KCET 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે,જો $a = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot p_{3}^{\alpha_{3}} \dots$ હોય
તો $a$ ના કુલ ધન ભાજકોની સંખ્યા $T(a) = (\alpha_{1} + 1)(\alpha_{2} + 1)(\alpha_{3} + 1) \dots$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે,$252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7^{1}$
અહીં,$\alpha_{1} = 2, \alpha_{2} = 2, \alpha_{3} = 1$
$\therefore T(252) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)$
$= 3 \cdot 3 \cdot 2$
$= 18$

(C) આપેલ પદ $7^{2 \log _{7} 5}$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $n \log _{a} x = \log _{a} x^{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$7^{\log _{7} 5^{2}}$
નિત્યસમ $a^{\log _{a} x} = x$ (જ્યાં $x > 0$) નો ઉપયોગ કરતા:
$5^{2} = 25$
તેથી,સાચો જવાબ $25$ છે.

(B) હેન્ડશેકિંગ લેમ્મા મુજબ,ગ્રાફના તમામ શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો એ ધારની સંખ્યાના બમણા જેટલો હોય છે,જે એક બેકી સંખ્યા છે.
ધારો કે $V_{odd}$ એ એકી ડિગ્રી ધરાવતા શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે અને $V_{even}$ એ બેકી ડિગ્રી ધરાવતા શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે.
ડિગ્રીનો સરવાળો $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v) + \sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v) = 2|E|$ છે.
કારણ કે $\sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v)$ હંમેશા બેકી હોય છે,તેથી કુલ સરવાળો બેકી રહે તે માટે $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v)$ પણ બેકી હોવો જોઈએ.
$m$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી થાય તે માટે,$m$ એ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી,એકી ડિગ્રી ધરાવતા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $m$ હંમેશા બેકી હોય છે.

(D) ધારો કે $z = \frac{(1+i)^{2}}{1-i}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(1+i)^{2} = 1^{2} + i^{2} + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$.
તેથી,$z = \frac{2i}{1-i}$.
છેદના અનુબદ્ધ $(1+i)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^{2}}{1 - i^{2}} = \frac{2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{2i - 2}{2} = i - 1$.
આમ,$z = -1 + i$.
સંકર સંખ્યા $z = a + bi$ નો અનુબદ્ધ $\bar{z} = a - bi$ થાય.
તેથી,$-1 + i$ નો અનુબદ્ધ $-1 - i$ થાય.

(B) ધારો કે $z = (1+i)^{5}$.
પ્રથમ,$1+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
ડી-મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = (\sqrt{2})^{5}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})^{5} = 4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
$z$ નો કોણાર્ક $\frac{5\pi}{4}$ છે.
મુખ્ય કોણાર્ક $(-\pi, \pi]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{5\pi}{4}$ માંથી $2\pi$ બાદ કરતા:
$\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$.
આમ,મુખ્ય કંપનવિસ્તાર $-\frac{3\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે $z = i^{i}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(z) = i \ln(i)$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i = e^{i(\pi/2 + 2n\pi)}$. મુખ્ય કિંમત માટે $n=0$ લેતા,$\ln(i) = i\pi/2$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\ln(z) = i(i\pi/2) = i^{2}(\pi/2) = -\pi/2$ મળે.
તેથી,$z = e^{-\pi/2}$.
$e^{-\pi/2}$ એ સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક સંખ્યા છે,જેને $e^{-\pi/2} + 0i$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$i^{i}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $0$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^{2}=0$ અને $\omega^{3}=1$.
આપેલ પદાવલિ: $(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega^{4})(1+\omega^{8})$
$= (1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega)(1+\omega^{2})$
$= [(1+\omega)(1+\omega^{2})]^{2}$
$= [1+\omega^{2}+\omega+\omega^{3}]^{2}$
$= [1+(\omega^{2}+\omega)+1]^{2}$
$= [1+(-1)+1]^{2}$
$= [1]^{2} = 1$.

(C) ધારો કે સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ છે.
સામાન્ય પદને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
હવે,$k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો લેતા:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જ્યાં વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે:
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$.
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{6n+4} \right) = \frac{n}{6n+4}$.

