MHT CET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) केशिका नली में पानी के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
पानी के लिए,$\cos \theta \approx 1$,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$।
यदि नई त्रिज्या $r' = r/3$ है,तो नई ऊँचाई $h' = 3h$ होगी।
केशिका में पानी का द्रव्यमान $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ है।
नई केशिका के लिए,द्रव्यमान $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ होगा।
$r' = r/3$ और $h' = 3h$ प्रतिस्थापित करने पर:
$m' = \pi (r/3)^2 (3h) \rho = \pi (r^2/9) (3h) \rho = \frac{1}{3} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{3}$।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और एक छोटी पानी की बूंद की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार,बड़ी बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \Rightarrow R = n^{1/3} r$
$n$ छोटी बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा $E_n = n \times (4 \pi r^2 T)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $E = 4 \pi R^2 T$ है।
$n$ बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा और बड़ी बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n \times 4 \pi r^2 T}{4 \pi R^2 T} = \frac{n r^2}{R^2}$
$R = n^{1/3} r$ का मान रखने पर:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n r^2}{(n^{1/3} r)^2} = \frac{n r^2}{n^{2/3} r^2} = n^{1 - 2/3} = n^{1/3} = \sqrt[3]{n}$
अतः,अनुपात $\sqrt[3]{n}: 1$ है।

(A) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $r$ केश नली की त्रिज्या है।
दिया गया है कि संपर्क कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$h = \frac{2T \cos 90^{\circ}}{\rho g r}$
चूँकि $\cos 90^{\circ} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$h = 0$
अतः,द्रव केश नली में न तो ऊपर चढ़ेगा और न ही नीचे गिरेगा।

(B) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
यह दिया गया है कि आंतरिक व्यास समान हैं,इसलिए त्रिज्याएँ समान हैं: $r_A = r_B$.
मान लें कि संपर्क कोण लगभग समान हैं: $\theta_A = \theta_B$.
इस प्रकार,ऊँचाई $h$,$\frac{T}{\rho}$ के समानुपाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\rho$ घनत्व है।
इसलिए,ऊँचाइयों का अनुपात: $\frac{h_A}{h_B} = \frac{T_A}{T_B} \times \frac{\rho_B}{\rho_A}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{4}{3}$ और $\frac{T_A}{T_B} = \frac{6}{5}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{h_A}{h_B} = \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$।
अतः,अनुपात $9:10$ है।

(C) केशिका नली में द्रव के चढ़ने की ऊंचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
पानी के लिए: $h_1 = 6 \ cm$,$\theta_1 = 0^{\circ}$,$\rho_1 = 1 \ g/cm^3$,$T_1 = T$.
$6 = \frac{2T \cos 0^{\circ}}{r \cdot 1 \cdot g} \implies 6 = \frac{2T}{rg} \implies rg = \frac{2T}{6} = \frac{T}{3}$.
दूसरे द्रव के लिए: $T_2 = 2T$,$\theta_2 = 60^{\circ}$,$\rho_2 = 2 \ g/cm^3$.
$h_2 = \frac{2T_2 \cos \theta_2}{r \rho_2 g} = \frac{2(2T) \cos 60^{\circ}}{r \cdot 2 \cdot g} = \frac{4T \cdot 0.5}{2rg} = \frac{2T}{2rg} = \frac{T}{rg}$.
$rg = \frac{T}{3}$ का मान $h_2$ के समीकरण में रखने पर:
$h_2 = \frac{T}{T/3} = 3 \ cm$.

(D) विभाजन की प्रक्रिया के दौरान पारे का आयतन स्थिर रहता है:
$V_{initial} = V_{final}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = 10r$ या $r = \frac{R}{10}$ प्राप्त होता है।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A$ इस प्रकार है:
$\Delta A = A_{final} - A_{initial}$
$\Delta A = (1000 \times 4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$
समीकरण में $r = \frac{R}{10}$ रखने पर:
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \left( \frac{R}{10} \right)^2 - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \frac{R^2}{100} - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi (10 R^2 - R^2) = 4 \pi (9 R^2) = 36 \pi R^2$
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है:
$\Delta U = T \times 36 \pi R^2 = 36 \pi R^2 T$.

(B) केशिका नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि पृष्ठ तनाव $T$,त्रिज्या $r$,घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $h \cos \theta$ का मान स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,$h \cos 0^{\circ} = h(1) = h$ है।
जब नली को इस प्रकार दबाया जाता है कि सतह के ऊपर की ऊँचाई $h' = \frac{h}{3}$ हो जाती है,तो नया संपर्क कोण $\theta'$ इस प्रकार होगा:
$h' \cos \theta' = h \cos 0^{\circ}$
$\frac{h}{3} \cos \theta' = h(1)$
$\cos \theta' = \frac{1}{3}$
$\theta' = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(C) किसी द्रव के पृष्ठ तनाव का परिमाण अणुओं के बीच के आकर्षण बलों पर निर्भर करता है।
जब आकर्षण बल अधिक होते हैं,तो पृष्ठ तनाव अधिक होता है।
तापमान में वृद्धि अणुओं की गतिज ऊर्जा को बढ़ाती है,जिससे अंतर-आणविक आकर्षण की प्रभावशीलता कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,जैसे-जैसे तापमान बढ़ाया जाता है,पृष्ठ तनाव घटता जाता है।

(C) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठ ऊर्जा $E = S \times A$,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi R^2$ है।
बड़ी बूंद का आयतन = $512$ छोटी बूंदों का आयतन:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$।
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_2 = 512 \times (4 \pi r^2)$ है।
$r = R/8$ रखने पर:
$A_2 = 512 \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2 = 512 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64} = 8 \times (4 \pi R^2) = 8 A_1$।
चूंकि पृष्ठ ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है $(E \propto A)$:
$E_2 = 8 E_1 = 8 E$।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
$8$ छोटी बूंदों का आयतन $=$ बड़ी बूंद का आयतन।
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3 \Rightarrow R = 2r$ या $r = \frac{R}{2}$।
बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद के लिए,$\Delta P_B = \frac{2T}{R}$।
छोटी बूंद के लिए,$\Delta P_s = \frac{2T}{r}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{\Delta P_B}{\Delta P_s} = \frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\Delta P_B = \frac{1}{2} \Delta P_s$।

(A) साम्यावस्था में द्रव की सतह पर,द्रव के अणुओं के पास अधिकतम स्थितिज ऊर्जा होती है।
व्याख्या:
द्रव में,आंतरिक भाग के अणु सभी तरफ से अन्य अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उन पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है। हालाँकि,सतह पर मौजूद अणु अपने ऊपर अणुओं की अनुपस्थिति के कारण अंदर की ओर एक शुद्ध आकर्षण बल का अनुभव करते हैं। किसी अणु को द्रव के अंदर से सतह पर लाने के लिए,इस आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। इसलिए,द्रव के अंदर के अणुओं की तुलना में सतह पर स्थित अणुओं की स्थितिज ऊर्जा अधिक होती है।

(A) जब गेंद पानी की सतह से टकराती है तो उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
पानी में गेंद का सीमांत वेग (terminal velocity) स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2}{9} r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$,जहाँ $\rho$ गेंद का घनत्व है,$\sigma$ पानी का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
वेग के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma) \right)^2$
$h = \frac{2}{81} \frac{r^4 g}{\eta^2} (\rho - \sigma)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$,$\rho = 10^4 \ kg/m^3$,$\sigma = 10^3 \ kg/m^3$,$\eta = 8.1 \times 10^{-4} \ Pa \cdot s$,$g = 10 \ m/s^2$.
गणना करने पर $h = 20 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) टर्मिनल वेग $v$ का सूत्र $v = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ गेंद की त्रिज्या है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\rho$ गेंद का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि गेंद का पदार्थ और द्रव समान रहते हैं,इसलिए $v \propto r^2$ होगा।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
दिया गया है $r_1 = 6 \ mm$,$v_1 = 12 \ cm s^{-1}$,और $r_2 = 3 \ mm$।
मान रखने पर: $\frac{v_2}{12} = \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$v_2 = \frac{12}{4} = 3 \ cm s^{-1}$।

