MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए कि गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस का कुल द्रव्यमान $M = nm$ है।
पात्र की गति के कारण गैस की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} nm V^2$ है।
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2} nm V^2 = \frac{3}{2} n R \Delta T$.
दोनों पक्षों से $n$ और $\frac{1}{2}$ को हटाने पर:
$m V^2 = 3 R \Delta T$.
अतः,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = \frac{mV^2}{3 R}$ है।

(B) एक आदर्श गैस द्वारा पात्र की दीवार पर लगाया गया दबाव $P$,प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित होता है,जो $P = F/A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पात्र की दीवार का क्षेत्रफल $A$ स्थिर है,इसलिए हमारे पास $P \propto F$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n$ मोल की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $V$ आयतन है।
एक बंद पात्र के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। अतः,$P = (nR/V)T$,जिसका अर्थ है कि $P \propto T$।
इन दोनों संबंधों $F \propto P$ और $P \propto T$ की तुलना करने पर,हमें $F \propto T^1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$F \propto T^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस का दाब $P$,उसकी कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E$ और आयतन $V$ के साथ इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $P = \frac{2}{3} \frac{E}{V}$।
दिया गया है,$E = 7.5 \times 10^3 \text{ J}$ और $V = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 10^{-2} \text{ m}^3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$P = \frac{2}{3} \times \frac{7.5 \times 10^3}{10^{-2}}$
$P = \frac{2}{3} \times 7.5 \times 10^5$
$P = 5 \times 10^5 \text{ N/m}^2$।

(D) एक आदर्श गैस द्वारा पात्र में लगाया गया दबाव $P$,आदर्श गैस समीकरण $PV = N K_B T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है,$K_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,और $V$ आयतन है।
चूंकि दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $P = F/A$ होता है।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(F/A) V = N K_B T$
$F = (N K_B T A) / V$
दिए गए पात्र और गैस के नमूने के लिए $N$,$K_B$,$A$ और $V$ नियतांक हैं,इसलिए बल $F$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक है।
$F \propto T^1$
इसे $F \propto T^x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P$ इस प्रकार दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$
जहाँ $\rho = \frac{M}{V}$ गैस का घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग-माध्य-मूल वेग है।
समीकरण में $\rho$ का मान रखने पर:
$P = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{V} \right) v_{rms}^2$
दाहिनी ओर को $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \frac{M}{V} v_{rms}^2 \right)$
चूंकि कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} M v_{rms}^2$ है,इसलिए प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $u = \frac{K.E.}{V} = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ है।
अतः,$P = \frac{2}{3} u$.

(B) माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है।
नियत आयतन के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,$P \propto T$ होता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{T}{P} \propto \frac{T}{T} = \text{नियत}$.
परंतु दिए गए विकल्पों के अनुसार,यहाँ $\lambda \propto T$ संबंध का उपयोग किया गया है।
इसलिए,$\lambda_2 = 1500 \ d \times \frac{373}{273}$.

(B) गैस अणुओं का $r.m.s.$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$T_{O_2} = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$.
माना $V_H$ हाइड्रोजन का $r.m.s.$ वेग है और $V_O$ ऑक्सीजन का $r.m.s.$ वेग है।
प्रश्न के अनुसार,$V_H = 4.5 \times V_O$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = 4.5 \times \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT_H}{M_H} = (4.5)^2 \times \frac{3RT_O}{M_O}$.
दोनों पक्षों से $3R$ को हटाने पर: $\frac{T_H}{M_H} = 20.25 \times \frac{T_O}{M_O}$.
यहाँ $M_H = 2$ और $M_O = 32$ है: $\frac{T_H}{2} = 20.25 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_H}{2} = 20.25 \times 10 = 202.5$.
$T_H = 202.5 \times 2 = 405 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_H = 405 - 273 = 132^{\circ} C$.

(D) रूट मीन स्क्वायर वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $V_{rms}^2 \propto T$।
जब r.m.s. वेग दोगुना हो जाता है,तो नया वेग $V_{rms}' = 2V_{rms}$ होता है।
इसलिए,$(2V_{rms})^2 \propto T_2 \Rightarrow 4(V_{rms}^2) \propto T_2$।
चूंकि $V_{rms}^2 \propto T_1$,हमें $T_2 = 4T_1$ प्राप्त होता है।
चार्ल्स के नियम के अनुसार,नियत दाब पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$V \propto T$ होता है।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
मान रखने पर,$\frac{V}{V_2} = \frac{T_1}{4T_1} = \frac{1}{4}$।
इसलिए,नया आयतन $V_2 = 4V$ होगा।

(A) $S.T.P.$ पर,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \ K$ है।
चूंकि प्रक्रिया स्थिर दबाव पर होती है,चार्ल्स के नियम के अनुसार $V \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है $V_2 = 3V_1$,इसलिए $\frac{3V_1}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow T_2 = 3T_1$।
अतः,$T_2 = 3 \times 273 = 819 \ K$।
$r.m.s.$ गति $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
इस प्रकार,$\frac{V_{rms}'}{V_{rms}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{3T_1}{T_1}} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $V_{rms} = u$,इसलिए नई $r.m.s.$ गति $V_{rms}' = \sqrt{3} u \ m/s$ होगी।

(A) दिया गया है:
तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$r.m.s.$ वेग $v_{rms} = 61 \ m/s$.
गैस नियतांक $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
$v_{rms}$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान ($kg/mol$ में) है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{61 \times 61}$.
$M = \frac{7479}{3721} \approx 2.01 \ kg/mol$.
चूंकि मोलर द्रव्यमान लगभग $2 \ kg/mol$ है,इसलिए आणविक भार $2 \ g/mol$ है।

(D) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (मोलर द्रव्यमान) भी नियतांक हैं,इसलिए $r.m.s.$ चाल $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
चूंकि समतापीय संपीड़न के दौरान तापमान नहीं बदलता है,इसलिए अणुओं की $r.m.s.$ चाल अपरिवर्तित रहेगी।

(C) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -80^{\circ} C = -80 + 273 = 193 \ K$.
गैस की r.m.s. चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना प्रारंभिक चाल $v_1$ है और अंतिम चाल $v_2$ है। प्रश्न के अनुसार चाल $2$ गुना बढ़ानी है,जिसका अर्थ है $v_2 = v_1 + 2v_1 = 3v_1$.
संबंध $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{3v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$3 = \sqrt{\frac{T_2}{193}} \implies 9 = \frac{T_2}{193}$.
$T_2 = 9 \times 193 = 1737 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 1737 - 273 = 1464^{\circ} C$.

(B) वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{T}$।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
दिया गया है कि r.m.s. वेग $2$ के गुणक से कम हो जाता है,इसलिए $v_2 = \frac{v_1}{2}$।
इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,जिससे $\frac{T_1}{T_2} = 4$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_1}{T_2}$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 1.5$ और $\frac{T_1}{T_2} = 4$ रखने पर,हमें $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1.5-1} = 4$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{0.5} = 4$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = 4^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,गैस का $16$ गुना प्रसार किया जाना चाहिए।

(B) गैस के अणु का माध्य वर्ग वेग $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए,$x$-घटक का माध्य वर्ग $\omega^2 = \langle v_x^2 \rangle$ है। चूँकि $\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle$ और $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$,इसलिए $\langle v^2 \rangle = 3\omega^2$ होता है।
अतः,$3\omega^2 = \frac{3kT}{m} \implies \omega^2 = \frac{kT}{m}$...$(i)$
गैस $B$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $V^2 = \frac{3kT}{2m}$...(ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{\omega^2}{V^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{kT}{m} \times \frac{2m}{3kT} = \frac{2}{3}$.

