किया गया कार्य (या परिवर्तित ऊर्जा) है।
ऊष्मा में परिवर्तित ऊर्जा की तुलना करने पर: $\frac{1}{4} mv^2 = J(ms \Delta T)$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर: $\Delta T = \frac{mv^2}{4 Jms} = \frac{v^2}{4 Js}$।

(B) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ का सूत्र $H = \frac{kA(T_2 - T_1)}{l}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ छड़ की लंबाई है।
प्रारंभिक छड़ के लिए,$H_1 = \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1}$ है।
जब सभी आयाम दोगुने कर दिए जाते हैं,तो नई लंबाई $l_2 = 2l_1$ और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ हो जाती है।
नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ होगा।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $H_2 = \frac{kA_2(T_2 - T_1)}{l_2}$ है।
$A_2$ और $l_2$ के मान रखने पर:
$H_2 = \frac{k(4A_1)(T_2 - T_1)}{2l_1} = 2 \left[ \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1} \right] = 2H_1$।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्घ्य $\lambda_m$ कृष्णिका के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$
चूंकि आवृत्ति $\nu_m$ तरंगदैर्घ्य से $\nu_m = \frac{c}{\lambda_m}$ संबंध द्वारा जुड़ी है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है,हम $\lambda_m = \frac{c}{\nu_m}$ को समानुपाती संबंध में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{c}{\nu_m} \propto \frac{1}{T}$
$\nu_m \propto T$
यह इंगित करता है कि आवृत्ति $\nu_m$ तापमान $T$ के सीधे समानुपाती है। दो चरों के बीच सीधा समानुपाती संबंध मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। दिए गए चित्र में,सीधी रेखा $B$ इस रैखिक संबंध को दर्शाती है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले एक गोलाकार कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4 \pi R^2$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
अतः,$P = 4 \pi R^2 \sigma T^4$.
यह दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_1 = P_2$.
$4 \pi R_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi R_2^2 \sigma T_2^4$.
इसे सरल करने पर,हमें $R_1^2 T_1^4 = R_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
$R_1/R_2$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए व्यवस्थित करने पर:
$(R_1/R_2)^2 = (T_2/T_1)^4$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$R_1/R_2 = (T_2/T_1)^2$.

(C) मान लीजिए कि पिंड पर आपतित कुल ऊष्मा $Q = x$ जूल है।
मान लीजिए कि परावर्तित ऊष्मा $Q_r$ है और पारगमित ऊष्मा $Q_t$ है।
दिया गया है कि परावर्तित और पारगमित ऊष्मा का योग $Q_r + Q_t = y$ जूल है।
कुल आपतित ऊष्मा,अवशोषित ऊष्मा $(Q_a)$,परावर्तित ऊष्मा $(Q_r)$ और पारगमित ऊष्मा $(Q_t)$ के योग के बराबर होती है:
$Q = Q_a + Q_r + Q_t$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = Q_a + y$
इसलिए,अवशोषित ऊष्मा $Q_a = x - y$ है।
अवशोषण गुणांक $(a)$ को अवशोषित ऊष्मा और कुल आपतित ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$a = \frac{Q_a}{Q} = \frac{x - y}{x}$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर एक पिंड की $T_0$ तापमान वाले वातावरण में शीतलन दर $R$ इस प्रकार दी जाती है:
$R = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$
प्रथम स्थिति के लिए,$T = 600 \ K$ और $T_0 = 200 \ K$:
$R = k (600^4 - 200^4)$
दूसरी स्थिति के लिए,$T' = 400 \ K$ और $T_0 = 200 \ K$:
$R' = k (400^4 - 200^4)$
अनुपात लेने पर:
$\frac{R'}{R} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(4^4 - 2^4) \times 10^8}{(6^4 - 2^4) \times 10^8}$
$\frac{R'}{R} = \frac{256 - 16}{1296 - 16} = \frac{240}{1280} = \frac{24}{128} = \frac{3}{16}$
अतः,$R' = \frac{3}{16} R$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई सतह क्षेत्र प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा (उत्सर्जक शक्ति $E$) $E = \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
दो पिंडों $X$ और $Y$ के लिए जिनके आयाम (क्षेत्रफल $A$) और उत्सर्जकता $(e)$ समान हैं,यदि उनकी उत्सर्जक शक्ति समान है,तो:
$E_X = E_Y$
$\sigma e A T_1^4 = \sigma e A T_2^4$
इसका अर्थ है $T_1^4 = T_2^4$,जिसका अर्थ है $T_1 = T_2$ या $T_1 / T_2 = 1$।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न में उत्सर्जक शक्ति और तापमान के बीच के संबंध में त्रुटि प्रतीत होती है। यदि प्रश्न का अर्थ यह है कि उत्सर्जक शक्ति का अनुपात $1:81$ है,तो $T_1^4 / T_2^4 = 1/81$,जिससे $T_1 / T_2 = 1/3$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$T_1 / T_2 = 1/3$ सही उत्तर है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरण द्वारा ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ सतह की उत्सर्जकता (emissivity) है।
दिए गए तापमान और सतह क्षेत्र के लिए,शीतलन की दर सतह की उत्सर्जकता $(e)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
काली सतहों की उत्सर्जकता सबसे अधिक ($1$ के करीब) होती है,उसके बाद लाल जैसे गहरे रंग आते हैं,जबकि सफेद या पॉलिश की गई सतहों की उत्सर्जकता सबसे कम होती है।
इसलिए,शीतलन की दर का अधिकतम से न्यूनतम क्रम है: काला > लाल > सफेद।