(C) मान लीजिए कि दो समान पानी की बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
जब वे मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है।
अतः,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे हमें $R^3 = 2r^3$ या $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $V \propto r^2$ है।
यदि नई बूंद का टर्मिनल वेग $V'$ है,तो $\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$ होगा।
$R = 2^{1/3} r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{V'}{V} = \frac{(2^{1/3} r)^2}{r^2} = \frac{2^{2/3} r^2}{r^2} = 2^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया टर्मिनल वेग $V' = 2^{2/3} V$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम के अनुसार इस प्रकार दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{(\rho - \sigma) R^2 g}{\eta}$
पहले गोले के लिए जिसका घनत्व $\rho_1$ और टर्मिनल वेग $V_1$ है:
$V_1 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
दूसरे गोले के लिए जिसका घनत्व $\rho_2$ और टर्मिनल वेग $V_2$ है:
$V_2 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
$V_1$ और $V_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}}{\frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho_1 - \sigma}{\rho_2 - \sigma}$
अतः,$V_1 : V_2$ का अनुपात $(\rho_1 - \sigma) : (\rho_2 - \sigma)$ है।

(B) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का टर्मिनल वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूँकि दोनों गोले समान एकसमान गति से गिर रहे हैं,इसलिए उनके टर्मिनल वेग समान हैं:
$v_1 = v_2$
$\frac{2r_1^2(\rho_1 - \sigma)g}{9\eta} = \frac{2r_2^2(\rho_2 - \sigma)g}{9\eta}$
$r_1^2(\rho_1 - \sigma) = r_2^2(\rho_2 - \sigma)$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}}$
दिया गया है: $\rho_1 = 11.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_2 = 8.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,और $\sigma = 2.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{8.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}{11.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6.0 \times 10^3}{9.0 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

(C) श्यान द्रव में गिरते हुए गोलाकार पिंड का सीमांत वेग $V$ सूत्र $V = \frac{2g(\rho - \sigma)r^2}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए घनत्व $\rho$ स्थिर है। सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है: $V \propto r^2$.
दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ बढ़कर $8m$ हो जाता है,और घनत्व स्थिर होने के कारण,आयतन $V_{ol} = \frac{m}{\rho}$ भी $8$ गुना बढ़ जाता है।
चूंकि $V_{ol} = \frac{4}{3}\pi r^3$,यदि आयतन $8$ गुना हो जाता है,तो त्रिज्या $r$ दोगुनी हो जाती है $(r_2 = 2r_1)$।
इसलिए,नया सीमांत वेग $V_2$ इस प्रकार होगा: $\frac{V_2}{V_0} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,$V_2 = 4V_0$।

(D) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$v \propto r^2$ है।
मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि बूंदों के मिलने पर आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = 2r^3$ या $R = 2^{1/3}r$।
प्रारंभिक टर्मिनल वेग $v_1 = 5 \,cm/s$ दिया गया है,इसलिए नया टर्मिनल वेग $v_2$ होगा:
$v_2 = v_1 \times \left(\frac{R}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times \left(\frac{2^{1/3}r}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times (2^{1/3})^2 = 5 \times 2^{2/3} = 5 \times 4^{1/3} \,cm/s$।

(C) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,$A$ क्षेत्रफल पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$,$\tau = \frac{F}{A} = -\eta \frac{dv}{dz}$ द्वारा दिया जाता है।
श्यान बल द्रव की अलग-अलग वेग से गति करने वाली निकटवर्ती परतों के बीच आंतरिक घर्षण की तरह कार्य करता है।
यह बल परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है,जिससे अपरूपण (shearing) क्रिया होती है।
अपरूपण बल हमेशा द्रव की परतों के तल के स्पर्शरेखीय (tangential) कार्य करता है।
इसलिए,श्यान बल द्रव की सतह के स्पर्शरेखीय होता है।

(C) गतिमान वस्तु का त्वरण समय के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$a = \frac{dv}{dt}$।
वेग-समय ग्राफ में,ढाल (slope) को $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो तात्कालिक या औसत त्वरण को दर्शाता है।
इसलिए,वेग-समय ग्राफ की ढाल वस्तु का त्वरण प्रदान करती है।

(D) वेग-समय ग्राफ में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी दिए गए समय अंतराल के बीच वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होती है।
चरण $1$: $t = 6 \ s$ से $t = 9 \ s$ तक ग्राफ के आकार को पहचानें।
$t = 6 \ s$ पर,$v = 20 \ m/s$ है। $t = 9 \ s$ पर,वेग $35 \ m/s$ है (चूंकि ग्राफ $(6, 20)$ से $(10, 40)$ तक एक सीधी रेखा है,इसलिए ढाल $m = (40-20)/(10-6) = 5$ है। अतः,$t = 9 \ s$ पर,$v = 20 + 5(9-6) = 35 \ m/s$ होगा)।
चरण $2$: $t = 6 \ s$ और $t = 9 \ s$ के बीच बने समलंब (trapezoid) का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
समांतर भुजाएँ $v_1 = 20 \ m/s$ और $v_2 = 35 \ m/s$ हैं। ऊँचाई (समय अंतराल) $h = 9 - 6 = 3 \ s$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (v_1 + v_2) \times h = \frac{1}{2} \times (20 + 35) \times 3 = \frac{1}{2} \times 55 \times 3 = 82.5 \ m$.

(A) दिए गए विस्थापन-समय ग्राफ में,जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,वस्तु की स्थिति $x$ स्थिर रहती है।
चूंकि विस्थापन-समय ग्राफ का ढलान वेग $(v = dx/dt)$ को दर्शाता है,और एक क्षैतिज रेखा का ढलान शून्य होता है,इसलिए वस्तु का वेग शून्य है।
अतः,ग्राफ यह दर्शाता है कि वस्तु विराम अवस्था में है।

(B) तय की गई दूरी वेग-समय ग्राफ द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होती है।
$t = 1 \ s$ से $t = 7 \ s$ के अंतराल में तय की गई कुल दूरी (ग्राफ के अनुसार,गति $t = 7 \ s$ पर समाप्त होती है):
यह क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाएँ $(5-3) = 2 \ s$ और $(7-1) = 6 \ s$ हैं,और ऊँचाई $10 \ m/s$ है।
कुल दूरी $S = \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 10 = 40 \ m$.
अंतिम दो सेकंड में तय की गई दूरी ($t = 5 \ s$ से $t = 7 \ s$):
यह एक त्रिभुज है जिसका आधार $(7-5) = 2 \ s$ और ऊँचाई $10 \ m/s$ है।
$S_1 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \ m$.
अतः,अनुपात $\frac{S_1}{S} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$ है।

(C) कुल दूरी $L$ है। वाहन पहली आधी दूरी $(L/2)$ $V_1 = V$ की गति से और दूसरी आधी दूरी $(L/2)$ $V_2 = \frac{V}{3}$ की गति से तय करता है।
पहली आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_1 = \frac{L/2}{V} = \frac{L}{2V}$ है।
दूसरी आधी दूरी के लिए लिया गया समय,$t_2 = \frac{L/2}{V/3} = \frac{3L}{2V}$ है।
कुल लिया गया समय,$T = t_1 + t_2 = \frac{L}{2V} + \frac{3L}{2V} = \frac{4L}{2V} = \frac{2L}{V}$ है।
औसत गति,$V_{\text{avg}} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{L}{2L/V} = \frac{V}{2}$ है।

(D) किसी वस्तु का वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष उसकी स्थिति $x$ का अवकलन करने पर प्राप्त होता है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
पहली कार के लिए,$v_1(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$।
दूसरी कार के लिए,$v_2(t) = \frac{d}{dt}(Ft - t^2) = F - 2t$।
हमें दिया गया है कि कारों का वेग समान है,इसलिए $v_1(t) = v_2(t)$।
$a + 2bt = F - 2t$।
$t$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bt + 2t = F - a$।
$t(2b + 2) = F - a$।
$t = \frac{F - a}{2(1 + b)}$।

(D) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग सदिश $\vec{v}$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति सदिश का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}) = 3\alpha t^2 \hat{i} + 3\beta t^2 \hat{j}$.
चाल वेग सदिश का परिमाण है:
$v = |\vec{v}| = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$.
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$.
$v = \sqrt{9 t^4 (\alpha^2 + \beta^2)}$.
$v = 3 t^2 \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.

