MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,ऊष्मा का आदान-प्रदान $\Delta Q = 0$ होता है।
इसलिए,$0 = \Delta U + \Delta W$,जिसका अर्थ है $\Delta U = -\Delta W$।
जब गैस को संकुचित किया जाता है,तो गैस पर कार्य किया जाता है,इसलिए $\Delta W$ ऋणात्मक होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\Delta U = -(\text{ऋणात्मक मान})$,जिससे $\Delta U$ धनात्मक प्राप्त होता है।
आंतरिक ऊर्जा में धनात्मक परिवर्तन $(\Delta U > 0)$ का अर्थ है कि गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।

(A) गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} MV^2$ है।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $75 \%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा $Q = 0.75 \times K.E. = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} MV^2 = \frac{3}{8} MV^2$ है।
गोली के तापमान को $\Delta T$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा $H = M s \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $J$ का उपयोग करते हुए,जूल $(W)$ में ऊष्मा ऊर्जा और कैलोरी $(Q)$ के बीच संबंध $W = JQ$ है।
यहाँ,किया गया कार्य (परिवर्तित ऊर्जा) $W = \frac{3}{8} MV^2$ है और अवशोषित ऊष्मा $Q = M s \Delta T$ है।
अतः,$\frac{3}{8} MV^2 = J (M s \Delta T)$।
तापमान में वृद्धि $\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{3 MV^2}{8 J M s} = \frac{3 V^2}{8 Js}$।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta Q = \Delta U + W$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $W$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को प्रथम नियम के समीकरण में रखने पर: $0 = \Delta U + W$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = -W$।

(A) गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = 2.5 PV$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = 2.5 P(V_f - V_i)$ है।
यहाँ $P = 10^5 \text{ N/m}^2$, $V_i = 1 \text{ लीटर} = 10^{-3} \text{ m}^3$, और $V_f = 2 \text{ लीटर} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$ दिया गया है।
$\Delta U = 2.5 \times 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 2.5 \times 10^5 \times 10^{-3} = 250 \text{ J}$।
स्थिर दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = 10^5 \times (2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3}) = 10^5 \times 10^{-3} = 100 \text{ J}$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W$ है।
$Q = 250 \text{ J} + 100 \text{ J} = 350 \text{ J}$।

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ एक अवस्था फलन है और यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
दोनों पथों $abc$ और $adc$ के लिए,प्रारंभिक अवस्था $a$ है और अंतिम अवस्था $c$ है,इसलिए $\Delta U$ समान रहता है।
पथ $abc$ के लिए:
$\Delta U = Q_{abc} - W_{abc} = 80 \ cal - 35 \ cal = 45 \ cal$।
पथ $adc$ के लिए:
चूंकि $\Delta U$ समान है,इसलिए $\Delta U = 45 \ cal$।
दिया गया है कि $Q_{adc} = 65 \ cal$,हम ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का पुनः उपयोग करते हैं:
$\Delta U = Q_{adc} - W_{adc}$
$45 \ cal = 65 \ cal - W_{adc}$
$W_{adc} = 65 \ cal - 45 \ cal = 20 \ cal$।

(B) गैस की आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने के लिए उपयोग की जाने वाली ऊष्मा ऊर्जा का अंश,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ और कुल दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$
एक आदर्श द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म गुणांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊर्जा का अंश:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$T_H V_1^{\gamma-1} = T_C V_2^{\gamma-1}$,जहाँ $T_H$ स्रोत का तापमान है और $T_C$ सिंक का तापमान है।
यह दिया गया है कि गैस द्वि-परमाणुक है,इसलिए रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1.4$ है।
आयतन $V_1 = V$ से बदलकर $V_2 = 32V$ हो जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{T_C}{T_H} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V}{32V}\right)^{1.4-1} = \left(\frac{1}{32}\right)^{0.4}$.
चूंकि $32 = 2^5$,हमें प्राप्त होता है $\left(\frac{1}{2^5}\right)^{0.4} = \left(\frac{1}{2^5}\right)^{2/5} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ होती है।
$\eta = 1 - 0.25 = 0.75$.

(C) कार्नोट इंजन के लिए,दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_L$ सिंक का तापमान है और $T_H$ स्रोत का तापमान है।
दिया गया है $\eta_1 = 40 \% = 0.4$ और $T_{H1} = 600 \ K$:
$0.4 = 1 - \frac{T_L}{600}$
$\frac{T_L}{600} = 1 - 0.4 = 0.6$
$T_L = 0.6 \times 600 = 360 \ K$।
अब,वांछित दक्षता $\eta_2 = 60 \% = 0.6$ के लिए,समान सिंक तापमान $T_L = 360 \ K$ के साथ:
$0.6 = 1 - \frac{360}{T_{H2}}$
$\frac{360}{T_{H2}} = 1 - 0.6 = 0.4$
$T_{H2} = \frac{360}{0.4} = 900 \ K$।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ का सूत्र है: $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$।
दिए गए मान $T_H = 600 \ K$ और $T_C = 300 \ K$ को रखने पर:
$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$।
दक्षता को किए गए कार्य $(W)$ और स्रोत से अवशोषित ऊष्मा $(Q)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है:
$\eta = \frac{W}{Q}$।
यहाँ $W = 1.5 \ kJ$ दिया गया है,इसलिए $Q$ का मान ज्ञात करने पर:
$0.5 = \frac{1.5}{Q}$।
$Q = \frac{1.5}{0.5} = 3.0 \ kJ$।
अतः,इंजन को स्थानांतरित की गई ऊष्मा $3.0 \ kJ$ है।

(C) सिलेंडर $A$ में,पिस्टन स्वतंत्र है,इसलिए गैस स्थिर दबाव पर फैलती है। दी गई ऊष्मा $Q_{A} = n C_{P} dT_{A}$ है।
सिलेंडर $B$ में,पिस्टन स्थिर है,इसलिए गैस को स्थिर आयतन पर गर्म किया जाता है। दी गई ऊष्मा $Q_{B} = n C_{V} dT_{B}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों सिलेंडरों को समान मात्रा में ऊष्मा दी जाती है,इसलिए $Q_{A} = Q_{B}$ है।
अतः,$n C_{P} dT_{A} = n C_{V} dT_{B}$।
$dT_{B}$ के लिए हल करने पर,हमें $dT_{B} = \frac{C_{P}}{C_{V}} dT_{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$,इसलिए सिलेंडर $B$ में तापमान में वृद्धि $dT_{B} = \gamma dT_{A}$ होगी।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\eta_1 = \frac{1}{6}$,इसलिए $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6}$,या $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ (समीकरण $i$)।
जब $T_2$ को $62 \ K$ कम किया जाता है,तो नया तापमान $(T_2 - 62) \ K$ हो जाता है। नई दक्षता $\eta_2 = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
इस समीकरण में $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$.
इसलिए,$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
अब,$T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$.

