MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना ट्यूनिंग फोर्क $C$ की आवृत्ति $n$ है।
दिया गया है कि $A$ की आवृत्ति $C$ से $1.4 \%$ अधिक है, इसलिए $n_A = n + 0.014n = 1.014n$।
दिया गया है कि $B$ की आवृत्ति $C$ से $2.6 \%$ कम है, इसलिए $n_B = n - 0.026n = 0.974n$।
जब $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है, तो प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या उनकी आवृत्तियों का अंतर होती है: $|n_A - n_B| = 10$।
मान रखने पर: $1.014n - 0.974n = 10$।
$0.04n = 10$।
$n = \frac{10}{0.04} = \frac{1000}{4} = 250 \text{ Hz}$।

(B) बीट आवृत्ति को दो तरंगों की आवृत्तियों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $f_{beat} = |f_2 - f_1|$.
यहाँ $f_1 = 340 \ Hz$ और $f_2 = 335 \ Hz$ दिया गया है।
$f_{beat} = 340 \ Hz - 335 \ Hz = 5 \ Hz$.
दो क्रमिक उच्चिष्ठों के बीच का समय अंतराल बीट आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है:
$T = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{5} \ s = 0.2 \ s$.

(B) $L$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई की पहली पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{V}{2l}$ है।
$(l+l_1)$ लंबाई की दूसरी पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{V}{2(l+l_1)}$ है।
विस्पंद आवृत्ति $f_b$ दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_b = f_1 - f_2 = \frac{V}{2l} - \frac{V}{2(l+l_1)}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f_b = \frac{V}{2} \left[ \frac{(l+l_1) - l}{l(l+l_1)} \right] = \frac{V l_1}{2l(l+l_1)}$.
चूंकि $l_1 \ll l$ की स्थिति दी गई है,हम हर (denominator) में $(l+l_1) \approx l$ मान सकते हैं।
अतः,$f_b \approx \frac{V l_1}{2l^2}$.

(D) विस्पंद आवृत्ति $f_b = |f_2 - f_1| = |256 \,Hz - 250 \,Hz| = 6 \,Hz$ द्वारा दी जाती है।
विस्पंद तरंग का आवर्तकाल $T_b = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{6} \,s$ है।
तीव्रता $t=0$ पर अधिकतम है। तीव्रता विस्पंद के आवर्तकाल के आधे समय के बाद न्यूनतम हो जाती है, जो एक अधिकतम और उसके बाद के न्यूनतम के बीच के अंतराल के अनुरूप है।
अतः, आवश्यक समय $t = \frac{T_b}{2} = \frac{1}{6 \times 2} = \frac{1}{12} \,s$ है।

(C) माना ध्वनि का वेग $v$ है और स्रोत की आवृत्ति $f$ है। प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $v_o = v/5$ के वेग से गति करता है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र है: $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $f' = f \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2f$।
आवृत्ति में वृद्धि $\Delta f = f' - f = 1.2f - f = 0.2f$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{\Delta f}{f} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2f}{f} \right) \times 100 = 20 \%$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) चरण $1$: सायरन से ध्वनि दीवार की ओर यात्रा करती है। दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है। गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{V}{V - V_1} \right)$ है।
चरण $2$: दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है। अब,दीवार $n_1$ आवृत्ति के एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है और ड्राइवर $V_1$ गति से दीवार की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है। ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n_2 = n_1 \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$ द्वारा दी जाती है।
चरण $3$: $n_2$ के समीकरण में $n_1$ का मान रखने पर: $n_2 = \left( n \frac{V}{V - V_1} \right) \left( \frac{V + V_1}{V} \right) = n \left( \frac{V + V_1}{V - V_1} \right)$.

(D) मान लीजिए कि सीटी की मूल आवृत्ति $n$ है और प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime}$ है।
दिया गया है कि आवृत्ति $30 \%$ कम हो जाती है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime} = n - 0.30n = 0.7n$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 350 \ m/s$ ध्वनि की गति है और $v_s$ इंजन की गति है।
मान रखने पर: $0.7n = n \left( \frac{350}{350 + v_s} \right)$.
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $0.7 = \frac{350}{350 + v_s}$.
$0.7(350 + v_s) = 350$.
$245 + 0.7v_s = 350$.
$0.7v_s = 350 - 245 = 105$.
$v_s = \frac{105}{0.7} = 150 \ m/s$.

(A) दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $(n_0) = 510 \,Hz$.
स्रोत का वेग $(v_s) = 72 \,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$.
हवा में ध्वनि का वेग $(v) = 320 \,m/s$.
$(1)$ जब स्रोत एक स्थिर श्रोता की ओर आ रहा हो,तो आभासी आवृत्ति $(n_1)$ इस प्रकार दी जाती है:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n_1 = 510 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{300} \right) = 544 \,Hz$.
$(2)$ जब स्रोत एक स्थिर श्रोता से दूर जा रहा हो,तो आभासी आवृत्ति $(n_2)$ इस प्रकार दी जाती है:
$n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
$n_2 = 510 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 510 \times \left( \frac{320}{340} \right) = 480 \,Hz$.
अतः,आवृत्तियाँ $544 \,Hz$ और $480 \,Hz$ हैं।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब श्रोता $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_1$ इस प्रकार होती है:
$F_1 = F \left( \frac{V + V_1}{V} \right)$
जब श्रोता $V_1$ वेग के साथ स्थिर स्रोत से दूर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_2$ इस प्रकार होती है:
$F_2 = F \left( \frac{V - V_1}{V} \right)$
दिए गए अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = 2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1} = 2$
$V + V_1 = 2(V - V_1)$
$V + V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = V$
अतः,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(D) ध्वनि तरंगों के लिए डॉप्लर प्रभाव लागू करने पर,प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $v_0$ स्रोत की ओर गति कर रहे प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति की तीन गुनी है,$n^{\prime} = 3n$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $3n = n \left( 1 + \frac{v_0}{v} \right)$।
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर: $3 = 1 + \frac{v_0}{v}$।
$v_0$ के लिए हल करने पर: $\frac{v_0}{v} = 2$,जिसका अर्थ है $v_0 = 2v$।
अतः,प्रेक्षक को स्रोत की ओर ध्वनि के वेग के दोगुने वेग से चलना चाहिए।

(A) दीवार परावर्तित ध्वनि के स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। दीवार द्वारा प्राप्त ध्वनि की आवृत्ति $n_w = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right)$ है।
यह परावर्तित ध्वनि ड्राइवर के लिए एक स्रोत के रूप में कार्य करती है। चूँकि ड्राइवर दीवार (स्रोत) की ओर गति कर रहा है,ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $n' = n_w \left(\frac{V+V_1}{V}\right)$ होगी।
$n_w$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $n' = n \left(\frac{V}{V-V_1}\right) \left(\frac{V+V_1}{V}\right) = n \left(\frac{V+V_1}{V-V_1}\right)$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $n^{\prime}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + V_{L}}{V - V_{S}} \right) n$
यहाँ,श्रोता की गति $V_{L} = \frac{V}{10}$ और स्रोत की गति $V_{S} = \frac{V}{10}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n^{\prime} = \left( \frac{V + \frac{V}{10}}{V - \frac{V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \left( \frac{\frac{11V}{10}}{\frac{9V}{10}} \right) n$
$n^{\prime} = \frac{11}{9} n$
$n^{\prime} \approx 1.22 n$

(C) दो तरंगें जिनके आयाम '$A_1$' और '$A_2$' हैं और उनके बीच का कलांतर '$\phi$' है,उनका परिणामी आयाम '$R$' ज्ञात करने का सूत्र है: $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(\phi)}$।
दिया गया है: $A_1 = A$,$A_2 = A$,और $\phi = \frac{\pi}{2}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2(A)(A) \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न प्रकार होगा:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 0} = \sqrt{2A^2} = \sqrt{2} A$।
अतः,परिणामी तरंग का अधिकतम आयाम $\sqrt{2} A$ है।

(A) दो तरंगों,जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और कलांतर $\phi = \phi_1 - \phi_2$ है,का परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi$
यहाँ दिया गया है कि $a_1 = a_2 = a$ और परिणामी आयाम $A = a$ है,इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$a^2 = a^2 + a^2 + 2(a)(a) \cos \phi$
$a^2 = 2a^2 + 2a^2 \cos \phi$
दोनों पक्षों से $2a^2$ घटाने पर:
$-a^2 = 2a^2 \cos \phi$
$2a^2$ से विभाजित करने पर:
$\cos \phi = -\frac{1}{2}$
अतः,कलांतर होगा:
$\phi = \phi_1 - \phi_2 = \cos ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$

(A) पथ अंतर $\Delta x = \lambda/3$ दिया गया है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$।
समान आयाम $A$ वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $R$ ज्ञात करने का सूत्र $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \phi}$ है।
$\phi = 120^{\circ}$ और $\cos(120^{\circ}) = -0.5$ रखने पर:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2(-0.5)}$
$R = \sqrt{2A^2 - A^2}$
$R = \sqrt{A^2} = A$।