(C) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, शीतलन की दर है: $\frac{T_1-T_2}{t} = K \left( \frac{T_1+T_2}{2} - T_0 \right)$, जहाँ $T_0$ कमरे का तापमान है।
प्रथम स्थिति के लिए, तापमान $3 \, \text{मिनट}$ में $365 \, K$ से $359 \, K$ तक गिरता है:
$\frac{365-359}{3} = K \left( \frac{365+359}{2} - 296 \right)$
$\frac{6}{3} = K (362 - 296)$
$2 = K(66) \implies K = \frac{2}{66} = \frac{1}{33} \, min^{-1}$.
दूसरी स्थिति के लिए, तापमान $342 \, K$ से $338 \, K$ तक गिरने में लगा समय $t$ है:
$\frac{342-338}{t} = K \left( \frac{342+338}{2} - 296 \right)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (340 - 296)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (44)$
$\frac{4}{t} = \frac{44}{33} = \frac{4}{3}$
अतः, $t = 3 \, \text{मिनट}$।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\text{max}} T = \text{नियतांक}$.
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{\text{max}2}}{\lambda_{\text{max}1}} = \frac{\lambda_0 / 4}{\lambda_0} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $T_2 = 4T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है।
इसलिए,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ है।
मान रखने पर,$\frac{P_2}{P_1} = (4)^4 = 256$.
अतः,नई विकिरित शक्ति $P_2 = 256 P$ होगी।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ जिस पर एक पिंड अधिकतम ऊर्जा विकीर्ण करता है,उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\lambda_m T = b$ (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है) द्वारा दिया जाता है।
पिंड $P$ और $Q$ के लिए,हमारे पास $\lambda_P T_P = \lambda_Q T_Q$ है।
यह दिया गया है कि $T_P = 4 T_Q$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_P (4 T_Q) = \lambda_Q T_Q \implies \lambda_Q = 4 \lambda_P$ (समीकरण $1$)।
हमें तरंगदैर्ध्य का अंतर $\lambda_Q - \lambda_P = 3 \mu m$ दिया गया है (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \lambda_P - \lambda_P = 3 \mu m$
$3 \lambda_P = 3 \mu m$
$\lambda_P = 1 \mu m$।
अब,समीकरण $1$ का उपयोग करके $\lambda_Q$ ज्ञात करने पर:
$\lambda_Q = 4 \times 1 \mu m = 4 \mu m$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरण की दर $E = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,और $T$ परम तापमान है।
गोले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
अतः,$E = (4 \pi R^2) \sigma T^4$,जिसका अर्थ है $E \propto R^2 T^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $E_1 = E$,$R_1 = R$ और $T_1 = T$ है।
मान लीजिए अंतिम स्थिति $E_2$,$R_2 = R/2$ और $T_2 = 4T$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{R/2}{R} \right)^2 \left( \frac{4T}{T} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = (1/2)^2 \times (4)^4 = (1/4) \times 256 = 64$.
इसलिए,$E_2 = 64E$.

(D) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta_0$ परिवेश का तापमान है।
प्रथम अंतराल के लिए:
$\frac{4\theta - 3\theta}{t} = K \left( \frac{4\theta + 3\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{t} = K \left( \frac{7\theta}{2} - \theta \right) = K \left( \frac{5\theta}{2} \right)$
$K = \frac{2}{5t} \dots (i)$
अगले $t$ मिनट के अंतराल के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $x$ है:
$\frac{3\theta - x}{t} = K \left( \frac{3\theta + x}{2} - \theta \right)$
$(i)$ से $K$ का मान रखने पर:
$\frac{3\theta - x}{t} = \frac{2}{5t} \left( \frac{3\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$3\theta - x = \frac{1}{5} (\theta + x)$
$15\theta - 5x = \theta + x$
$6x = 14\theta$
$x = \frac{14\theta}{6} = \frac{7\theta}{3}$

(C) कृष्णिका के लिए विकिरण की दर स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है:
$R = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_1 = e A \sigma T^4$.
चूंकि यह एक कृष्णिका है,उत्सर्जकता $e = 1$ है,इसलिए $R = A \sigma T^4$.
दूसरे पिंड के लिए,विकिरण की दर है:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = e' A' \sigma (T')^4$.
यहाँ $e' = 0.2$,$A' = A$,और $T' = 3T$ दिया गया है:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 0.2 \times A \times \sigma \times (3T)^4$.
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 0.2 \times A \times \sigma \times 81 T^4$.
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 16.2 \times A \sigma T^4$.
$R = A \sigma T^4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = 16.2 R$.

(A) एक कृष्णिका की उत्सर्जक शक्ति $E$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $E = \sigma T^4$। हालाँकि,एक सतह द्वारा विकीर्ण कुल शक्ति $P = A \sigma T^4$ है।
$P \propto A T^4$।
चूंकि $A = \pi R^2$,इसलिए $A \propto R^2$।
दी गई त्रिज्याओं $R_x = 1 \ m, R_y = 2 \ m, R_z = 3 \ m$ के लिए,क्षेत्रफल का अनुपात $A_x : A_y : A_z = 1^2 : 2^2 : 3^2 = 1 : 4 : 9$ है।
वीन के विस्थापन नियम $\lambda_{max} T = b$ (स्थिरांक) के अनुसार,$T \propto \frac{1}{\lambda_{max}}$।
दी गई $\lambda_{max,x} = 200 \ nm, \lambda_{max,y} = 300 \ nm, \lambda_{max,z} = 400 \ nm$ के लिए,तापमान का अनुपात $T_x : T_y : T_z = \frac{1}{200} : \frac{1}{300} : \frac{1}{400} = 6 : 4 : 3$ है।
अब,$P \propto A T^4$ की गणना करते हुए:
$x$ के लिए: $P_x \propto 1 \times (6)^4 = 1296$।
$y$ के लिए: $P_y \propto 4 \times (4)^4 = 1024$।
$z$ के लिए: $P_z \propto 9 \times (3)^4 = 729$।
अतः,$P_x > P_y > P_z$,जिसका अर्थ है $E_x > E_y > E_z$।

(B) किसी पिंड की उत्सर्जक शक्ति $E$ को $E = e \sigma T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $e$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,और $T$ परम तापमान है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों के लिए उत्सर्जक शक्ति समान है,इसलिए $E_1 = E_2$ है।
अतः,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$ होगा।
चूंकि $\sigma$ एक स्थिरांक है,हमें $e_1 T_1^4 = e_2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जकता का अनुपात $e_1: e_2 = 1: 4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1}$ है।
इस प्रकार,$\frac{T_1^4}{T_2^4} = 4$ है।
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_1: T_2$ का अनुपात $\sqrt{2}: 1$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta_{avg} - \theta_0)$.
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे वस्तु का औसत तापमान कम होता है,एक निश्चित तापमान तक ठंडा होने में लगने वाला समय बढ़ता जाता है।
तीनों अंतरालों के लिए:
स्थिति $1$: औसत तापमान $\theta_{avg1} = \frac{75+70}{2} = 72.5^{\circ} C$.
स्थिति $2$: औसत तापमान $\theta_{avg2} = \frac{70+65}{2} = 67.5^{\circ} C$.
स्थिति $3$: औसत तापमान $\theta_{avg3} = \frac{65+60}{2} = 62.5^{\circ} C$.
चूंकि $\theta_{avg1} > \theta_{avg2} > \theta_{avg3}$,शीतलन की दर पहले अंतराल में सबसे अधिक और तीसरे अंतराल में सबसे कम है।
अतः,लिया गया समय $t$ शीतलन की दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिससे $t_1 < t_2 < t_3$ प्राप्त होता है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
यहाँ $\lambda_{m1} = \lambda_0$ और $\lambda_{m2} = \frac{\lambda_0}{2}$ दिया गया है।
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2 \implies \lambda_0 T_1 = \frac{\lambda_0}{2} T_2 \implies T_2 = 2T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T^4$.
इस प्रकार,नई शक्ति $P_2$ और प्रारंभिक शक्ति $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ है।
$T_2 = 2T_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{P_2}{P_1} = (2)^4 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,विकिरित शक्ति में $16$ गुना की वृद्धि होगी।