(B) एक आदर्श गैस के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{f}{2} nR \Delta T = \frac{5}{2} nR \Delta T$ है।
नियत दाब पर गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = nR \Delta T$ है।
संबंध $\Delta Q = n C_p \Delta T$ का उपयोग करने पर,जहाँ $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{7}{2} R$,हमें $\Delta Q = \frac{7}{2} nR \Delta T$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\Delta W : \Delta U : \Delta Q$ है:
$\Delta W : \Delta U : \Delta Q = (nR \Delta T) : (\frac{5}{2} nR \Delta T) : (\frac{7}{2} nR \Delta T)$।
$nR \Delta T$ से विभाजित करने पर,हमें $1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 : 5 : 7$ प्राप्त होता है।

(A) कार्नोट चक्र चार उत्क्रमणीय प्रक्रियाओं से बना है:
$1$. समतापीय प्रसार: गैस उच्च तापमान $T_H$ पर स्रोत से ऊष्मा $Q_H$ अवशोषित करके प्रसारित होती है।
$2$. रुद्धोष्म प्रसार: गैस बिना किसी ऊष्मा विनिमय के प्रसारित होती है और इसका तापमान गिरकर $T_L$ हो जाता है।
$3$. समतापीय संपीड़न: गैस कम तापमान $T_L$ पर संकुचित होती है और सिंक को ऊष्मा $Q_L$ निष्कासित करती है।
$4$. रुद्धोष्म संपीड़न: गैस बिना ऊष्मा विनिमय के अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाती है और इसका तापमान बढ़कर फिर से $T_H$ हो जाता है।
अतः,पहली प्रक्रिया समतापीय प्रसार है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,गैस द्वारा किया गया कार्य सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
दिया गया है:
मोल की संख्या $n = 1$
कार्य $W = 6R$
प्रारंभिक तापमान $T_i = T$
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = 5/3$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3) - 1}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर:
$6 = \frac{3(T - T_f)}{2}$
$12 = 3(T - T_f)$
$4 = T - T_f$
$T_f = T - 4$
अतः,गैस का अंतिम तापमान $(T - 4) \ K$ होगा।

(C) $P-V$ आरेख में,रुद्धोष्म प्रक्रिया का ढाल (slope) $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जबकि समतापीय प्रक्रिया का ढाल $\frac{dP}{dV} = -\frac{P}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma > 1$ है,इसलिए रुद्धोष्म वक्र समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है।
दिए गए $P-V$ ग्राफ को देखने पर,$AD$ और $BC$ खंड $AB$ और $CD$ खंडों की तुलना में अधिक तीव्र ढाल प्रदर्शित करते हैं।
अतः,रुद्धोष्म प्रक्रियाएं $AD$ और $BC$ क्षेत्रों द्वारा दर्शाई गई हैं।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: $PV = \frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2}$ --- $(i)$
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए: $PV = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$ --- $(ii)$
चूंकि $P$,$V$ और $m$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2} = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}$
दिया गया है कि $M_{O_2} = 32$ और $M_{H_2} = 2$:
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
अतः,उनके परम तापमान का अनुपात $16: 1$ है।

(A) समदाबी (isobaric) प्रक्रिया में,पूरी ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान निकाय का दाब स्थिर रहता है। परिभाषा के अनुसार,'iso' का अर्थ समान है और 'baric' का अर्थ दाब से है।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$। दिया गया है कि $V_2 = \frac{V_1}{2}$,इसलिए $P_{2,iso} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right) = 2 P_1$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$। इसलिए $P_{2,adia} = P_1 \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^\gamma = 2^\gamma P_1$।
चूंकि किसी भी गैस के लिए $\gamma > 1$ होता है,इसलिए $2^\gamma > 2$ होगा।
अतः,$P_{2,adia} > P_{2,iso}$।
इसका अर्थ है कि नमूना $A$ (समतापीय) का अंतिम दबाव नमूना $B$ (रुद्धोष्म) के अंतिम दबाव से कम है।

(A) आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध $C_p - C_v = R$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
चूंकि $C_p$ और $C_v$ विशिष्ट ऊष्मा (प्रति इकाई द्रव्यमान) के रूप में दिए गए हैं,हम $C_p - C_v = \frac{R}{M}$ संबंध का उपयोग करते हैं,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
अतः,$R = M(C_p - C_v)$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
समीकरण में $n$ और $R$ का मान रखने पर: $PV = \frac{m}{M} \cdot M(C_p - C_v) \cdot T$।
सरल करने पर,हमें $PV = m(C_p - C_v)T$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,हम समीकरण को $P = \frac{m}{V}(C_p - C_v)T$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसलिए,$\rho = \frac{P}{(C_p - C_v)T}$।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ है।
घातांक $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ में $\gamma$ का मान रखने पर:
$x = \frac{1.4}{1.4-1} = \frac{1.4}{0.4} = \frac{14}{4} = 3.5$.
अतः,$P \propto T^{3.5}$,इसलिए $x$ का मान $3.5$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
इससे, हम $P = \frac{nRT}{V}$ लिख सकते हैं।
प्रक्रिया के लिए दी गई स्थिति $PV^2 = \text{constant}$ है।
दी गई स्थिति में $P$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^2 = \text{constant}$
$nRT V = \text{constant}$
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं, हमें $TV = \text{constant}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{V}$।
जैसे-जैसे गैस फैलती है, आयतन $V$ बढ़ता है।
चूंकि $T$, $V$ के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए आयतन में वृद्धि होने पर गैस का तापमान घट जाएगा।

(D) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = nC_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$,जहाँ $\Delta U = nC_v \Delta T$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $W$ किया गया कार्य है।
अतः,$W = \Delta Q - \Delta U = nC_p \Delta T - nC_v \Delta T = n(C_p - C_v) \Delta T$.
अनुपात $\frac{W}{\Delta Q}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{n(C_p - C_v) \Delta T}{nC_p \Delta T} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p}$.
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ होता है।
अतः,$\frac{W}{\Delta Q} = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.

(A) आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन का सूत्र है: $\Delta U = n C_v \Delta T$ ... $(i)$
दिया गया है कि $\frac{C_P}{C_v} = \gamma$ और $C_P - C_v = R$,जिससे हम लिख सकते हैं कि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$.
स्थिर दाब $P$ के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$P \Delta V = nR \Delta T$ प्राप्त होता है।
$\Delta U$ के समीकरण में $nR \Delta T$ के स्थान पर $P \Delta V$ रखने पर: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma - 1}$.
यहाँ आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए $\Delta V = 2V - V = V$.
अतः,$\Delta U = \frac{PV}{\gamma - 1}$.

(C) समदाबी प्रक्रिया के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
ऊष्मा और कार्य का अनुपात $\frac{Q}{W} = \frac{n C_p \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{C_p}{R}$ है।
हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p = \frac{R \gamma}{\gamma - 1}$ होती है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{Q}{W} = \frac{R \gamma / (\gamma - 1)}{R} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 100^{\circ} C = 373 \ K$। एक बंद पात्र में आयतन स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए $P \propto T$ होता है।
इसलिए,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
चूंकि दबाव में $4 \%$ की वृद्धि होती है,$P_2 = P_1 + 0.04 P_1 = 1.04 P_1$।
इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = 1.04$।
$T_2 = 1.04 \times 373 \ K = 387.92 \ K$।
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 387.92 \ K - 373 \ K = 14.92 \ K$।
चूंकि केल्विन में तापमान का परिवर्तन सेल्सियस में तापमान के परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए $\Delta T = 14.92^{\circ} C$।