(B) एक बंद ऑर्गन पाइप में,मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{v}{4L}$ होती है।
ओवरटोन की आवृत्तियाँ $f_n = (2n-1)f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ हार्मोनिक संख्या है।
पहला ओवरटोन $3^{\text{rd}}$ हार्मोनिक $(n=2)$ है और दूसरा ओवरटोन $5^{\text{th}}$ हार्मोनिक $(n=3)$ है।
बंद पाइप में $n^{\text{th}}$ हार्मोनिक के लिए,नोड्स की संख्या $n$ और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
चूँकि दूसरा ओवरटोन $3^{\text{rd}}$ कंपन मोड $(n=3)$ के अनुरूप है,इसलिए इसमें $3$ नोड्स और $3$ एंटीनोड्स होते हैं।

(D) $L$ लंबाई की खुली पाइप की मूल आवृत्ति $f_1 = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है।
जब पाइप का $80\%$ भाग पानी में डुबोया जाता है,तो पानी की सतह के ऊपर बचे वायु स्तंभ की लंबाई $l = L - 0.8L = 0.2L = \frac{L}{5}$ होती है।
चूंकि पाइप अब एक सिरे पर बंद (पानी की सतह द्वारा) है,यह $l$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप की तरह व्यवहार करती है।
बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_2 = \frac{V}{4l}$ होती है।
$l = \frac{L}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f_2 = \frac{V}{4(L/5)} = \frac{5V}{4L}$ प्राप्त होता है।
अब,$f_1:f_2$ का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{V/2L}{5V/4L} = \frac{V}{2L} \times \frac{4L}{5V} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।

(A) एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए,दोनों सिरों पर अंत सुधार $(e)$ को ध्यान में रखते हुए प्रभावी लंबाई $(L)$ इस प्रकार दी जाती है:
$L = l + 2e$
चूंकि खुले पाइप के लिए अंत सुधार $e = 0.6r$ होता है,इसलिए:
$L = l + 2(0.6r) = l + 1.2r$
खुले पाइप की मूल आवृत्ति $(f)$ का सूत्र है:
$f = \frac{v}{2L}$
$L$ का मान रखने पर:
$f = \frac{v}{2(l + 1.2r)}$

(C) माना सबसे छोटी अनुनाद लंबाई $l_1 = 15 \ cm$ है और अंत सुधार $e = 1 \ cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली में पहले अनुनाद (मूल विधा) के लिए:
$l_1 + e = \frac{\lambda}{4}$
मान रखने पर:
$15 + 1 = \frac{\lambda}{4} \implies 16 = \frac{\lambda}{4} \implies \lambda = 64 \ cm$
अगली अनुनाद लंबाई $l_2$ (प्रथम अधिस्वरक) के लिए:
$l_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$
मान रखने पर:
$l_2 + 1 = \frac{3 \times 64}{4}$
$l_2 + 1 = 3 \times 16$
$l_2 + 1 = 48$
$l_2 = 47 \ cm$

(A) ट्यूनिंग फोर्क एक सिरे पर बंद पाइप में वायु स्तंभ के साथ अनुनाद में है। अनुनाद आवृत्ति $n = \frac{(2N-1)v}{4l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N = 1, 2, 3, \dots$ कंपन के विभिन्न मोड को दर्शाता है।
$n = 340 \ Hz$ और $v = 340 \ m/s$ (हवा में ध्वनि की गति) का मान रखने पर,वायु स्तंभ की लंबाई $l$ होगी:
$l = \frac{(2N-1)v}{4n} = \frac{(2N-1) \times 340}{4 \times 340} = \frac{2N-1}{4} \ m = (2N-1) \times 25 \ cm$.
$N = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,वायु स्तंभ की संभावित लंबाई $l = 25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ है।
चूँकि नली केवल $120 \ cm$ लंबी है,इसलिए वायु स्तंभ की संभावित लंबाई केवल $25 \ cm$ और $75 \ cm$ हो सकती है।
पानी के स्तंभ की संबंधित ऊँचाई $h = \text{कुल ऊँचाई} - l$ है।
$l = 25 \ cm$ के लिए,$h = 120 - 25 = 95 \ cm$.
$l = 75 \ cm$ के लिए,$h = 120 - 75 = 45 \ cm$.
अतः,अनुनाद के लिए आवश्यक पानी की न्यूनतम ऊँचाई $45 \ cm$ है।

(B) जब एक डोरी को दोनों सिरों (कठोर आधारों) पर बांधा जाता है,तो इन बिंदुओं पर विस्थापन शून्य होना चाहिए क्योंकि वे हिल नहीं सकते।
शून्य विस्थापन वाले बिंदुओं को निस्पंद (nodes) कहा जाता है।
इसलिए,दोनों सिरों पर निस्पंद बनते हैं।
डोरी को कंपन करने के लिए,दो स्थिर सिरों के बीच अधिकतम विस्थापन वाला कम से कम एक बिंदु होना चाहिए,जिसे प्रस्पंद (antinode) कहा जाता है।
इस प्रकार,कंपन का सबसे सरल रूप (मूल विधा) दोनों सिरों पर निस्पंद और बीच में कम से कम एक प्रस्पंद से मिलकर बनता है।

(A) एक खिंचे हुए तार की कंपन आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T$ तार में तनाव है,जो उस पर लटके द्रव्यमान $M$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = Mg$।
अतः,$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$।
समान ट्यूनिंग फोर्क के साथ आवृत्ति $n$ को स्थिर रखने के लिए,हमारे पास $\frac{1}{l} \sqrt{g} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसका अर्थ है $l \propto \sqrt{g}$।
चूंकि पृथ्वी के ध्रुवों पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ $(g_p)$,भूमध्य रेखा $(g_e)$ की तुलना में अधिक होता है,अर्थात $g_p > g_e$,इसलिए लंबाई $l$ को तदनुसार समायोजित करना होगा।
भूमध्य रेखा पर जहाँ $g$ कम है,समान आवृत्ति बनाए रखने के लिए,$g$ में कमी की भरपाई करने के लिए लंबाई $l$ को कम किया जाना चाहिए ताकि अनुपात $\frac{\sqrt{g}}{l}$ स्थिर रहे।
इसलिए,तार की कंपन लंबाई कम की जानी चाहिए।

(D) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{340} = 1 \ m = 100 \ cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$,$\frac{\lambda}{4}$ का विषम गुणज हो,अर्थात $L = \frac{\lambda}{4}, \frac{3\lambda}{4}, \frac{5\lambda}{4}, \dots$
वायु स्तंभ की संभावित लंबाइयाँ $25 \ cm, 75 \ cm, 125 \ cm, \dots$ हैं।
नली की कुल ऊँचाई $150 \ cm$ है।
अनुनाद प्राप्त करने के लिए,वायु स्तंभ की लंबाई ऊपर दिए गए मानों में से एक होनी चाहिए। पानी के स्तंभ की न्यूनतम ऊँचाई प्राप्त करने के लिए,हमें नली में फिट होने वाली अधिकतम संभव वायु स्तंभ लंबाई चुननी चाहिए,जो $125 \ cm$ है।
पानी के स्तंभ की न्यूनतम ऊँचाई $= \text{कुल ऊँचाई} - \text{अधिकतम वायु स्तंभ लंबाई} = 150 \ cm - 125 \ cm = 25 \ cm$.

(B) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,$n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(2n+1)V}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे ओवरटोन के लिए,$n=3$,इसलिए $f = \frac{(2 \times 3 + 1)V}{4L_c} = \frac{7V}{4L_c}$।
दोनों सिरों पर खुले पाइप के लिए,$n$ वें ओवरटोन की आवृत्ति $f = \frac{(n+1)V}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है।
छठे ओवरटोन के लिए,$n=6$,इसलिए $f = \frac{(6+1)V}{2L_o} = \frac{7V}{2L_o}$।
दोनों आवृत्तियों को बराबर करने पर: $\frac{7V}{4L_c} = \frac{7V}{2L_o}$।
सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4L_c} = \frac{1}{2L_o}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_c}{L_o} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया है: पाइप की लंबाई $l = 60 \ cm = 0.6 \ m$,स्रोत की आवृत्ति $f = 2.2 \ kHz = 2200 \ Hz$,ध्वनि की गति $v = 330 \ m/s$.
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,$n^{\text{th}}$ हार्मोनिक की आवृत्ति का सूत्र $f_n = n \frac{v}{2l}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$2200 = n \left[ \frac{330}{2 \times 0.6} \right]$
$2200 = n \left[ \frac{330}{1.2} \right]$
$2200 = n \times 275$
$n = \frac{2200}{275} = 8$.
अतः,पाइप का $8^{\text{th}}$ हार्मोनिक मोड स्रोत के साथ अनुनाद करता है।

(B) ध्वनि तरंग की ऊर्जा $E$,उसके आयाम $A$ के वर्ग और आवृत्ति $n$ के वर्ग के समानुपाती होती है। गणितीय रूप से,$E \propto A^2 n^2$ है।
चूंकि $P$ और $Q$ द्वारा उत्पन्न तरंगों की ऊर्जा समान है,इसलिए $E_P = E_Q$ होगा।
इसका अर्थ है $A_P^2 n_P^2 = A_Q^2 n_Q^2$।
यहाँ $n_P = n$ और $n_Q = \frac{n}{4}$ दिया गया है,इसलिए:
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n}{4})^2$।
$A_P^2 n^2 = A_Q^2 (\frac{n^2}{16})$।
दोनों पक्षों को $n^2$ से विभाजित करने पर,$A_P^2 = \frac{A_Q^2}{16}$ प्राप्त होता है।
$A_Q^2 = 16 A_P^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$A_Q = 4 A_P$ प्राप्त होता है।