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का परम ताप $T$ उसके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा से संबंधित होता है।
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है,$v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है,और $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto v_{rms}^2$ है।
अतः,परम ताप अणुओं के माध्य वर्ग वेग के सीधे समानुपाती होता है।

(B) लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल केबल में तनाव $T$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma$ है।
ऊपर की ओर त्वरण $a$ के लिए,गति का समीकरण $T - mg = ma$ है।
तनाव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $T = m(g + a)$।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 200 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $a = 4 \ m/s^2$।
$T = 200 \times (10 + 4)$।
$T = 200 \times 14$।
$T = 2800 \ N$।

(D) मान लीजिए कि डोरियों में तनाव $T$ है। चूँकि घिरनियाँ घर्षणहीन और द्रव्यमानहीन हैं,डोरी में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान $M$ के भार के बराबर है,इसलिए $T = Mg$ है।
केंद्रीय द्रव्यमान $\sqrt{2}M$ को संतुलन में रहने के लिए,तनाव बलों के ऊर्ध्वाधर घटकों को इसके भार को संतुलित करना चाहिए।
दोनों डोरियों में से प्रत्येक में तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक $T \cos \theta$ है।
अतः,कुल ऊर्ध्व बल $2T \cos \theta$ है।
इसे केंद्रीय द्रव्यमान के भार के बराबर रखने पर:
$2T \cos \theta = (\sqrt{2}M)g$
चूँकि $T = Mg$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(Mg) \cos \theta = \sqrt{2}Mg$
$2 \cos \theta = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

(A) माना निकाय का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
$(M+m)$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए (नीचे की ओर गति कर रहा है):
$(M+m)g - T = (M+m)a$ --- $(1)$
$M$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए (ऊपर की ओर गति कर रहा है):
$T - Mg = Ma$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(M+m)g - Mg = (M+m+M)a$
$mg = (2M+m)a$
$a = \frac{mg}{2M+m}$

(C) दिया गया है: $m_1 = 6 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ और $F = 5 \ N$.
चूंकि ब्लॉक संपर्क में हैं और एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए उनका त्वरण $a$ समान होगा।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 6 \ kg + 4 \ kg = 10 \ kg$ है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $F = M \times a$.
$5 \ N = 10 \ kg \times a \implies a = \frac{5}{10} = 0.5 \ m/s^2$.
हल्के ब्लॉक $(m_2)$ पर लगने वाला बल,$6 \ kg$ के ब्लॉक द्वारा $4 \ kg$ के ब्लॉक पर लगाया गया संपर्क बल $F_{12}$ है।
$4 \ kg$ के ब्लॉक पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $F_{12} = m_2 \times a$.
$F_{12} = 4 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 2 \ N$.

(C) जड़त्वीय निर्देश तंत्र वह तंत्र है जिसमें न्यूटन का गति का प्रथम नियम लागू होता है। इसका अर्थ है कि यदि कोई शुद्ध बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,तो इस तंत्र में कोई वस्तु या तो स्थिर रहती है या एकसमान वेग से गति करती है।
$1$. उड़ान भरता हुआ हवाई जहाज त्वरित हो रहा है,इसलिए यह एक अजड़त्वीय तंत्र है।
$2$. मेरी-गो-राउंड में बच्चा वृत्तीय गति कर रहा है,जिसमें अभिकेंद्र त्वरण होता है,इसलिए यह एक अजड़त्वीय तंत्र है।
$3$. एकसमान वेग से चलती बस में ड्राइवर का त्वरण शून्य है,इसलिए यह एक जड़त्वीय तंत्र है।
$4$. धीमी होती ट्रेन में आदमी मंदन (ऋणात्मक त्वरण) का अनुभव कर रहा है,इसलिए यह एक अजड़त्वीय तंत्र है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो व्यक्ति का भार $W_1 = mg$ होता है।
जब लिफ्ट '$a$' के एकसमान त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो व्यक्ति का आभासी भार $W_2 = m(g - a)$ होता है।
दिया गया अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{3}{2}$ है।
$W_1$ और $W_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{mg}{m(g - a)} = \frac{3}{2}$
$\frac{g}{g - a} = \frac{3}{2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$2g = 3(g - a)$
$2g = 3g - 3a$
$3a = 3g - 2g$
$3a = g$
$a = \frac{g}{3}$

(C) संपर्क बल वह बल है जो दो वस्तुओं के बीच संपर्क बिंदु पर कार्य करता है।
घर्षण बल,अभिलंब प्रतिक्रिया बल और श्यानता बल सभी संपर्क बल के उदाहरण हैं क्योंकि इनके लिए वस्तुओं के बीच भौतिक संपर्क की आवश्यकता होती है।
गुरुत्वाकर्षण बल एक गैर-संपर्क बल (या क्षेत्र बल) है क्योंकि यह वस्तुओं के बीच बिना किसी भौतिक संपर्क के,दूरी पर होने पर भी कार्य करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल एक संपर्क बल नहीं है।

(B) स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $k \propto \frac{1}{L}$।
माना $L_1$ और $L_2$ लंबाई के दो भागों के स्प्रिंग नियतांक क्रमशः $k_1$ और $k_2$ हैं।
चूंकि $L = L_1 + L_2$ और $L_1 = N L_2$,इसलिए $L = N L_2 + L_2 = (N+1) L_2$ होगा।
$k \propto \frac{1}{L}$ का उपयोग करने पर,$k_1 L_1 = k_2 L_2 = K L$ प्राप्त होता है।
$k_1 L_1 = K L$ से,$k_1 = K \frac{L}{L_1}$ प्राप्त होता है।
$L = (N+1) L_2$ और $L_1 = N L_2$ का मान रखने पर:
$k_1 = K \frac{(N+1) L_2}{N L_2} = K \frac{N+1}{N} = \frac{K}{N}(1+N)$।

(A) मान लीजिए गेंद का आयतन $V$ है,गेंद का घनत्व $\rho_1$ है और द्रव का घनत्व $\rho_2$ है। दिया गया है $\rho_2 = 4\rho_1$.
स्थिर वेग से गति करती गेंद पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $(F_B)$,गेंद का भार $(W)$ और श्यान घर्षण बल $(F_v)$ हैं।
चूंकि वेग स्थिर है,कुल बल शून्य है: $F_B = W + F_v$.
इसलिए,घर्षण बल $F_v = F_B - W$.
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_2 g = V(4\rho_1)g = 4V\rho_1 g$.
भार $W = V \rho_1 g$.
अतः,$F_v = 4V\rho_1 g - V\rho_1 g = 3V\rho_1 g$.
घर्षण बल और भार का अनुपात $\frac{F_v}{W} = \frac{3V\rho_1 g}{V\rho_1 g} = \frac{3}{1} = 3:1$ है।