(D) વિસ્તરણ $(x+a)^{n}$ નું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ છે.
આપેલ વિસ્તરણ $\left(3x - \frac{1}{2x}\right)^{8}$ માટે,$n = 8$ છે.
નવમું પદ $(T_{9})$ શોધવા માટે,$r+1 = 9$ લેતા,$r = 8$ મળે.
સૂત્રમાં $n = 8$,$r = 8$,$x = 3x$,અને $a = -\frac{1}{2x}$ મૂકતા:
$T_{9} = {}^{8}C_{8} (3x)^{8-8} \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot (3x)^{0} \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{(-1)^{8}}{2^{8} x^{8}}$
$T_{9} = \frac{1}{256x^{8}}$

(A) આપણી પાસે છે,$5^{124} = (5^3)^{41} \cdot 5$.
કારણ કે $5^3 = 125$,આપણે લખી શકીએ $5^3 \equiv 1 \pmod{124}$.
તેથી,$(5^3)^{41} \equiv 1^{41} \equiv 1 \pmod{124}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $(5^3)^{41} \cdot 5 \equiv 1 \cdot 5 \pmod{124}$.
આમ,$5^{124} \equiv 5 \pmod{124}$.
શેષ $5$ છે.

(B) આપણી પાસે છે,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ}$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$,તેથી $\sin(72.5^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - 17.5^{\circ}) = \cos(17.5^{\circ})$.
તેથી,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ} = \sin ^{2} 17.5^{\circ} + \cos ^{2} 17.5^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\tan ^{2} 45^{\circ} = 1^{2} = 1$.
આમ,આ પદાવલિ $\tan ^{2} 45^{\circ}$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ છે $\sin 3 \theta = \sin \theta$.
$\sin 3 \theta - \sin \theta = 0$
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos 2 \theta \sin \theta = 0$
આનો અર્થ એ કે $\cos 2 \theta = 0$ અથવા $\sin \theta = 0$.
જો $\sin \theta = 0$ હોય,તો $\theta = n \pi$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ માટે,ઉકેલો $\theta = 0, \pi, 2 \pi$ છે.
જો $\cos 2 \theta = 0$ હોય,તો $2 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = (2n+1) \frac{\pi}{4}$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ માટે,ઉકેલો $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3 + 4 = 7$ છે.

(A) $\triangle ABC$ માં,$\angle A=30^{\circ}$ અને $BC=10 \text{ cm}$ છે.
ધારો કે $R$ એ $\triangle ABC$ ની પરિત્રિજ્યા છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{BC}{\sin A} = 2R$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{\sin 30^{\circ}} = 2R$.
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\frac{10}{1/2} = 2R$,જેનો અર્થ છે કે $20 = 2R$,તેથી $R = 10 \text{ cm}$.
પરિવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi R^2$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi (10)^2 = 100 \pi \text{ cm}^2$.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગા $AD$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે $A = (2, 3)$,$G = (7, 5)$,અને $D = (x, y)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$G = \left(\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2+1}, \frac{2 \cdot y + 1 \cdot 3}{2+1}\right)$
યામને સરખાવતા:
$7 = \frac{2x + 2}{3}$ $\Rightarrow 21 = 2x + 2$ $\Rightarrow 2x = 19$ $\Rightarrow x = \frac{19}{2}$
$5 = \frac{2y + 3}{3}$ $\Rightarrow 15 = 2y + 3$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$
તેથી,બિંદુ $D$ ના યામ $\left(\frac{19}{2}, 6\right)$ છે.