(C) दो ध्वनियों की प्रबलता $L_2 = 60 \ dB$ और $L_1 = 30 \ dB$ दी गई है।
ध्वनि की प्रबलता का सूत्र $L = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ है।
प्रबलता में अंतर $L_2 - L_1 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $60 - 30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
$30 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right)$.
$\log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) = 3$.
अतः,$\frac{I_2}{I_1} = 10^3 = 1000$.
इस प्रकार,$60 \ dB$ की ध्वनि $30 \ dB$ की ध्वनि से $1000$ गुना अधिक तीव्र है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
समान तापमान $T$ के लिए,हाइड्रोजन $(v_H)$ और हीलियम $(v_{He})$ में ध्वनि के वेग का अनुपात:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H R T / M_H}{\gamma_{He} R T / M_{He}}} = \sqrt{\frac{\gamma_H M_{He}}{\gamma_{He} M_H}}$.
दिया गया है:
$\gamma_H = 7/5$,$\gamma_{He} = 5/3$,
$M_H = 2 \text{ g/mol}$,$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{28/5}{10/3}} = \sqrt{\frac{28}{5} \times \frac{3}{10}} = \sqrt{\frac{84}{50}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{42}: 5$ है।

(C) अप्रगामी तरंग के लिए दिया गया समीकरण $y = 12 \cos \left(\frac{\pi}{6} x\right) \sin (8 \pi t)$ है।
इस समीकरण की तुलना मानक अप्रगामी तरंग समीकरण $y = A_0 \cos(kx) \sin(\omega t)$ से करने पर,हम तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ प्राप्त करते हैं।
समीकरण से,$k = \frac{\pi}{6}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 12 \ cm$ प्राप्त होता है।
अप्रगामी तरंग में दो क्रमागत प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
अतः,दूरी $= \frac{12 \ cm}{2} = 6 \ cm$ है।

(C) डोरी की लंबाई $L = 90 \ cm$ है।
अप्रगामी तरंग में $3$ निस्पंद $(N)$ हैं।
दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
चूंकि इसमें $3$ निस्पंद हैं,इसलिए उनके बीच $2$ ऐसे खंड (loops) बनते हैं।
अतः,कुल लंबाई $L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda$।
दिया गया है कि $L = 90 \ cm$,इसलिए $\lambda = 90 \ cm$ होगा।

(C) अनुनादी आवृत्तियाँ $f_1 = 90 \,Hz$, $f_2 = 150 \,Hz$ और $f_3 = 210 \,Hz$ दी गई हैं।
क्रमागत आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = 60 \,Hz$ है।
दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए, मूल आवृत्ति $f_0 = 30 \,Hz$ है क्योंकि $90 = 3 \times 30$, $150 = 5 \times 30$, $210 = 7 \times 30$ है।
सूत्र $f_n = \frac{n v}{2L}$ का उपयोग करने पर, $n=3$ के लिए $f_3 = \frac{3v}{2L} = 90 \,Hz$.
यहाँ $L = 0.8 \,m$ है, इसलिए $90 = \frac{3v}{2 \times 0.8}$.
$90 = \frac{3v}{1.6} \implies 3v = 144 \implies v = 48 \,m/s$.

(C) परिणामी विस्थापन $Y$ अध्यारोपण के सिद्धांत द्वारा दिया जाता है: $Y = Y_1 + Y_2$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) + \sin(A + B) = 2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{2 \pi t}{0.4}$ और $B = \frac{2 \pi x}{4}$,हमें प्राप्त होता है:
$Y = 2 \sin \left( \frac{2 \pi t}{0.4} \right) \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)$.
किसी भी स्थिति $x$ पर अप्रगामी तरंग का आयाम $R$,$R = |2 \cos \left( \frac{2 \pi x}{4} \right)|$ द्वारा दिया जाता है।
$x = 0.5 \ m$ रखने पर:
$R = 2 \cos \left( \frac{2 \pi \times 0.5}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $R = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$.

(B) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = a \sin(\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y = 0.002 \sin(100t + x)$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 1 \ rad/m$
आयाम $a = 0.002 \ m$
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ Hz$.
तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{100}{1} = 100 \ m/s$.
चूँकि $\omega t$ और $kx$ के बीच धनात्मक चिह्न है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है।
अतः,यह तरंग $100 \ m/s$ के वेग से ऋणात्मक $x$-दिशा में गति कर रही है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $(n) = 400 \ Hz$,वेग $(v) = 336 \ m/s$,कलांतर $(\phi) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$.
सबसे पहले,$v = n \lambda$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{n} = \frac{336}{400} = 0.84 \ m$.
पथ अंतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\phi)$ के बीच का संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \phi$ है।
मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{0.84}{2\pi} \times \frac{\pi}{3} = \frac{0.84}{6} = 0.14 \ m$.
अतः,दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $0.14 \ m$ है।

(C) तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को सूत्र $\lambda = \frac{v}{f}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $v$ गति है और $f$ आवृत्ति है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\lambda = \frac{30}{250} = 0.12 \ m$.
$\Delta x$ पथ अंतर वाले दो बिंदुओं के बीच कलांतर $\Delta\phi$ को $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\Delta\phi = \frac{2\pi}{0.12} \times 0.1$.
$\Delta\phi = \frac{0.2\pi}{0.12} = \frac{20\pi}{12} = \frac{5\pi}{3} \ radian$.

(B) प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $(m)$:
$m = \frac{M}{l} = \frac{0.2 \ kg}{2 \ m} = 0.1 \ kg/m$
अनुप्रस्थ तरंग का वेग $(v)$:
$v = \sqrt{\frac{T}{m}} = \sqrt{\frac{2.5 \ N}{0.1 \ kg/m}} = \sqrt{25} = 5 \ m/s$
तरंग को दूसरे सिरे तक पहुँचने में लगा समय $(t)$:
$t = \frac{l}{v} = \frac{2 \ m}{5 \ m/s} = 0.4 \ s$

(B) $N$ लगातार शृंगों के बीच की दूरी $(N-1) \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
यह दिया गया है कि $5$ लगातार शृंगों के बीच की दूरी $0.8 \ m$ है,इसलिए:
$4 \lambda = 0.8 \ m$
$\lambda = \frac{0.8}{4} = 0.2 \ m$
तरंग समीकरण $v = n \lambda$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v$ वेग है और $n$ आवृत्ति है:
$n = \frac{v}{\lambda}$
दिए गए मान $v = 56 \ m/s$ और $\lambda = 0.2 \ m$ रखने पर:
$n = \frac{56}{0.2} = 280 \ Hz$
अतः,ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $280 \ Hz$ है।

(C) दोनों सिरों पर स्थिर डोरी के लिए,तरंग एक अप्रगामी तरंग (stationary wave) पैटर्न बनाती है।
माना डोरी की लंबाई $L$ है और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।
डोरी में बनने वाले लूप्स की संख्या $n$ है,जहाँ $n = x - 1$ (क्योंकि दो स्थिर सिरों सहित कुल $x$ नोड्स हैं)।
डोरी की लंबाई $L = n \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n = x - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = (x - 1) \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) जब एक डोरी दोनों सिरों पर बंधी होती है,तो तरंगें डोरी के अनुदिश चलती हैं और नियत सीमाओं से परावर्तित होती हैं। आपतित और परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण के परिणामस्वरूप स्थिर (standing) तरंगें बनती हैं। चूंकि डोरी के कणों का विस्थापन तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होता है,इसलिए ये तरंगें अनुप्रस्थ (transverse) प्रकृति की होती हैं। अतः,ये तरंगें स्थिर अनुप्रस्थ तरंगें हैं।

(C) तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \rho \pi r^2$ है।
तार $B$ के लिए: $n_B = \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}}$.
तार $A$ के लिए दिया गया है: $l_A = 2l_B$,$d_A = 2d_B \Rightarrow r_A = 2r_B$,$T_A = 2T_B$,और $\rho_A = 2\rho_B$.
$\mu_A$ की गणना करने पर: $\mu_A = \rho_A \pi r_A^2 = (2\rho_B) \pi (2r_B)^2 = 8 \rho_B \pi r_B^2 = 8\mu_B$.
अब,तार $A$ की मूल आवृत्ति: $n_A = \frac{1}{2l_A} \sqrt{\frac{T_A}{\mu_A}} = \frac{1}{2(2l_B)} \sqrt{\frac{2T_B}{8\mu_B}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2l_B} \sqrt{\frac{T_B}{\mu_B}} \right) = \frac{1}{4} n_B$.
तार $A$ के $p^{\text{वें}}$ ओवरटोन की आवृत्ति $f_p = (p+1)n_A$ है।
हमें $f_p = n_B$ चाहिए,इसलिए $(p+1) \frac{n_B}{4} = n_B$.
इससे $p+1 = 4$,या $p = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,तार $A$ का $3^{\text{रा}}$ ओवरटोन तार $B$ की मूल आवृत्ति के समान आवृत्ति रखेगा।

(A) सोनोमीटर के तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तार में तनाव है।
जब $W$ भार का गोला हवा में होता है,तो तनाव $T_1 = W$ होता है। अतः,$n_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W}{\mu}}$.
जब गोले को पानी में डुबोया जाता है,तो उस पर उत्प्लावन बल $F_B$ कार्य करता है,जिससे तनाव घटकर $T_2 = W - F_B$ हो जाता है। अतः,$n_2 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{W - F_B}{\mu}}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{W}{W - F_B}} \implies \frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - F_B}$.
आपेक्षिक घनत्व $\sigma = \frac{W}{F_B}$.
अनुपात को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{n_1^2}{n_2^2} = \frac{W}{W - (W/\sigma)} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर: $n_1^2(\sigma - 1) = n_2^2 \sigma \implies \sigma(n_1^2 - n_2^2) = n_1^2$.
अतः,$\sigma = \frac{n_1^2}{n_1^2 - n_2^2}$.