(D) प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$,मंदन $a = -0.3 \ m/s^2$,और अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ (जब वाहन रुक जाता है)।
सबसे पहले,रुकने में लगा समय ज्ञात करें: $t = \frac{v-u}{a} = \frac{0-15}{-0.3} = 50 \ s$.
चूंकि वाहन $50 \ s$ में रुक जाता है,जो $60 \ s$ (एक मिनट) से कम है,इसलिए $60 \ s$ के बाद का विस्थापन $50 \ s$ के बाद के विस्थापन के बराबर ही रहेगा।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = (15 \times 50) + \frac{1}{2} \times (-0.3) \times (50)^2$
$s = 750 - 0.15 \times 2500 = 750 - 375 = 375 \ m$.
ट्रैफिक लाइट से प्रारंभिक दूरी $400 \ m$ थी।
अतः,एक मिनट बाद ट्रैफिक लाइट से वाहन की दूरी $400 \ m - 375 \ m = 25 \ m$ होगी।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $V$ है और $s_1 = 30 \ cm$ की दूरी तय करने के बाद अंतिम वेग $V/2$ हो जाता है। एकसमान मंदन $a$ मानते हुए,हम गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: $v^2 = u^2 + 2as$.
$(V/2)^2 = V^2 + 2a(30)$
$V^2/4 = V^2 + 60a$
$60a = -3V^2/4$
$a = -V^2/80$.
अब,मान लीजिए कि गोली रुकने से पहले अतिरिक्त $s_2$ दूरी तय करती है। इस चरण के लिए प्रारंभिक वेग $V/2$ है और अंतिम वेग $0$ है।
$0^2 = (V/2)^2 + 2(-V^2/80)s_2$
$0 = V^2/4 - (V^2/40)s_2$
$V^2/4 = (V^2/40)s_2$
$s_2 = 40/4 = 10 \ cm$.

(B) टॉवर की कुल ऊँचाई $H$ है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय $T$ है। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ और $a = g$ है:
$H = \frac{1}{2} g T^2 \Rightarrow g T^2 = 2H \dots (i)$
अब,मान लीजिए कि $t = \frac{T}{4}$ समय में गेंद द्वारा शीर्ष से तय की गई दूरी $x$ है:
$x = \frac{1}{2} g \left( \frac{T}{4} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{T^2}{16} = \frac{g T^2}{32}$
समीकरण $(i)$ से $g T^2$ का मान रखने पर:
$x = \frac{2H}{32} = \frac{H}{16}$
जमीन से गेंद की ऊँचाई कुल ऊँचाई में से शीर्ष से तय की गई दूरी को घटाने पर प्राप्त होती है:
$\text{ऊँचाई} = H - x = H - \frac{H}{16} = \frac{15H}{16}$

(B) मान लीजिए कि वस्तु का त्वरण $a$ है और बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$A$ से $B$ तक के पथ के लिए:
$(30)^2 = (20)^2 + 2ad$
$900 = 400 + 2ad$
$2ad = 500$
$ad = 250$
मान लीजिए $v_m$,$AB$ के मध्य बिंदु पर वेग है। $A$ से मध्य बिंदु तक की दूरी $d/2$ है।
$A$ से मध्य बिंदु तक के पथ के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_m^2 = (20)^2 + 2a(d/2)$
$v_m^2 = 400 + ad$
$ad = 250$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_m^2 = 400 + 250 = 650$
$v_m = \sqrt{650} \approx 25.495 \,m/s \approx 25.5 \,m/s$.

(B) प्रक्षेप्य गति के लिए उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
यहाँ $T = 2 \ s$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{2u \sin \theta}{10}$।
अतः,$u \sin \theta = 10 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
मान रखने पर,$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$।

(D) दिया गया है कि क्षैतिज परास $(R)$ अधिकतम ऊँचाई $(H)$ के बराबर है।
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$
$H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
$R$ और $H$ को बराबर रखने पर:
$\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
दोनों पक्षों को $\frac{u^2 \sin\theta}{g}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\sin\theta \neq 0$):
$2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$
$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4$
$\tan\theta = 4$
$\theta = \tan^{-1}(4)$

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,एक कण एक स्थिर चाल के साथ वृत्तीय पथ पर गति करता है।
चूंकि चाल स्थिर है,इसलिए रैखिक वेग का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
किसी भी बिंदु पर रैखिक वेग की दिशा हमेशा उस बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होती है।
अतः,रैखिक वेग हमेशा वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है और इसका परिमाण स्थिर रहता है।

(D) माना $\theta$ शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है। कण पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ हैं।
अभिलंब बल $N$ के घटक लेने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $N \cos \theta = mg$ (भार को संतुलित करता है)
क्षैतिज घटक: $N \sin \theta = \frac{mV^2}{R}$ (अभिकेंद्र बल प्रदान करता है)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ प्राप्त होता है।
शंकु की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{R}{h}$ (जहाँ $h$ शीर्ष से ऊँचाई है)।
अतः,$\frac{R}{h} = \frac{V^2}{Rg}$।
इससे $h = \frac{R^2 g}{V^2}$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $h = \frac{V^2}{g}$ है।

(C) प्रारंभिक अभिकेंद्र बल $F_1 = \frac{mv^2}{r}$ है।
$20 \%$ की वृद्धि के बाद,नए मान $m' = 1.2m$,$v' = 1.2v$ और $r' = 1.2r$ हैं।
आवश्यक नया बल $F_2$ इस प्रकार है:
$F_2 = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(1.2m)(1.2v)^2}{1.2r}$
$F_2 = \frac{1.2m \times 1.44v^2}{1.2r} = 1.44 \frac{mv^2}{r} = 1.44 F_1$.
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_2 - F_1 = 1.44 F_1 - F_1 = 0.44 F_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta F}{F_1} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ है।
अतः,बल में $44 \%$ की वृद्धि करना आवश्यक है।

(C) गुरुत्वाकर्षण के अधीन कण की गति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो एक संरक्षी बल है।
चूंकि कण पर कोई गैर-संरक्षी बल (जैसे घर्षण या वायु प्रतिरोध) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए गति के दौरान निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,पथ के विभिन्न बिंदुओं पर कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(D) कोणीय विस्थापन के लिए घूर्णी गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,$\omega_0 = 0$,इसलिए:
$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$
समय $t$ के लिए हल करने पर:
$t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}} \quad ...(i)$
$\theta$ कोणीय विस्थापन के लिए कण द्वारा तय की गई रैखिक दूरी (चाप की लंबाई) है:
$s = r \theta \quad ...(ii)$
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। छोटे विस्थापन $\theta$ के लिए,विस्थापन का परिमाण लगभग चाप की लंबाई $s$ के बराबर होता है:
$V_{\text{average}} = \frac{s}{t} = \frac{r \theta}{\sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}}$
$V_{\text{average}} = r \theta \cdot \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta^2}{2 \theta}} = \frac{r}{\sqrt{2}} \sqrt{\alpha \theta}$

(B) एकसमान वृत्तीय गति में किसी वस्तु का अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ सूत्र $a_c = \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $R$ त्रिज्या है।
हम जानते हैं कि कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है,जहाँ $n$ आवृत्ति है।
इस मान को अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a_c = (2 \pi n)^2 R$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$
हमें प्रति इकाई त्रिज्या अभिकेंद्र त्वरण ज्ञात करना है,जो $\frac{a_c}{R}$ है।
$\frac{a_c}{R} = 4 \pi^2 n^2$
इस व्यंजक की $(n)^x$ से तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह पद $n^2$ के समानुपाती है।
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(D) कोणीय चाल $\omega$ को प्रति इकाई समय में तय किए गए कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि दोनों वस्तुएं समान समय $t$ में एक चक्कर ($2\pi$ रेडियन) पूरा करती हैं,इसलिए उनकी कोणीय चालें समान हैं: $\omega_1 = \omega_2 = \frac{2\pi}{t}$.
रैखिक चाल $v$,कोणीय चाल $\omega$ और त्रिज्या $r$ से $v = r\omega$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
पहली वस्तु के लिए: $v_1 = r_1\omega_1$.
दूसरी वस्तु के लिए: $v_2 = r_2\omega_2$.
$m_2$ की रैखिक चाल का $m_1$ की रैखिक चाल से अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2\omega_2}{r_1\omega_1}$ है।
चूंकि $\omega_1 = \omega_2$,इसलिए अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2}{r_1}$ हो जाता है।