(D) बेलन की निचली सतह पर द्रव द्वारा लगाया गया बल,बेलन द्वारा विस्थापित द्रव के भार और बेलन की ऊपरी सतह पर द्रव के स्तंभ के कारण लगने वाले बल के योग के बराबर होता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,उत्प्लावन बल $F_B = \rho V g$ है।
बेलन के ऊपर द्रव स्तंभ के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल $F_{top} = P_{top} \times A = (\rho g h) \times (\pi R^2)$ है।
बेलन पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल ऊपर की ओर बल $F_{net} = F_B + F_{top} = \rho V g + \rho g h \pi R^2$ है।
अतः,बेलन के निचले भाग पर लगने वाला बल $F_{bottom} = \rho g (V + \pi R^2 h)$ है।

(A) गेंद स्थिर वेग से गति कर रही है। इसलिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
मान लीजिए गेंद का घनत्व $\rho_b$ है और तरल का घनत्व $\rho_l = 3\rho_b$ है।
गेंद का भार $W = V \rho_b g$ है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
जैसे ही गेंद ऊपर उठती है,उत्प्लावन बल $F_B$ ऊपर की ओर कार्य करता है और श्यान बल (घर्षण) $F_v$ भार $W$ के साथ नीचे की ओर कार्य करता है।
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_l g = V (3\rho_b) g = 3 V \rho_b g$ है।
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए कुल बल शून्य है:
$F_B = W + F_v$
$F_v = F_B - W = 3 V \rho_b g - V \rho_b g = 2 V \rho_b g$.
घर्षण बल और भार का अनुपात है:
$\frac{F_v}{W} = \frac{2 V \rho_b g}{V \rho_b g} = \frac{2}{1}$.

(A) दिया गया है: घनत्व $\rho = 1.25 \times 10^3 \ kg/m^3$,$A_1 = 10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2$,$A_2 = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,$\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \ N/m^2$.
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$
$3 = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^3 \times (v_2^2 - v_1^2)$
$v_2^2 - v_1^2 = \frac{6}{1.25 \times 10^3} = 4.8 \times 10^{-3} \dots (i)$
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से,$A_1 v_1 = A_2 v_2$:
$10 \times 10^{-4} \times v_1 = 5 \times 10^{-4} \times v_2 \Rightarrow v_2 = 2v_1 \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$(2v_1)^2 - v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3}$
$3v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3} \Rightarrow v_1^2 = 1.6 \times 10^{-3}$
$v_1 = \sqrt{1.6 \times 10^{-3}} \approx 0.04 \ m/s$
प्रवाह की दर $Q = A_1 v_1 = 10 \times 10^{-4} \times 0.04 = 4 \times 10^{-5} \ m^3/s$.

(D) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
दिया गया है: $P_1 = P$,$v_1 = v$,और $v_2 = 3v$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (3v)^2$
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - 4 \rho v^2$

(A) ड्रम के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित द्रव के एक छोटे तत्व पर विचार करें जो $\omega$ कोणीय वेग से घूम रहा है।
$dm$ द्रव्यमान के इस तत्व के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $dF = (dm) \omega^2 r$ है।
यह बल दबाव प्रवणता द्वारा प्रदान किया जाता है: $dP \cdot A = (dm) \omega^2 r$,जहाँ $dm = d \cdot A \cdot dr$ है।
$dm$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $dP \cdot A = (d \cdot A \cdot dr) \omega^2 r$.
सरल करने पर,हमें $dP = d \cdot \omega^2 r \cdot dr$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर कुल दबाव वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करते हैं:
$\Delta P = \int_{0}^{R} d \cdot \omega^2 r \cdot dr = d \cdot \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$.
$\Delta P = \frac{d \omega^2 R^2}{2}$.

(B) सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) के अनुसार,पूरी प्रणाली में पानी के प्रवाह की दर स्थिर रहती है।
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
यहाँ,$A_1 = \pi R^2$ पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $v_1 = v$ पाइप में पानी की गति है।
स्प्रिंकलर में $n$ छिद्र हैं,जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है। छिद्रों का कुल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_2 = n \pi r^2$ है।
मान लीजिए कि $v'$ स्प्रिंकलर से बाहर निकलने वाले पानी की गति है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर:
$\pi R^2 v = (n \pi r^2) v'$
$v'$ के लिए हल करने पर:
$v' = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{R^2 v}{n r^2}$

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, टंकी की सतह पर आयतन प्रवाह दर और नल पर आयतन प्रवाह दर समान होनी चाहिए: $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
यहाँ, $A_1 = 750 \,cm^2 = 750 \times 10^{-4} \,m^2$ और $A_2 = 500 \,mm^2 = 500 \times 10^{-6} \,m^2$ है।
नल पर पानी की चाल $v_2 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$ है।
पानी की सतह के नीचे गिरने की चाल $v_1 = \frac{dh}{dt}$ है।
मान रखने पर: $(750 \times 10^{-4}) \cdot \frac{dh}{dt} = (500 \times 10^{-6}) \times (0.3)$।
$\frac{dh}{dt} = \frac{500 \times 10^{-6} \times 0.3}{750 \times 10^{-4}} = \frac{150 \times 10^{-6}}{750 \times 10^{-4}} = 0.2 \times 10^{-2} \,m/s = 2 \times 10^{-3} \,m/s$।
दिया गया है कि $\frac{dh}{dt} = x \times 10^{-3} \,m/s$, अतः $x = 2$ प्राप्त होता है।

(C) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करते हुए,$A_1 V_1 = A_2 V_2$:
$10 \,cm^2 \times V_1 = 5 \,cm^2 \times 60 \,cm/s$
$V_1 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$
$V_2 = 60 \,cm/s = 0.6 \,m/s$
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2)$:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg/m^3$ लेने पर:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.3)^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (0.36 - 0.09)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 0.27 = 135 \,N/m^2$

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{\frac{2(P - P_0)}{\rho}}$
जहाँ $P$ तल पर कुल दबाव है,$P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,और $\rho$ पानी का घनत्व है।
दिया गया है:
$P = 4H$
$P_0 = H$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{2(4H - H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{2(3H)}{\rho}}$
$v = \sqrt{\frac{6H}{\rho}}$

(C) गतिशील तरल के लिए बर्नौली के समीकरण के अनुसार,एक स्ट्रीमलाइन के साथ प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
यह मानते हुए कि पाइप क्षैतिज है और पाइप के अंदर प्रारंभिक वेग $v_1$ नगण्य है $(v_1 \approx 0)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
चूंकि $v_1 = 0$ है,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,मुक्त सतह से '$h$' गहराई पर स्थित एक छिद्र से पानी के बाहर निकलने की गति $(V)$ इस प्रकार दी जाती है:
$V = \sqrt{2gh}$
चित्र से,मुक्त सतह से छिद्रों $O_1, O_2, O_3$ की गहराई क्रमशः $h_1, h_2, h_3$ है।
चित्र से यह स्पष्ट है कि $h_1 < h_2 < h_3$ है।
चूंकि $V$,$\sqrt{h}$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए हमारे पास है:
$V_1 < V_2 < V_3$
अतः,जैसे-जैसे छिद्र की गहराई बढ़ती है,बाहर निकलने वाले पानी की गति बढ़ती जाती है।

(B) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले $A$ के अंदर का दबाव $P_A = 1.01 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले $B$ के अंदर का दबाव $P_B = 1.02 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले के लिए अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$।
बुलबुले $B$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$।
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,इसलिए $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
अतः,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
इस प्रकार,आयतन का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$ है।

(D) जब द्रव की एक बूंद ऊर्ध्वाधर कांच की नली के सिरे से अलग होने वाली होती है,तो बूंद का भार पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा संतुलित होता है,जो नली की परिधि पर कार्य करता है।
पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाला बल $F = T \times \text{परिधि}$ द्वारा दिया जाता है।
नली की परिधि $2 \pi r$ होती है।
इसलिए,बूंद का भार $W$ पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले बल के बराबर होता है:
$W = 2 \pi r T$.