(C) एक तनी हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है,जहाँ $T$ तनाव है और $m$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
मान लीजिए प्रारंभिक तनाव $T$ है। प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ है।
जब तनाव $3 \ kg \ wt$ बढ़ा दिया जाता है,तो नया तनाव $T' = T + 3$ हो जाता है। नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T+3}{m}}$ है।
चूंकि आवृत्तियों का अनुपात $f : f' = 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{f}{f'} = \sqrt{\frac{T}{T+3}} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T}{T+3} = \frac{4}{9}$
$9T = 4(T + 3)$
$9T = 4T + 12$
$5T = 12$
$T = 2.4 \ kg \ wt$
अतः,डोरी में प्रारंभिक तनाव $2.4 \ kg \ wt$ है।

(B) सोनोमीटर के लिए,कंपन की आवृत्ति $n$,तनाव $T$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $n \propto \sqrt{T}$।
जब भार हवा में होता है,तो तनाव $T_1 = V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g$ होता है,जहाँ $V$ भार का आयतन है,$d$ इसका विशिष्ट गुरुत्व है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
अतः,$n \propto \sqrt{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}$।
जब भार को पानी में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल के कारण प्रभावी भार (तनाव) $T_2 = V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g$ हो जाता है।
नई आवृत्ति $n'$ को $n' = n - x$ द्वारा दिया जाता है (चूंकि बीट्स उत्पन्न होते हैं)।
अतः,$n' \propto \sqrt{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}$।
दोनों आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{V \cdot d \cdot \rho_w \cdot g}{V \cdot (d - 1) \cdot \rho_w \cdot g}}$
$\frac{n}{n-x} = \sqrt{\frac{d}{d-1}}$।

(A) $L$ लंबाई की दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए मूल अनुनाद आवृत्ति $n_1 = \frac{V}{2L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ हवा में ध्वनि की गति है।
$L$ लंबाई की एक सिरे पर बंद पाइप के लिए मूल अनुनाद आवृत्ति $n_2 = \frac{V}{4L}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$n_2 = \frac{V}{4L} = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{2L} \right)$
$n_2 = \frac{n_1}{2}$
अतः,$n_1 = 2 n_2$।

(A) माना तीन खंडों की लंबाई क्रमशः $L_1$,$L_2$ और $L_3$ है। कुल लंबाई $L_1 + L_2 + L_3 = 110 \ cm$ है।
नियत तनाव के तहत सोनोमीटर तार के लिए,मूल आवृत्ति $n$,लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(n \propto 1/L)$,इसलिए $n_1 L_1 = n_2 L_2 = n_3 L_3 = k$।
आवृत्तियों का अनुपात $n_1 : n_2 : n_3 = 1 : 2 : 3$ दिया गया है,इसलिए $n_1 = x, n_2 = 2x, n_3 = 3x$।
इन मानों को संबंध में रखने पर: $x L_1 = 2x L_2 = 3x L_3$।
इससे $L_2 = L_1/2$ और $L_3 = L_1/3$ प्राप्त होता है।
कुल लंबाई के समीकरण में रखने पर: $L_1 + L_1/2 + L_1/3 = 110 \ cm$।
हर को हटाने के लिए $6$ से गुणा करने पर: $6 L_1 + 3 L_1 + 2 L_1 = 660 \ cm$।
$11 L_1 = 660 \ cm \Rightarrow L_1 = 60 \ cm$।
अतः $L_2 = 30 \ cm$ और $L_3 = 20 \ cm$।
पहला पुल सिरे $A$ से $60 \ cm$ पर रखा जाना चाहिए। दूसरा पुल सिरे $A$ से $60 + 30 = 90 \ cm$ पर रखा जाना चाहिए।

(B) दोनों सिरों पर स्थिर तार के लिए $p$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_p = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $f_p = 320 \ Hz$ और अगली उच्च आवृत्ति $f_{p+1} = 400 \ Hz$ है।
हमारे पास अनुपात है: $\frac{f_{p+1}}{f_p} = \frac{p+1}{p}$.
मान रखने पर: $\frac{400}{320} = \frac{p+1}{p}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{5}{4} = \frac{p+1}{p}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $5p = 4(p+1) \Rightarrow 5p = 4p + 4$.
अतः,$p = 4$.

(C) दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,$n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f_1$ मूल आवृत्ति है।
$n$-वां हार्मोनिक $(n-1)$-वें ओवरटोन के बराबर होता है।
इसलिए,तीसरा ओवरटोन $4$-थे हार्मोनिक $(n = 4)$ के बराबर है।
$n$-वें हार्मोनिक में,लूप्स की संख्या $n$ होती है।
$4$-थे हार्मोनिक के लिए,$4$ लूप्स होते हैं।
नोड्स की संख्या $(n + 1) = 4 + 1 = 5$ है।
एंटीनोड्स की संख्या $n = 4$ है।
अतः,इसमें $5$ नोड और $4$ एंटीनोड होते हैं।

(D) वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट वाली नली के लिए अंत सुधार $e$ का सूत्र $e = 0.6r$ या $e = 0.3d$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $d$ नली का व्यास है।
चूंकि अंत सुधार $e$ नली के व्यास $d$ के सीधे आनुपातिक है $(e \propto d)$,इसलिए नली का व्यास बढ़ाने पर अंत सुधार का मान बढ़ जाएगा।
अतः,यदि नली को चौड़ा किया जाता है तो अंत सुधार अधिक होगा।

(D) एक तनी हुई डोरी की दो लगातार अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर मूल आवृत्ति $(f_0)$ के बराबर होता है।
$f_0 = f_2 - f_1 = 450 \ Hz - 375 \ Hz = 75 \ Hz$.
मूल आवृत्ति का सूत्र $f_0 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $T = 180 \ N$ और $\mu = 2 \times 10^{-3} \ kg/m$ है।
मान रखने पर: $75 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{180}{2 \times 10^{-3}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{90000} = \frac{300}{2L} = \frac{150}{L}$.
अतः,$L = \frac{150}{75} = 2 \ m$.
डोरी का कुल द्रव्यमान $m = \mu \times L = (2 \times 10^{-3} \ kg/m) \times (2 \ m) = 4 \times 10^{-3} \ kg = 4 \ g$ है।

(D) दिया गया है: $T_A = T_B = T$,$r_A = 2r_B$.
डोरी के लिए $n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = (n+1) \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$.
$A$ का पहला ओवरटोन $(n=1)$: $f_{A,1} = 2 \times \frac{1}{2L_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{L_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ का दूसरा ओवरटोन $(n=2)$: $f_{B,2} = 3 \times \frac{1}{2L_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2L_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दोनों आवृत्तियों को बराबर करने पर: $\frac{1}{L_A r_A} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
$r_A = 2r_B$ रखने पर: $\frac{1}{L_A (2r_B)} = \frac{3}{2L_B r_B}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{2L_A} = \frac{3}{2L_B} \implies \frac{L_B}{L_A} = \frac{3}{1}$.

(D) समय $t$ में अर्ध-आयु की संख्या $n$ को $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $t = 3 \text{ घंटे} = 180 \text{ मिनट}$ और $T_{1/2} = 60 \text{ मिनट}$ दिया गया है।
अतः,$n = \frac{180}{60} = 3$.
शेष बचे पदार्थ का अंश $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ है।
क्षयित पदार्थ का अंश $1 - \frac{N}{N_0} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।
प्रतिशत में बदलने पर: $\frac{7}{8} \times 100 \% = 87.5 \%$.

(B) $1$. पहले चरण में,${ }_z X^A \rightarrow{ }_{z+1} Y^A$,परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है जबकि द्रव्यमान संख्या समान रहती है। यह एक $\beta^-$ कण $(-1\beta^0)$ के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$2$. दूसरे चरण में,${ }_{z+1} Y^A \rightarrow{ }_{z-1} K^{A-4}$,परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है और द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है। यह एक $\alpha$ कण $(2\text{He}^4)$ के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$3$. तीसरे चरण में,${ }_{z-1} K^{A-4} \rightarrow{ }_{z-1} K^{A-4}$,परमाणु क्रमांक या द्रव्यमान संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जो $\gamma$ किरण $(0\gamma^0)$ के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$4$. अतः,उत्सर्जन का क्रम $\beta, \alpha, \gamma$ है।

(D) $t$ समय के बाद शेष नाभिकों की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $A$ के लिए,$N_A = N_0 e^{-5 \lambda t} \dots (i)$.
पदार्थ $B$ के लिए,$N_B = N_0 e^{-\lambda t} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$.
दिया गया है कि अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = (1/e)^2 = e^{-2}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4 \lambda t = -2$.
अतः,$t = \frac{2}{4 \lambda} = \frac{1}{2 \lambda}$.