(D) આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(0, \frac{3}{2})$ અને $C(-5,0)$ છે.
અહીં $A$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર હોવાથી,$AB$ એ $y$-અક્ષ પર છે અને $AC$ એ $x$-અક્ષ પર છે.
આથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો શિરોબિંદુ $A(0,0)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,$\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર $(0,0)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $Y$-અક્ષને $(0,3)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |h|$ થાય. આમ,કેન્દ્ર $(\pm r, 3)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x \mp r)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2}$ છે.
વર્તુળ $X$-અક્ષ પર $8$ એકમનો અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી $2\sqrt{r^{2}-k^{2}} = 8$.
અહીં $k=3$ છે,તેથી $2\sqrt{r^{2}-3^{2}} = 8 \implies \sqrt{r^{2}-9} = 4 \implies r^{2}-9 = 16 \implies r^{2} = 25 \implies r = 5$.
કેન્દ્ર $(\pm 5, 3)$ મળે છે.
સમીકરણ $(x \mp 5)^{2} + (y-3)^{2} = 5^{2}$ થશે.
$x^{2} \mp 10x + 25 + y^{2} - 6y + 9 = 25$.
$x^{2} + y^{2} \mp 10x - 6y + 9 = 0$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $3x + y + k = 0$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} = 10$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ છે.
જો રેખા $Ax + By + C = 0$ એ વર્તુળનો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોય:
$\left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right| = r$
કિંમતો મૂકતા:
$\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} \right| = \sqrt{10}$
$\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$
$|k| = 10$
તેથી,$k = \pm 10$.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ અને $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ છે.
અહીં,$g_{1}=-1, f_{1}=-1, c_{1}=-7$ અને $g_{2}=2, f_{2}=1, c_{2}=k$ છે.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$2(g_{1}g_{2} + f_{1}f_{2}) = c_{1} + c_{2}$.
$2((-1)(2) + (-1)(1)) = -7 + k$
$2(-2 - 1) = -7 + k$
$-6 = -7 + k \Rightarrow k = 1$.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_{1} - S_{2} = 0$ છે.
$(x^{2}+y^{2}-2x-2y-7) - (x^{2}+y^{2}+4x+2y+1) = 0$
$-6x - 4y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$.
વર્તુળ $S_{1}$ માટે,કેન્દ્ર $C_{1} = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} - (-7)} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કેન્દ્ર $C_{1}(1, 1)$ થી જીવા $3x + 2y + 4 = 0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$.
સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $2\sqrt{r_{1}^{2} - d^{2}}$ છે.
$= 2\sqrt{3^{2} - (\frac{9}{\sqrt{13}})^{2}} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117 - 81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો છે:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$,જેનું કેન્દ્ર $O_{1}=(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1}=2$ છે.
$C_{2}: x^{2}+y^{2}-6x-8y-24=0$,જેનું કેન્દ્ર $O_{2}=(3,4)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2}=\sqrt{3^{2}+4^{2}-(-24)}=\sqrt{9+16+24}=\sqrt{49}=7$ છે.
હવે,કેન્દ્રો $O_{1}$ અને $O_{2}$ વચ્ચેનું અંતર શોધો:
$d = \sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$.
અંતર $d$ ની સરખામણી ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અને તફાવત સાથે કરો:
$r_{1}+r_{2} = 2+7 = 9$.
$|r_{1}-r_{2}| = |2-7| = 5$.
અહીં $d = |r_{1}-r_{2}|$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને અંદરથી સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) ત્રણ વર્તુળોનું રેડિકલ કેન્દ્ર ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો તેમની રેડિકલ ધરીઓ સમાંતર ન હોય.
પ્રથમ,$S_{1}$ અને $S_{2}$ ની રેડિકલ ધરી $S_{1} - S_{2} = 0$ દ્વારા મેળવો:
$-4x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$.
ત્યારબાદ,$S_{2}$ અને $S_{3}$ ની રેડિકલ ધરી $S_{2} - S_{3} = 0$ દ્વારા મેળવો:
$-(2+2k)x - 6y + 2 = 0 \Rightarrow (2+2k)x + 6y - 2 = 0$.
જો આ બે રેખાઓ સમાંતર હોય તો રેડિકલ કેન્દ્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
બે રેખાઓ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સમાંતર હોય જો $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોય.
તેથી,$\frac{4}{2+2k} = \frac{2}{6}$.
$24 = 4 + 4k$ $\Rightarrow 20 = 4k$ $\Rightarrow k = 5$.
આમ,જો $k = 5$ હોય,તો રેખાઓ સમાંતર છે અને રેડિકલ કેન્દ્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી,$k$ ની કિંમત $5$ ન હોઈ શકે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = 2x^{2} + x$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{y}{2}$ મળે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{y}{2} + \frac{1}{16}$.
આથી $(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{2}(y + \frac{1}{8})$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $X^{2} = 4AY$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $X = x + \frac{1}{4}$,$Y = y + \frac{1}{8}$,અને $4A = \frac{1}{2}$,તેથી $A = \frac{1}{8}$ મળે.
$(X, Y)$ યામ પદ્ધતિમાં નાભિ $(0, A) = (0, \frac{1}{8})$ છે.
કિંમતો પાછી મૂકતા,$x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$ અને $y + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \Rightarrow y = 0$.
આમ,આપેલ પરવલયનું નાભિ $(-\frac{1}{4}, 0)$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ સાથે સરખાવતા,$a^{2}=36$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a=6$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરોનો સરવાળો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
તેથી,$PS + PS^{\prime} = 2a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$PS + PS^{\prime} = 2 \times 6 = 12$ મળે છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi a^{2}$.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $= \pi ab$.
પ્રશ્ન મુજબ,સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉપવલયના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે:
$\pi a^{2} = 2(\pi ab)$
$a^{2} = 2ab$
$a = 2b \Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{(a/2)^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}/4}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1$.
$k^{2}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{y^{2}}{k^{2}} = \frac{x^{2}-36}{36}$
$k^{2} = \frac{36y^{2}}{x^{2}-36}$.
$k^{2} > 0$ હોવાથી,$x^{2}-36 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^{2} > 36$ અથવા $|x| > 6$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$. $(-3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (ખોટું)
$B$. $(3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (ખોટું)
$C$. $(10, 4) \Rightarrow x^{2} = 100 > 36$ (સાચું)
$D$. $(5, 2) \Rightarrow x^{2} = 25 < 36$ (ખોટું)
તેથી,બિંદુ $(10, 4)$ અતિવલય પર હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\tan \left(x^{2}-1\right)}{x-1}$ છે.
$x=1$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
$L$'Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} \tan \left(x^{2}-1\right)}{\frac{d}{dx} (x-1)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sec ^{2}\left(x^{2}-1\right) \cdot (2x)}{1}$
$= \sec ^{2}(1^{2}-1) \cdot 2(1)$
$= \sec ^{2}(0) \cdot 2$
$= 1 \cdot 2 = 2$.