(D) वॉच ग्लास में दोलन करने वाला एक छोटा गोला एक सरल लोलक की तरह कार्य करता है।
इस समतुल्य लोलक की प्रभावी लंबाई $L$,वॉच ग्लास की वक्रता त्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
दिया गया है,$R = 1.6 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$।
सरल लोलक के आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
मान रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$।
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$।
$T = 2\pi \times 0.4$।
$T = 0.8\pi \ s$।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र $(a)$ के लिए: प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,a} = K$ है। अतः,$T_a = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$.
चित्र $(b)$ के लिए: दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $\frac{1}{K_{eq,b}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ है,इसलिए $K_{eq,b} = \frac{K}{2}$। अतः,$T_b = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$।
चित्र $(c)$ के लिए: दो स्प्रिंग समांतर क्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eq,c} = K + K = 2K$ है। अतः,$T_c = 2\pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$।
परिणामों की तुलना करने पर: $T_b = \sqrt{2} T_a$ और $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$।
अतः,$T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$। इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) जब $500 \ g$ का द्रव्यमान हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m = (100 + 300) \ g = 400 \ g = 0.4 \ kg$ होता है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T = 2 \ s$,इसलिए $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}$,जिसका अर्थ है $\frac{2 \pi}{\sqrt{k}} = \frac{2}{\sqrt{0.4}} \quad \dots (i)$।
जब $300 \ g$ का द्रव्यमान भी हटा दिया जाता है,तो शेष द्रव्यमान $m' = 100 \ g = 0.1 \ kg$ होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{0.1}{k}}$ है।
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $T' = \left( \frac{2 \pi}{\sqrt{k}} \right) \sqrt{0.1} = \left( \frac{2}{\sqrt{0.4}} \right) \sqrt{0.1} = 2 \sqrt{\frac{0.1}{0.4}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \ s$।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इससे हमें पता चलता है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$.
अतः,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$ होगा।
जब $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ हो जाता है।
पहले मामले में,स्प्रिंग नियतांक $k_1 = k$ है।
दूसरे मामले में,द्रव्यमान को स्प्रिंग के एक आधे भाग से लटकाया जाता है,इसलिए नया स्प्रिंग नियतांक $k_2 = 2k$ है।
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{k}{2k}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) जब द्रव स्तंभ को एक तरफ '$y$' विस्थापन से दबाया जाता है, तो दूसरी तरफ द्रव का स्तर '$y$' ऊपर उठ जाता है। इस प्रकार, दोनों भुजाओं में द्रव के स्तरों के बीच का कुल अंतर '$2y$' है।
इस अतिरिक्त द्रव स्तंभ का भार प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है।
प्रत्यानयन बल $F = -(\text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g) = -(A \times 2y \times d \times g) = -2Adgy$.
चूंकि $F = Ma$, जहाँ '$M$' द्रव का कुल द्रव्यमान है, हमारे पास $Ma = -2Adgy$ है।
इसलिए, त्वरण $a = -(\frac{2Adg}{M})y$.
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 y$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\omega^2 = \frac{2Adg}{M}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल '$T$' का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{2Adg}}$ है।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 3 \ s$ है:
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies \frac{9}{4 \pi^2} = \frac{m}{k} \implies k = \frac{4 \pi^2 m}{9} \quad \dots (i)$
जब द्रव्यमान में $0.6 \ kg$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $m' = m + 0.6$ और नया आवर्तकाल $T_2 = 3 + 3 = 6 \ s$ हो जाता है:
$6 = 2 \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 3 = \pi \sqrt{\frac{m + 0.6}{k}} \implies 9 = \pi^2 \frac{m + 0.6}{k} \implies \frac{9}{\pi^2} = \frac{m + 0.6}{k} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9 / \pi^2}{9 / 4 \pi^2} = \frac{(m + 0.6) / k}{m / k}$
$4 = \frac{m + 0.6}{m}$
$4m = m + 0.6$
$3m = 0.6$
$m = 0.2 \ kg$.

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ होगा।
यह दिया गया है कि आवर्तकाल में $20 \%$ की वृद्धि होती है,अतः नया आवर्तकाल $T_2 = T_1 + 0.20 T_1 = 1.2 T_1$ होगा।
इसलिए,$\frac{T_2}{T_1} = 1.2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{l_2}{l_1}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{l_2}{l_1} = (1.2)^2 = 1.44$ होगा।

(D) सरल आवर्त गति में एक पिंड की $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E_x = \frac{1}{2} kx^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $x = \sqrt{\frac{2 E_x}{k}}$।
इसी प्रकार,$y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E_y = \frac{1}{2} ky^2$ है,जो हमें $y = \sqrt{\frac{2 E_y}{k}}$ देती है।
$(x+y)$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $E_0 = \frac{1}{2} k(x+y)^2$ द्वारा दी जाती है।
इस व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें $E_0 = \frac{1}{2} k(x^2 + y^2 + 2xy)$ प्राप्त होता है।
$x^2$,$y^2$ और $xy$ के मान रखने पर:
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + 2 \sqrt{\frac{2 E_x}{k}} \sqrt{\frac{2 E_y}{k}} \right)$।
$E_0 = \frac{1}{2} k \left( \frac{2 E_x}{k} + \frac{2 E_y}{k} + \frac{4 \sqrt{E_x E_y}}{k} \right)$।
$E_0 = E_x + E_y + 2 \sqrt{E_x E_y}$।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले पिंड के लिए जिसका आयाम $A$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ है,अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं $(m_A = m_B = m)$ और अधिकतम वेग समान हैं $(v_{max,A} = v_{max,B})$,इसलिए $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$ होगा।
हम जानते हैं कि $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,इसलिए $A_1 \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{K_2}{m}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$A_1^2 \frac{K_1}{m} = A_2^2 \frac{K_2}{m}$।
सरल करने पर,$A_1^2 K_1 = A_2^2 K_2$।
अतः,$B$ के आयाम $(A_2)$ और $A$ के आयाम $(A_1)$ का अनुपात $\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ है।

(D) स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} kx^2$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ विस्थापन है।
दिया गया है,प्रारंभिक विस्थापन $x_1 = 3 \ cm$ और प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = $U$ है।
नया विस्थापन $x_2 = 9 \ cm$ है।
चूँकि $U \propto x^2$,इसलिए अनुपात होगा:
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2$
$\frac{U'}{U} = \left(\frac{9}{3}\right)^2 = (3)^2 = 9$
अतः,नई स्थितिज ऊर्जा $U' = 9 U$ होगी।

(A) दोलनों की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
चूंकि $\omega = 2 \pi n$,इसलिए $E \propto n^2 A^2$ होता है।
यह दिया गया है कि $X$ और $Y$ द्वारा उत्पन्न तरंगों की ऊर्जा समान है,इसलिए:
$n_X^2 A_X^2 = n_Y^2 A_Y^2$.
दिए गए मान $n_X = n$,$A_X = A$,और $n_Y = \frac{n}{3}$ रखने पर:
$n^2 A^2 = (\frac{n}{3})^2 A_Y^2$.
$n^2 A^2 = \frac{n^2}{9} A_Y^2$.
$A^2 = \frac{A_Y^2}{9}$.
$A_Y^2 = 9 A^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $A_Y = 3 A$ प्राप्त होता है।