(D) समदाबी प्रक्रिया में, दाब स्थिर रहता है।
विनिमय की गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए, $R = C_p - C_v$।
इसलिए, $W = n(C_p - C_v) \Delta T$।
किए गए कार्य और ऊष्मा का अनुपात $\frac{W}{Q} = \frac{n(C_p - C_v) \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_p - C_v}{C_p} = 1 - \frac{C_v}{C_p}$ है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$, इसलिए $\frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$।
अतः, $\frac{W}{Q} = 1 - \frac{1}{\gamma} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से:
$1$. चित्र $(a)$ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है, जो समतापी प्रक्रिया का विशिष्ट आकार है जहाँ $T$ स्थिर रहता है, इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$.
$2$. चित्र $(b)$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाता है जहाँ दाब $P$ बदलता है लेकिन आयतन $V$ स्थिर रहता है। यह एक समआयतनिक (isochoric) प्रक्रिया को दर्शाता है।
$3$. चित्र $(c)$ एक क्षैतिज रेखा दर्शाता है जहाँ आयतन $V$ बदलता है लेकिन दाब $P$ स्थिर रहता है। यह एक समदाबी (isobaric) प्रक्रिया को दर्शाता है।
अतः, चित्र $(a)$ समतापी है, चित्र $(b)$ समआयतनिक है और चित्र $(c)$ समदाबी है। इसलिए, विकल्प $(D)$ सही है।

(B) चरण $1$: $V$ से $4V$ तक समतापीय प्रसार।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
दिया गया है $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 4V$।
$P \times V = P_2 \times 4V$
$P_2 = \frac{P}{4}$।
चरण $2$: $4V$ से $V$ तक रुद्धोष्म संपीड़न।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$ होता है।
दिया गया है $P_2 = \frac{P}{4}$,$V_2 = 4V$,$V_3 = V$,और $\gamma = \frac{3}{2}$।
$\frac{P}{4} \times (4V)^{3/2} = P_3 \times V^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times \frac{(4V)^{3/2}}{V^{3/2}}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times 4^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{4} \times (2^2)^{3/2} = \frac{P}{4} \times 2^3 = \frac{P}{4} \times 8$
$P_3 = 2P$।

$(B)$ समआयतनिक प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(V = \text{constant})$.
दाब-आयतन $(P-V)$ आरेख में, स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, क्योंकि दाब के बदलने पर भी आयतन नहीं बदलता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर, ग्राफ $(B)$ दाब अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा दिखाता है, जो यह दर्शाता है कि दाब $P$ के सभी मानों के लिए आयतन $V$ स्थिर है।
इसलिए, ग्राफ $(B)$ समआयतनिक प्रक्रिया को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और तापमान $T$ के बीच संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है $P \propto T^K$,इसलिए $K = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ है।
हम जानते हैं कि $C_p = C_v + R$। दिया गया है $R = 0.4 C_v$,इसलिए $C_p = C_v + 0.4 C_v = 1.4 C_v$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{1.4 C_v}{C_v} = 1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ है।
$K$ के व्यंजक में $\gamma = 7/5$ रखने पर:
$K = \frac{7/5}{(7/5) - 1} = \frac{7/5}{2/5} = \frac{7}{2}$।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। चूंकि $n = \frac{m}{M}$,इसलिए $PV = \frac{m}{M}RT$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $M$ आणविक भार है।
अतः,$M = \frac{\rho RT}{P}$ होता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$
दिया गया है कि $P_A = 2P_B$ और $\rho_A = 1.5\rho_B = \frac{3}{2}\rho_B$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{1.5\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{2P_B} = 1.5 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
इसलिए,$A$ और $B$ के आणविक भार का अनुपात $3: 4$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए (गैस $A$): $P_i V_i = P_f V_f$. दिया गया है $V_f = V_i/8$,इसलिए $P_i V_i = P_A (V_i/8) \implies P_A = 8 P_i$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए (गैस $B$): $P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$. दिया गया है $V_f = V_i/8$ और $\gamma = 5/3$,इसलिए $P_i V_i^{5/3} = P_B (V_i/8)^{5/3}$.
$P_B = P_i (8)^{5/3} = P_i (2^3)^{5/3} = P_i (2^5) = 32 P_i$.
गैस $A$ और $B$ के अंतिम दबाव का अनुपात $P_A / P_B = (8 P_i) / (32 P_i) = 8/32 = 1/4$ है।

(A) $1$. प्रक्रिया $AB$ समतापीय है $(T = \text{स्थिर})$. $p-T$ आरेख में, इसे एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $T$ स्थिर रहता है।
$2$. प्रक्रिया $BC$ समदाबी है $(p = \text{स्थिर})$. $p-T$ आरेख में, इसे एक क्षैतिज रेखा द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $p$ स्थिर रहता है।
$3$. प्रक्रिया $CA$ रुद्धोष्म है $(pV^{\gamma} = \text{स्थिर})$. आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करने पर, $p^{1-\gamma}T^{\gamma} = \text{स्थिर}$ प्राप्त होता है, जो दर्शाता है कि यह वक्र रैखिक नहीं है।
$4$. $p-V$ आरेख में चक्रीय क्रम $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$ का विश्लेषण करने पर:
- $A \rightarrow B$: $p$ घटता है, $V$ बढ़ता है (समतापीय)।
- $B \rightarrow C$: $p$ स्थिर रहता है, $V$ घटता है (समदाबी)।
- $C \rightarrow A$: $p$ बढ़ता है, $V$ घटता है (रुद्धोष्म)।
$5$. इसे $p-T$ ग्राफ के साथ मिलाने पर, विकल्प $(G)$ सही क्रम को दर्शाता है।

(C) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है।
किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$।
कार्य में परिवर्तित ऊष्मा का अंश $\frac{W}{\Delta Q} = \frac{\Delta Q - \Delta U}{\Delta Q} = 1 - \frac{\Delta U}{\Delta Q}$ है।
चूंकि $\Delta U = n C_v \Delta T$ और $\Delta Q = n C_p \Delta T$,इसलिए $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंश $1 - \frac{1}{\gamma} = 1 - \frac{1}{5/3} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।

(B) एक आदर्श दृढ़ द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_p = \frac{7}{2}R$ और स्थिर आयतन पर $C_v = \frac{5}{2}R$ होती है।
समदाबी प्रक्रिया में,दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_p \Delta T$ है और किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
किए गए कार्य और दी गई ऊष्मा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p}$
$C_p$ का मान रखने पर:
$\frac{W}{\Delta Q} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{2}{7}$

(A) एडियाबेटिक प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच का संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,तापमान का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ है।
मोनोएटॉमिक आदर्श गैस के लिए,एडियाबेटिक घातांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
अतः,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ होगा।
चूंकि गैस स्थिर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाले सिलेंडर में है,इसलिए आयतन $V = A \times L$ है। अतः,$V_1 = A L_1$ और $V_2 = A L_2$ होगा।
इन मानों को तापमान अनुपात समीकरण में रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{A L_1}{A L_2}\right)^{2/3} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,$V_2 = (8/27) V_1$,और $\gamma = 5/3$.
मान रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_1}{(8/27)V_1}\right)^{(5/3)-1} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3}$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
$T_2 = 2.25 \times 300 \ K = 675 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ है।

(C) चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक आयतन $V$ है।
दबाव में $20 \%$ की कमी की जाती है,इसलिए नया दबाव $P_2 = P - 0.20P = 0.80P$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $P \times V = 0.80P \times V_2$.
$V_2$ के लिए हल करने पर: $V_2 = \frac{V}{0.80} = 1.25V$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V = 1.25V - V = 0.25V$ है।
आयतन में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$ है।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए आयतन $25 \%$ बढ़ जाता है।

(C) आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से, हमारे पास $P = \frac{nRT}{V}$ है।
दी गई प्रक्रिया का नियम $VP^2 = \text{constant}$ है।
दिए गए नियम में $P$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $V \left(\frac{nRT}{V}\right)^2 = \text{constant}$.
इसे सरल करने पर $V \cdot \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} = \text{constant}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{T^2}{V} = \text{constant}$.
इसलिए, $\frac{T_1^2}{V_1} = \frac{T_2^2}{V_2}$.
यहाँ $T_1 = T$, $V_1 = V$, और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{T^2}{V} = \frac{T_2^2}{2V}$.
$T_2^2 = 2T^2$.
$T_2 = \sqrt{2} T$.