(B) ધારો કે $p$ એ વિધાન "$2$ અવિભાજ્ય છે" છે.
ધારો કે $q$ એ વિધાન "$3$ એકી છે" છે.
આપેલ વિધાન $p \rightarrow q$ છે.
ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow q$ નો નિષેધ $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p$ એ "$2$ અવિભાજ્ય છે" અને $\sim q$ એ "$3$ એકી નથી" છે.
તેથી,નિષેધ "$2$ અવિભાજ્ય છે અને $3$ એકી નથી" થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8}$.
અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોવાથી,આપણે ભાગાકાર કરતા:
$\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8} = 3 + \frac{18 x - 23}{x^{2}-6 x+8}$.
હવે,શેષને આંશિક અપૂર્ણાંકમાં વિભાજિત કરતા:
$\frac{18 x - 23}{(x-2)(x-4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}$.
$18 x - 23 = A(x-4) + B(x-2)$.
$x=2$ લેતા: $18(2) - 23 = A(2-4) \Rightarrow 13 = -2A \Rightarrow A = -\frac{13}{2}$.
$x=4$ લેતા: $18(4) - 23 = B(4-2) \Rightarrow 49 = 2B \Rightarrow B = \frac{49}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8} = 3 - \frac{13}{2(x-2)} + \frac{49}{2(x-4)}$.
જે વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $xy=0$ એ યામ અક્ષો દર્શાવે છે,એટલે કે $x=0$ અને $y=0$.
અન્ય રેખાઓ $x-4=0$ (જે $x=4$ છે) અને $y+5=0$ (જે $y=-5$ છે) છે.
આ ચાર રેખાઓ $x=0, x=4, y=0$ અને $y=-5$ કાર્ટેઝિયન સમતલમાં એક લંબચોરસ પ્રદેશ બનાવે છે.
આ લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(0, 0), (4, 0), (4, -5)$ અને $(0, -5)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ એ $x=0$ અને $x=4$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|4-0| = 4 \text{ એકમ}$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ એ $y=0$ અને $y=-5$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|0-(-5)| = 5 \text{ એકમ}$ છે.
તેથી,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4 \times 5 = 20 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી રેખા $ax+by+c=0$ પર દોરેલા લંબના લંબપાદ $(h, k)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = \frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1) = (3,4)$ છે અને રેખા $2x+y-7=0$ છે.
તેથી,$a=2, b=1, c=-7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(2(3) + 1(4) - 7)}{2^2 + 1^2}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(6+4-7)}{4+1}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-3}{5}$
હવે,$h$ માટે ઉકેલતા:
$h-3 = 2 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-6}{5}$
$h = 3 - \frac{6}{5} = \frac{15-6}{5} = \frac{9}{5}$
$k$ માટે ઉકેલતા:
$k-4 = 1 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-3}{5}$
$k = 4 - \frac{3}{5} = \frac{20-3}{5} = \frac{17}{5}$
તેથી,લંબપાદના યામ $\left(\frac{9}{5}, \frac{17}{5}\right)$ છે.