(C) रैखिक विस्तार का सूत्र $\Delta L = L_1 \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$L_1 = 10 \ m$,$\alpha = 1.2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$,और $\Delta T = (45 - 17)^{\circ} C = 28^{\circ} C$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\Delta L = 10 \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 28$.
$\Delta L = 12 \times 10^{-5} \times 28$.
$\Delta L = 336 \times 10^{-5} \ m$.
इसे $x \times 10^{-5} \ m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 336$ प्राप्त होता है।

(C) ऊष्मीय प्रसार के कारण छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए लंबाई में परिवर्तन समान है,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $L_1 \alpha_1 t = L_2 \alpha_2 t$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $t$ को हटाने पर,हमें $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$ है।
अनुपात $\frac{L_1}{L_1+L_2}$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात के गुण का उपयोग करते हैं: यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ है,तो $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$ होता है।
इस गुण को अपने समीकरण पर लागू करने पर,हमें $\frac{L_1}{L_1+L_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि दोनों छड़ों की लंबाई में वृद्धि समान है,इसलिए $\Delta L_1 = \Delta L_2$ है।
रेखीय प्रसार के सूत्र $\Delta L = L \alpha \Delta T$ का उपयोग करते हुए:
$L_1 \alpha_c t = L_2 \alpha_i t$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर,हमें $L_1 \alpha_c = L_2 \alpha_i$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$।
अब,हमें अनुपात $\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2}$ ज्ञात करना है।
$L_1 = \frac{\alpha_i}{\alpha_c} L_2$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{L_1-L_2}{L_1+L_2} = \frac{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 - L_2}{(\frac{\alpha_i}{\alpha_c}) L_2 + L_2}$
$= \frac{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} - 1)}{L_2 (\frac{\alpha_i}{\alpha_c} + 1)}$
$= \frac{\frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c}}{\frac{\alpha_i + \alpha_c}{\alpha_c}}$
$= \frac{\alpha_i - \alpha_c}{\alpha_c + \alpha_i}$।

(B) पदार्थ का थर्मल विस्तार सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta L = L_0 \alpha \Delta T$।
यहाँ,$L_0 = 10 \ m$,$\alpha = 1.3 \times 10^{-5} /^{\circ} C$,और $\Delta T = (45^{\circ} C - 17^{\circ} C) = 28^{\circ} C$ है।
मान रखने पर:
$\Delta L = 10 \times (1.3 \times 10^{-5}) \times 28$
$\Delta L = 364 \times 10^{-5} \ m$
$\Delta L = 3.64 \times 10^{-3} \ m = 3.64 \ mm$।
अतः,रखा जाने वाला अंतर $3.64 \ mm$ है।

(C) रेखीय प्रसार का सूत्र $\Delta l = \alpha \cdot l \cdot \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$.
प्रारंभिक लंबाई $l = 0.75 \ m$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 65^{\circ} C - 45^{\circ} C = 20^{\circ} C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta l = (2 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C) \times (0.75 \ m) \times (20^{\circ} C)$.
$\Delta l = 2 \times 10^{-5} \times 0.75 \times 20 \ m$.
$\Delta l = 30 \times 10^{-5} \ m = 0.3 \times 10^{-3} \ m$.
चूंकि $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए लंबाई में वृद्धि $0.30 \ mm$ है।

(C) प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 40 \ cm \times 5 \ cm = 200 \ cm^2$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 1.4 \ cm^2$.
क्षेत्रीय प्रसार गुणांक $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\Delta A}{A_1 \Delta T}$ है।
मान रखने पर: $\beta = \frac{1.4}{200 \times 100} = \frac{1.4}{20000} = 0.7 \times 10^{-4} = 7 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
चूंकि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\beta}{2}$,इसलिए $\alpha = \frac{7 \times 10^{-5}}{2} = 3.5 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ होगा।

(B) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{\Delta x}$,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta x$ छड़ की लंबाई है।
इस प्रकार,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{r^2}{\Delta x}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ और लंबाई $\Delta x_1 = L$ है। प्रारंभिक दर $Q \propto \frac{r^2}{L}$ है।
जब सभी रैखिक आयामों को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ और नई लंबाई $\Delta x_2 = 2L$ हो जाती है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q'$,$\frac{(2r)^2}{2L} = \frac{4r^2}{2L} = 2 \left( \frac{r^2}{L} \right)$ के समानुपाती है।
अतः,$Q' = 2Q$.

(B) तापमान परिवर्तन $\Delta \theta$ पर छड़ की लंबाई $L' = L(1 + \alpha \Delta \theta)$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $A$ के लिए,$L_A' = L_A(1 + \alpha_A \Delta \theta)$ और छड़ $B$ के लिए,$L_B' = L_B(1 + \alpha_B \Delta \theta)$ है।
लंबाई में अंतर $\Delta L = L_B' - L_A' = (L_B - L_A) + (L_B \alpha_B - L_A \alpha_A) \Delta \theta$ है।
सभी तापमानों पर अंतर स्थिर रहने के लिए,$\Delta \theta$ वाला पद शून्य होना चाहिए।
इसलिए,$L_B \alpha_B - L_A \alpha_A = 0$,जिसका अर्थ है कि $L_B \alpha_B = L_A \alpha_A$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_A}{L_B} = \frac{\alpha_B}{\alpha_A}$ प्राप्त होता है।

