KCET 2007 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) શેલનું કુલ દળ $M = 20 \,kg$ છે.
દળનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 2 : 3$ આપેલ છે.
તેથી,$m_1 = (2/5) \times 20 = 8 \,kg$ અને $m_2 = (3/5) \times 20 = 12 \,kg$ થાય.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
નાના ટુકડાનો વેગ $v_1 = 6 \,ms^{-1}$ લેતા,$8 \times 6 + 12 \times v_2 = 0$ મળે.
$48 + 12 v_2 = 0 \implies v_2 = -4 \,ms^{-1}$.
મોટા ટુકડાના વેગનું મૂલ્ય $4 \,ms^{-1}$ છે.
મોટા ટુકડાની ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96 \,J$ થાય.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{g'}{g} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$ મળે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$.
પદોને ગોઠવતા:
$R+h = R\sqrt{2}$.
$h = R(\sqrt{2}-1)$.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, સમગ્ર સિસ્ટમમાં કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
અહીં, $A_{1} = 8 \,cm^{2} = 8 \times 10^{-4} \,m^{2}$.
ટ્યુબની અંદરની ઝડપ $v_{1} = 0.15 \,m \,min^{-1} = \frac{0.15}{60} \,m \,s^{-1} = 0.0025 \,m \,s^{-1}$ છે.
$40$ છિદ્રોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{2} = 40 \times 10^{-8} \,m^{2}$ છે.
આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(8 \times 10^{-4}) \times (0.0025) = (40 \times 10^{-8}) \times v_{2}$
$v_{2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 0.0025}{40 \times 10^{-8}}$
$v_{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-8}} = \frac{200}{40} = 5 \,m \,s^{-1}$.
આમ, પ્રવાહી જે ઝડપે બહાર નીકળે છે તે $5 \,m \,s^{-1}$ છે.

(A) સાંકડી નળીઓ અથવા છિદ્રાળુ પદાર્થોમાં પ્રવાહીના ઉપર ચઢવા કે નીચે ઉતરવાની ઘટનાને કેશિકાત્વ કહેવામાં આવે છે.
વનસ્પતિના તંતુઓ સૂક્ષ્મ કેશિકા નળીઓના જાળા તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,કેશિકાત્વની ઘટનાને કારણે વનસ્પતિના તંતુઓમાં પાણી ઉપર ચઢે છે.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ક્ષિતિજ સમાંતર અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$H = \frac{R}{2}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
બંને બાજુ $\frac{u^2 \sin \theta}{g}$ વડે ભાગતા: $\frac{\sin \theta}{2} = \cos \theta$.
તેથી,$\tan \theta = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1}(2)$.

(A) ધારો કે જંકશન $C$ નું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા સમાન હોવાથી,બંને માટે $A$ અને $L$ સમાન છે.
તેથી,$K_1(100 - \theta) = K_2(\theta - 25)$.
ગોઠવતા,આપણને $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(100 - \theta) = 3(\theta - 25)$ મળે.
$200 - 2\theta = 3\theta - 75$.
$5\theta = 275$.
$\theta = 55^{\circ}C$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે:
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
આપેલ છે:
$\lambda_{m1} = 500 \,nm$,$T_1 = 6000 \,K$
$\lambda_{m2} = 400 \,nm$,$T_2 = ?$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$500 \,nm \times 6000 \,K = 400 \,nm \times T_2$
$T_2 = \frac{500 \times 6000}{400}$
$T_2 = 5 \times 1500$
$T_2 = 7500 \,K$
તેથી,તારાનું તાપમાન $7500 \,K$ થશે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ પ્રાપ્તિસ્થાનનું તાપમાન અને $T_2$ એ ઠારણનું તાપમાન કેલ્વિન $(K)$ માં છે.
આપેલ છે: $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ અને $T_2 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ અથવા $\frac{1}{4}$.
કાર્યક્ષમતાને $\eta = \frac{W}{Q_1}$ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા છે.
$Q_1 = 40 \ kJ$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{4} = \frac{W}{40 \ kJ}$.
તેથી,$W = \frac{40}{4} \ kJ = 10 \ kJ$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
આપેલ છે કે દબાણનો ઘન એ કદના ચોથા ઘાત સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે, તેથી $P^3 \propto V^{-4}$, જેનો અર્થ થાય છે $P^3 V^4 = \text{constant}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, આપણને $(P^3 V^4)^{1/3} = \text{constant}^{1/3}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $P V^{4/3} = \text{constant}$ થાય છે.
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત એડિબેટિક સમીકરણ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ સાથે કરતા, આપણને $\gamma = 4/3$ મળે છે.
આમ, વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = 1.33$ છે.

(B) અચળ દબાણે,જરૂરી ઉષ્મા $Q_p = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 2 \ moles$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10 \ K$,અને $Q_p = 310 \ J$ છે.
$310 = 2 \times C_p \times 10 \Rightarrow C_p = \frac{310}{20} = 15.5 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
સંબંધ $C_p - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R \approx 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$:
$C_V = C_p - R = 15.5 - 8.3 = 7.2 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ કદે,જરૂરી ઉષ્મા $Q_V = n C_V \Delta T$ છે.
$Q_V = 2 \times 7.2 \times 10 = 144 \ J$.