(B) સમૂહ $(G, \times_{15})$ માં તટસ્થ ઘટક $e$ એ શરત $a \times_{15} e = a$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $a \in G$.
કોમ્પોઝિશન ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $6$ ની હરોળ $G$ ના ઘટકોને તે જ ક્રમમાં દર્શાવે છે.
કોષ્ટક મુજબ,$3 \times_{15} 6 = 3$,$6 \times_{15} 6 = 6$,$9 \times_{15} 6 = 9$,અને $12 \times_{15} 6 = 12$ થાય છે,તેથી તટસ્થ ઘટક $6$ છે.

(B) કોઈપણ જૂથ $(G, *)$ માં,તટસ્થ ઘટક $e$ હંમેશા તેનો પોતાનો વ્યસ્ત હોય છે,કારણ કે $e * e = e$.
જૂથ $G$ માં ઓછામાં ઓછો તટસ્થ ઘટક હોવો આવશ્યક છે,તેથી તેમના પોતાના વ્યસ્ત હોય તેવા ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $1$ છે.

(B) કોઈ ગણ $G$ અને દ્વિતીય ક્રિયા $*$ માટે,જો તે સંવૃતતા,જૂથનો નિયમ,તટસ્થ ઘટકનું અસ્તિત્વ અને વ્યસ્ત ઘટકનું અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય તો તેને જૂથ કહેવાય.
સરવાળાની ક્રિયા હેઠળ એકી પૂર્ણાંકોના ગણ માટે,ધારો કે $a = 1$ અને $b = 3$. તો $a + b = 4$,જે બેકી પૂર્ણાંક છે.
બે એકી પૂર્ણાંકોનો સરવાળો હંમેશા બેકી સંખ્યા હોવાથી,આ ગણ સરવાળાની ક્રિયા હેઠળ સંવૃત નથી.
વધુમાં,સરવાળા માટે તટસ્થ ઘટક $0$ છે,જે એકી સંખ્યા નથી.
તેથી,સરવાળાની ક્રિયા હેઠળ એકી પૂર્ણાંકોનો ગણ એ જૂથ નથી.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I$,જ્યાં $|A|$ એ $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(2 \times 4 - (-3) \times (-2)) - (-2)(0 \times 4 - (-3) \times 3) + 2(0 \times (-2) - 2 \times 3)$
$|A| = 1(8 - 6) + 2(0 + 9) + 2(0 - 6)$
$|A| = 1(2) + 2(9) + 2(-6)$
$|A| = 2 + 18 - 12 = 8$
અહીં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I = 8 \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ અને $10 B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
કારણ કે $B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,તેથી $B = A^{-1}$.
આમ,$10 A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા,$10 A^{-1} A = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] A$.
$A^{-1} A = I$ હોવાથી,$10 I = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
જમણી બાજુનો ગુણાકાર કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}4(1)+2(2)+2(1) & 4(-1)+2(1)+2(1) & 4(1)+2(-3)+2(1) \\ -5(1)+0(2)+\alpha(1) & -5(-1)+0(1)+\alpha(1) & -5(1)+0(-3)+\alpha(1) \\ 1(1)-2(2)+3(1) & 1(-1)-2(1)+3(1) & 1(1)-2(-3)+3(1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ -5+\alpha & \alpha+5 & -5+\alpha \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$.
આને $10 I = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$ સાથે સરખાવતા.
$(2, 1)$ સ્થાન પરના ઘટકને સરખાવતા,$-5 + \alpha = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 5$.