(A) एक परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
चूँकि दोनों परिनालिकाओं के लिए $N$ समान है,इसलिए $L \propto \frac{r^2}{l}$ होगा।
लंबाई का अनुपात $l_1 : l_2 = 1 : 3$ और त्रिज्या का अनुपात $r_1 : r_2 = 1 : 3$ दिया गया है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times \left( \frac{3}{1} \right)$
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{1}{3}$.
अतः,उनके स्व-प्रेरकत्व का अनुपात $1: 3$ है।

(D) एक लंबी परिनालिका (solenoid) के स्व-प्रेरकत्व $L$ का सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ कुंडली की लंबाई है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि जब लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहते हैं,तो $L \propto N^2$ होता है।
यह दिया गया है कि फेरों की संख्या $N$ को $3$ गुना $(N' = 3N)$ कर दिया जाता है,तो नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ होगा:
$L' \propto (N')^2 = (3N)^2 = 9N^2$.
इसलिए,$L' = 9L$.
अतः,स्व-प्रेरकत्व मूल मान का $9$ गुना हो जाता है।

(C) एयर-कोर्ड कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l} = 0.1 \ H$ द्वारा दिया जाता है।
जब $1000$ सापेक्ष पारगम्यता $(\mu_r = 1000)$ वाली सॉफ्ट आयरन कोर डाली जाती है और फेरों की संख्या $N$ को बदलकर $N' = \frac{N}{10}$ कर दिया जाता है,तो नया स्व-प्रेरकत्व $L'$ इस प्रकार होगा:
$L' = \frac{\mu_0 \mu_r (N')^2 A}{l}$.
दोनों का अनुपात लेने पर:
$\frac{L'}{L} = \frac{\mu_r (N')^2}{N^2} = \mu_r \left(\frac{N/10}{N}\right)^2 = 1000 \times \left(\frac{1}{10}\right)^2$.
$\frac{L'}{L} = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
अतः,$L' = 10 \times L = 10 \times 0.1 \ H = 1 \ H$.

(C) दो कुंडलियों के बीच अन्योन्य प्रेरण $M$ का सूत्र $M = K \sqrt{L_1 L_2}$ है,जहाँ $K$ युग्मन गुणांक है।
दी गई मान $M = 45 \ mH$,$L_1 = 75 \ mH$,और $L_2 = 48 \ mH$ हैं।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}$
मान रखने पर:
$K = \frac{45}{\sqrt{75 \times 48}}$
$K = \frac{45}{\sqrt{3600}}$
$K = \frac{45}{60}$
$K = 0.75$

(D) एक प्रेरक से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\phi = LI$,जहाँ $L$ प्रेरक का स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) है।
इस समीकरण की तुलना मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ से करने पर,हमें $m = \frac{\phi}{I} = L$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\phi-I$ ग्राफ का ढाल (slope) प्रेरक के प्रेरकत्व $(L)$ को दर्शाता है।
चूंकि दी गई सभी रेखाओं में रेखा $S$ का ढाल सबसे कम है,इसलिए प्रेरक $S$ का स्व-प्रेरकत्व न्यूनतम है।

(B) सोलेनोइड का स्व-प्रेरकत्व $L$ सूत्र $L = \mu_0 n^2 A l$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $l$ कुंडली की लंबाई है。
यह दिया गया है कि रैखिक आयामों को $2$ के गुणक से बढ़ाया जाता है, इसलिए नई लंबाई $l' = 2l$ और नया क्षेत्रफल $A' = (2)^2 A = 4A$ होगा。
प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ स्थिर रहती है。
इन मानों को नए प्रेरकत्व $L'$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$L' = \mu_0 n^2 (4A) (2l) = 8 (\mu_0 n^2 A l) = 8L$.
अतः, स्व-प्रेरकत्व $8$ के गुणक से बढ़ जाएगा。

(A) हवा में दो बिंदु आवेशों के बीच का बल कूलॉम के नियम के अनुसार है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$
जब उन्हीं आवेशों को '$k$' परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
चूंकि दोनों स्थितियों में बल '$F$' समान है,हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ को हटाने पर:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{k y^2}$
$\frac{y}{x}$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2 = \frac{x^2}{k}$
$\frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{k}$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{k}}$

(D) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। एक कोने पर स्थित $+Q$ आवेश पर लगने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. विकर्णतः विपरीत कोने पर स्थित $+Q$ के कारण बल: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ (प्रतिकर्षण बल)।
$2$. आसन्न कोनों पर स्थित दो $-q$ आवेशों के कारण बल: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ (आकर्षण बल)।
चूंकि ये दोनों $-q$ आवेश समान दूरी $a$ पर हैं,इसलिए इनका परिणामी बल $F_2' = \sqrt{F_2^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ होगा।
$+Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,प्रतिकर्षण बल $F_1$ का परिमाण परिणामी आकर्षण बल $F_2'$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2} = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$
$\frac{Q}{2} = \sqrt{2} q$
$Q = 2\sqrt{2} q$
अतः,$\frac{Q}{-q} = -2\sqrt{2}$।

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है, $-4 q$ (जो $x=L$ पर है) के दाईं ओर $r$ दूरी पर स्थित है।
इस बिंदु की $+10 q$ (जो $x=0$ पर है) से दूरी $(L+r)$ होगी।
$+10 q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{K(10 q)}{(L+r)^2}$ और $-4 q$ के कारण $E_2 = \frac{K(4 q)}{r^2}$ है।
नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए, $E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$\frac{10 q}{(L+r)^2} = \frac{4 q}{r^2}$
$\frac{\sqrt{10}}{L+r} = \frac{2}{r}$
$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{L+r} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{r}$
$\frac{\sqrt{5}}{L+r} = \frac{\sqrt{2}}{r}$
$\sqrt{5} r = \sqrt{2} L + \sqrt{2} r$
$r(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} L$
$r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} L$
चूंकि $r$ बिंदु $B$ (जहाँ $-4 q$ स्थित है) के दाईं ओर की दूरी है, इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(C) प्रारंभ में $+4q$ और $-4q$ आवेशों के बीच लगने वाला बल कूलम्ब के नियम के अनुसार है:
$F = \frac{k(4q)(-4q)}{r^2} = \frac{-16kq^2}{r^2} \quad \dots(i)$
जब बिंदु $A$ से $25\%$ आवेश बिंदु $B$ पर स्थानांतरित किया जाता है:
स्थानांतरित आवेश $= 0.25 \times 4q = 1q$.
$A$ पर नया आवेश $(q_1)$ $= 4q - 1q = 3q$.
$B$ पर नया आवेश $(q_2)$ $= -4q + 1q = -3q$.
अब आवेशों के बीच नया बल $F'$ है:
$F' = \frac{k(3q)(-3q)}{r^2} = \frac{-9kq^2}{r^2}$.
$F'$ और $F$ की तुलना करने पर:
$F' = \frac{9}{16} \times \left( \frac{-16kq^2}{r^2} \right) = \frac{9}{16} F$.