(B) दूरी पर स्थित $P_1$ और $P_2$ शक्ति वाले दो पतले लेंसों की समतुल्य शक्ति $P_{eq}$ का सूत्र है: $P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$.
दिया गया है कि $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ और $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$9 - (0.2) P_1 P_2 = \frac{27}{5} = 5.4$.
$P_1 P_2$ के लिए हल करने पर:
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$.
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$.
अब हमारे पास दो समीकरण हैं: $P_1 + P_2 = 9$ और $P_1 P_2 = 18$.
ये द्विघात समीकरण $x^2 - 9x + 18 = 0$ के मूल हैं।
गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x - 6) = 0$.
अतः,दोनों लेंसों की शक्ति $3 \text{ D}$ और $6 \text{ D}$ है।

(B) क्रांतिक कोण $i_c$ को $i_c = \sin^{-1}(1/n)$ द्वारा दिया जाता है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n \propto 1/\lambda)$।
बैंगनी,जामुनी और नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से कम होती है,इसलिए इन रंगों के लिए अपवर्तनांक $n$ हरे प्रकाश की तुलना में अधिक होता है।
चूंकि $i_c = \sin^{-1}(1/n)$ है,इसलिए उच्च अपवर्तनांक $n$ के परिणामस्वरूप क्रांतिक कोण $i_c$ छोटा होता है।
अतः,बैंगनी,जामुनी और नीले प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण आपतन कोण (जो हरे प्रकाश के लिए क्रांतिक कोण के बराबर है) से कम होता है।
परिणामस्वरूप,ये रंग पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।
इसके विपरीत,लाल,नारंगी और पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से अधिक होती है,जिसके परिणामस्वरूप अपवर्तनांक कम और क्रांतिक कोण बड़ा होता है,इसलिए वे हवा में बाहर निकल जाएंगे।

(C) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रकाश किरण को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए।
$2$. आपतन कोण $(i)$ का मान क्रांतिक कोण $(i_c)$ से अधिक होना चाहिए।

(D) क्रांतिक कोण $i_{c}$ का सूत्र $\sin i_{c} = \frac{1}{n}$ है,जहाँ $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $i_{c}$ तब न्यूनतम होता है जब अपवर्तनांक $n$ अधिकतम होता है।
कोशी के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार,अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(n \propto \frac{1}{\lambda^2})$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में नीले रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे कम है,इसलिए कांच में इसका अपवर्तनांक सबसे अधिक होता है।
अतः,नीले रंग के लिए क्रांतिक कोण $i_{c}$ न्यूनतम होता है।

(A) जब प्रकाश $n_1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से $n_2$ अपवर्तनांक वाले कम सघन माध्यम में जाता है,तो पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ के लिए क्रांतिक कोण $c$ का सूत्र है: $\sin c = \frac{n_2}{n_1}$,जहाँ $n_1 > n_2$ है।
अनुपात $\frac{n_2}{n_1}$ जितना छोटा होगा,$\sin c$ उतना ही छोटा होगा,और इसलिए क्रांतिक कोण $c$ भी उतना ही छोटा होगा।
विकल्पों में से,$TIR$ के लिए केवल वही स्थितियाँ मान्य हैं जिनमें पहले माध्यम का अपवर्तनांक दूसरे से अधिक है।
कांच से हवा के लिए $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{air}} \approx 1.0)$: $\sin c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$,जिससे $c \approx 41.8^{\circ}$ प्राप्त होता है।
कांच से पानी के लिए $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{water}} \approx 1.33)$: $\sin c = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887$,जिससे $c \approx 62.5^{\circ}$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि कांच से हवा में जाने पर क्रांतिक कोण छोटा होता है।
अतः,जब प्रकाश कांच से हवा में यात्रा करता है तो क्रांतिक कोण न्यूनतम होता है।

(D) संपर्क में रखे लेंसों के संयोजन की कुल क्षमता व्यक्तिगत लेंसों की क्षमताओं का बीजगणितीय योग होती है।
$P = P_1 + P_2$
यहाँ $P_1 = +2.50 \ D$ और $P_2 = -3.75 \ D$ दिया गया है।
$P = 2.50 + (-3.75) = -1.25 \ D$।
फोकस दूरी $f$,मीटर में क्षमता $P$ का व्युत्क्रम होती है:
$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-1.25} \ m$।
$f = -0.8 \ m$।
चूंकि $1 \ m = 100 \ cm$ होता है,इसलिए:
$f = -0.8 \times 100 \ cm = -80 \ cm$।

(D) दिया गया है: फोकस दूरी $= f$,आवर्धन $m = -2$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है)।
आवर्धन सूत्र $m = \frac{v}{u}$ का उपयोग करने पर,हमें $v = -2u$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ को लागू करने पर:
$\frac{1}{-2u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-1 - 2}{2u} = \frac{1}{f}$
$\frac{-3}{2u} = \frac{1}{f}$
$2u = -3f$
$u = -1.5f$.
वस्तु की दूरी का परिमाण $1.5f$ है।

(D) दिया गया है कि आवर्धन $m = -n$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक है)।
आवर्धन की परिभाषा के अनुसार,$m = \frac{v}{u} = -n$,जिसका अर्थ है $v = -nu$।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-nu} - \frac{1}{u}$।
$\frac{1}{f} = \frac{-1 - n}{nu} = -\frac{n+1}{nu}$।
चूंकि उत्तल लेंस के लिए $f$ धनात्मक होता है,हम वस्तु की दूरी $u$ का परिमाण लेते हैं (जहाँ $u$ ऋणात्मक है,इसलिए मान लें $u = -x$):
$\frac{1}{f} = \frac{n+1}{nx} \implies x = f(\frac{n+1}{n}) = f(1 + \frac{1}{n})$।
अतः,लेंस से वस्तु की दूरी $f(1 + \frac{1}{n})$ है।

(D) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए, हवा में लेंस की शक्ति $P$ इस प्रकार है:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 2.5 \ D$
जब लेंस को $\mu_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है, तो द्रव के सापेक्ष लेंस का प्रभावी अपवर्तनांक $\mu' = \frac{\mu}{\mu_l}$ होता है।
नई शक्ति $P'$ इस प्रकार दी जाती है:
$P' = (\mu' - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{\mu' - 1}{\mu - 1}$
यहाँ $\mu = 1.5$ और $\mu_l = 2$ दिया गया है, इसलिए $\mu' = \frac{1.5}{2} = 0.75$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{P'}{2.5} = \frac{0.75 - 1}{1.5 - 1} = \frac{-0.25}{0.5} = -0.5$
$P' = -0.5 \times 2.5 = -1.25 \ D$

(D) माना $PO = QO = x$ है।
चिह्न परिपाटी के अनुसार,वस्तु की दूरी $u = -x$ और प्रतिबिंब की दूरी $v = +x$ है (क्योंकि प्रतिबिंब अपवर्तक सतह के दूसरी ओर बनता है)।
गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र है:
$\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$
यहाँ,$n_1 = 1$ (वायु) और $n_2 = 1.4$ (कांच) है।
मान रखने पर:
$\frac{1.4}{x} - \frac{1}{-x} = \frac{1.4 - 1}{R}$
$\frac{1.4}{x} + \frac{1}{x} = \frac{0.4}{R}$
$\frac{2.4}{x} = \frac{0.4}{R}$
$x = \frac{2.4}{0.4} R$
$x = 6R$
अतः,दूरी $PO = 6R$ है।

(B) शक्ति $(P) = \frac{1}{f} \dots (i)$
दिया गया है,शक्ति के परिमाण का अनुपात $\frac{|P_{\text{concave}}|}{|P_{\text{convex}}|} = \frac{2}{3} \dots (ii)$
मान लीजिए उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f_{\text{convex}} = f$ (धनात्मक) है और अवतल लेंस की फोकस दूरी $f_{\text{concave}} = -f'$ (ऋणात्मक) है।
चूंकि $P = \frac{1}{f}$,शक्तियों का अनुपात $\frac{1/f'}{1/f} = \frac{f}{f'} = \frac{2}{3}$ है,जिसका अर्थ है $f' = \frac{3}{2}f$.
अतः,$f_{\text{convex}} = f$ और $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}f$.
संपर्क में रखे दो लेंसों के लिए तुल्य फोकस दूरी का सूत्र उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_{eq}} = \frac{1}{f_{\text{convex}}} + \frac{1}{f_{\text{concave}}}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{f} - \frac{1}{\frac{3}{2}f} = \frac{1}{f} - \frac{2}{3f} = \frac{3-2}{3f} = \frac{1}{3f}$
$\frac{1}{30} = \frac{1}{3f} \Rightarrow 3f = 30 \Rightarrow f = 10 \ cm$.
इसलिए,$f_{\text{convex}} = 10 \ cm$ और $f_{\text{concave}} = -\frac{3}{2}(10) = -15 \ cm$.

(A) लेंस की शक्ति $P = \frac{1}{f}$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $f$ मीटर में है)।
उत्तल लेंस के लिए,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$।
अवतल लेंस के लिए,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$।
संपर्क में रखे पतले लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2 = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होती है।
मान रखने पर: $P = \frac{1}{0.4} + \frac{1}{-0.25}$।
$P = 2.5 - 4.0 = -1.5 \ D$।

(B) लेंस की शक्ति $P$ को $P = \frac{1}{f(m)}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ मीटर में फोकस दूरी है।
उत्तल लेंस के लिए,$f_1 = +40 \ cm = +0.4 \ m$. अतः,$P_1 = \frac{1}{0.4} = +2.5 \ D$.
अवतल लेंस के लिए,$f_2 = -25 \ cm = -0.25 \ m$. अतः,$P_2 = \frac{1}{-0.25} = -4.0 \ D$.
संपर्क में रखे गए लेंसों के संयोजन की शक्ति $P = P_1 + P_2$ होती है।
$P = 2.5 \ D + (-4.0 \ D) = -1.5 \ D$.