(B) दी गई तरंगें $Y_1 = a_1 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right)$ और $Y_2 = a_2 \cos \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi\right)$ हैं।
कला (phase) की तुलना करने के लिए,हम कोसाइन फलन को साइन फलन में बदलते हैं: $\cos(\theta) = \sin(\theta + \frac{\pi}{2})$.
अतः,$Y_2 = a_2 \sin \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right)$.
कलांतर $\delta$ साइन फलनों के तर्कों के बीच का अंतर है: $\delta = \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi + \frac{\pi}{2}\right) - \left(\omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}\right) = \phi + \frac{\pi}{2}$.
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर $\delta$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \delta$ है।
$\delta$ का मान रखने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \left(\phi + \frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: वेग $v = 330 \,m/s$, पथ अंतर $\Delta x = 40 \,cm = 0.4 \,m$, और कलांतर $\Delta \phi = 1.6 \pi$.
हम जानते हैं कि कलांतर और पथ अंतर के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
यहाँ $\lambda = \frac{v}{f}$ रखने पर, $\Delta \phi = \frac{2 \pi f}{v} \Delta x$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $f = \frac{\Delta \phi \cdot v}{2 \pi \cdot \Delta x}$.
मान रखने पर: $f = \frac{1.6 \pi \cdot 330}{2 \pi \cdot 0.4}$.
$f = \frac{1.6 \cdot 330}{0.8} = 2 \cdot 330 = 660 \,Hz$.

(A) दिया गया है: कलांतर $\phi = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
पथ अंतर $x = 0.6 \text{ m}$.
आवृत्ति $n = 500 \text{ Hz}$.
पथ अंतर $(x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध $x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ है।
मान रखने पर: $0.6 = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{3}$.
$0.6 = \frac{\lambda}{6} \implies \lambda = 3.6 \text{ m}$.
तरंग का वेग $v = n \lambda$ है।
$v = 500 \times 3.6 = 1800 \text{ m/s}$.
$\text{km/s}$ में बदलने पर: $v = 1.8 \text{ km/s}$.

(D) परकशन (ताल वाद्य) वह वाद्ययंत्र है जो टकराने,रगड़ने या हिलाने से ध्वनि उत्पन्न करता है। डफली,संबल और झांझ सभी ताल वाद्य हैं।
दूसरी ओर,क्लैरिनेट एक वायु वाद्य (wind instrument) है,न कि ताल वाद्य। यह हवा फूँकने पर रीड के कंपन के माध्यम से ध्वनि उत्पन्न करता है।
अतः,क्लैरिनेट सही उत्तर है।

(D) दो बिंदु कंपन की समान अवस्था (समान कला) में तब होते हैं जब उनका विस्थापन समान हो और वे एक ही दिशा में गति कर रहे हों। यह उन बिंदुओं पर होता है जो तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के पूर्णांक गुणज की दूरी पर स्थित होते हैं।
आरेख को देखने पर,बिंदु $B$ पहले श्रृंग (crest) के नीचे की ओर ढलान पर स्थित है। बिंदु $E$ तीसरे श्रृंग के नीचे की ओर ढलान पर स्थित है।
$B$ और $E$ के बीच की दूरी ठीक एक पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर है।
अतः,बिंदु $B$ और $E$ समान कला में हैं।

(C) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जिन्हें संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम (ठोस,द्रव या गैस) की आवश्यकता होती है। वे माध्यम के कणों को कंपन कराकर यात्रा करती हैं। चूंकि निर्वात में कोई कण नहीं होते हैं,इसलिए ध्वनि तरंगें इसमें से यात्रा नहीं कर सकती हैं। अतः,यह कथन कि ध्वनि निर्वात में यात्रा कर सकती है,गलत है।

(A) तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
तनाव के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $T = v^2 \mu$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\mu = 10^{-6} \,kg/cm = 10^{-4} \,kg/m$.
दिए गए तरंग समीकरण $Y = 0.2 \sin(2x + 80t)$ की तुलना मानक रूप $Y = A \sin(Kx + \omega t)$ से करने पर,हम कोणीय आवृत्ति $\omega = 80 \,rad/s$ और तरंग संख्या $K = 2 \,rad/m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{K} = \frac{80}{2} = 40 \,m/s$ है।
इन मानों को तनाव के सूत्र में रखने पर:
$T = (40)^2 \times 10^{-4} = 1600 \times 10^{-4} = 0.16 \,N$.

(B) माना ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
माना $T_1 = 225 \ N$ और $T_2 = 256 \ N$ तनाव पर तार की आवृत्तियाँ क्रमशः $n_1$ और $n_2$ हैं।
चूंकि खींचे गए तार की आवृत्ति तनाव के वर्गमूल के समानुपाती होती है $(n \propto \sqrt{T})$,हमें प्राप्त होता है:
$n_1 = n - 6$
$n_2 = n + 6$
अनुपात लेने पर:
$\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{225}{256}} = \frac{15}{16}$
$\frac{n - 6}{n + 6} = \frac{15}{16}$
$16(n - 6) = 15(n + 6)$
$16n - 96 = 15n + 90$
$n = 186 \ Hz$

(B) तरंग का सामान्य समीकरण $Y = A \sin(\omega t)$ है।
पहली तरंग के लिए,$Y_1 = 0.25 \sin(316t)$,सामान्य समीकरण से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$,आवृत्ति $f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ होगी।
दूसरी तरंग के लिए,$Y_2 = 0.25 \sin(310t)$,सामान्य समीकरण से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
आवृत्ति $f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ होगी।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) मान लीजिए कि $28$ ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ बढ़ते क्रम में $n_1, n_2, \dots, n_{28}$ हैं।
चूंकि प्रत्येक फोर्क अपने पिछले फोर्क के साथ '$x$' बीट्स प्रति सेकंड उत्पन्न करता है,इसलिए आवृत्तियाँ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती हैं जिसका सामान्य अंतर $d = x$ है।
अतः,$k^{\text{th}}$ फोर्क की आवृत्ति $n_k = n_1 + (k-1)x$ है।
$12^{\text{th}}$ फोर्क के लिए: $n_{12} = n_1 + 11x = 152 \text{ Hz} \quad \dots(1)$.
$28^{\text{th}}$ फोर्क के लिए: $n_{28} = n_1 + 27x$.
दिया गया है कि अंतिम फोर्क पहले फोर्क का ऑक्टेव है,इसलिए $n_{28} = 2n_1$.
$n_{28}$ के लिए समीकरण रखने पर: $2n_1 = n_1 + 27x \Rightarrow n_1 = 27x$.
समीकरण $(1)$ में $n_1 = 27x$ रखने पर:
$27x + 11x = 152$
$38x = 152$
$x = \frac{152}{38} = 4 \text{ Hz}$.