(D) आवेश $3Q$ द्वारा आवेश $Q$ पर लगाया गया बल $F_1$ कूलम्ब के नियम के अनुसार:
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(3Q)(Q)}{l^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2}$
आवेश $q$ द्वारा आवेश $Q$ पर लगाया गया बल $F_2$:
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(l - l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(2l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2}$
आवेश $Q$ पर कुल बल शून्य होने के लिए,बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$F_1 + F_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l^2}$ से भाग देने पर:
$3Q + \frac{9q}{4} = 0$
$3Q = -\frac{9q}{4}$
$Q = -\frac{3q}{4}$
$q = -\frac{4}{3}Q$

(A) कण के संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = mg$
चूंकि $F_e = qE$ और $E = \frac{V}{d}$,इसलिए $F_e = \frac{qV}{d}$ है।
बलों को बराबर करने पर: $mg = \frac{qV}{d}$।
द्रव्यमान $m$ के लिए सूत्र: $m = \frac{qV}{gd}$।
दिए गए मान: $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$V = 980 \text{ V}$,$d = 8 \text{ cm} = 0.08 \text{ m}$,$g = 9.8 \text{ m/s}^2$।
मान रखने पर:
$m = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 980}{9.8 \times 0.08}$
$m = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 100}{0.08}$
$m = \frac{1.6 \times 10^{-17}}{0.08} = 20 \times 10^{-17} \text{ kg} = 2 \times 10^{-16} \text{ kg}$।

(B) विभवांतर '$V$' के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कण विरामावस्था से शुरू होते हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
कण '$A$' के लिए: $\frac{1}{2}mv_A^2 = qV \implies v_A = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
कण '$B$' के लिए: $\frac{1}{2}mv_B^2 = (4q)V \implies v_B = \sqrt{\frac{8qV}{m}}$.
उनकी चालों का अनुपात $(v_A : v_B)$ लेने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{2qV/m}}{\sqrt{8qV/m}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,उनकी चालों का अनुपात $1: 2$ है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ मूल बिंदु से $x$ दूरी पर है। चूंकि आवेश विपरीत चिन्ह के हैं,इसलिए वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है,आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2 q)$ की ओर स्थित होना चाहिए।
मान लीजिए मूल बिंदु से बिंदु $P$ की दूरी $x$ है। तब $X=L$ पर स्थित $-2 q$ आवेश से $P$ की दूरी $(x-L)$ होगी।
$+8 q$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{8 q}{x^2}$ है।
$-2 q$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q}{(x-L)^2}$ है।
नेट क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$:
$\frac{8 q}{x^2} = \frac{2 q}{(x-L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{x} = \frac{1}{x-L}$ (धनात्मक वर्गमूल लेने पर क्योंकि $x > L$)
$2(x-L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2L$.
अतः,मूल बिंदु से बिंदु $P$ की स्थिति $2 L$ है।

(D) दो आवेशों के बीच प्रारंभिक स्थिर-वैद्युत बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 100 \ N$।
परिवर्तन के बाद, नए आवेश $q_1' = q_1 + 0.1q_1 = 1.1q_1$ और $q_2' = q_2 - 0.1q_2 = 0.9q_2$ हैं।
नया बल $F'$ है: $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(1.1q_1)(0.9q_2)}{r^2}$।
$F' = (1.1 \times 0.9) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right) = 0.99 \times F$।
$F' = 0.99 \times 100 \ N = 99 \ N$।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F - F' = 100 \ N - 99 \ N = 1 \ N$ है।
चूंकि नया बल प्रारंभिक बल से कम है, इसलिए बल में $1 \ N$ की कमी होती है।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{P} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ होता है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$ है।
द्विध्रुव को $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद,अंतिम कोण $\theta_2 = 60^{\circ}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos(60^{\circ}) = -pE \times 0.5 = -\frac{pE}{2}$ है।
द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1 = -\frac{pE}{2} - (-pE) = -\frac{pE}{2} + pE = \frac{pE}{2}$.

(D) बाह्य विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ वाले विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को न्यूनतम करने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $\theta = 0^{\circ}$ (या $0$ रेडियन) पर प्राप्त होता है।
इसलिए,जब द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र की दिशा में ही संरेखित होता है,तब उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(C) विद्युत बल रेखाओं के गुण निम्नलिखित हैं:
$1$. विद्युत बल रेखाएं विद्युत क्षेत्र को दर्शाने के लिए उपयोग की जाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
$2$. ये धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
$3$. बल रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा देती है।
$4$. दो विद्युत बल रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं क्योंकि यदि वे ऐसा करती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।
$5$. विद्युत बल रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के परिमाण के सीधे आनुपातिक होता है। इसलिए,जहां रेखाएं घनी होती हैं,वहां क्षेत्र प्रबल होता है और जहां वे विरल होती हैं,वहां क्षेत्र दुर्बल होता है।
$6$. स्थिर वैद्युत संतुलन में किसी सुचालक के अंदर कोई विद्युत बल रेखाएं नहीं होती हैं।
अतः,कथन $C$ सही है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक शीर्ष से केंद्र $O$ तक की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ होता है।
$1$. $A (+q)$ और $D (+q)$ पर स्थित आवेश $O$ पर समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः, वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$2$. $F (-q)$ और $C (-q)$ पर स्थित आवेश $O$ पर समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः, वे भी एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$3$. ${A, B, C, D, F}$ के समूह में से बचा हुआ एकमात्र आवेश शीर्ष $B$ पर स्थित $-q$ है। इस आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_{net} = \frac{kq}{r^2}$ है जो $B$ की दिशा में है।
$4$. $E$ पर स्थित $+Q$ आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_Q = \frac{kQ}{r^2}$ है जो $E$ से दूर की दिशा में है।
$5$. प्रश्न के अनुसार, $E_{net} = 3 E_Q$.
$6$. मान रखने पर: $\frac{kq}{r^2} = 3 \left( \frac{kQ}{r^2} \right)$.
$7$. $Q$ के लिए हल करने पर, हमें $Q = \frac{q}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि गोले $A$ और गोले $B$ के केंद्रों के बीच की दूरी $r$ है। गोले $A$ के कारण बिंदु $B$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ और $B$ के बीच के मध्य बिंदु पर,प्रत्येक केंद्र से दूरी $d = \frac{r}{2}$ है।
मध्य बिंदु पर गोले $A$ (आवेश $Q$) के कारण विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{KQ}{(r/2)^2} = \frac{4KQ}{r^2} = 4E$ है।
मध्य बिंदु पर गोले $B$ (आवेश $-2Q$) के कारण विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{K|-2Q|}{(r/2)^2} = \frac{8KQ}{r^2} = 8E$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में ( $A$ से दूर और $B$ की ओर) निर्देशित हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{total} = E_A + E_B = 4E + 8E = 12E$ होगा।