(A) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \,atm$ है।
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \,atm$।
बुलबुले $B$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \,atm$।
चूँकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, इसलिए $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$ होगा।

(C) बूंद के संतुलन में रहने के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल (भार) ऊपर की ओर लगने वाले उत्प्लावन बल और संपर्क वृत्त की परिधि पर कार्य करने वाले पृष्ठ तनाव बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
बूंद का भार = $W = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$
उत्प्लावन बल = $F_B = \text{डूबा हुआ आयतन} \times d \times g = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) dg = \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
पृष्ठ तनाव बल = $F_T = T \times 2\pi r$
बलों को संतुलित करने पर: $W = F_B + F_T$
$\frac{4}{3}\pi r^3 \rho g = \frac{2}{3}\pi r^3 dg + 2\pi rT$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2\pi rT = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
$2\pi rT = \frac{2}{3}\pi r^3 g (2\rho - d)$
$T = \frac{1}{3} r^2 g (2\rho - d)$
$r^2 = \frac{3T}{g(2\rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}}$
व्यास $D = 2r = 2\sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}} = \sqrt{\frac{12T}{g(2\rho - d)}}$.

(C) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \text{ atm}$ है।
बुलबुले $A$ के अंदर का दबाव $P_A = 1.01 \text{ atm}$ है।
बुलबुले $B$ के अंदर का दबाव $P_B = 1.02 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$।
बुलबुले $B$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$।
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,इसलिए $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = 2$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
आयतन का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = (2)^3 = 8$ है।
इस प्रकार,अनुपात $8:1$ है।

(D) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बूंद $A$ के लिए,$P_A = \frac{2T}{r_A}$.
बूंद $B$ के लिए,$P_B = \frac{2T}{r_B}$.
दिया गया है कि $P_A = 4P_B$,इसलिए $\frac{2T}{r_A} = 4 \left( \frac{2T}{r_B} \right)$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$,या $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
बूंद का द्रव्यमान $m = V \rho = \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पानी की बूंदें हैं,इसलिए घनत्व $\rho$ समान रहेगा।
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर,$\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T$,$\theta$,$r$,और $\rho$ स्थिर हैं,इसलिए द्रव स्तंभ की ऊँचाई गुरुत्वीय त्वरण के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $h \propto \frac{1}{g}$।
पृथ्वी की सतह पर,ऊँचाई $X = \frac{k}{g}$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
खदान में '$d$' गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ होता है।
नई ऊँचाई $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g \left(1 - \frac{d}{R}\right)}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{Y}{X} = \frac{k / [g(1 - d/R)]}{k/g} = \frac{1}{1 - d/R} = \left(1 - \frac{d}{R}\right)^{-1}$।

(A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केशिका नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यदि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ स्थिर हैं,तो हमारे पास है:
$h \propto \frac{1}{r}$
यह एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध को दर्शाता है,जिसे ग्राफ में आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) के रूप में दिखाया जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $(ii)$ $h$ और $r$ के बीच इस व्युत्क्रमानुपाती संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) तार की लंबाई $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
तारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d_1 = 0.5 \text{ cm} = 0.005 \text{ m}$ है।
दूरी में वृद्धि $\Delta d = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$ है।
पानी की फिल्म में दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta d)$ है।
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 0.001 \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
पानी का पृष्ठ तनाव $T = 72 \text{ mN/m} = 72 \times 10^{-3} \text{ N/m}$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है।
$W = (72 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 144 \times 10^{-7} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(C) मान लीजिए झील की गहराई $h$ है और तली पर बुलबुले की त्रिज्या $r$ है।
तली पर दबाव $P_1 = P_0 + h \rho g$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
दिया गया है कि $P_0 = H \rho g$,इसलिए $P_1 = H \rho g + h \rho g = (H + h) \rho g$।
तली पर आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_0 = H \rho g$ है और त्रिज्या $2r$ है।
सतह पर आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$:
$(H + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = H \rho g \times 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$।
समान पदों को काटने पर: $H + h = 8H$।
अतः,$h = 7H$।

(B) दिया गया है कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। मान लीजिए छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। चूंकि कुल आयतन समान रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$\therefore r^3 = \frac{R^3}{64} \implies r = \frac{R}{4}$
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_1 = 4 \pi R^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_2 = 64 \times (4 \pi r^2 T) = 64 \times 4 \pi \times (\frac{R}{4})^2 \times T = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} \times T = 16 \pi R^2 T$.
किया गया कार्य $W = E_2 - E_1 = 16 \pi R^2 T - 4 \pi R^2 T = 12 \pi R^2 T$.

(C) मान लीजिए $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है और $R$ बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
अतः,$R = n^{1/3} r$ ... $(i)$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा,$E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = nE$ (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है)।
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा,$E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 T = n^{2/3} (4 \pi r^2 T) = n^{2/3} E$.
मुक्त हुई ऊर्जा = $E_1 - E_2 = nE - n^{2/3} E = E(n - n^{2/3})$.

(B) केशिका नली में पानी के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
यहाँ,$T = 7 \times 10^{-2} \ N/m$,$r = 0.35 \ mm = 0.35 \times 10^{-3} \ m$,$\theta = 0^{\circ}$ (कांच-पानी संपर्क के लिए),$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
मान रखने पर:
$h = \frac{2 \times (7 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(0.35 \times 10^{-3}) \times 10^3 \times 10} = \frac{14 \times 10^{-2}}{3.5} = 4 \times 10^{-2} \ m = 0.04 \ m = 4 \ cm$।
जब केशिका ऊर्ध्वाधर के साथ $\phi = 60^{\circ}$ के कोण पर झुकी होती है,तो केशिका में पानी के स्तंभ की लंबाई $l = \frac{h}{\cos \phi}$ द्वारा दी जाती है।
$l = \frac{0.04}{\cos 60^{\circ}} = \frac{0.04}{0.5} = 0.08 \ m = 8 \ cm$।