(A) परिपथ का प्रारंभिक प्रतिरोध $G$ है। जब गैल्वेनोमीटर के साथ समांतर क्रम में $S$ प्रतिरोध जोड़ा जाता है,तो समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{GS}{G+S}$ होता है।
मुख्य धारा को अपरिवर्तित रखने के लिए,परिपथ का कुल प्रतिरोध प्रारंभिक प्रतिरोध $G$ के बराबर ही रहना चाहिए। मान लीजिए कि श्रेणीक्रम में जोड़ा जाने वाला आवश्यक प्रतिरोध $S'$ है।
अतः,कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_p + S' = G$ होगा।
$R_p$ का मान रखने पर:
$\frac{GS}{G+S} + S' = G$
$S' = G - \frac{GS}{G+S}$
$S' = \frac{G(G+S) - GS}{G+S}$
$S' = \frac{G^2 + GS - GS}{G+S}$
$S' = \frac{G^2}{S+G}$

(B) पोटेंशियोमीटर में,सेल का $E.M.F.$ संतुलन लंबाई के समानुपाती होता है,अर्थात $E \propto l$ या $E = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
पहले सेल के लिए,$E_1 = kl_1$ है।
जब दोनों सेलों को विरोध में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी $E.M.F.$ $(E_1 - E_2)$ होता है। नई संतुलन लंबाई $l_2$ है,इसलिए $(E_1 - E_2) = kl_2$ होगा।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{l_1}{l_2}$।
तिर्यक गुणा करने पर $E_1 l_2 = l_1 E_1 - l_1 E_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $l_1 E_2 = E_1 (l_1 - l_2)$।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_1 - l_2}$।

(A) वोल्टमीटर की प्रारंभिक रेंज $V$ है और इसका प्रतिरोध $G$ है। वोल्टमीटर से प्रवाहित होने वाली अधिकतम धारा $I = \frac{V}{G}$ द्वारा दी जाती है।
रेंज को $V' = nV$ तक बढ़ाने के लिए, हमें वोल्टमीटर के साथ श्रेणीक्रम में $R$ प्रतिरोध जोड़ना होगा।
परिपथ का नया कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + G$ हो जाता है।
वोल्टमीटर के पूर्ण-स्केल विक्षेप के लिए धारा $I$ समान रहती है।
इसलिए, $V' = I(R + G)\text{।}$
$V' = nV$ और $I = \frac{V}{G}$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$nV = \frac{V}{G}(R + G)\text{।}$
दोनों पक्षों को $V$ से विभाजित करने पर, $n = \frac{R+G}{G}$ प्राप्त होता है।
$nG = R + G\text{।}$
$R = nG - G = (n-1)G\text{।}$
अतः, श्रेणीक्रम में जोड़ा जाने वाला प्रतिरोध $(n-1)G$ है।

(D) जब एक गैल्वेनोमीटर को समानांतर में शंट प्रतिरोध $S$ के साथ जोड़ा जाता है,तो उसकी धारा क्षमता $n$ के कारक से बढ़ जाती है। यह संबंध $S = \frac{G}{n-1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है।
प्रथम स्थिति के लिए: $S = \frac{G}{n-1} \implies G = S(n-1)$.
द्वितीय स्थिति के लिए: $S^{\prime} = \frac{G}{n^{\prime}-1} \implies G = S^{\prime}(n^{\prime}-1)$.
$G$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $S(n-1) = S^{\prime}(n^{\prime}-1)$.
पदों का विस्तार करने पर: $Sn - S = S^{\prime}n^{\prime} - S^{\prime}$.
$n^{\prime}$ के लिए हल करने पर: $S^{\prime}n^{\prime} = Sn - S + S^{\prime}$.
अतः,$n^{\prime} = \frac{S(n-1) + S^{\prime}}{S^{\prime}}$.

(D) परिपथ में धारा $I = \frac{V_{total}}{R_{total}} = \frac{2}{R + 495}$ है।
दी गई विभव प्रवणता $\phi = 0.2 \ mV/cm = 0.02 \ V/m$ है।
$L = 1 \ m$ लंबाई के तार पर विभव पतन $V_{wire} = I \times R = \phi \times L$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{2R}{R + 495} = 0.02 \times 1$.
$2R = 0.02(R + 495)$.
$2R = 0.02R + 9.9$.
$1.98R = 9.9$.
$R = \frac{9.9}{1.98} = 5 \ \Omega$.

(D) $G$ प्रतिरोध वाले गैल्वेनोमीटर की धारा क्षमता को $n$ के कारक से बढ़ाने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध $s$ का सूत्र है: $s = \frac{G}{n-1}$.
इससे,हम गैल्वेनोमीटर के प्रतिरोध को इस प्रकार लिख सकते हैं: $G = s(n-1) \dots (i)$.
जब उसी गैल्वेनोमीटर को $s_1$ प्रतिरोध के साथ शंट किया जाता है,तो नया धारा क्षमता कारक $n_1$ इस प्रकार है: $s_1 = \frac{G}{n_1-1}$.
$n_1$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $n_1 - 1 = \frac{G}{s_1}$,जिसका अर्थ है $n_1 = \frac{G}{s_1} + 1 = \frac{G + s_1}{s_1}$.
समीकरण $(i)$ से $G$ का मान इस व्यंजक में रखने पर:
$n_1 = \frac{s(n-1) + s_1}{s_1}$.

(B) माना मुख्य धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G$ है। गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_g = 0.04I$ है।
शंट प्रतिरोध $S$ से गुजरने वाली धारा $I_s = I - I_g = I - 0.04I = 0.96I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$I_g G = I_s S$
$0.04I \times G = 0.96I \times 5$
$G = \frac{0.96 \times 5}{0.04}$
$G = 24 \times 5 = 120 \Omega$
अतः,गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $120 \Omega$ है।

(C) गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर या मिलीवोल्टमीटर में बदलने के लिए इसके साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है। उपकरण का कुल प्रतिरोध $R_{total} = G + R$ होता है,जहाँ $G$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है। मापा गया वोल्टेज $V = I_g(G + R)$ है,जहाँ $I_g$ पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा है। मिलीवोल्टमीटर के लिए,पूर्ण-स्केल वोल्टेज $V$ वोल्टमीटर की तुलना में बहुत कम होता है। चूँकि $V = I_g(G + R)$ और समान गैल्वेनोमीटर के लिए $I_g$ स्थिर है,इसलिए कम $V$ के लिए कुल प्रतिरोध $(G + R)$ कम होना चाहिए। अतः,मिलीवोल्टमीटर के लिए श्रेणी प्रतिरोध $R$,वोल्टमीटर के श्रेणी प्रतिरोध से कम होना चाहिए।

(D) विभवमापी में,संतुलन लंबाई $l$ सेल के e.m.f. के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $E = k \cdot l$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेलों को समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 + E_2 = k \cdot l_1$ होता है।
दिया गया है $l_1 = 80 \ cm$,इसलिए $E_1 + E_2 = 80k$ (समीकरण $1$)।
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 - E_2 = k \cdot l_2$ होता है।
दिया गया है $l_2 = 20 \ cm$,इसलिए $E_1 - E_2 = 20k$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{80k}{20k} = \frac{4}{1}$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{4 + 1}{4 - 1}$।
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{5}{3}$।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{5}{3}$ या $5 : 3$।

(B) माना मुख्य धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_g$ है।
दिया गया है कि $I_g = 0.25 \% \text{ of } I = \frac{0.25}{100} I = \frac{1}{400} I$.
शंट प्रतिरोध $S$ से गुजरने वाली धारा $I_s = I - I_g = I - \frac{1}{400} I = \frac{399}{400} I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$I_g G = I_s S$
$\left( \frac{1}{400} I \right) G = \left( \frac{399}{400} I \right) S$
$S = \frac{G}{399}$.
एमीटर का कुल प्रतिरोध $R$,$G$ और $S$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है:
$R = \frac{G S}{G + S} = \frac{G \left( \frac{G}{399} \right)}{G + \frac{G}{399}} = \frac{\frac{G^2}{399}}{\frac{400 G}{399}} = \frac{G}{400}$.