(D) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है,मूल बिंदु $(x=0)$ से $x$ दूरी पर है।
चूंकि आवेश विपरीत चिह्नों के हैं,इसलिए शून्य बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,विशेष रूप से छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2 q)$ की ओर स्थित होगा।
मान लीजिए कि बिंदु $x > L$ पर है। $+8 q$ से इसकी दूरी $x$ है और $-2 q$ से इसकी दूरी $(x - L)$ है।
नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$E_1 = E_2$
$\frac{K(8 q)}{x^2} = \frac{K(2 q)}{(x - L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - L}$
$2(x - L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2 L$
अतः,वह बिंदु मूल बिंदु से $2 L$ की दूरी पर है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ है।
दिया गया है $V = ar^2 + b$,इसलिए $E = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$ है।
गॉस के नियम के अवकल रूप के अनुसार,आयतन आवेश घनत्व $\rho$ और विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध $\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ है।
गोलीय निर्देशांक में,त्रिज्यीय क्षेत्र $E(r)$ के लिए डाइवर्जेंस $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ होता है।
समीकरण में $E = -2ar$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho = -6a\varepsilon_0$।

(D) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश सतह पर समान रूप से वितरित है,इसलिए $q = \sigma \times A$,जहाँ $A = 4 \pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया गया है: व्यास $d = 14 \ cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \ cm = 7 \times 10^{-2} \ m$.
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 40 \ \mu C/m^2 = 40 \times 10^{-6} \ C/m^2$.
इन मानों को रखने पर:
$\phi = \frac{4 \pi r^2 \sigma}{\varepsilon_0}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times (7 \times 10^{-2})^2 \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{4 \times 3.14 \times 49 \times 10^{-4} \times 40 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi = \frac{2461.76 \times 10^{-10}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$\phi \approx 278.16 \times 10^2 = 2.78 \times 10^4 \ V \cdot m$ (या लगभग $280 \ kV \cdot m$)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{net}$,सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $q$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$
यहाँ,सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $\phi_1$ (जो ऋणात्मक है) और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\phi_2$ (जो धनात्मक है) है।
अतः,कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ होगा।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q}{\varepsilon_0}$
$q = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
जब गुब्बारे को फुलाया जाता है,तो उसका आकार बढ़ता है,लेकिन गुब्बारे की सतह पर कुल आवेश $q$ स्थिर रहता है।
चूंकि सतह द्वारा परिबद्ध आवेश नहीं बदलता है,इसलिए सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ अपरिवर्तित रहता है।

(C) किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल अभिलंब विद्युत प्रेरण ($T$.$N$.$E$.$I$.) उस सतह द्वारा परिबद्ध आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
$\text{T.N.E.I.} = \sum q_{\text{enclosed}}$
सतह $A$ के लिए,परिबद्ध आवेश $+2q$ और $-q$ हैं।
सतह $A$ के लिए $\text{T.N.E.I.} = (+2q) + (-q) = +q$
सतह $B$ के लिए,परिबद्ध आवेश $+3q$ और $-q$ हैं।
सतह $B$ के लिए $\text{T.N.E.I.} = (+3q) + (-q) = +2q$
अतः,सतह $A$ और $B$ से गुजरने वाला $T$.$N$.$E$.$I$. क्रमशः $+q$ और $+2q$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{net}$, सतह के भीतर परिबद्ध कुल आवेश $q_{in}$ और मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\Phi_{net} = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
यहाँ, सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $\phi_1$ (ऋणात्मक लिया जाता है) और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\phi_2$ (धनात्मक लिया जाता है) है।
अतः, कुल फ्लक्स $\Phi_{net} = \phi_2 - \phi_1$ होगा।
इस मान को गॉस के नियम में रखने पर:
$\phi_2 - \phi_1 = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$
$q_{in} = \varepsilon_0(\phi_2 - \phi_1)$।
अतः, विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$q_{enclosed}$ गॉसियन सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
चूंकि आवेश $q$ अपरिवर्तित रहता है और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ एक स्थिरांक है,इसलिए विद्युत फ्लक्स $\phi$ केवल परिबद्ध आवेश पर निर्भर करता है।
अतः,गोले की त्रिज्या बदलने से उससे गुजरने वाले कुल विद्युत फ्लक्स पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
इस प्रकार,नया फ्लक्स $\phi$ ही रहेगा।

(B) मान लीजिए $\rho$ स्थिर आयतन आवेश घनत्व है। $r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई के गाऊसी बेलन द्वारा परिबद्ध आवेश $q = \rho V = \rho (\pi r^2 L)$ है।
गाउस के नियम के अनुसार,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
बेलनाकार गाऊसी सतह के लिए,वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $E(2 \pi r L)$ है और सपाट सिरों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है।
इसलिए,$E(2 \pi r L) = \frac{\rho \pi r^2 L}{\varepsilon_0}$ है।
$E$ के लिए हल करने पर,हमें $E = \frac{\rho r}{2 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\rho$,$2$,और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए $E \propto r$ है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
खोखले बेलन के लिए,कुल फ्लक्स दो समतल पृष्ठों ($A$ और $C$) और वक्र पृष्ठ $(B)$ से गुजरने वाले फ्लक्स का योग है: $\phi_A + \phi_C + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
बेलन की सममिति के कारण,दोनों समतल पृष्ठों $A$ और $C$ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स समान होता है,अर्थात $\phi_A = \phi_C$.
यह दिया गया है कि वक्र पृष्ठ $B$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_B = \phi$ है,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(A) माना कि वह बिंदु जहाँ कुल विभव शून्य है,आवेश $A$ $(2 \mu C)$ से $x$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुल विभव शून्य होने के लिए,दोनों आवेशों के कारण विभव का योग शून्य होना चाहिए:
$V_A + V_B = 0$
$\frac{k(2 \times 10^{-6})}{x} + \frac{k(-3 \times 10^{-6})}{1 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{3}{1 - x}$
$2(1 - x) = 3x$
$2 - 2x = 3x$
$2 = 5x$
$x = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
अतः,$A$ से दूरी $0.4 \ m$ है।