(C) अवतल दर्पण के लिए, वास्तविक प्रतिबिंब के लिए आवर्धन $m$ ऋणात्मक होता है, इसलिए $m = -n$ है।
आवर्धन की परिभाषा के अनुसार, $m = -\frac{v}{u}$, जहाँ $v$ प्रतिबिंब की दूरी है और $u$ वस्तु की दूरी है।
अतः, $-n = -\frac{v}{u} \implies v = nu$।
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$।
चूंकि दर्पण अवतल है, इसलिए फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक ली जाती है, यानी $-f$। वस्तु की दूरी $u$ भी ऋणात्मक ली जाती है, यानी $-u$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1}{-f} = \frac{1}{-nu} + \frac{1}{-u}$।
$-1$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{f} = \frac{1}{nu} + \frac{1}{u} = \frac{1+n}{nu}$।
$u$ के लिए हल करने पर: $u = \left(\frac{n+1}{n}\right) f$।

(B) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र $R.P. = \frac{D}{1.22\lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
चूँकि दिए गए अवलोकन के लिए तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ स्थिर होती है,इसलिए विभेदन क्षमता सीधे अभिदृश्यक लेंस के द्वारक $(D)$ के समानुपाती होती है $(R.P. \propto D)$।
अतः,बेहतर विभेदन क्षमता (दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता) प्राप्त करने के लिए,दूरदर्शी में बड़े द्वारक वाले अभिदृश्यक लेंस का उपयोग किया जाता है।

(D) सूक्ष्मदर्शी की विभेदन सीमा $(d)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $d \propto \lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
दिया गया है: $d_1 = 0.1 \ mm$,$\lambda_1 = 6000 \ Å$,और $\lambda_2 = 4800 \ Å$.
मान रखने पर: $\frac{0.1}{d_2} = \frac{6000}{4800}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{6000}{4800} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25$.
अतः,$d_2 = \frac{0.1}{1.25} = 0.08 \ mm$.

(A) सामान्य समायोजन में एक खगोलीय दूरबीन के लिए,दूरबीन की लंबाई $L$,अभिदृश्यक की फोकस दूरी $(f_0)$ और नेत्रिका की फोकस दूरी $(f_e)$ के योग के बराबर होती है:
$L = f_0 + f_e$
दिया गया है:
$f_0 = 1.5 \ m$
$L = 1.56 \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$1.56 = 1.5 + f_e$
$f_e = 1.56 - 1.5$
$f_e = 0.06 \ m$
अतः,नेत्रिका की फोकस दूरी $0.06 \ m$ है।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(P)$ का सूत्र है: $P = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$.
यहाँ,$\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,$\theta$ वस्तु से आने वाले प्रकाश के शंकु का आधा कोण है,और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
विभेदन क्षमता में सुधार करने के लिए,अंश को बढ़ाना या हर को कम करना आवश्यक है।
इसलिए,वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ बढ़ाने से विभेदन क्षमता बढ़ जाती है।

(A) दूरबीन की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ का सूत्र $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
चूंकि खगोलीय पिंडों से आने वाले प्रकाश की तरंग दैर्ध्य निश्चित होती है,इसलिए विभेदन क्षमता बढ़ाने का एकमात्र तरीका अभिदृश्यक लेंस का व्यास $(D)$ बढ़ाना है।
बड़ा द्वारक दूरबीन में अधिक प्रकाश को प्रवेश करने देता है,जिससे धुंधली वस्तुएं अधिक स्पष्ट दिखाई देती हैं।
इसलिए,एक खगोलीय दूरबीन में उच्च रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए बड़ा द्वारक होता है।

(A) एक सरल सूक्ष्मदर्शी की आवर्धन क्षमता $(M)$ का सूत्र $M = 1 + \frac{D}{f}$ है, जहाँ $D$ स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी है और $f$ उत्तल लेंस की फोकस दूरी है।
कॉची के परिक्षेपण सूत्र के अनुसार, किसी पदार्थ का अपवर्तनांक $(\mu)$ छोटी तरंग दैर्ध्य (नीला प्रकाश) के लिए अधिक और लंबी तरंग दैर्ध्य (लाल प्रकाश) के लिए कम होता है।
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार, लेंस की फोकस दूरी $f$ अपवर्तनांक से संबंधित है, इसलिए जैसे-जैसे प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बढ़ती है, $f$ का मान भी बढ़ता है।
अतः, लाल प्रकाश के लिए फोकस दूरी $(f_{red})$, नीले प्रकाश की फोकस दूरी $(f_{blue})$ से अधिक होती है।
चूँकि $M = 1 + \frac{D}{f}$, फोकस दूरी $f$ में वृद्धि होने से आवर्धन क्षमता $M$ में कमी आती है।
इस प्रकार, नीले प्रकाश से लाल प्रकाश में बदलने पर, आवर्धन क्षमता घट जाती है।

(C) एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में,अभिदृश्यक लेंस को वस्तु के बहुत करीब रखा जाता है ताकि एक वास्तविक,उल्टा और आवर्धित प्रतिबिंब प्राप्त हो सके।
उच्च आवर्धन और उच्च विभेदन क्षमता (resolving power) प्राप्त करने के लिए,अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी $(f_o)$ छोटी होनी चाहिए।
इसके अतिरिक्त,छोटी वस्तु से अधिक से अधिक प्रकाश एकत्र करने और रिज़ॉल्यूशन में सुधार करने के लिए,अभिदृश्यक लेंस को बड़े द्वारक (aperture) के साथ डिज़ाइन किया जाता है।
इसलिए,संयुक्त सूक्ष्मदर्शी के अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी छोटी और द्वारक बड़ा होता है।

(A) दिया गया है: प्रिज्म कोण $A = 30^{\circ}$,आपतन कोण $i_1 = 60^{\circ}$ और विचलन कोण $\delta = 30^{\circ}$।
प्रिज्म के लिए,विचलन का सूत्र $\delta = (i_1 + i_2) - A$ है।
मान रखने पर: $30^{\circ} = (60^{\circ} + i_2) - 30^{\circ}$।
$30^{\circ} = 30^{\circ} + i_2$,जिससे $i_2 = 0^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि निर्गत कोण $i_2 = 0^{\circ}$ है,निर्गत किरण दूसरे फलक के लंबवत है,जिसका अर्थ है कि दूसरे फलक पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0^{\circ}$ है।
संबंध $r_1 + r_2 = A$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1 + 0^{\circ} = 30^{\circ}$ मिलता है,इसलिए $r_1 = 30^{\circ}$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu_1 \sin i_1 = \mu_2 \sin r_1$।
यह मानते हुए कि आसपास का माध्यम हवा है $(\mu_1 = 1)$: $1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_2 \sin 30^{\circ}$।
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$।
अतः,$\mu_2 = \sqrt{3} \approx 1.732$।

(B) प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन की स्थिति सूत्र $i = \frac{A + \delta_m}{2}$ द्वारा दी जाती है।
समबाहु प्रिज्म में,प्रिज्म का कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i = 50^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$50^{\circ} = \frac{60^{\circ} + \delta_m}{2}$
$100^{\circ} = 60^{\circ} + \delta_m$
$\delta_m = 100^{\circ} - 60^{\circ} = 40^{\circ}$.
अतः,न्यूनतम विचलन का कोण $40^{\circ}$ है।

(A) अपवर्तन के लिए विचलन कोण $\delta = i - r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ आपतन कोण है और $r$ अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम से,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$,जिसका अर्थ है $\sin r = \frac{\sin i}{\mu}$.
चूंकि $\delta = i - r$,इसलिए $r = i - \delta$.
$\mu$ के व्यंजक में $r$ का मान रखने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(i - \delta)}$
व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin(i - \delta)}{\sin i}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i \cos \delta - \cos i \sin \delta}{\sin i}$
$\frac{1}{\mu} = \frac{\sin i \cos \delta}{\sin i} - \frac{\cos i \sin \delta}{\sin i}$
$\frac{1}{\mu} = \cos \delta - \frac{\sin \delta}{\tan i}$

(A) सामान्य प्रिज्म सूत्र $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ द्वारा दिया जाता है।
एक सममित (समबाहु) प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
सूत्र में $A = 60^{\circ}$ रखने पर:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{60^{\circ}+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)}$
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{\sin 30^{\circ}}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\mu = \frac{\sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)}{1/2}$
$\mu = 2 \sin \left(30^{\circ}+\frac{\delta_m}{2}\right)$.

(D) एक पतले प्रिज्म के लिए,न्यूनतम विचलन कोण $\delta = (\mu - 1)A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ आसपास के माध्यम के सापेक्ष प्रिज्म के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $A$ प्रिज्म कोण है।
हवा में,हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_{a}\mu_{g} = \frac{3}{2}$ है। अतः,$\delta_1 = (_{a}\mu_{g} - 1)A = (\frac{3}{2} - 1)A = \frac{1}{2}A$.
जब इसे पानी में डुबोया जाता है,तो पानी के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $_{w}\mu_{g} = \frac{_{a}\mu_{g}}{_{a}\mu_{w}} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{9}{8}$ होता है।
नया न्यूनतम विचलन कोण $\delta_2 = (_{w}\mu_{g} - 1)A = (\frac{9}{8} - 1)A = \frac{1}{8}A$ है।
$\delta_2$ और $\delta_1$ की तुलना करने पर: $\frac{\delta_2}{\delta_1} = \frac{\frac{1}{8}A}{\frac{1}{2}A} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\delta_2 = \frac{\delta_1}{4}$.