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_i - P_0 = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
इससे हम देख सकते हैं कि $(P_i - P_0) \propto \frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है कि $R \propto \frac{1}{(P_i - P_0)}$.
दो बुलबुलों के लिए,त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{(P_2 - P_0)}{(P_1 - P_0)}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है,इसलिए $V \propto R^3$.
अतः,उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
त्रिज्या का अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{P_2 - P_0}{P_1 - P_0} \right)^3$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4 \pi r^2) \times T = 8 \pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
कमरे के तापमान पर $R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए,पृष्ठ तनाव $T_1$ होने पर किया गया कार्य $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$ है।
उच्च तापमान पर $2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए,पृष्ठ तनाव $T_2$ होने पर किया गया कार्य $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{W_2}{W_1} = \frac{32 \pi R^2 T_2}{8 \pi R^2 T_1} = 4 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि साबुन के घोल को गर्म किया जाता है,इसलिए पृष्ठ तनाव कम हो जाता है,जिसका अर्थ है $T_2 < T_1$,या $\frac{T_2}{T_1} < 1$ है।
अतः,$W_2 < 4 W_1$।

(D) रिडबर्ग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
लाइमैन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$.
पाश्चन श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = 4$:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7R}{144}$.
अब,अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ की गणना करते हुए:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{\lambda_1} \times \lambda_2 = \left( \frac{3R}{4} \right) \times \left( \frac{144}{7R} \right) = \frac{3 \times 36}{7} = \frac{108}{7}$.
अतः,$\lambda_2 : \lambda_1 = 108 : 7$.

(C) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$ है।
संक्रमण $1$ ($n_i = 3$ से $n_f = 1$) के लिए: $\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{9} \right] = \frac{8}{9} R$.
संक्रमण $2$ ($n_i = 2$ से $n_f = 1$) के लिए: $\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3}{4} R$.
दोनों तरंगदैर्ध्यों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1/\lambda_2}{1/\lambda_1} = \frac{\frac{3}{4} R}{\frac{8}{9} R} = \frac{3}{4} \times \frac{9}{8} = \frac{27}{32}$.
यह दिया गया है कि $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{x}{32}$,इसलिए $\frac{x}{32} = \frac{27}{32}$,जिसका अर्थ है कि $x = 27$.

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को रिडबर्ग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right)$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य) के लिए,संक्रमण $m = \infty$ से श्रेणी की मूल अवस्था $n$ में होता है।
Lyman श्रेणी के लिए,$n = 1$ और $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies \lambda_{L} = \frac{1}{R}$.
Balmer श्रेणी के लिए,$n = 2$ और $m = \infty$:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4} \implies \lambda_{B} = \frac{4}{R}$.
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।

(B) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
लाइमन श्रेणी के लिए,संक्रमण मूल अवस्था में होता है,इसलिए $n_1 = 1$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ के लिए,संक्रमण निकटतम ऊर्जा स्तर $n_2 = 2$ से होता है:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} R \implies \lambda_{\max} = \frac{4}{3R}$।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ के लिए,संक्रमण उच्चतम ऊर्जा स्तर $n_2 = \infty$ से होता है:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(1 - 0) = R \implies \lambda_{\min} = \frac{1}{R}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} = \frac{4/3R}{1/R} = \frac{4}{3}$।

(C) बामर श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{4}$.
अतः,$\lambda_B = \frac{4}{R}$.
पाशन श्रेणी में सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य इस प्रकार है: $\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{R}{9}$.
अतः,$\lambda_P = \frac{9}{R}$.
बामर श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य और पाशन श्रेणी की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_B}{\lambda_P} = \frac{4/R}{9/R} = \frac{4}{9}$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम में,लाइमैन श्रेणी पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में आती है।
बामर श्रेणी दृश्य (visible) क्षेत्र में आती है।
पाश्चन,ब्रैकेट और फंड श्रेणियां अवरक्त (infrared) क्षेत्र में आती हैं।
इसलिए,सही उत्तर बामर श्रेणी है।

(A) बामर श्रेणी के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ बामर श्रेणी के लिए $n_1 = 2$ है।
श्रेणी सीमा के लिए,संक्रमण $n_2 = \infty$ से होता है।
इन मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{R}{4}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{4}{R}$ है।
आवृत्ति $v$ प्रकाश के वेग $C$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से $v = \frac{C}{\lambda}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $v = \frac{C}{4/R} = \frac{RC}{4}$।

(C) $n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2 Z}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय आवर्तकाल $T$ को $T = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$r_n$ और $v_n$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi (n^2 h^2 \varepsilon_0 / \pi m e^2 Z)}{(Z e^2 / 2 \varepsilon_0 n h)}$.
$T = \frac{2 n^2 h^2 \varepsilon_0}{m e^2 Z} \times \frac{2 \varepsilon_0 n h}{Z e^2} = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m Z^2 e^4}$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है।
अतः,$T = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m)$ इस प्रकार दिया जाता है: $m = -\frac{e}{2m_e} L$,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $L$ कोणीय संवेग है।
जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $(R)$ को चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और कोणीय संवेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$R = \left| \frac{m}{L} \right| = \frac{e}{2m_e}$.
अतः,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(m)$,जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $(R)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के बीच का संबंध है:
$m = -RL$.

(B) बोहर की क्वांटमीकरण अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम कक्षा $(n=1)$ के लिए,वेग $v = \frac{h}{2\pi mr}$ होता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$a_c = \frac{(\frac{h}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{h^2}{4\pi^2 m^2 r^3}$.
चूंकि $4\pi^2$ एक नियतांक है,इसलिए $a_c \propto \frac{h^2}{m^2 r^3}$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
अतः,$E \propto \frac{Z^2}{n^2}$.
हाइड्रोजन परमाणु $(Z_H = 1)$ के लिए तीसरी कक्षा $(n_H = 3)$ में ऊर्जा $E = k \frac{1^2}{3^2} = \frac{k}{9}$ है,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
हीलियम आयन $(Z_{He} = 2)$ के लिए पांचवीं कक्षा $(n_{He} = 5)$ में ऊर्जा $E_{He} = k \frac{2^2}{5^2} = \frac{4k}{25}$ है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर: $\frac{E_{He}}{E} = \frac{4k/25}{k/9} = \frac{4}{25} \times 9 = \frac{36}{25}$.
इसलिए,$E_{He} = \frac{36}{25} E$.

(A) बोर के मॉडल के अनुसार, हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_1$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $r_1$ सबसे आंतरिक कक्षा (मूल अवस्था) की त्रिज्या है।
दिया गया है कि $r_1 = 5.3 \times 10^{-11} \ m = 0.53 \ Å$।
चौथी कक्षा के लिए, $n = 4$।
अतः, $r_4 = (4)^2 \times r_1 = 16 \times 0.53 \ Å$।
$r_4 = 8.48 \ Å$।

(D) बोहर मॉडल में,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $P.E. = -\frac{kZe^2}{r_n}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $r_n \propto n^2$,इसलिए $P.E. \propto -\frac{1}{n^2}$ होता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,ऋणात्मक स्थितिज ऊर्जा का परिमाण घटता है,जिसका अर्थ है कि मान कम ऋणात्मक हो जाता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
$n=1$ के लिए,$P.E. = -27.2 \text{ eV}$।
$n=2$ के लिए,$P.E. = -6.8 \text{ eV}$।
चूंकि $-6.8 \text{ eV} > -27.2 \text{ eV}$,इसलिए $n=2$ कक्षा में स्थितिज ऊर्जा $n=1$ कक्षा की तुलना में अधिक है।
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन गलत है।