(A) तार का कुल प्रतिरोध $R = 100 \Omega$ है और इसकी लंबाई $L = 3 \text{ m}$ है।
सबसे पहले,ओम के नियम का उपयोग करके तार से बहने वाली धारा $I$ की गणना करें: $I = \frac{V}{R} = \frac{6 \text{ V}}{100 \Omega} = 0.06 \text{ A}$।
तार की प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध $\lambda = \frac{R}{L} = \frac{100 \Omega}{3 \text{ m}}$ है।
$l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$ लंबाई के खंड के लिए,प्रतिरोध $R'$ का मान $R' = \lambda \times l = \frac{100}{3} \times 0.5 = \frac{50}{3} \Omega$ होगा।
इस खंड के सिरों पर विभवांतर $V'$ का मान $V' = I \times R' = \left( \frac{6}{100} \right) \times \left( \frac{50}{3} \right) = \frac{300}{300} = 1 \text{ V}$ होगा।

(C) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ सूत्र $r = R \left( \frac{l_0 - l}{l} \right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l_0$ ओपन सर्किट में संतुलन लंबाई है और $l$ प्रतिरोध $R$ के साथ शंट होने पर संतुलन लंबाई है।
स्थिति $1$: $R_1 = 5 \ \Omega$,$l_1 = 150 \ cm$.
$r = 5 \left( \frac{l_0 - 150}{150} \right) = \frac{l_0 - 150}{30} \quad \dots (1)$
स्थिति $2$: $R_2 = 10 \ \Omega$,$l_2 = 150 + 25 = 175 \ cm$.
$r = 10 \left( \frac{l_0 - 175}{175} \right) = \frac{2(l_0 - 175)}{35} \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{l_0 - 150}{30} = \frac{2(l_0 - 175)}{35}$
$\frac{l_0 - 150}{6} = \frac{2(l_0 - 175)}{7}$
$7(l_0 - 150) = 12(l_0 - 175)$
$7l_0 - 1050 = 12l_0 - 2100$
$5l_0 = 1050$
$l_0 = 210 \ cm$.

(C) माना मुख्य धारा $I$ है। गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = 20\% \text{ of } I = 0.2 I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर में हैं, इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होता है।
$I_g G = I_s S$
जहाँ $G = 80 \Omega$ गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध है और $S = 20 \Omega$ शंट प्रतिरोध है।
शंट से प्रवाहित धारा $I_s = I - I_g = I - 0.2 I = 0.8 I$ है।
मान रखने पर:
$0.2 I \times 80 = 0.8 I \times 20$
$16 I = 16 I$
नोट: प्रश्न में दी गई जानकारी के अनुसार धारा $I$ का मान कुछ भी हो सकता है, लेकिन दिए गए विकल्पों के आधार पर $1 \text{ A}$ सही उत्तर है।

(D) एमीटर को गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में कम प्रतिरोध (शंट) जोड़कर बनाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल प्रतिरोध बहुत कम होता है।
वोल्टमीटर को गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणी क्रम में उच्च प्रतिरोध जोड़कर बनाया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल प्रतिरोध बहुत अधिक होता है।
वोल्टमीटर की रेंज बढ़ाने के लिए,श्रेणी प्रतिरोध को और अधिक बढ़ाना पड़ता है।
इसलिए,किसी भी एमीटर की तुलना में उच्च वोल्टेज रेंज वाले वोल्टमीटर का प्रतिरोध काफी अधिक होगा।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$10 \ V$ रेंज वाले वोल्टमीटर का प्रतिरोध सबसे अधिक होगा।

(A) माना गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g$ है।
जब $R_1 = 100 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो रेंज $V = I_g(G + 100)$ होती है।
जब $R_2 = 1000 \Omega$ का प्रतिरोध श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो रेंज $2V = I_g(G + 1000)$ हो जाती है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{2V}{V} = \frac{I_g(G + 1000)}{I_g(G + 100)}$
$2 = \frac{G + 1000}{G + 100}$
$2(G + 100) = G + 1000$
$2G + 200 = G + 1000$
$G = 1000 - 200 = 800 \Omega$.
अतः,$G$ का मान $800 \Omega$ है।

(D) $G$ प्रतिरोध और पूर्ण-स्केल विक्षेपण धारा $I_g$ वाले गैल्वेनोमीटर के साथ $R_s$ श्रेणी प्रतिरोध जोड़ने पर वोल्टेज रेंज $V = I_g(G + R_s)$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$V = I_g(G + 200) \implies \frac{V}{I_g} = G + 200$ ....$(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए,रेंज तीन गुना $(3V)$ हो जाती है,इसलिए $3V = I_g(G + 2000) \implies \frac{3V}{I_g} = G + 2000$ ....(ii)
समीकरण $(i)$ से,$\frac{V}{I_g} = G + 200$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$3(G + 200) = G + 2000$
$3G + 600 = G + 2000$
$2G = 1400$
$G = 700 \Omega$.

(A) $G$ प्रतिरोध वाले गैल्वेनोमीटर को $I$ रेंज के एमीटर में बदलने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_g$ गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा है।
एमीटर के लिए,रेंज $I$ बड़ी होती है,जो हर $(I - I_g)$ को बड़ा बनाती है,जिसके परिणामस्वरूप शंट प्रतिरोध $S$ बहुत कम प्राप्त होता है।
मिलीएमीटर के लिए,रेंज $I$ छोटी (मिलीएम्पीयर रेंज में) होती है,जो हर $(I - I_g)$ को छोटा बनाती है,जिसके परिणामस्वरूप शंट प्रतिरोध $S$ तुलनात्मक रूप से अधिक प्राप्त होता है।
इसलिए,एमीटर का शंट प्रतिरोध मिलीएमीटर की तुलना में कम होता है।

(D) माना कि केंद्रीय नोड पर विभव $V$ है। किरचॉफ के नियम का उपयोग करते हुए:
लूप $1$ के लिए: $28 I_1 + 6 + 8 = 0 \implies 28 I_1 = -14 \implies I_1 = -0.5 \ A$.
लूप $2$ के लिए: $54 I_2 + 6 + 12 = 0 \implies 54 I_2 = -18 \implies I_2 = -1/3 \ A$.
जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार: $I_3 = I_1 + I_2 = -0.5 + (-1/3) = -1/2 - 1/3 = -5/6 \ A$.

(C) जंक्शन $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ को लागू करने पर:
माना कि अनुभाग $AB$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ है।
$KCL$ के अनुसार, जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
दिए गए समाधान के अनुसार, $I = 2.5 \ A$ है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = X + 2 \ \Omega$ है।
शक्ति $P = I^2 R_{eq} = 50 \ W$ है।
अतः, $50 = (2.5)^2 (X + 2)$.
$50 = 6.25 (X + 2)$.
$X + 2 = 50 / 6.25 = 8$.
$X = 8 - 2 = 6 \ \Omega$.

(D) परिपथ में दो बैटरियां विपरीत दिशा में जुड़ी हुई हैं और एक प्रतिरोधक श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का तुल्य विद्युत वाहक बल $(V_{eq})$ दोनों वोल्टेज का अंतर है क्योंकि वे विपरीत दिशा में जुड़े हैं:
$V_{eq} = 100 \ V - 5 \ V = 95 \ V$
परिपथ में कुल प्रतिरोध $(R)$ $19 \ \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $(I)$ है:
$I = \frac{V_{eq}}{R}$
$I = \frac{95 \ V}{19 \ \Omega} = 5 \ A$
अतः,परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $5 \ A$ है।

(D) धारा के पथ के अनुदिश बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - I R_1 - E - I R_2 = V_B$
यहाँ धारा $I = 2 \text{ A}$,प्रतिरोध $R_1 = 2 \text{ } \Omega$,विद्युत वाहक बल $E = 3 \text{ V}$,और प्रतिरोध $R_2 = 1 \text{ } \Omega$ दिए गए हैं।
मान रखने पर:
$V_A - (2 \times 2) - 3 - (2 \times 1) = V_B$
$V_A - 4 - 3 - 2 = V_B$
$V_A - 9 = V_B$
$V_A - V_B = 9 \text{ V}$

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
दिए गए पूरे नेटवर्क के लिए,सिस्टम में प्रवेश करने वाली कुल धारा $2 \ A + 4 \ A = 6 \ A$ है।
सिस्टम से बाहर निकलने वाली कुल धारा $1 \ A + 2 \ A + I$ है।
आने वाली और जाने वाली कुल धाराओं को बराबर करने पर:
$2 + 4 = 1 + 2 + I$
$6 = 3 + I$
$I = 6 - 3 = 3 \ A$.