(A) જો શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર હોય તો તેનો નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & x & 16 \\ x & 5 & 7 \\ 0 & 9 & x \end{bmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 9 & x \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} x & 16 \\ 9 & x \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} x & 16 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 0$.
$-x(x^2 - 144) = 0$.
$-x(x - 12)(x + 12) = 0$.
તેથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $0, 12, -12$ છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & p & q \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right|$.
$R_1 \to R_1 - R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x-p & p-x & 0 \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right| = (x-p) \left|\begin{array}{lll}1 & -1 & 0 \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right|$.
$C_2 \to C_2 + C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = (x-p) \left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ p & x+p & q \\ p & q+p & x\end{array}\right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (x-p) [1 \cdot ((x+p)x - q(q+p)) - 0 + 0]$
$\Delta = (x-p) [x^2 + xp - q^2 - qp]$
$\Delta = (x-p) [x^2 - q^2 + xp - qp]$
$\Delta = (x-p) [(x-q)(x+q) + p(x-q)]$
$\Delta = (x-p)(x-q)(x+q+p)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2 \pi}{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (\frac{1}{x})$ થાય છે.
આ કિંમત મૂકતા: $\tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} (\frac{1}{x}) = \frac{2 \pi}{3}$
નિત્યસમ $2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} (\frac{2y}{1-y^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2/x}{1-1/x^2}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2x}{x^2-1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} (\frac{A+B}{1-AB})$ સૂત્ર વાપરતા:
$\tan ^{-1} (\frac{x + \frac{2x}{x^2-1}}{1 - x(\frac{2x}{x^2-1})}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\frac{\frac{x^3-x+2x}{x^2-1}}{\frac{x^2-1-2x^2}{x^2-1}} = \tan (\frac{2 \pi}{3})$
$\frac{x^3+x}{-x^2-1} = -\sqrt{3}$
$\frac{x(x^2+1)}{-(x^2+1)} = -\sqrt{3}$
$-x = -\sqrt{3} \implies x = \sqrt{3}$

(C) ધારો કે $\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
આપણે $\sin(2\theta)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ મળે.
તેથી,$\sin(2\theta) = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ થાય.

(C) આપણી પાસે $f(x) = |x|$ છે.
કોઈપણ વિધેયનું પ્રતિવિધેય મેળવવા માટે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) હોવું જરૂરી છે.
અહીં $f(1) = |1| = 1$ અને $f(-1) = |-1| = 1$ લો.
અહીં $f(1) = f(-1)$ છે પરંતુ $1 \neq -1$ હોવાથી,આ વિધેય એક-એક નથી.
વિધેય એક-એક ન હોવાથી તે બાયજેક્ટિવ (bijective) નથી.
તેથી,પ્રતિવિધેય $f^{-1}(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ છે.
વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોવાથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = k$.
લક્ષના સૂત્ર $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^{2}(x/2)}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^{2}(x/2)}{4(x/2)^{2}} = \frac{2}{4} \cdot (1)^{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$k = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,$y=2^{\log x}$.
ચેઈન રૂલ અને વિકલનના સૂત્ર $\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \cdot \ln a \cdot \frac{du}{dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \log x$ અને $a = 2$ છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2^{\log x}) = 2^{\log x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$.
કારણ કે $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ છે,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = 2^{\log x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{x}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{2^{\log x} \cdot \log 2}{x}$.

(D) આપેલ છે કે,$x^{x}=y^{y}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (log) લેતા,આપણને મળે છે:
$x \log x = y \log y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(y \log y)$.
ગુણાકારના નિયમ $(uv)' = u'v + uv'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) = (1 \cdot \log y + y \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx})$.
$(\log x + 1) = (\log y + 1) \frac{dy}{dx}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+\log x}{1+\log y}$.