(A) उत्सर्जित फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
यहाँ $n_1 = 1$ और $n_2 = 5$ है:
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{25} \right) = \frac{24}{25} R$ ... $(i)$
उत्सर्जित फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ है।
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$p = h \left( \frac{24}{25} R \right)$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,परमाणु का संवेग फोटॉन के संवेग के बराबर और विपरीत दिशा में होगा (क्योंकि परमाणु प्रारंभ में स्थिर था):
$p_{\text{atom}} = p_{\text{photon}}$
$mv = \frac{24 Rh}{25}$
$v = \frac{24 Rh}{25 m}$

(D) बोहर के क्वांटमीकरण प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2 \pi}$ होता है।
चूंकि $L = I \omega$,इसलिए $I \omega = \frac{nh}{2 \pi}$,जिसका अर्थ है $\omega = \frac{nh}{2 \pi I}$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ होती है।
$\omega$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{nh}{2 \pi I}\right)^2$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,$E_r = \frac{1}{2} I \left(\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 I^2}\right) = \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 I}$।

(C) $n^{\text{वीं}}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_0$ है,जहाँ $r_0$ पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $(n=1)$ है।
पहली बोहर कक्षा $(n=1)$ के लिए,$r_1 = 1^2 r_0 = r_0$ है।
दूसरी बोहर कक्षा $(n=2)$ के लिए,$r_2 = 2^2 r_0 = 4 r_0$ है।
पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या और दूसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{r_0}{4 r_0} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,अनुपात $1:4$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ है।
चूंकि $K.E. \propto \frac{1}{r}$,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर (उत्तेजित अवस्था) में जाता है,त्रिज्या $r$ बढ़ती है,जिससे $K.E.$ घट जाती है।
स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ है।
चूंकि $P.E. \propto -\frac{1}{r}$,जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,ऋणात्मक मान का परिमाण कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $P.E.$ का मान कम ऋणात्मक हो जाता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
इसलिए,जब एक हाइड्रोजन परमाणु को मूल अवस्था से उत्तेजित अवस्था में ले जाया जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है और उसकी गतिज ऊर्जा घटती है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h n}$.
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $V_n \propto \frac{1}{n}$.
इसलिए,$p^{\text{th}}$ और $n^{\text{th}}$ कक्षा के लिए,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{V_p}{V_n} = \frac{1/p}{1/n} = \frac{n}{p}$.
अतः,$V_p : V_n$ का अनुपात $n : p$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n_1 = 1$,इसलिए $E_1 = -13.6 \ eV$।
अगली उच्च अवस्था (प्रथम उत्तेजित अवस्था) के लिए,$n_2 = 2$,इसलिए $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$।
परमाणु को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \ eV - (-13.6 \ eV) = 10.2 \ eV$।

(C) बोहर मॉडल में,इलेक्ट्रॉन की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल नाभिक (प्रोटॉन) और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत कूलम्ब आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
संतुलन के लिए शर्त है:
$\text{अभिकेंद्र बल} = \text{कूलम्ब बल}$
$\frac{mv^2}{r_0} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r_0^2}$
$v^2$ के लिए समीकरण को सरल करने पर:
$v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_0 m}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}} = \frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$
अतः,इलेक्ट्रॉन की गति $\frac{e}{\sqrt{4 \pi \varepsilon_0 r_0 m}}$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले संक्रमण के लिए (दूसरे से पहले स्तर): $n_i = 2$ से $n_f = 1$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_1 = E_2 - E_1 = -\frac{13.6}{2^2} - (-\frac{13.6}{1^2}) = 13.6(1 - \frac{1}{4}) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$ है।
दूसरे संक्रमण के लिए (अनंत से दूसरे स्तर): $n_i = \infty$ से $n_f = 2$ तक।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E_2 = E_{\infty} - E_2 = 0 - (-\frac{13.6}{2^2}) = \frac{13.6}{4} \text{ eV}$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times \frac{3}{4}}{13.6 \times \frac{1}{4}} = \frac{3}{1}$ है।
अतः,अनुपात $3: 1$ है।

(B) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ इस प्रकार दिया जाता है:
$L = \frac{nh}{2\pi}$
इसका अर्थ है कि $L \propto n$.
तीसरी बोहर कक्षा $(n_1 = 3)$ के लिए,कोणीय संवेग $L_1 = l$ है।
चौथी बोहर कक्षा $(n_2 = 4)$ के लिए,मान लीजिए कोणीय संवेग $L_2 = L'$ है।
समानुपातिकता $L \propto n$ का उपयोग करने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{n_1}{n_2}$
$\frac{l}{L'} = \frac{3}{4}$
$L' = \frac{4}{3} l$

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति $v_n \propto \frac{1}{n}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि प्रारंभिक अवस्था मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ है जिसकी गति $v_1$ है,और अंतिम गति $v_2 = \frac{v_1}{3}$ है।
संबंध $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{v_1}{v_1/3} = \frac{n_2}{1}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n_2 = 3$।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\frac{r_2}{r_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$।
अतः,उत्तेजित अवस्था में कक्षा की त्रिज्या $r_2 = 9 r_1$ है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि कक्षा का क्षेत्रफल $A_n = \pi r_n^2$ होता है,इसलिए $A_n \propto (n^2)^2 = n^4$ होगा।
पहली उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप है और दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
अतः,दूसरी उत्तेजित अवस्था $(A_3)$ और पहली उत्तेजित अवस्था $(A_2)$ के क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_3}{A_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$ होगा।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
चूंकि $E \propto \frac{Z^2}{n^2}$,हम दोनों स्थितियों के लिए अनुपात लिख सकते हैं।
हाइड्रोजन परमाणु $(Z_H = 1)$ के लिए दूसरी कक्षा $(n_H = 2)$: $E_H = E \propto \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$।
हीलियम परमाणु $(Z_{He} = 2)$ के लिए तीसरी कक्षा $(n_{He} = 3)$: $E_{He} \propto \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$।
अब,अनुपात लेने पर: $\frac{E_{He}}{E_H} = \frac{4/9}{1/4} = \frac{4}{9} \times 4 = \frac{16}{9}$।
अतः,$E_{He} = \frac{16}{9} E$।

(C) प्रथम संधारित्र के लिए,धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A_1}{d} = \frac{\varepsilon_0 \pi r^2}{d}$ है।
दूसरे संधारित्र के लिए,नई त्रिज्या $r' = \sqrt{2}r$ और नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi (r')^2 = \pi (\sqrt{2}r)^2 = 2\pi r^2$ होगा।
नई धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (2\pi r^2)}{d/2} = \frac{4\varepsilon_0 \pi r^2}{d} = 4C_1$ होगी।
अतः,अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{4C_1} = \frac{1}{4}$ है।

(B) $1$. जब संधारित्र को अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$2$. समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
$3$. प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ का मान $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ना चाहिए।
$5$. अतः,यह कथन कि विभवांतर घट जाता है,गलत है।

(B) दिया गया है: $L = \frac{3}{\pi^2} \ H$ और $f = 50 \ Hz$.
चूंकि वोल्टेज और धारा समान कला में हैं,इसलिए परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है,इसलिए $X_C = X_L$.
$\frac{1}{\omega C} = \omega L \implies C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
मान रखने पर:
$C = \frac{1}{4 \pi^2 \times (50)^2 \times \frac{3}{\pi^2}} = \frac{1}{4 \times 2500 \times 3} = \frac{1}{30000} \ F$.
$C = \frac{1}{3} \times 10^{-4} \ F \approx 0.33 \times 10^{-4} \ F$.

