એક જૂથ $(G, *)$ માં $10$ ઘટકો છે. $G$ ના ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા,જે તેમના પોતાના વ્યસ્ત છે,તે છે

$Q^{+}$ ના તમામ ધન સંમેય સંખ્યાઓના સમૂહમાં દ્વિ-ક્રિયા $*$ જે $a * b = \frac{ab}{2010}, \forall a, b \in Q^{+}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તેમાં $2010$ નો વ્યસ્ત શોધો.

અરિક્ત ગણ $X$ ના ઘાતગણ $P(X)$ માં,દ્રીકક્રિયા $*$ એ $A * B = A \cup B, \forall A, B \in P(X)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $*$ હેઠળ,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

બધા શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ પર,એક ક્રિયા $*$ ને $a * b = \frac{3ab}{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. આ જૂથમાં,$(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$ નો ઉકેલ શોધો.

સાબિત કરો કે $+: R \times R \rightarrow R$ અને $\times: R \times R \rightarrow R$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી દ્વિ-ક્રિયાઓ છે,પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div: R_* \times R_* \rightarrow R_*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ પર,નીચેનામાંથી કઈ ક્રિયા $*$ એ દ્વિ-આધારિત ક્રિયા (binary operation) છે?