(B) किरचॉफ का दूसरा नियम,जिसे किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी बंद लूप के चारों ओर सभी विभवांतरों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
इसका अर्थ यह है कि स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल ऊर्जा परिपथ में घटकों द्वारा खपत की गई कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
चूंकि इस प्रक्रिया में ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है,इसलिए किरचॉफ का दूसरा नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(A) किरचॉफ के प्रथम नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,उस जंक्शन से जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
जंक्शन $A$ पर,आने वाली धाराएं $1 \ A$ और $4 \ A$ हैं। इसलिए,जंक्शन $A$ से जंक्शन $B$ की ओर जाने वाली धारा $I_{AB} = 1 \ A + 4 \ A = 5 \ A$ है।
जंक्शन $B$ पर,आने वाली धारा $I_{AB} = 5 \ A$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $0.5 \ A$ और जंक्शन $C$ की ओर जाने वाली धारा $(I_{BC})$ हैं। अतः,$5 \ A = 0.5 \ A + I_{BC}$,जिससे $I_{BC} = 4.5 \ A$ प्राप्त होता है।
जंक्शन $C$ पर,आने वाली धारा $I_{BC} = 4.5 \ A$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $I$ और $1 \ A$ हैं। अतः,$4.5 \ A = I + 1 \ A$,जिससे $I = 3.5 \ A$ प्राप्त होता है।

(D) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ तक के पथ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करते हुए,विद्युत धारा $I = 3 \text{ A}$,$4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है,जिससे $I \times R = 3 \times 4 = 12 \text{ V}$ का विभव पतन होता है।
इसके बाद,हम $5 \text{ V}$ की बैटरी को धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर पार करते हैं,जो $5 \text{ V}$ का विभव पतन दर्शाता है।
अंत में,विद्युत धारा $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहती है,जिससे $I \times R = 3 \times 2 = 6 \text{ V}$ का विभव पतन होता है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है:
$V_A - (3 \times 4) - 5 - (3 \times 2) = V_B$
$V_A - 12 - 5 - 6 = V_B$
$V_A - V_B = 12 + 5 + 6$
$V_A - V_B = 23 \text{ V}$

(B) मीटर ब्रिज में, संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{l_2}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $R = 40 \Omega$ और $S = 60 \Omega$ है।
मान लीजिए कि शून्य विक्षेप बिंदु बाएं सिरे से $x$ दूरी पर है। तब $l_1 = x$ और $l_2 = 100 - x$ होगा।
$\frac{40}{60} = \frac{x}{100 - x}$
$\frac{2}{3} = \frac{x}{100 - x}$
$200 - 2x = 3x$
$5x = 200 \implies x = 40 \text{ cm}$।
तार का केंद्र $50 \text{ cm}$ पर स्थित है।
केंद्र से शून्य विक्षेप बिंदु की दूरी $|50 - 40| = 10 \text{ cm}$ बाईं ओर है।

(C) प्रथम स्थिति में, प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ और $S = 30 \Omega$ हैं। मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{100 - l_1} \implies 100 - l_1 = 3l_1 \implies 4l_1 = 100 \implies l_1 = 25 \text{ cm}$.
दूसरी स्थिति में, प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाता है, इसलिए $R' = 30 \Omega$ और $S' = 10 \Omega$ हो जाते हैं।
नई संतुलन स्थिति $\frac{R'}{S'} = \frac{l_2}{100 - l_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{30}{10} = \frac{l_2}{100 - l_2} \implies 3(100 - l_2) = l_2 \implies 300 - 3l_2 = l_2 \implies 4l_2 = 300 \implies l_2 = 75 \text{ cm}$.
संतुलन बिंदु में विस्थापन $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \text{ cm} - 25 \text{ cm} = 50 \text{ cm}$ दाईं ओर होगा।

(B) प्रथम स्थिति में,मीटर ब्रिज के लिए संतुलन की शर्त $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ है।
यहाँ $R_1 = 2 \Omega$ और $R_2 = 3 \Omega$ दिया गया है,अतः $\frac{2}{3} = \frac{l}{100-l}$.
$200 - 2l = 3l \implies 5l = 200 \implies l = 40 \text{ cm}$.
दूसरी स्थिति में,$3 \Omega$ के साथ समांतर क्रम में $X$ शंट जोड़ा जाता है। नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{3X}{3+X}$ होगा।
शून्य बिंदु $22.5 \text{ cm}$ विस्थापित होता है। मान लेते हैं कि यह दाईं ओर विस्थापित होता है,तो नई संतुलन लंबाई $l' = 40 + 22.5 = 62.5 \text{ cm}$ होगी।
नई संतुलन शर्त $\frac{2}{R_2'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ है।
$R_2'$ का मान रखने पर,$\frac{2(3+X)}{3X} = \frac{5}{3}$.
$6 + 2X = 5X \implies 3X = 6 \implies X = 2 \Omega$.

(D) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ होती है,जहाँ $S$ चौथी भुजा का तुल्य प्रतिरोध है।
दिए गए परिपथ में,चौथी भुजा में दो प्रतिरोध $S_1$ और $S_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $S$ इस प्रकार है: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1+S_2}{S_1 S_2}$.
इसलिए,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}$.
इस मान को संतुलन स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}\right)} = \frac{R(S_1+S_2)}{S_1 S_2}$.

(A) प्रथम स्थिति में,मीटर ब्रिज का संतुलन प्रतिबंध: $\frac{R}{l_1} = \frac{S}{100-l_1} \implies R = S \frac{l_1}{100-l_1}$.
दूसरी स्थिति में,$X$ को $S$ के साथ समानांतर में जोड़ने पर,तुल्यांकी प्रतिरोध $S' = \frac{XS}{X+S}$ होगा।
नया संतुलन प्रतिबंध: $\frac{R}{l_2} = \frac{S'}{100-l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
प्रथम समीकरण से $R$ का मान रखने पर: $\frac{S l_1}{(100-l_1) l_2} = \frac{XS}{(X+S)(100-l_2)}$.
सरल करने पर: $\frac{l_1}{l_2(100-l_1)} = \frac{X}{(X+S)(100-l_2)} \implies \frac{X+S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
$1 + \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1)}{l_1(100-l_2)} \implies \frac{S}{X} = \frac{l_2(100-l_1) - l_1(100-l_2)}{l_1(100-l_2)} = \frac{100(l_2-l_1)}{l_1(100-l_2)}$.
अतः,$X = \frac{S l_1(100-l_2)}{100(l_2-l_1)}$.

(C) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ है,जिसका अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है। इसलिए,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और ऊपरी तथा निचली शाखाओं के प्रतिरोध समानांतर क्रम में हैं।
परिपथ का प्रभावी प्रतिरोध $R_{\text{eff}}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{8+4} + \frac{1}{10+5} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} \ \Omega^{-1}$
$R_{\text{eff}} = \frac{20}{3} \ \Omega \approx 6.67 \ \Omega$
परिपथ का कुल विभवांतर $V_{AC}$ है:
$V_{AC} = I \times R_{\text{eff}} = 4 \ \text{A} \times \frac{20}{3} \ \Omega = \frac{80}{3} \ \text{V} \approx 26.67 \ \text{V}$
चूंकि ब्रिज संतुलित है,$B$ और $D$ पर विभव समान है। ऊपरी शाखा $(A-B-C)$ से प्रवाहित होने वाली धारा:
$I_{upper} = \frac{V_{AC}}{R_{AB} + R_{BC}} = \frac{80/3}{8+4} = \frac{80/3}{12} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} \ \text{A} \approx 2.22 \ \text{A}$
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर है:
$V_{AB} = I_{upper} \times R_{AB} = \frac{20}{9} \ \text{A} \times 8 \ \Omega = \frac{160}{9} \ \text{V} \approx 17.78 \ \text{V}$
निकटतम पूर्णांक में,$V_{AB} \approx 18 \ \text{V}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए परिपथ को चित्र में दिखाए अनुसार एक व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
मान लीजिए प्रतिरोध $R_1 = 6 \ \Omega$,$R_2 = 6 \ \Omega$,$R_3 = 4 \ \Omega$,$R_4 = 4 \ \Omega$ हैं और मध्य प्रतिरोध $R_5 = 10 \ \Omega$ है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है।
यहाँ,$\frac{6}{4} = 1.5$ और $\frac{6}{4} = 1.5$ है।
चूंकि $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है और $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में दो प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $R_{up} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का प्रतिरोध $R_{low} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$।
अतः,$R_{eq} = 5 \ \Omega$ है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \ V}{5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ है।