(D) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$.
'$a$' भुजा की लंबाई वाले समबाहु त्रिभुज के लिए जिसके शीर्षों पर '$q$','$q$',और '$Q$' आवेश हैं,कुल स्थितिज ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q \cdot q}{a} + \frac{q \cdot Q}{a} + \frac{Q \cdot q}{a} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + qQ + Qq) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 a} (q^2 + 2qQ)$
निकाय की स्थितिज ऊर्जा शून्य होने के लिए,हम $U = 0$ रखते हैं:
$q^2 + 2qQ = 0$
$q(q + 2Q) = 0$
चूंकि $q \neq 0$,इसलिए $q + 2Q = 0$,जिससे $Q = -\frac{q}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = q(V_B - V_A)$।
दिया गया है:
किया गया कार्य $W = 90 \ J$
आवेश $q = 3 \ C$
$A$ पर विभव $V_A = -10 \ V$
$B$ पर विभव $V_B = V_1$
सूत्र में मान रखने पर:
$90 = 3 \times (V_1 - (-10))$
$90 = 3 \times (V_1 + 10)$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$30 = V_1 + 10$
$V_1 = 30 - 10$
$V_1 = 20 \ V$.

(B) आवेश $2d$ व्यास वाले वृत्त की परिधि पर रखे गए हैं। वृत्त की त्रिज्या $r = \text{व्यास} / 2 = (2d) / 2 = d$ है।
चूंकि आवेश वृत्त के भीतर एक वर्ग बनाते हैं,इसलिए प्रत्येक आवेश केंद्र से $r = d$ की दूरी पर है।
एक बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है।
चूंकि चार समान आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विभव $V_{total}$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का योग होगा:
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} + \frac{q}{d} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d} \right) = \frac{q}{\pi \varepsilon_0 d}$.
अतः,केंद्र पर विभव $q/d$ के समानुपाती है।

(A) दो आवेशों के निकाय के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$(K.E. + P.E.)_{\text{initial}} = (K.E. + P.E.)_{\text{final}}$
प्रारंभ में कण स्थिर हैं,इसलिए $K.E._{\text{initial}} = 0$.
मान लीजिए कि $\frac{r}{2}$ दूरी पर प्रत्येक कण की चाल $v$ है। समान द्रव्यमान $m$ होने के कारण,संवेग संरक्षण के अनुसार वे समान और विपरीत वेग से गति करेंगे।
कुल गतिज ऊर्जा $K.E._{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$ होगी।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ का उपयोग करने पर:
$0 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r} = mv^2 + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r/2}$
$mv^2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{2}{r} \right) = -\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
नोट: ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि समान आवेश होने पर वे इस दूरी तक नहीं पहुँच पाएंगे। यदि विपरीत आवेश हों,तो चाल का परिमाण $v = \sqrt{\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 mr}}$ होगा।

(C) षट्भुज के प्रत्येक शीर्ष पर स्थित आवेश $q$ के कारण केंद्र $O$ पर विभव प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है।
एक समषट्भुज में केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी उसकी भुजा की लंबाई $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ के बराबर होती है,इसलिए केंद्र पर विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = 6 \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} \right)$
यहाँ $q = 1 \mu\text{C} = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$,$r = 0.1 \text{ m}$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$ है:
$V = 6 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.1} \right)$
$V = 6 \times 9 \times 10^9 \times 10^{-5}$
$V = 54 \times 10^4 = 5.4 \times 10^5 \text{ volt}$.

(B) जब दो पृथक धात्विक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो उनके बीच आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं।
मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_A$ और $r_B$ हैं,और उनके अंतिम आवेश $q_A$ और $q_B$ हैं।
दिया गया है कि $r_B = \frac{r_A}{2}$,जिसका अर्थ है $r_A = 2r_B$।
चूंकि विभव समान हैं,इसलिए $V_A = V_B$।
विभव के सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_A}{r_A} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_B}{r_B}$
$\frac{q_A}{q_B} = \frac{r_A}{r_B}$
$r_A = 2r_B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{q_A}{q_B} = \frac{2r_B}{r_B} = \frac{2}{1}$
अतः,गोलों $A$ और $B$ पर आवेश का अनुपात $2: 1$ है।

(B) आवेशित चाप के कारण उसके केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ चाप पर कुल आवेश है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
$R$ त्रिज्या वाले अर्ध-वलय के लिए,कुल आवेश $Q = \lambda \times (\pi R)$ होता है।
अतः,पहले अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_1)}{R_1} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे अर्ध-वलय के कारण केंद्र पर विभव $V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (\pi R_2)}{R_2} = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0}$ है।
केंद्र पर कुल विभव $V_{net} = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} + \frac{\lambda}{4 \varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2 \varepsilon_0}$ होगा।

(A) हम जानते हैं कि इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ और $F = qE$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$qE = ma$,जिसका अर्थ है $a = \frac{qE}{m} \quad ...(i)$.
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$s = l$,और $v$ अंतिम वेग है:
$v^2 - 0^2 = 2al$
$v^2 = 2al$
$a = \frac{v^2}{2l} \quad ...(ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{qE}{m} = \frac{v^2}{2l}$.
$\frac{q}{m}$ के अनुपात के लिए व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q}{m} = \frac{v^2}{2El}$.