(A) આપેલ છે,$\sec ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-y}\right)=a$
બંને બાજુ $\sec$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1+x}{1-y}=\sec a$
પદોને ગોઠવતા:
$1+x = (1-y) \sec a$
$1+x = \sec a - y \sec a$
$y \sec a = \sec a - 1 - x$
$y = \frac{\sec a - 1 - x}{\sec a} = 1 - \frac{1+x}{\sec a}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 0 - \frac{1}{\sec a} \cdot \frac{d}{d x}(1+x)$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\sec a} \cdot (1)$
અહીં $\sec a = \frac{1+x}{1-y}$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\frac{1+x}{1-y}} = -\frac{1-y}{1+x} = \frac{y-1}{x+1}$

(C) આપેલ છે કે,$y = \cos^{2} \frac{3x}{2} - \sin^{2} \frac{3x}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $\theta = \frac{3x}{2}$ છે,તેથી $2\theta = 3x$ થાય.
આમ,$y = \cos(3x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = -9\cos(3x)$.
કારણ કે $y = \cos(3x)$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -9y$.

(A) આપેલ વક્ર $y^{2}=x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,તેથી $m = \tan(45^{\circ}) = 1$.
ઢાળને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
$y = \frac{1}{2}$ ને વક્રના સમીકરણ $y^{2} = x$ માં મૂકતા:
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2} y^{2} = a^{4}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x y^{2} + 2x^{2} y \frac{dy}{dx} = 0$.
$(-a, a)$ બિંદુએ કિંમત મુકતા:
$2(-a)(a)^{2} + 2(-a)^{2}(a) \frac{dy}{dx} = 0$.
$-2a^{3} + 2a^{3} \frac{dy}{dx} = 0$.
$2a^{3} \frac{dy}{dx} = 2a^{3} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
અસ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ છે.
$y = a$ અને $\frac{dy}{dx} = 1$ મુકતા:
અસ્પર્શકની લંબાઈ $= \left| \frac{a}{1} \right| = a$.

(A) ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. ધારો કે સમય $t$ પર $X$ નું સ્થાન $OA$ પર $x(t) = 4t$ છે અને $Y$ નું સ્થાન $OB$ પર $y(t) = 3t$ છે.
ધારો કે $A$ એ સમય $t$ પર $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું ટૂંકું અંતર છે.
$\triangle OXY$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 = (4t)^2 + (3t)^2 - 2(4t)(3t) \cos(120^{\circ})$
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$,તેથી:
$A^2 = 16t^2 + 9t^2 - 24t^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$
$A^2 = 25t^2 + 12t^2 = 37t^2$
$A = \sqrt{37}t$
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2A \frac{dA}{dt} = 37(2t)$
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{A}$
$A = \sqrt{37}t$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{\sqrt{37}t} = \sqrt{37} \text{ km/h}$.
આમ,અંતર વધવાનો દર $\sqrt{37} \text{ km/h}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = -x^{2} + 6x - 3$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું પ્રથમ વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = -2x + 6$.
વિધેય ત્યારે વધતું વિધેય કહેવાય જ્યારે તેનું વિકલન શૂન્ય કરતા મોટું હોય,એટલે કે $\frac{dy}{dx} > 0$.
વિકલનને શૂન્ય કરતા મોટું લેતા:
$-2x + 6 > 0$.
બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતા:
$-2x > -6$.
$-2$ વડે ભાગતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા):
$x < 3$.
તેથી,વિધેય $x < 3$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$.
$\theta = 4x$ માટે આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + \cos 8x = 2 \cos^2 4x$ મળે છે.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 4x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 4x dx$
પ્રમાણિત સંકલન $\int \sec^2(ax) dx = \frac{\tan(ax)}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan 4x}{4} + c$
$I = \frac{\tan 4x}{8} + c$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$.
અહીં,ધારો કે $f(x) = x^{5}$.
તેથી,$f'(x) = 5x^{4}$.
આપેલ સંકલન $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4}+1)dx$ છે.
આપણે તેને $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx + \int e^{x}dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
સૂત્ર $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx = e^{x}x^{5}+c_1$ મળે છે.
આમ,કુલ સંકલન $e^{x}x^{5} + e^{x} + c$ થાય છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} d x$.
અંશને $x^{2}-1+2$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$I = \int \frac{x^{2}-1+2}{x^{2}-1} d x$.
$I = \int \left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} + \frac{2}{x^{2}-1} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{1}{x^{2}-1} d x$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} d x = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$:
$I = x + 2 \cdot \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.
$I = x + \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.