(D) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_p = \frac{hc}{E}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
अब,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \left( \frac{hc}{E} \right) \times \left( \frac{\sqrt{2mE}}{h} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = c \sqrt{\frac{2mE}{E^2}} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$ प्राप्त होता है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन के लिए,वेग $v$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(v \propto \frac{1}{n})$।
चूंकि संवेग $p = mv$ है,इसलिए $p \propto \frac{1}{n}$ होता है।
इसे डी-ब्रोग्ली संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\lambda = \frac{h}{p} \propto n$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था $n = 1$ के अनुरूप है। तीसरी उत्तेजित अवस्था $n = 4$ के अनुरूप है।
चूंकि मुख्य क्वांटम संख्या $n$ का मान $1$ से बढ़कर $4$ हो जाता है,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाएगी।

(B) गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mE}$।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$।
यदि गतिज ऊर्जा को $2$ गुना बढ़ा दिया जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $E' = E + 2E = 3E$ हो जाती है।
नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3E)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \lambda$ होगी।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{3}}$ के कारक से बदल जाएगी।

(B) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस संबंध द्वारा दी जाती है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
इसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक विभव $V_1$ है और अंतिम विभव $V_2 = 4V_1$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$.
$V_2$ का मान रखने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{4V_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।

(B) $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए,त्रिज्या $r_3 = a_0 \times 3^2 = 9 a_0$ है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
संवेग $mv$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$mv = \frac{nh}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
$n=3$ और $r=9a_0$ का मान रखने पर:
$mv = \frac{3h}{2\pi(9a_0)} = \frac{h}{6\pi a_0}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ होती है।
$mv$ का मान रखने पर:
$\lambda = \frac{h}{h / (6\pi a_0)} = 6\pi a_0$।

(C) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$।
मान लीजिए प्रारंभिक विभव $V_1 = V$ है और अंतिम विभव $V_2 = 2V$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$ होगी।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के कारक से घट जाएगी।

(B) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \implies \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$
यहाँ प्रारंभिक विभवांतर $V_1 = 16 \ kV$ और अंतिम विभवांतर $V_2 = 64 \ kV$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{16}{64}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
इस प्रकार,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाएगी।

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v \propto \frac{1}{n}$ द्वारा दिया जाता है。
चूंकि संवेग $p = mv$ होता है, इसलिए हमारे पास $p \propto \frac{1}{n}$ है。
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ संबंध द्वारा दी जाती है。
संवेग के लिए आनुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\lambda \propto n$ प्राप्त होता है。
जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च उत्तेजित अवस्था में जाता है, मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है。
इसलिए, डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ जाएगी।

(D) प्रोटॉन के लिए,गतिज ऊर्जा $E$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $E = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $m$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
इससे,संवेग $p = \sqrt{2mE}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के बीच संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
अतः,फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ है।
अब,तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mE}} \right) \times \left( \frac{E}{hc} \right) = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left( \frac{1}{c\sqrt{2m}} \right) E^{1/2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 1/2 = 0.5$ प्राप्त होता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
धातु $A$ के लिए: $K_{A} = hf - \phi_A$
धातु $B$ के लिए: $K_{B} = h(2f) - \phi_B = 2hf - \phi_B$
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\phi_B = 2\phi_A$ है।
इस मान को $K_B$ के समीकरण में रखने पर: $K_B = 2hf - 2\phi_A = 2(hf - \phi_A)$ प्राप्त होता है।
अतः,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_A}{K_B} = \frac{hf - \phi_A}{2(hf - \phi_A)} = \frac{1}{2}$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
प्रथम स्थिति के लिए: $\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = eV$ $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0} = e\left(\frac{V}{6}\right)$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}}{\frac{hc}{3\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}} = \frac{eV}{eV/6} = 6$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 6 \left( \frac{1}{3\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{6}{\lambda_0}$
$\frac{6}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{2}{\lambda} - \frac{1}{\lambda}$
$\frac{5}{\lambda_0} = \frac{1}{\lambda}$
$\lambda_0 = 5\lambda$

(C) उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{\max}$ और निरोधी विभव $V_s$ के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$(K.E.)_{\max} = e V_s$
यहाँ दिया गया है कि निरोधी विभव $V_s = 10 \ V$ है और इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है। इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(K.E.)_{\max} = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (10 \ V)$
$(K.E.)_{\max} = 1.6 \times 10^{-18} \ J$
अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा $1.6 \times 10^{-18} \ J$ है।

(B) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अनुसार,प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
चूंकि प्रकाश की तीव्रता $(I)$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,और एक दी गई आवृत्ति के लिए,प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा स्थिर $(E = hv)$ होती है,इसलिए तीव्रता आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,यदि आवृत्ति $v$,देहली आवृत्ति $v_0$ से अधिक है,तो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ के सीधे समानुपाती होती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $k$ इस प्रकार दी जाती है:
$k = h\nu - E_0$
इससे,हम कार्य फलन $E_0$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$E_0 = h\nu - k$
जब आपतित विकिरण की आवृत्ति दोगुनी $(2\nu)$ कर दी जाती है,तो मान लीजिए कि नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $k'$ है। नया समीकरण होगा:
$k' = h(2\nu) - E_0$
समीकरण में $E_0$ का मान रखने पर:
$k' = 2h\nu - (h\nu - k)$
$k' = 2h\nu - h\nu + k$
$k' = h\nu + k$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E_{\max} = h\nu - W$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है।
प्रारंभ में,$K_1 = h\nu - W$ है।
जब आवृत्ति को दोगुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $2\nu$ हो जाती है। नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_2$ है:
$K_2 = h(2\nu) - W = 2h\nu - W$।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$K_2 = 2(h\nu - W) + W = 2K_1 + W$।
चूंकि कार्य फलन $W$ एक धनात्मक स्थिरांक है,इसलिए $K_2 > 2K_1$ होगा।
अतः,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा उसके प्रारंभिक मान की दोगुनी से अधिक होगी।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_s$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$e V_s = h \nu - \phi$
$V_s = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi}{e}$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,आवृत्ति अक्ष पर अंतःखंड (जहाँ $V_s = 0$ है) देहली आवृत्ति $\nu_0$ है,जो $\nu_0 = \frac{\phi}{h}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\phi = h \nu_0$।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि धातु $X$ के लिए देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ धातु $Y$ की देहली आवृत्ति $(\nu_0^{\prime})$ से कम है,अर्थात $\nu_0 < \nu_0^{\prime}$।
चूंकि कार्य फलन $\phi$ देहली आवृत्ति $\nu_0$ के सीधे आनुपातिक है,इसलिए $\phi_x < \phi_y$ होगा।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
हम यह भी जानते हैं कि अधिकतम गतिज ऊर्जा और निरोधी विभव $V$ के बीच संबंध है:
$K_{max} = eV$
$K_{max}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - W_0$
$\lambda$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} = W_0 + eV$
$\lambda = \frac{hc}{W_0 + eV}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K.E._{\max} = hF - \Phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Phi = hF_0$ कार्य फलन (work function) है।
स्थिति $1$: जब आपतित आवृत्ति $F = 2F_0$ हो,
$\frac{1}{2}mV_1^2 = h(2F_0) - hF_0 = hF_0$
स्थिति $2$: जब आपतित आवृत्ति $F = 5F_0$ हो,
$\frac{1}{2}mV_2^2 = h(5F_0) - hF_0 = 4hF_0$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{V_1^2}{V_2^2} = \frac{hF_0}{4hF_0} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$