(C) विक्षेपण क्षमता $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\delta_v - \delta_R}{\delta_y}$ है,जहाँ $\delta_y = \frac{\delta_v + \delta_R}{2}$ माध्य विचलन है।
प्रिज्म $A$ के लिए:
$\delta_y = \frac{12^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 11^{\circ}$.
$\omega_A = \frac{12^{\circ} - 10^{\circ}}{11^{\circ}} = \frac{2}{11}$.
प्रिज्म $B$ के लिए:
$\delta_y = \frac{10^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 9^{\circ}$.
$\omega_B = \frac{10^{\circ} - 8^{\circ}}{9^{\circ}} = \frac{2}{9}$.
उनकी विक्षेपण क्षमता का अनुपात $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2/11}{2/9} = \frac{9}{11}$ है।

(B) समतल दर्पण का आवर्धन $(m)$ $+1$ होता है।
इसका कारण यह है कि समतल दर्पण वस्तु के आकार के बराबर ही प्रतिबिंब बनाता है $(h_i = h_o)$।
समतल दर्पण द्वारा बना प्रतिबिंब आभासी और सीधा होता है,जिसका अर्थ है कि आवर्धन धनात्मक होना चाहिए।
चूंकि प्रतिबिंब की ऊंचाई वस्तु की ऊंचाई के बराबर होती है,इसलिए अनुपात $1$ होता है।
अतः,आवर्धन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$m = \frac{h_i}{h_o} = 1$.

(B) मान लीजिए $s_1$ सतह से स्रोत की दूरी है और $c$ हवा में प्रकाश की गति है। सतह तक पहुँचने में लगा समय $T_1 = \frac{s_1}{c}$ है।
मान लीजिए $s_2$ कांच के स्लैब की मोटाई $(5 \ cm)$ है और $v$ कांच में प्रकाश की गति है। स्लैब से गुजरने में लगा समय $T_2 = \frac{s_2}{v}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{v}$ है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v}$ है,हम $v = \frac{c}{\mu}$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{c/\mu} = \frac{s_2 \times \mu}{c}$।
इसलिए,$s_1 = s_2 \times \mu$।
यहाँ $s_2 = 5 \ cm$ और $\mu = 1.6$ है,इसलिए $s_1 = 5 \times 1.6 = 8 \ cm$ प्राप्त होता है।

(C) माना पात्र में भरे पानी की ऊँचाई $x$ है।
ऊपर से देखने पर पात्र के तल की आभासी गहराई $d' = \frac{x}{n}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ पानी का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि $n = \frac{4}{3}$, इसलिए आभासी गहराई $d' = \frac{x}{4/3} = \frac{3x}{4}$ होगी।
पात्र आधा भरा हुआ दिखाई देता है, जिसका अर्थ है कि पानी की ऊपरी सतह से तल की आभासी गहराई $15 \, cm$ होनी चाहिए।
अतः, $d' = 15 \, cm$।
चूँकि $d' = \frac{x}{n}$, हमारे पास $15 = \frac{x}{4/3}$ है।
$x = 15 \times \frac{4}{3} = 20 \, cm$।
अतः, पानी की ऊँचाई $20 \, cm$ होनी चाहिए।

(A) दिया गया है कि हीरे में प्रकाश का वेग $v_d = \frac{5}{12}c$ और पानी में $v_w = \frac{3}{4}c$ है,जहाँ $c$ हवा में प्रकाश की गति है।
पानी के सापेक्ष हीरे का अपवर्तनांक ${}_w n_d = \frac{n_d}{n_w} = \frac{c/v_d}{c/v_w} = \frac{v_w}{v_d}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: ${}_w n_d = \frac{3/4 c}{5/12 c} = \frac{3}{4} \times \frac{12}{5} = \frac{9}{5}$.
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: ${}_w n_d = \frac{\sin i}{\sin r}$.
अतः,$\sin i = {}_w n_d \times \sin r = \frac{9}{5} \times \sin 30^{\circ}$.
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,हमें $\sin i = \frac{9}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{10}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$i = \sin^{-1}\left(\frac{9}{10}\right)$.

(A) एक परत के लिए आभासी गहराई का सूत्र $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई} (R)}{\text{अपवर्तनांक} (\mu)}$ है।
कई अमिश्रणीय द्रवों के संयोजन के लिए,कुल आभासी गहराई अलग-अलग परतों की आभासी गहराई का योग होती है:
$\text{कुल आभासी गहराई} = \frac{R_1}{\mu_1} + \frac{R_2}{\mu_2} + \frac{R_3}{\mu_3}$
दिया गया है:
$R_1 = 3 \ cm, \mu_1 = \frac{3}{2}$
$R_2 = 4 \ cm, \mu_2 = \frac{4}{3}$
$R_3 = 6 \ cm, \mu_3 = \frac{6}{5}$
इन मानों को रखने पर:
$\text{आभासी गहराई} = \frac{3}{3/2} + \frac{4}{4/3} + \frac{6}{6/5}$
$= (3 \times \frac{2}{3}) + (4 \times \frac{3}{4}) + (6 \times \frac{5}{6})$
$= 2 + 3 + 5$
$= 10 \ cm$.

(C) दिया गया है: कांच में तरंगों की संख्या $(N_g)$ पानी में तरंगों की संख्या $(N_w)$ के बराबर है।
$N_g = N_w$
चूंकि तरंगों की संख्या $N = \frac{d}{\lambda}$ होती है,जहां $d$ माध्यम की मोटाई है और $\lambda$ उस माध्यम में तरंगदैर्ध्य है:
$\frac{d_g}{\lambda_g} = \frac{d_w}{\lambda_w}$
हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$,जहां $\mu$ अपवर्तनांक है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{d_g \cdot \mu_g}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{d_w \cdot \mu_w}{\lambda_{\text{air}}}$
$\mu_g \cdot d_g = \mu_w \cdot d_w$
यहाँ $d_g = 5 \ cm$,$d_w = 6 \ cm$,और $\mu_g = 1.56$ दिया गया है:
$1.56 \times 5 = \mu_w \times 6$
$\mu_w = \frac{1.56 \times 5}{6} = \frac{7.8}{6} = 1.30$
अतः,पानी का अपवर्तनांक $1.30$ है।

(B) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाले कांच के स्लैब द्वारा उत्पन्न सामान्य विस्थापन (normal shift) $x$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$x = t \left(1 - \frac{1}{\mu}\right)$
$t$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x = t \left(\frac{\mu - 1}{\mu}\right)$
$t = \frac{x \cdot \mu}{\mu - 1}$
अतः,कांच के स्लैब की मोटाई $t = \frac{\mu x}{\mu - 1}$ है।

(C) अमिश्रणीय तरल पदार्थों की कई परतों वाले बर्तन की आभासी गहराई प्रत्येक व्यक्तिगत परत की आभासी गहराई के योग के बराबर होती है।
आभासी गहराई का सूत्र $d_{app} = \sum \frac{d_i}{n_i}$ है,जहाँ $d_i$ वास्तविक गहराई है और $n_i$ $i$-वीं परत का अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
परत $1$: $d_1 = 40 \ cm$,$n_1 = 1.6$
परत $2$: $d_2 = 30 \ cm$,$n_2 = 1.5$
आभासी गहराई की गणना:
$d_{app} = \frac{40}{1.6} + \frac{30}{1.5}$
$d_{app} = 25 \ cm + 20 \ cm$
$d_{app} = 45 \ cm$
अतः,बर्तन की आभासी गहराई $45 \ cm$ है।

(A) कांच के स्लैब के कारण आभासी विस्थापन $(h)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = t \left(1 - \frac{1}{n}\right)$
जहाँ $t$ स्लैब की वास्तविक मोटाई है और $n$ अपवर्तनांक है।
दिया गया है:
$t = 4.8 \text{ cm}$
$n = 1.5$
मान रखने पर:
$h = 4.8 \left(1 - \frac{1}{1.5}\right)$
$h = 4.8 \left(1 - \frac{2}{3}\right)$
$h = 4.8 \left(\frac{1}{3}\right)$
$h = 1.6 \text{ cm}$
अतः, स्याही का बिंदु $1.6 \text{ cm}$ ऊपर उठा हुआ दिखाई देगा।

(B) स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,अपवर्तन कोण $r$ का दोगुना है,इसलिए $i = 2r$ या $r = \frac{i}{2}$।
इसे स्नेल के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin(i/2)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin i = 2 \sin(i/2) \cos(i/2)$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin(i/2) \cos(i/2)}{\sin(i/2)}$.
$\mu = 2 \cos(i/2)$.
$i$ के लिए हल करने पर:
$\frac{\mu}{2} = \cos(i/2)$.
$i/2 = \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$.
अतः,$i = 2 \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$।