(A) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kQ}{r}$ होता है।
चूंकि $10 \mu C$ का आवेश वर्ग के केंद्र में स्थित है,इसलिए चारों कोने $(A, B, C, D)$ केंद्र से समान दूरी $r$ पर हैं।
अतः,कोने $A$ पर विद्युत विभव $(V_A)$ और कोने $B$ पर विद्युत विभव $(V_B)$ समान हैं,अर्थात $V_A = V_B$।
आवेश $q$ को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = q(V_B - V_A)$ है।
चूंकि $V_A = V_B$ है,इसलिए विभवांतर $(V_B - V_A) = 0$ होगा।
इस प्रकार,किया गया कार्य $W = 2 \mu C \times 0 = 0$ होगा।

(B) वान डी ग्राफ जनरेटर मुख्य रूप से दो सिद्धांतों पर कार्य करता है:
$1$. नुकीले सिरों पर कोरोना डिस्चार्ज की घटना,जो गतिमान बेल्ट पर आवेश के स्थानांतरण की अनुमति देती है।
$2$. यह गुण कि खोखले चालक को दिया गया आवेश उसकी बाहरी सतह पर स्थानांतरित हो जाता है,और जैसे-जैसे अधिक आवेश दिया जाता है,चालक का विभव बढ़ता जाता है।
विकल्प $B$ साइक्लोट्रॉन के सिद्धांत का वर्णन करता है,जहाँ आवेशित कणों को त्वरित करने के लिए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का उपयोग किया जाता है। इसलिए,वान डी ग्राफ जनरेटर एक-दूसरे के लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के अनुप्रयोग पर आधारित नहीं है।

(B) माना कि वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $2L$ है। आवेश इस प्रकार रखे गए हैं: $A(+q), B(+q), C(-q), D(-q)$। बिंदु $P$ भुजा $AB$ का मध्य बिंदु है।
बिंदु $P$ से आवेशों की दूरियाँ इस प्रकार हैं:
$AP = L$
$BP = L$
$DP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
$CP = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{5L^2} = L\sqrt{5}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ अलग-अलग आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V = V_A + V_B + V_C + V_D$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{p}{r^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत विभव $V$,$1/r^2$ के समानुपाती होता है।

(B) दो बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक दूरी $r_i = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{k q_1 q_2}{r_i}$ है।
जब $q_2$ को $q_1$ की ओर $2 \ cm$ खिसकाया जाता है,तो नई दूरी $r_f = 10 \ cm - 2 \ cm = 8 \ cm = 0.08 \ m$ हो जाती है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{k q_1 q_2}{r_f}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$ है।
मान रखने पर:
$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = 6 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$.
$\Delta U = (9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.08} - \frac{1}{0.1} \right)$.
$\Delta U = 216 \times 10^{-3} \times \left( 12.5 - 10 \right)$.
$\Delta U = 0.216 \times 2.5 = 0.54 \ J$.

(D) एक आवेश $q$ को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q \Delta V$
जहाँ $\Delta V$ दो बिंदुओं के बीच विभवांतर है।
परिभाषा के अनुसार,समविभव पृष्ठ वह पृष्ठ है जहाँ प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
इसलिए,समविभव पृष्ठ पर किन्हीं भी दो बिंदुओं के लिए,विभवांतर $\Delta V = 0$ होता है।
इस मान को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = q \times 0 = 0$
अतः,समविभव पृष्ठ पर आवेश को स्थानांतरित करने के लिए किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) विद्युत विभव $V$ में स्थित आवेश $q$ की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है।
जब एक इकाई धनात्मक आवेश $(q = 1)$ को निम्न विभव $(V_L)$ वाले क्षेत्र से उच्च विभव $(V_H)$ वाले क्षेत्र में ले जाया जाता है,तो स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q(V_H - V_L)$ होता है।
चूंकि $V_H > V_L$,इसलिए पद $(V_H - V_L)$ धनात्मक है।
अतः,$\Delta U > 0$,जिसका अर्थ है कि स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
वैकल्पिक रूप से,एक धनात्मक आवेश को निम्न विभव से उच्च विभव तक ले जाने के लिए एक बाहरी एजेंट द्वारा विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है,और यह कार्य निकाय में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ है।
जब $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ है।
$Q$ और $R$ के मान रखने पर: $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{nq}{n^{1/3} r}$।
इसे सरल करने पर,हमें $V' = n^{1 - 1/3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} \right) = n^{2/3} V$ प्राप्त होता है।

(A) तार $C$ पर कोई नेट बल कार्य न करे,इसके लिए तार $D$ द्वारा लगाया गया चुंबकीय बल और तार $B$ द्वारा लगाया गया चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
माना कि तार $C$ की तार $D$ से दूरी $x$ है। तब तार $C$ की तार $B$ से दूरी $(15 - x) \text{ cm}$ होगी।
दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल,जिनमें $i_1$ और $i_2$ धारा प्रवाहित हो रही है और जो $r$ दूरी पर स्थित हैं,$F = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $C$ पर लगने वाले बलों को बराबर करने पर:
$F_{CD} = F_{CB}$
$\frac{\mu_0 i_C i_D}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 i_C i_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{i_D}{x} = \frac{i_B}{15 - x}$
दिए गए मान $i_D = 15 \text{ A}$ और $i_B = 10 \text{ A}$ रखने पर:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \text{ cm}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित $L$ लंबाई की लूप की भुजा पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = BIL$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ लूप में प्रवाहित धारा है।
चुंबकीय बल द्वारा द्रव्यमान $M$ के भार को संतुलित करने के लिए,हमारे पास $F = Mg$ होना चाहिए।
इसलिए,$BIL = Mg$।
ओम के नियम के अनुसार,लूप में धारा $I = \frac{V}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ अनुप्रयुक्त वोल्टेज है और $R$ लूप का प्रतिरोध है।
बल समीकरण में $I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B \left( \frac{V}{R} \right) L = Mg$ प्राप्त होता है।
$V$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $V = \frac{MgR}{BL}$ प्राप्त होता है।

(B) वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = 25 \, cm^2 = 25 \times 10^{-4} \, m^2$ है।
भुजा की लंबाई $l = \sqrt{A} = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है।
वेग $v = \frac{l}{t} = \frac{0.05 \, m}{1 \, s} = 0.05 \, m/s$ है।
प्रेरित $EMF$ $e = B l v$ है।
प्रेरित धारा $I = \frac{e}{R} = \frac{B l v}{R}$ है।
मान रखने पर: $I = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01 \, A$।
चालक पर चुंबकीय बल $F = B I l$ है।
$F = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02 \, N$।
किया गया कार्य $W = F \times l = 0.02 \, N \times 0.05 \, m = 1 \times 10^{-3} \, J$ होगा।