(C) विस्थापन के दिए गए समीकरण हैं:
$x_1 = 2 \sin(1000 \pi t)$
$x_2 = 3 \sin(1006 \pi t)$
इन्हें मानक समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्तियाँ: $\omega_1 = 1000 \pi$ और $\omega_2 = 1006 \pi$ हैं।
आयाम: $A_1 = 2$ और $A_2 = 3$ हैं।
आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{1000 \pi}{2 \pi} = 500 \text{ Hz}$ और $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{1006 \pi}{2 \pi} = 503 \text{ Hz}$ हैं।
बीट आवृत्ति $|f_2 - f_1| = |503 - 500| = 3 \text{ बीट्स/सेकंड}$ है।
अधिकतम तीव्रता अधिकतम आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(A_{\text{max}} = A_1 + A_2)$।
$A_{\text{max}} = 2 + 3 = 5$ इकाई।
अधिकतम तीव्रता $\propto (A_{\text{max}})^2 = (5)^2 = 25$ इकाई।
अतः,तरंगें $3$ बीट्स/सेकंड और $25$ इकाई की अधिकतम तीव्रता उत्पन्न करती हैं।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तारों के बीच मध्य बिंदु $P$ पर,प्रत्येक तार से दूरी $d$ है।
पहले तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार कागज के तल के अंदर की ओर)।
दूसरे तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार कागज के तल के बाहर की ओर)।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ होगा।

(D) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I_1 I_2}{r}$
यहाँ,$I_1 = I_2 = I$ और दूरी $r = b$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{F}{l} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I \cdot I}{b} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर बल $\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I^2}{b}$ है।

(A) $I_1$ और $I_2$ धारा वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
समान दिशा में बहने वाली धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं,जबकि विपरीत दिशा में बहने वाली धाराएं एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करती हैं।
तार $A$ में $1 \text{ A}$ नीचे की ओर,तार $B$ में $2 \text{ A}$ नीचे की ओर और तार $C$ में $3 \text{ A}$ ऊपर की ओर धारा बह रही है।
$A$ के कारण $B$ पर बल $(F_{BA})$: चूंकि $A$ और $B$ में धारा समान दिशा में है,इसलिए वे आकर्षित करते हैं। अतः,$F_{BA}$,$A$ की ओर निर्देशित है।
इसका परिमाण $F_{BA} \propto (1 \text{ A} \times 2 \text{ A}) = 2$ है।
$C$ के कारण $B$ पर बल $(F_{BC})$: चूंकि $B$ और $C$ में धारा विपरीत दिशा में है,इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं। अतः,$F_{BC}$,$C$ से दूर यानी $A$ की ओर निर्देशित है।
इसका परिमाण $F_{BC} \propto (2 \text{ A} \times 3 \text{ A}) = 6$ है।
चूंकि दोनों बल $F_{BA}$ और $F_{BC}$ $A$ की ओर निर्देशित हैं,इसलिए परिणामी बल $A$ की दिशा में होगा।

(A) दोलन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
दिया गया है $n_1 = 30 \text{ दोलन/मिनट}$,इसलिए आवर्तकाल $T_1 = \frac{60}{30} = 2 \text{ s}$.
मान लीजिए पहले स्थान पर चुंबकीय प्रेरण $B_1$ है और दूसरे स्थान पर $B_2 = 3B_1$ है (प्रश्न के अनुसार वृद्धि)।
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_1}{B_2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_2}{2} = \sqrt{\frac{B_1}{3B_1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$T_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ s}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में सरल आवर्त गति करने वाली चुंबकीय सुई का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 6 \times 10^{-2} \text{ A m}^2$
जड़त्व आघूर्ण $I = 9.6 \times 10^{-5} \text{ kg m}^2$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.01 \text{ T}$
मान रखने पर:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-2} \times 0.01}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{9.6 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{0.16}$
$T = 6.28 \times 0.4 = 2.512 \text{ s}$
$10$ दोलनों के लिए लगा समय $= 10 \times T = 10 \times 2.512 = 25.12 \text{ s}$.

(A) $I$ धारा और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ समान हैं और उनके तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ का परिमाण समान होगा: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$।
चूंकि तल लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है: $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$।
$B_1 = B_2 = B$ रखने पर,$B_{net} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$।
$B$ का मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{2} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} R}$।
दिया गया है $I = \sqrt{2} \text{ A}$ और $R = 1 \text{ m}$,इसलिए $B_{net} = \frac{\mu_0 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times 1} = \mu_0$।

(D) टोरॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$।
दिया गया है:
$I = 5 \ A$
$r = 20 \ cm = 0.2 \ m$
$N = 4000$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 4000 \times 5}{2 \pi \times 0.2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20000}{0.2}$
$B = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.2} = 20 \times 10^{-3} = 2 \times 10^{-2} \ Wb/m^2$.

(D) एक पतली समान रूप से आवेशित घूमती हुई वलय एक धारावाही लूप की तरह कार्य करती है।
धारावाही वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ $(i)$
$N$ आवृत्ति (प्रति सेकंड चक्कर) के साथ घूमते हुए आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I$ है:
$I = q \times N$
समीकरण $(i)$ में $I$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 (qN)}{2 R}$
आवेश $q$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$q = \frac{2 RB}{\mu_0 N}$

(B) वृत्ताकार पथ पर गतिमान आवेशित कण एक धारावाही लूप की तरह व्यवहार करता है।
माना आवेश $q = 100e$ और घूर्णन की आवृत्ति $f = 1 \ Hz$ है।
तुल्य धारा $I = q \times f = 100e \times 1 = 100e$ है।
यहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ और त्रिज्या $r = 0.8 \ m$ है।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$
$B = \frac{\mu_0 \times 160 \times 10^{-19}}{1.6}$
$B = \mu_0 \times 100 \times 10^{-19} = 10^{-17} \mu_0$.

(B) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ का सूत्र है: $H = nI$,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $(n = N/L)$ है और $I$ धारा है।
दिया गया है:
$H = 2.4 \times 10^3 \ A/m$
$L = 15 \ cm = 0.15 \ m$
$N = 60$
संबंध $H = \frac{NI}{L}$ का उपयोग करके,हम $I$ के लिए हल कर सकते हैं:
$I = \frac{H \times L}{N}$
$I = \frac{2.4 \times 10^3 \times 0.15}{60}$
$I = \frac{360}{60} = 6 \ A$
अतः,परिनालिका में प्रवाहित होने वाली धारा $6 \ A$ है।

(C) एक आदर्श परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है $(n = N/L)$,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता (permeability) है और $I$ परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा है।
चूंकि सूत्र $B = \mu_0 (N/L) I$ फेरों की संख्या $N$,लंबाई $L$ और धारा $I$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह परिनालिका को लपेटने के लिए उपयोग किए गए तार की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण तार की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
प्रारंभ में,$B = \mu_0 n I$ है।
प्रश्न के अनुसार,फेरों की नई संख्या $n' = 3n$ है और नई धारा $I' = \frac{I}{4}$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \mu_0 n' I'$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B' = \mu_0 (3n) \left(\frac{I}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$B' = \frac{3}{4} (\mu_0 n I) = \frac{3}{4} B$ प्राप्त होता है।

(A) $I_c$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_w$ धारा वाले लंबे सीधे तार से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन दोनों चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान होना चाहिए और उनकी दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए:
$B_{loop} = B_{wire}$
$\frac{\mu_0 I_c}{2 R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$
दोनों पक्षों से $\mu_0$ और $2$ को हटाने पर:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{R I_w}{\pi I_c}$