(A) ધારો કે $I = k \int_{0}^{1} x \cdot f(3x) \, dx$.
$t = 3x$ આદેશ લેતા,$dt = 3 \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 0$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 3$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = k \int_{0}^{3} \left(\frac{t}{3}\right) \cdot f(t) \cdot \left(\frac{dt}{3}\right)$
$I = \frac{k}{9} \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt$.
આપેલ છે કે $I = \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{k}{9} \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt = \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{k}{9} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k = 9$.

(D) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100}(\frac{\pi}{2} - x) - \cos^{100}(\frac{\pi}{2} - x)) dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos^{100} x - \sin^{100} x) dx$
$I = -\int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$
$I = -I$
$2I = 0$
$I = 0$.

(C) આપેલ વક્ર $x = 4 - y^2$ છે. વક્ર $Y$-અક્ષને જ્યાં $x = 0$ હોય ત્યાં છેદે છે,જે $4 - y^2 = 0$ આપે છે,તેથી $y = \pm 2$. છેદબિંદુઓ $(0, 2)$ અને $(0, -2)$ છે.
વક્ર $X$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ એ પ્રથમ ચરણમાં મળતા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
$A = 2 \int_{0}^{2} x \, dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$
$A = 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = 2 \left[ (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0) \right]$
$A = 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} \right]$
$A = 2 \left[ \frac{24 - 8}{3} \right] = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $3$ ઘાત લઈને અપૂર્ણાંક ઘાત દૂર કરવી પડશે:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{3}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
આનું સાદું રૂપ $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ થાય છે.
વિકલ સમીકરણની કક્ષા એ તેમાં રહેલા સૌથી ઉચ્ચ વિકલન છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
પરિમાણ એ સમીકરણને રેડિકલ અને અપૂર્ણાંકથી મુક્ત કર્યા પછી સૌથી ઉચ્ચ વિકલનની ઘાત છે,જે $3$ છે.
તેથી,કક્ષા અને પરિમાણ અનુક્રમે $2$ અને $3$ છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ જેનો ઢાળ $y$-અંતઃખંડ જેટલો છે,તે $y = mx + c$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઢાળ $m$ એ $y$-અંતઃખંડ $c$ જેટલો છે,તેથી $m = c$.
આ કિંમત મૂકતા,$y = cx + c = c(x+1)$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = c$ મળે છે.
હવે $c$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાંથી મૂકતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+1}$ મળે છે.
તેથી,$(x+1) \frac{dy}{dx} - y = 0$ એ માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

(C) આપેલ છે કે,$|a+b| = |a-b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|a+b|^2 = |a-b|^2$
$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$
$4(a \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ છે કે સદિશો $OA$ અને $OB$ ના માન $|OA| = 5$ અને $|OB| = 6$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \angle BOA = 60^{\circ}$ છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $OA \cdot OB = |OA| |OB| \cos \theta$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$OA \cdot OB = 5 \times 6 \times \cos 60^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$OA \cdot OB = 30 \times \frac{1}{2} = 15$.
આમ,$OA \cdot OB$ ની કિંમત $15$ છે.

(B) બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ધરાવતા સમતલને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સમતલમાં રહેલા બે સદિશો,જેમ કે $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધીએ છીએ.
આપેલ બિંદુઓ: $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$,$C(0, 2, 1)$.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{array}\right|$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1))$
$\vec{n} = \hat{i}(8) - \hat{j}(-4) + \hat{k}(4) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
આમ,સમતલને લંબ સદિશ $8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.

(D) અને $c$ ના સમતલમાં રહેલો સદિશ $b$ અને $c$ ના રૈખિક સંયોજન દ્વારા મળે છે. $a$ ને લંબ અને $b$ તથા $c$ ના સમતલમાં રહેલો સદિશ $a \times (b \times c)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપણે $b \times c$ ની ગણતરી કરીએ:
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 25) - \hat{j}(-1 + 15) + \hat{k}(5 - 6) = 23 \hat{i} - 14 \hat{j} - \hat{k}$.
હવે,આપણે $a \times (b \times c)$ ની ગણતરી કરીએ:
$a \times (b \times c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 14) - \hat{j}(-2 + 23) + \hat{k}(-28 - 69) = -17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$.
આમ,જરૂરી સદિશ $-17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$ છે.