(A) ऑप्टिकल पथ की लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक $(\mu)$ और प्रकाश द्वारा उस माध्यम में तय की गई ज्यामितीय दूरी $(d)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह दिया गया है कि ऑप्टिकल पथ समान हैं:
$\mu_{g} x_{g} = \mu_{m} x_{m}$
जहाँ $\mu_{g} = 1.6$ फ्लिंट ग्लास का अपवर्तनांक है, $x_{g} = 3 \ cm$ फ्लिंट ग्लास में तय की गई दूरी है, $\mu_{m} = 1.25$ अन्य माध्यम का अपवर्तनांक है, और $x_{m} = x$ अन्य माध्यम में तय की गई दूरी है।
मान रखने पर:
$1.6 \times 3 = 1.25 \times x$
$4.8 = 1.25 \times x$
$x = \frac{4.8}{1.25} = 3.84 \ cm$
अतः, '$x$' का मान $3.84 \ cm$ है।

(B) मान लीजिए कि टैंक में द्रव की कुल गहराई $H$ है। वस्तु $P$ दर्पण से $h$ ऊँचाई पर है,इसलिए द्रव की सतह से इसकी गहराई $(H-h)$ है।
प्रेक्षक $O$ द्वारा देखी जाने वाली वस्तु $P$ की आभासी गहराई $d_1 = \frac{H-h}{\mu}$ है।
समतल दर्पण द्वारा वस्तु $P$ का प्रतिबिंब दर्पण से $h$ दूरी नीचे बनता है। द्रव की सतह से इस प्रतिबिंब की कुल गहराई $(H+h)$ है।
प्रेक्षक $O$ द्वारा देखी जाने वाली प्रतिबिंब की आभासी गहराई $d_2 = \frac{H+h}{\mu}$ है।
वस्तु $P$ और उसके प्रतिबिंब के बीच की आभासी दूरी उनकी आभासी गहराइयों का अंतर है:
$\text{आभासी दूरी} = d_2 - d_1 = \frac{H+h}{\mu} - \frac{H-h}{\mu} = \frac{H+h-H+h}{\mu} = \frac{2h}{\mu}$.

(B) छोटे कोणों के लिए,स्नेल का नियम $n = \frac{\sin i}{\sin r} \approx \frac{i}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि वेग $25 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नया वेग $v = c - 0.25c = 0.75c = \frac{3}{4}c$ है।
अपवर्तनांक $n$ को $n = \frac{c}{v} = \frac{c}{0.75c} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$n$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{i}{r} = \frac{4}{3} \implies r = \frac{3}{4}i$.
विचलन कोण $\delta$ को $\delta = i - r$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर: $\delta = i - \frac{3}{4}i = \frac{i}{4}$.

(B) ज़ेनर डायोड प्रतिरोध $R_2$ के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। इसलिए,$R_2$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_Z = 8 \text{ V}$ के बराबर होगा।
प्रतिरोध $R_2$ से प्रवाहित होने वाली धारा है:
$I_{R_2} = \frac{V_Z}{R_2} = \frac{8 \text{ V}}{1600 \text{ }\Omega} = 5 \times 10^{-3} \text{ A} = 5 \text{ mA} \quad \dots(i)$
कुल वोल्टेज $20 \text{ V}$ है। प्रतिरोध $R_1$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप है:
$V_{R_1} = V_{\text{source}} - V_Z = 20 \text{ V} - 8 \text{ V} = 12 \text{ V}$
परिपथ में प्रवाहित होने वाली कुल धारा (जो $R_1$ से होकर गुजरती है) है:
$I_{R_1} = \frac{V_{R_1}}{R_1} = \frac{12 \text{ V}}{400 \text{ }\Omega} = 3 \times 10^{-2} \text{ A} = 30 \text{ mA} \quad \dots(ii)$
जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम का उपयोग करते हुए,ज़ेनर डायोड से प्रवाहित धारा $I_Z$ है:
$I_Z = I_{R_1} - I_{R_2}$
$I_Z = 30 \text{ mA} - 5 \text{ mA} = 25 \text{ mA}$

(D) जब एक $p-n$ जंक्शन बनता है,तो $n$-क्षेत्र से इलेक्ट्रॉन $p$-क्षेत्र में और $p$-क्षेत्र से होल $n$-क्षेत्र में विसरित (diffuse) होते हैं।
यह विसरण जंक्शन के पास $n$-पक्ष में स्थिर आयनित दाता परमाणुओं (धनात्मक आवेशों) और $p$-पक्ष में स्थिर आयनित ग्राही परमाणुओं (ऋणात्मक आवेशों) को छोड़ देता है।
यह क्षेत्र,जिसमें कोई गतिशील आवेश वाहक नहीं होते,अवक्षय परत (depletion region) कहलाता है।
इन स्थिर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों का संचय एक विद्युत क्षेत्र बनाता है जो आगे के विसरण का विरोध करता है,जिसके परिणामस्वरूप एक विभव प्राचीर (potential barrier) उत्पन्न होता है।

(A) दिए गए परिपथ में,डायोड का $p$-सिरा $4 \ V$ की बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा है,और $n$-सिरा $1 \ V$ की बैटरी की ओर जुड़ा है।
विशेष रूप से,$p$-पक्ष का विभव $-4 \ V$ है और $n$-पक्ष का विभव $-1 \ V$ है।
चूंकि $p$-पक्ष का विभव $n$-पक्ष के विभव से कम है $(-4 \ V < -1 \ V)$,इसलिए डायोड रिवर्स बायस स्थिति में है।
रिवर्स बायस में एक आदर्श डायोड एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि यह अनंत प्रतिरोध प्रदान करता है।
इसलिए,परिपथ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
धारा का परिमाण $0 \ A$ है।

(B) एक $p-n$ जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस में होने पर धारा को आसानी से प्रवाहित होने देता है।
जब टर्मिनलों को उलट दिया जाता है,तो डायोड रिवर्स बायस में हो जाता है।
रिवर्स बायस स्थिति में,अवक्षय परत (depletion region) चौड़ी हो जाती है,जो आवेश वाहकों के प्रवाह के लिए बहुत उच्च प्रतिरोध प्रदान करती है।
परिणामस्वरूप,धारा घटकर लगभग शून्य हो जाती है।
इसलिए,उपकरण $X$ एक $p-n$ जंक्शन डायोड है।

(B) ज़ेनर डायोड $1 \text{ k}\Omega$ के लोड प्रतिरोध के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ है। चूंकि ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $15 \text{ V}$ है, इसलिए लोड प्रतिरोध पर वोल्टेज $V_L = 15 \text{ V}$ होगा।
लोड प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $I_L = \frac{V_L}{R_L} = \frac{15 \text{ V}}{1000 \Omega} = 15 \times 10^{-3} \text{ A} = 15 \text{ mA}$ है।
श्रेणी प्रतिरोध $R_s = 250 \Omega$ पर वोल्टेज ड्रॉप $V_s = V_{in} - V_L = 20 \text{ V} - 15 \text{ V} = 5 \text{ V}$ है।
स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल धारा $I = \frac{V_s}{R_s} = \frac{5 \text{ V}}{250 \Omega} = 0.02 \text{ A} = 20 \text{ mA}$ है।
जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम को लागू करने पर, ज़ेनर डायोड से होकर बहने वाली धारा $I_z = I - I_L = 20 \text{ mA} - 15 \text{ mA} = 5 \text{ mA}$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब एक $p-n$ जंक्शन बनता है,तो $n$-क्षेत्र में इलेक्ट्रॉनों की उच्च सांद्रता और $p$-क्षेत्र में होल की उच्च सांद्रता होती है।
इस सांद्रता प्रवणता के कारण,इलेक्ट्रॉन $n$-पक्ष से $p$-पक्ष की ओर और होल $p$-पक्ष से $n$-पक्ष की ओर विसरित (diffuse) होते हैं।
जैसे ही ये आवेश वाहक जंक्शन को पार करते हैं,वे जंक्शन इंटरफ़ेस के पास पुनर्संयोजित (recombine) हो जाते हैं।
यह पुनर्संयोजन पीछे अचल आयनित अशुद्धि परमाणुओं ($n$-पक्ष पर धनात्मक आयन और $p$-पक्ष पर ऋणात्मक आयन) को छोड़ देता है,जो एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं जो आगे के विसरण का विरोध करता है।
यह क्षेत्र,जो मोबाइल आवेश वाहकों से रहित होता है,अवक्षय परत (depletion layer) के रूप में जाना जाता है।

(B) ज़ेनर डायोड लोड प्रतिरोध $R_L = 1200 \Omega$ के साथ समानांतर में जुड़ा है। चूंकि ज़ेनर ब्रेकडाउन वोल्टेज $15 \text{ V}$ है,इसलिए लोड प्रतिरोध के सिरों पर वोल्टेज $V_L = 15 \text{ V}$ होगा।
लोड प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I_L = \frac{V_L}{R_L} = \frac{15 \text{ V}}{1200 \Omega} = 0.0125 \text{ A} = 12.5 \text{ mA}$ है।
श्रेणी प्रतिरोध $R_S = 300 \Omega$ के सिरों पर वोल्टेज $V_S = V_{in} - V_L = 24 \text{ V} - 15 \text{ V} = 9 \text{ V}$ है।
स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल धारा $I = \frac{V_S}{R_S} = \frac{9 \text{ V}}{300 \Omega} = 0.03 \text{ A} = 30 \text{ mA}$ है।
जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम को लागू करने पर,ज़ेनर डायोड से बहने वाली धारा $I_Z = I - I_L$ है।
अतः,$I_Z = 30 \text{ mA} - 12.5 \text{ mA} = 17.5 \text{ mA}$।