(B) $I$ धारा ले जाने वाले $r$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,जो केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाता है,का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
दिया गया है कि कोण $\theta = \frac{\pi}{8}$ रेडियन है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{8}$
$B = \frac{\mu_0 I}{32 r}$
अतः,केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $\frac{\mu_0 I}{32 r}$ है।

(C) बिंदु '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र दो अर्ध-अनंत सीधे तारों और एक चौथाई-वृत्ताकार चाप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का योग है।
$1$. '$r$' दूरी पर एक अर्ध-अनंत सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ होता है। चूंकि दो ऐसे तार ($AB$ और $CD$) हैं,इसलिए उनका संयुक्त योगदान $B_{wires} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. '$r$' त्रिज्या वाले चौथाई-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \theta$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ होगा।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_{wires} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r}$ है।
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B_{total} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(\frac{4 \pi}{2 \pi} + \frac{4 \pi}{8}\right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$।

(A) $I_C$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_C = \frac{\mu_0 I_C}{2R}$ होता है।
$I_w$ धारा वाले लंबे सीधे तार से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_w = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ होता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,लूप और तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए।
अतः,$B_C = B_w$.
$\frac{\mu_0 I_C}{2R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$.
दोनों पक्षों से $\mu_0$ और $2$ को हटाने पर,हमें $\frac{I_C}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,हमें $d = \frac{R I_w}{\pi I_C}$ प्राप्त होता है।

(D) केंद्र $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे भाग और वृत्ताकार भाग के कारण होता है।
अनंत लंबाई के सीधे तार के लिए,$r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
अर्ध-वृत्ताकार भाग के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$ है।
चूंकि सीधे भाग और वृत्ताकार भाग द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों की दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B = |B_2 - B_1| = |\frac{\mu_0 I}{4 r} - \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}|$
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\pi - 2)$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $B \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि $r_1 = x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = B$ है।
मान लीजिए कि $r_2 = \frac{x}{3}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है।
समानुपातिकता $B_1 r_1 = B_2 r_2$ का उपयोग करने पर:
$B \cdot x = B_2 \cdot \frac{x}{3}$।
$B_2$ के लिए हल करने पर:
$B_2 = B \cdot \frac{x}{x/3} = 3B$।
अतः,$\frac{x}{3}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $3B$ होगा।

(C) दी गई जानकारी: $R_A = 0.20 \ m$,$I_A = 0.5 \ A$,$R_B = 0.10 \ m$।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ है।
कुंडली $A$ के लिए: $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 R_A}$।
कुंडली $B$ के लिए: $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$।
सामान्य केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों कुंडलियों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए और उनकी दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए।
चूँकि कुंडली $A$ में धारा वामावर्त दिशा में है,इसलिए कुंडली $B$ में धारा दक्षिणावर्त दिशा में होनी चाहिए।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$।
अतः,$I_B = I_A \times \frac{R_B}{R_A} = 0.5 \times \frac{0.10}{0.20} = 0.25 \ A$।
इस प्रकार,कुंडली $B$ में धारा $0.25 \ A$ दक्षिणावर्त दिशा में है।

(B) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वहन करने वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ धारा वाली कुंडली $P$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_P} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ है।
$\sqrt{8} I$ धारा वाली कुंडली $Q$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_Q} = \frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}$ है।
चूंकि कुंडलियाँ लंबवत तलों में हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_P}$ और $\vec{B_Q}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}\right)^2}$.
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + (\sqrt{8})^2} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1 + 8} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{9} = \frac{3 \mu_0 I}{2 R}$.

(C) टोरोइडल सोलेनोइड की अक्ष के अनुदिश चुंबकीय प्रेरण $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ $n = \frac{N}{2 \pi r}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
इस सूत्र में $n$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है,$N$ कुल फेरों की संख्या है,$I$ विद्युत धारा है,और $r$ टोरोइडल सोलेनोइड की त्रिज्या है।
हालाँकि,मानक समीकरण $B = \mu_0 n I$ में,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या को दर्शाता है। टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है। समीकरण $B = \mu_0 n I$ दर्शाता है कि क्षेत्र विद्युत धारा और फेरों के घनत्व पर निर्भर करता है। यदि $n$ को स्थिर रखा जाए,तो चुंबकीय प्रेरण टोरोइडल सोलेनोइड की त्रिज्या $r$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण टोरोइडल सोलेनोइड की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।

(D) केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\theta}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,चाप परिधि का $\frac{3}{4}$ भाग है,इसलिए अंतरित कोण $\theta = \frac{3}{4} \times 2 \pi = \frac{3 \pi}{2} \text{ रेडियन}$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{3 \pi / 2}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3}{4} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3 \mu_0 I}{8 R}$.
दाएँ हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,चूंकि धारा वामावर्त दिशा में बह रही है,इसलिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर निर्देशित होगा।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\theta}{2 \pi} \right)$.
यहाँ,केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\pi / 2}{2 \pi} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{1}{4} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{8 R}$.

(C) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $m = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि कुंडलियों $A$ और $B$ के चुंबकीय आघूर्ण समान हैं,$m_A = m_B$.
इसलिए,$N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$.
चूंकि कुंडलियां वृत्ताकार हैं,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है। अतः,$N_A I_A (\pi r_A^2) = N_B I_B (\pi r_B^2)$.
दी गई त्रिज्याओं $r_A = 10 \ cm$ और $r_B = 20 \ cm$ का मान रखने पर:
$N_A I_A (10)^2 = N_B I_B (20)^2$.
$N_A I_A (100) = N_B I_B (400)$.
$N_A I_A = 4 \ N_B I_B$.

(C) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = n I A = n I \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक फेरों की संख्या $n_1 = n$ और त्रिज्या $R_1 = R$ है।
प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $\mu_1 = n I \pi R^2$ है।
जब तार को खोलकर फिर से लपेटा जाता है,तो तार की कुल लंबाई $L = n_1 (2 \pi R_1) = n_2 (2 \pi R_2)$ स्थिर रहती है।
यहाँ $R_2 = \frac{R}{3}$ दिया गया है,इसलिए $n (2 \pi R) = n_2 (2 \pi \frac{R}{3})$,जिससे $n_2 = 3n$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $\mu_2 = n_2 I \pi R_2^2 = (3n) I \pi (\frac{R}{3})^2 = 3n I \pi \frac{R^2}{9} = \frac{n I \pi R^2}{3}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\frac{n I \pi R^2}{3}}{n I \pi R^2} = \frac{1}{3}$ है।

(C) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA = \frac{\mu_0 NIA}{L}$ है।
सोलेनोइड का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = NIA$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
फ्लक्स समीकरण में $M$ का मान रखने पर: $\phi = \frac{\mu_0 M}{L}$।
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{\phi L}{\mu_0}$।
दिया गया है: $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \text{ Wb}$, $L = 0.8 \text{ m}$, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$।
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.8}{4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$।
$M = \frac{1.57 \times 0.8 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{1.256 \times 10^{-6}}{1.256 \times 10^{-6}} = 1 \text{ Am}^2$।

(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
इससे,हम धारा $I$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$I = \frac{2Br}{\mu_0} \quad ...(i)$
$A$ क्षेत्रफल वाले वृत्ताकार लूप के लिए,त्रिज्या $r$ इस प्रकार है:
$A = \pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \quad ...(ii)$
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = IA$ के रूप में परिभाषित होता है।
समीकरण $(i)$ से $I$ का मान और समीकरण $(ii)$ से $r$ का मान $M$ के व्यंजक में रखने पर:
$M = \left( \frac{2Br}{\mu_0} \right) \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \sqrt{\frac{A}{\pi}} \times A$
$M = \frac{2B}{\mu_0} \times \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \times A$
$M = \frac{2BA^{3/2}}{\mu_0 \pi^{1/2}}$

(B) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $m$ का सूत्र $m = nIA$ है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार लूप $(n=1)$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
इससे,धारा $I = \frac{B \times 2R}{\mu_0}$ प्राप्त होती है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण के सूत्र में मान रखने पर:
$m = I \times A = \left( \frac{B \times 2R}{\mu_0} \right) \times (\pi R^2) = \frac{2 \pi B R^3}{\mu_0}$.