(A) आवेश $Q$, धारिता $C$ और वोल्टेज $V$ के बीच संबंध $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है, जिसे $V = (1/C)Q$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर, जहाँ $y = V$ और $x = Q$ है, ग्राफ का ढाल $m = 1/C$ होता है।
इसलिए, $C = 1/(\text{रेखा का ढाल})$.
ग्राफ से, रेखा $A$ का ढाल रेखा $B$ के ढाल से छोटा है (क्योंकि समान आवेश $Q$ के लिए $V_A < V_B$ है)।
चूंकि धारिता ढाल के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए छोटा ढाल बड़ी धारिता को दर्शाता है।
अतः, $A$ की धारिता $B$ की धारिता से अधिक है।

(C) इस निकाय को श्रेणी क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है: एक परावैद्युत के साथ और दूसरा वायु अंतराल के साथ।
$C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t} = \frac{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 20 \varepsilon_0 \ F$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d-t} = \frac{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 4 \varepsilon_0 \ F$
चूंकि वे श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0 \ F$

(C) वायु से भरे समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए, धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9 \text{ pF}$ है।
जब स्थान को $d_1$ और $d_2$ मोटाई के परावैद्युत पदार्थों से भरा जाता है, तो यह प्रणाली श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d_1} = \frac{3 A \varepsilon_0}{d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d_2} = \frac{6 A \varepsilon_0}{2d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं, तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का मान $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81}{2} = 40.5 \text{ pF}$।

(A) जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो यह ध्रुवीकृत (polarized) हो जाता है। यह ध्रुवीकरण एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र बनाता है जो प्लेटों पर आवेशों द्वारा उत्पन्न बाहरी विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है। परिणामस्वरूप,प्लेटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है। चूंकि विभवांतर $V$,विद्युत क्षेत्र से $V = E \cdot d$ (जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है) द्वारा संबंधित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र में कमी आने से दिए गए आवेश $Q$ के लिए प्लेटों के बीच विभवांतर कम हो जाता है। फलस्वरूप,धारिता $C = Q/V$ बढ़ जाती है।

(A) समांतर प्लेट वायु संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ द्वारा दी जाती है।
चित्र से,प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल दो हिस्सों ($A/2$ और $A/2$) में विभाजित है,जबकि दूरी $d$ दोनों के लिए समान रहती है। यह विन्यास समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों को दर्शाता है।
पहले परावैद्युत $(K_1 = 4)$ के लिए:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \times \frac{1}{2} \times C = 4 \times 0.5 \times 1 \mu F = 2 \mu F$.
दूसरे परावैद्युत $(K_2 = 2)$ के लिए:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \times \frac{1}{2} \times C = 2 \times 0.5 \times 1 \mu F = 1 \mu F$.
चूंकि संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,प्रभावी धारिता होगी:
$C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$।

(C) प्रारंभ में,$C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_1 = \frac{C}{2}$
एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरने के बाद,उसकी नई धारिता $KC$ हो जाती है। नई तुल्य धारिता $C_2$ है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{KC} = \frac{1}{C} \left(1 + \frac{1}{K}\right) = \frac{1}{C} \left(\frac{K+1}{K}\right) \implies C_2 = \frac{CK}{K+1}$
प्रभावी धारिता में परिवर्तन $\Delta C$ है:
$\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{CK}{K+1} - \frac{C}{2}$
$\Delta C = C \left[ \frac{2K - (K+1)}{2(K+1)} \right] = \frac{C}{2} \left[ \frac{K-1}{K+1} \right]$

(A) जब एक परावैद्युत को बाहरी विद्युत क्षेत्र $E_0$ में रखा जाता है,तो परावैद्युत के अणु ध्रुवीकृत (polarized) हो जाते हैं।
यह ध्रुवीकरण परावैद्युत के अंदर एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E_i$ उत्पन्न करता है।
इस प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E_i$ की दिशा बाहरी विद्युत क्षेत्र $E_0$ की दिशा के विपरीत होती है।
परावैद्युत के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र $E$ का मान $E = E_0 - E_i$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E_i > 0$ है,इसलिए परावैद्युत के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र $E$ हमेशा बाहरी विद्युत क्षेत्र $E_0$ से कम होता है।

(D) प्रारंभ में,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं जहाँ धारिता $C_A = C$ और $C_B = KC$ है। तुल्य धारिता $C_{net} = \frac{C_A C_B}{C_A + C_B} = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K+1}$ है।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q_A = Q_B = C_{net}E = \frac{KCE}{K+1}$ है।
परावैद्युत को हटाने के बाद,$C_A = C$ और $C_B = C$ हो जाता है। नई तुल्य धारिता $C_{net}^{\prime} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर नया आवेश $Q_A^{\prime} = Q_B^{\prime} = C_{net}^{\prime}E = \frac{CE}{2}$ है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{Q_B^{\prime}}{Q_B} = \frac{CE/2}{KCE/(K+1)} = \frac{K+1}{2K}$.

(D) वायु संधारित्र के लिए,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ है।
जब दो परावैद्युत को चित्र में दिखाए अनुसार डाला जाता है,तो यह संयोजन श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d/2$ और क्षेत्रफल $A$ है।
पहले भाग की धारिता $C_{a} = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_1 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_1 C_1$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_{b} = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_2 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_2 C_1$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b} = \frac{1}{2 K_1 C_1} + \frac{1}{2 K_2 C_1} = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$।
अतः,$C_2 = \frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$।
अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{\frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$।

(D) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
संबंध $Q = CV$ का उपयोग करते हुए,हम प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर को $V_i = \frac{Q}{C_i}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि श्रेणी संयोजन में सभी संधारित्रों के लिए $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए विभवांतर $V_i$ धारिता $C_i$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,विभवांतर का अनुपात $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{Q}{C_1} : \frac{Q}{C_2} : \frac{Q}{C_3}$ होगा।
इसे सरल करने पर $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} : \frac{1}{C_3}$ प्राप्त होता है।

(B) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ --- $(i)$
प्लेट क्षेत्रफल $A$ और पृथक्करण दूरी $t$ वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ इस प्रकार है:
$C = \frac{A \varepsilon_0}{t}$
इससे,हम लिख सकते हैं कि $A \varepsilon_0 = Ct$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $A \varepsilon_0$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{Q}{Ct}$
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\frac{Q}{Ct}$ है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
विभवांतर को $V_i$ से $V_f$ तक बदलने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = \Delta U = \frac{1}{2} C(V_f^2 - V_i^2)$।
प्रथम स्थिति के लिए,$V_1 = 5 \ V$ से $V_2 = 10 \ V$:
$W = \frac{1}{2} C(10^2 - 5^2) = \frac{1}{2} C(100 - 25) = \frac{75}{2} C$।
दूसरी स्थिति के लिए,$V_2 = 10 \ V$ से $V_3 = 15 \ V$:
$W' = \frac{1}{2} C(15^2 - 10^2) = \frac{1}{2} C(225 - 100) = \frac{125}{2} C$।
अनुपात लेने पर:
$\frac{W'}{W} = \frac{125/2 C}{75/2 C} = \frac{125}{75} = \frac{5}{3} \approx 1.67$।
अतः,$W' = 1.67 \ W$।