(A) माना वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ होगा।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}}$ प्राप्त होता है।
धारा $I$ के लिए हल करने पर,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ मिलता है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = I A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I$ का व्यंजक रखने पर,$M = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) साइक्लोट्रॉन एक कण त्वरक है जो आवेशित कणों को त्वरित करने के लिए चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों के संयोजन का उपयोग करता है। इसे मुख्य रूप से प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे धनावेशित कणों को उच्च ऊर्जा तक त्वरित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। न्यूट्रॉन पर कोई विद्युत आवेश नहीं होता है,इसलिए उन्हें साइक्लोट्रॉन द्वारा त्वरित नहीं किया जा सकता है।

(D) वृत्ताकार पथ पर घूमते हुए आवेश द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $q$, $f$ आवृत्ति के साथ घूम रहा है, इसलिए समतुल्य धारा $I = qf$ होगी।
दिया गया है: $q = 50e = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 80 \times 10^{-19} \ C$, $r = 0.4 \ m$, और $f = 1 \ r.p.s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \times (80 \times 10^{-19}) \times 1}{2 \times 0.4}$
$B = \frac{80 \times 10^{-19} \mu_0}{0.8}$
$B = 100 \times 10^{-19} \mu_0$
$B = 10^{-17} \mu_0$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहे एक आवेशित कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = qvB \sin \theta$,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र रेखा के अनुदिश गति कर रहा है,इसलिए इसके वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर: $F = qvB \sin 0^{\circ}$.
चूंकि $\sin 0^{\circ} = 0$,इसलिए चुंबकीय बल $F = 0$ होता है।

(D) चुंबकीय लॉरेंज बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F = qvB = \frac{mv^2}{R}$.
इससे,त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होगा।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
यह दर्शाता है कि $R \propto \sqrt{K}$ है।
यदि ऊर्जा दोगुनी कर दी जाए $(K' = 2K)$,तो नई त्रिज्या $R'$ होगी:
$\frac{R'}{R} = \sqrt{\frac{K'}{K}} = \sqrt{\frac{2K}{K}} = \sqrt{2}$.
अतः,$R' = \sqrt{2}R$.

(A) जब एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस पथ की त्रिज्या इस प्रकार दी जाती है:
$R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$
जहाँ $K$ कण की गतिज ऊर्जा है।
चूंकि कण $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित होता है,इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा $K = qV$ है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{\sqrt{2m(qV)}}{qB} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$R^2 = \frac{2mqV}{q^2 B^2} = \frac{2mV}{qB^2}$
चूंकि त्रिज्या $r$ दी गई है,हमारे पास $r^2 = \frac{2mV}{qB^2}$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए हल करने पर:
$m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
$\therefore R = \frac{mv}{qB}$ ... $(i)$
यहाँ नई चाल $v' = \frac{v}{2}$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = 2B$ दिया गया है।
नई त्रिज्या $R'$ इस प्रकार होगी:
$R' = \frac{mv'}{qB'} = \frac{m(v/2)}{q(2B)}$
$R' = \frac{mv}{4qB}$
समीकरण $(i)$ को $R'$ के व्यंजक में रखने पर:
$R' = \frac{R}{4}$

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $r \propto \sqrt{K}$ है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ और प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है।
माना नई गतिज ऊर्जा $K_2 = 3K$ और नई त्रिज्या $R_2$ है।
समानुपातिकता $r \propto \sqrt{K}$ का उपयोग करने पर,$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{R_2}{R} = \sqrt{\frac{3K}{K}} = \sqrt{3}$।
अतः,नई त्रिज्या $R_2 = \sqrt{3} \cdot R$ होगी।

(B) जब किसी फेरोमैग्नेटिक पदार्थ को उसके $Curie$ तापमान $(T_C)$ से ऊपर गर्म किया जाता है,तो परमाणुओं की ऊष्मीय ऊर्जा इतनी अधिक हो जाती है कि वह उन एक्सचेंज कपलिंग बलों को पार कर लेती है जो चुंबकीय आघूर्णों को डोमेन के भीतर संरेखित रखते हैं।
परिणामस्वरूप,व्यवस्थित चुंबकीय डोमेन नष्ट हो जाते हैं और ऊष्मीय हलचल के कारण चुंबकीय आघूर्ण यादृच्छिक (random) रूप से उन्मुख हो जाते हैं।
अतः,पदार्थ अपने फेरोमैग्नेटिक गुणों को खो देता है और एक पैरामैग्नेटिक पदार्थ में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए,सही कथन यह है कि फेरोमैग्नेटिक डोमेन यादृच्छिक हो जाते हैं।

(A) गायरोमैग्नेटिक अनुपात को परमाणु में परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = (\frac{e}{T}) (\pi r^2) = \frac{e}{2\pi r/v} (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ है।
कोणीय संवेग $L = mvr$ है।
अतः,गायरोमैग्नेटिक अनुपात $\gamma = \frac{M}{L} = \frac{evr/2}{mvr} = \frac{e}{2m}$ है।
बोहर मैग्नेटोन $(\mu_B)$ चुंबकीय आघूर्ण की मूलभूत इकाई है,जो $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,गायरोमैग्नेटिक अनुपात और बोहर मैग्नेटोन क्रमशः $\frac{e}{2m}$ और $\frac{eh}{4\pi m}$ हैं।

(A) दिया गया ग्राफ एक लौह-चुंबकीय पदार्थ के लिए चुंबकीय शैथिल्य लूप (magnetic hysteresis loop) है।
$1$. धारणशीलता (retentivity) वह अवशिष्ट चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $(B)$ है जो पदार्थ में तब बचता है जब चुम्बकन बल $(H)$ को शून्य कर दिया जाता है। ग्राफ में,यह $B$-अक्ष पर अंतःखंड के अनुरूप है,जो बिंदु $b$ है।
$2$. निग्राहिता (coercivity) वह विपरीत चुम्बकन बल $(H)$ है जो अवशिष्ट चुंबकीय फ्लक्स घनत्व को शून्य करने के लिए आवश्यक होता है। ग्राफ में,यह $H$-अक्ष पर अंतःखंड के अनुरूप है,जो बिंदु $c$ है।
अतः,निग्राहिता को बिंदु $c$ द्वारा और धारणशीलता को बिंदु $b$ द्वारा दर्शाया गया है। सही विकल्प $A$ $(c, b)$ है।

(B) चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ यह मापती है कि कोई पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में कितना चुम्बकित होगा।
प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) पदार्थों के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी और ऋणात्मक $(-1 \le \chi < 0)$ होती है।
अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थों के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी और धनात्मक $(\chi > 0)$ होती है।
लौहचुंबकीय (ferromagnetic) पदार्थों के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ बड़ी और धनात्मक $(\chi \gg 0)$ होती है।
अतः, ऋणात्मक चुंबकीय प्रवृत्ति वाले पदार्थ प्रतिचुंबकीय होते हैं।

(B) किसी पदार्थ के भीतर कुल चुंबकीय क्षेत्र $(B)$, बाहरी धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ और पदार्थ के चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_m)$ का योग होता है।
$B = B_0 + B_m$
हम जानते हैं कि $B_0 = \mu_0 H$, जहाँ $H$ चुंबकीय तीव्रता है।
पदार्थ का चुंबकन $(M)$, चुंबकीय तीव्रता से $M = \chi H$ द्वारा संबंधित है, जहाँ $\chi$ चुंबकीय संवेदनशीलता है।
चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_m = \mu_0 M = \mu_0 \chi H$ होता है।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \mu_0 H + \mu_0 \chi H$
$B = \mu_0 H(1 + \chi)$
दोनों पक्षों को $H$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$

(B) निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$,सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\mu = \mu_r \mu_0 = (1 + \chi) \mu_0$
दिया गया है:
$\chi = 599$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$\mu = (1 + 599) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$
$\mu = 600 \times 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2400 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$
$\mu = 2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$
अतः,निरपेक्ष पारगम्यता $2.4 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$ है।

(B) दिया गया है: चुंबकीय तीव्रता $H = 500 \,A/m$, चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$, अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.4 \,cm^2 = 0.4 \times 10^{-4} \,m^2$.
चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B = \frac{\phi}{A} = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.4 \times 10^{-4}} = 0.6 \,T$.
चुंबकीय पारगम्यता $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{B}{H}$ है।
मान रखने पर: $\mu = \frac{0.6}{500} = 1.2 \times 10^{-3} \,T \cdot m/A$।

(C) किसी पदार्थ के भीतर कुल चुंबकीय क्षेत्र $(B)$,बाहरी धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_0 = \mu_0 H)$ और चुंबकन के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_m = \mu_0 M)$ का योग होता है।
$B = B_0 + B_m = \mu_0 H + \mu_0 M = \mu_0(H + M)$.
चूंकि चुंबकन $(M)$,चुंबकीय तीव्रता $(H)$ से संवेदनशीलता $(\chi)$ के माध्यम से $M = \chi H$ के रूप में संबंधित है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$B = \mu_0(H + \chi H) = \mu_0 H(1 + \chi)$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर अनुपात प्राप्त होता है:
$\frac{B}{H} = \mu_0(1 + \chi)$.

(B) चुंबकन की तीव्रता $(I)$ को पदार्थ के प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $I = \frac{M}{V} = \frac{M}{A \times L}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $(M)$ = $6 \text{ Am}^2$
लंबाई $(L)$ = $4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$
क्षेत्रफल $(A)$ = $2 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
गणना:
आयतन $(V)$ = $A \times L = (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times (4 \times 10^{-2} \text{ m}) = 8 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$I = \frac{6 \text{ Am}^2}{8 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 0.75 \times 10^6 \text{ A/m} = 7.5 \times 10^5 \text{ A/m}$

(D) चुम्बकीय तीव्रता $H$ का मान $H = nI$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
यहाँ $n = 400 \ m^{-1}$ और $I = 0.5 \ A$ दिया गया है,इसलिए $H = 400 \times 0.5 = 200 \ Am^{-1}$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ और चुम्बकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध $\mu_r = 1 + \chi$ है,इसलिए $\chi = \mu_r - 1$ होगा।
यहाँ $\mu_r = 400$ दिया गया है,इसलिए $\chi = 400 - 1 = 399$ होगा।
चुम्बकन $M$ का मान $M = \chi H$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$M = 399 \times 200 = 79800 \ Am^{-1}$ प्राप्त होता है।
यह मान लगभग $8 \times 10^4 \ Am^{-1}$ के बराबर है।

(D) ऑक्सीजन समस्थानिक ${ }_{8}^{17}O$ में प्रोटॉन की संख्या $Z = 8$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $A - Z = 17 - 8 = 9$ है।
घटक न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $8 M_{p} + 9 M_{N}$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ घटक न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान और नाभिक के द्रव्यमान के बीच का अंतर है: $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{N}) - M_{O}$।
बंधन ऊर्जा द्रव्यमान क्षति के समतुल्य ऊर्जा है,जिसका सूत्र $BE = [Z M_{p} + (A-Z) M_{N} - M_{O}] C^2$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,बंधन ऊर्जा को दर्शाने वाला सही व्यंजक $(M_{O} - 8 M_{p} - 9 M_{N}) C^2$ है,इसलिए विकल्प $D$ सही है।

(A) मान लीजिए कि $n_{\alpha}$ उत्सर्जित $\alpha$-कणों की संख्या है और $n_{\beta}$ उत्सर्जित $\beta$-कणों की संख्या है।
द्रव्यमान संख्या में परिवर्तन के लिए: $238 = 206 + 4n_{\alpha} + 0n_{\beta}$.
$4n_{\alpha} = 238 - 206 = 32 \implies n_{\alpha} = 8$.
परमाणु क्रमांक में परिवर्तन के लिए: $92 = 82 + 2n_{\alpha} - 1n_{\beta}$.
$n_{\alpha} = 8$ रखने पर: $92 = 82 + 2(8) - n_{\beta}$.
$92 = 82 + 16 - n_{\beta} \implies 92 = 98 - n_{\beta}$.
$n_{\beta} = 98 - 92 = 6$.
अतः,$8$ $\alpha$-कण और $6$ $\beta$-कण उत्सर्जित होते हैं।

(C) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = t / T_{1/2}$ अर्ध-आयु की संख्या है।
तत्व $A$ के लिए: $T_{1/2, A} = 30 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n_A = 120 / 30 = 4$.
शेष नाभिक $N_A = N_0 (1/2)^4 = N_0 / 16$.
क्षयित नाभिक $N'_A = N_0 - N_A = N_0 - N_0 / 16 = (15/16) N_0$.
तत्व $B$ के लिए: $T_{1/2, B} = 60 \text{ min}$,$t = 120 \text{ min}$.
अर्ध-आयु की संख्या $n_B = 120 / 60 = 2$.
शेष नाभिक $N_B = N_0 (1/2)^2 = N_0 / 4$.
क्षयित नाभिक $N'_B = N_0 - N_B = N_0 - N_0 / 4 = (3/4) N_0 = (12/16) N_0$.
$B$ और $A$ के क्षयित नाभिकों का अनुपात $N'_B / N'_A = (12/16) N_0 / (15/16) N_0 = 12 / 15 = 4 / 5$ है।

(B) किसी रेडियोधर्मी पदार्थ की सक्रियता $R = \lambda N$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है और $N$ उपस्थित नाभिकों की संख्या है।
सक्रियता के परिवर्तन की तात्कालिक दर $\frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(\lambda N) = \lambda \frac{dN}{dt}$ है।
चूँकि $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$,इसलिए $\frac{dR}{dt} = \lambda(-\lambda N) = -\lambda^2 N$ होगा।
सक्रियता के परिवर्तन की दर का परिमाण $|\frac{dR}{dt}| = \lambda^2 N$ है।
हम जानते हैं कि क्षय नियतांक $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$,जहाँ $T$ अर्ध-आयु है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$|\frac{dR}{dt}| = (\frac{\ln 2}{T})^2 N = \frac{(\ln 2)^2 N}{T^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $(\ln 2)^2$ और $N$ नियतांक हैं,इसलिए $\frac{dR}{dt} \propto \frac{1}{T^2}$ या $T^{-2}$ होगा।