(B) संधारित्रों पर प्रारंभिक आवेश:
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 3C \times 3V = 9CV$
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता के साथ जोड़ा गया है,इसलिए निकाय पर कुल आवेश:
$Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |9CV - CV| = 8CV$
समांतर संयोजन की तुल्य धारिता:
$C_{eq} = C + 3C = 4C$
विन्यास में संचित अंतिम ऊर्जा:
$U = \frac{Q_{net}^2}{2C_{eq}}$
$U = \frac{(8CV)^2}{2(4C)}$
$U = \frac{64C^2V^2}{8C} = 8CV^2$

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
$4$ समान संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{4}$ है।
संचित ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} C_s V_s^2 = \frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2$ है।
$4$ समान संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p = 4C$ है।
संचित ऊर्जा $U_p = \frac{1}{2} C_p V_p^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$ है।
यह दिया गया है कि संचित ऊर्जा समान है,इसलिए $U_s = U_p$:
$\frac{1}{2} (\frac{C}{4}) V_s^2 = \frac{1}{2} (4C) V_p^2$
$\frac{V_s^2}{4} = 4 V_p^2$
$\frac{V_s^2}{V_p^2} = 16$
$\frac{V_s}{V_p} = 4: 1$.

(D) जब $S_1$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$,$V$ विभव तक आवेशित हो जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} CV^2$ है।
जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र प्रेरक $L$ के माध्यम से निरावेशित (discharge) होता है,जिससे एक $LC$ दोलन परिपथ बनता है।
$t = 0$ पर ($S_2$ बंद होने के क्षण),ऊर्जा पूरी तरह से विद्युत रूप में (संधारित्र में संचित) होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र निरावेशित होता है,ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम विद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L} V^2$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
अतः,परिपथ में तात्कालिक धारा अधिकतम $V \sqrt{\frac{C}{L}}$ मान तक पहुँच सकती है।

(D) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा,$U_i = \frac{1}{2} CV_1^2 + \frac{1}{2} CV_2^2 = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2)$.
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{CV_1 + CV_2}{C + C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ होता है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा,$U_f = \frac{1}{2}(2C)V^2 = C \left(\frac{V_1 + V_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
ऊर्जा में कमी,$\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C(V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C(V_1 + V_2)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C(V_1^2 + V_2^2 - 2V_1V_2) = \frac{1}{4} C(V_1 - V_2)^2$.

(A) आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र एक प्रेरक के माध्यम से निरावेशित होता है,तो ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र से प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में स्थानांतरित हो जाती है।
अधिकतम धारा $(I_0)$ के क्षण पर,पूरी ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा के रूप में संचित होती है,जो $U = \frac{1}{2} LI_0^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_0^2$.
$I_0$ के लिए हल करने पर: $I_0^2 = \frac{CV^2}{L}$.
दिया गया है: $C = 1 \mu F = 10^{-6} \ F$,$V = 50 \ V$,$L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 10^{-2} \ H$.
मान रखने पर: $I_0^2 = \frac{10^{-6} \times (50)^2}{10^{-2}} = \frac{10^{-6} \times 2500}{10^{-2}} = 2500 \times 10^{-4} = 0.25$.
अतः,$I_0 = \sqrt{0.25} = 0.5 \ A$.

(D) $n_1$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,प्रत्येक की धारिता $C_1$ है:
तुल्य धारिता $(C_{eq})_1 = \frac{C_1}{n_1}$.
विभवांतर $V_1 = 6 \ V$.
संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} (C_{eq})_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{n_1} \right) (6)^2 = \frac{18 C_1}{n_1}$.
$n_2$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,प्रत्येक की धारिता $C_2$ है:
तुल्य धारिता $(C_{eq})_2 = n_2 C_2$.
विभवांतर $V_2 = 2 \ V$.
संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} (C_{eq})_2 V_2^2 = \frac{1}{2} (n_2 C_2) (2)^2 = 2 n_2 C_2$.
यह दिया गया है कि कुल ऊर्जा समान है,$U_1 = U_2$:
$\frac{18 C_1}{n_1} = 2 n_2 C_2$.
$C_2$ के लिए हल करने पर:
$C_2 = \frac{18 C_1}{2 n_1 n_2} = \frac{9 C_1}{n_1 n_2}$.

(C) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 2 \mu F$ है। हमें प्रभावी धारिता $C_{eq} = \frac{6}{13} \mu F$ प्राप्त करनी है।
यदि हम $3$ संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ते हैं,तो उनकी धारिता $C_p = 3C = 6 \mu F$ होगी।
अब,इस समूह को शेष $4$ संधारित्रों के साथ श्रेणी क्रम में जोड़ने पर,प्रभावी धारिता $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{4}{C} = \frac{1 + 12}{3C} = \frac{13}{3C}$ होगी।
अतः,$C_{eq} = \frac{3C}{13} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13} \mu F$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही संयोजन $3$ संधारित्र समांतर क्रम में और $4$ संधारित्र श्रेणी क्रम में है।

(B) माना कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
$C$ धारिता वाले तीन संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = C + C + C = 3C$ है।
यह संयोजन $C$ धारिता वाले एक अन्य संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ा है।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{C} = \frac{1+3}{3C} = \frac{4}{3C}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{3C}{4}$.
दिया गया है कि $C_{eq} = 4.5 \mu F$,इसलिए:
$4.5 = \frac{3C}{4}$
$C = \frac{4.5 \times 4}{3} = 1.5 \times 4 = 6 \mu F$.

(C) परिपथ में $3 \mu F$ और $5 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,जिनके साथ $20 V$ और $4 V$ की दो बैटरी विपरीत दिशा में जुड़ी हैं।
$1$. तुल्य विद्युत वाहक बल $(V_{eq})$ की गणना:
$V_{eq} = 20 V - 4 V = 16 V$
$2$. तुल्य धारिता $(C_{eq})$ की गणना:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{3 \times 5}{3 + 5} = \frac{15}{8} \mu F$
$3$. संधारित्रों पर आवेश $(Q)$ की गणना:
$Q = C_{eq} \times V_{eq} = \frac{15}{8} \mu F \times 16 V = 30 \mu C$
$4$. $3 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_3)$ की गणना:
$V_3 = \frac{Q}{C_1} = \frac{30 \mu C}{3 \mu F} = 10 V$

(D) परिपथ का प्रतीकात्मक रूप इस प्रकार है:
$(p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim r \wedge \sim q \wedge p)$
$= (p \wedge (q \vee r)) \vee (\sim (r \vee q) \wedge p)$ [डी मॉर्गन का नियम]
$= p \wedge ((q \vee r) \vee \sim (q \vee r))$ [वितरण का नियम]
$= p \wedge T$ [पूरक का नियम]
$= p$ [तत्समक का नियम]
अतः,सरल परिपथ लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में एक स्विच $S_1$ है।