(A) આવેગ એ બળ અને સમયગાળાના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આવેગ = બળ $\times$ સમય
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[MLT^{-2}]$
સમયનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[T]$
તેથી,આવેગનું પારિમાણિક સૂત્ર = $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$.

(A) સરળ આવર્ત તરંગનું સમીકરણ $y = a \sin \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $y$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને કણનો વેગ મળે છે:
$v_p = \frac{dy}{dt} = a \cdot \frac{2 \pi v}{\lambda} \cos \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_{p, \max})$ ત્યારે મળે છે જ્યારે કોસાઇન પદ $1$ હોય:
$v_{p, \max} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ કણ વેગ એ તરંગ વેગ $(v)$ કરતા અડધો છે:
$v_{p, \max} = \frac{v}{2}$.
$v_{p, \max}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{v}{2} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
કંપવિસ્તાર $a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{\lambda}{4 \pi}$.

(C) આ પ્રશ્નમાં ડોપ્લર અસરના બે તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે.
પ્રથમ,દીવાલ એક અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિશીલ એન્જિન (સ્ત્રોત) પાસેથી અવાજ મેળવે છે. દીવાલ દ્વારા પ્રાપ્ત આવૃત્તિ $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ છે,જ્યાં $f = 1.2 \ kHz$,$v = 350 \ m/s$,અને $v_s = 50 \ m/s$ છે.
$f_1 = 1.2 \left( \frac{350}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{300} \right) = 1.4 \ kHz$.
બીજું,દીવાલ એક સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ આવૃત્તિ $f_1$ ને ડ્રાઈવર (અવલોકનકાર) તરફ પરાવર્તિત કરે છે,જે $v_o = 50 \ m/s$ ના વેગથી દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f' = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે.
$f' = 1.4 \left( \frac{350 + 50}{350} \right) = 1.4 \left( \frac{400}{350} \right) = 1.4 \times \frac{8}{7} = 1.6 \ kHz$.

(A) $l$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં ઊભી એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ ડૂબી જાય,ત્યારે તે $l' = \frac{l}{2}$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4l'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f'$ ના સમીકરણમાં $l' = \frac{l}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f' = \frac{v}{4(l/2)} = \frac{v}{2l}$.
આને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2l}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $f' = f$.

(C) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{H_2} M_{He}}{\gamma_{He} M_{H_2}}}$ થશે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે,$M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ અને $\gamma_{H_2} = \frac{7}{5}$.
હિલિયમ $(He)$ માટે,$M_{He} = 4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ અને $\gamma_{He} = \frac{5}{3}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{2}} = \sqrt{\frac{7 \times 3 \times 2}{5 \times 5}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(B) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં પ્રવાહ $I$ અને વોલ્ટેજ $V$ વચ્ચેનો ફેઝ એંગલ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{X_L - X_C}{R}$
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{200}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 20 \, \Omega$
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (10^{-3} / \pi)} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega$
આપેલ અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ છે.
આ કિંમતોને ફેઝ એંગલના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$
કારણ કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન.
આમ,સર્કિટનો ફેઝ એંગલ $\frac{\pi}{4}$ છે.

(C) ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$.
આપેલ છે, $\eta = 88 \% = 0.88$ અને $P_{out} = 880 \,W$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.88 = \frac{880}{P_{in}}$.
તેથી, $P_{in} = \frac{880}{0.88} = 1000 \,W$.
ઇનપુટ પાવર $P_{in} = V_{in} \times I_{in}$ દ્વારા પણ મળે છે, જ્યાં $V_{in} = 2200 \,V$.
આમ, $I_{in} = \frac{P_{in}}{V_{in}} = \frac{1000}{2200} \,A$.
$I_{in} = \frac{10}{22} \,A \approx 0.4545 \,A$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, ઇનપુટ પ્રવાહ $0.45 \,A$ મળે છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા સ્તર $n$ થી નીચલા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$N = 3$:
$3 = \frac{n_{1}(n_{1}-1)}{2} \Rightarrow n_{1}^2 - n_{1} - 6 = 0 \Rightarrow (n_{1}-3)(n_{1}+2) = 0$.
$n_{1} > 0$ હોવાથી,$n_{1} = 3$ મળે છે.
બીજા કિસ્સા માટે,$N = 6$:
$6 = \frac{n_{2}(n_{2}-1)}{2} \Rightarrow n_{2}^2 - n_{2} - 12 = 0 \Rightarrow (n_{2}-4)(n_{2}+3) = 0$.
$n_{2} > 0$ હોવાથી,$n_{2} = 4$ મળે છે.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ઝડપ $v_n = \frac{Ze^2}{2\varepsilon_0 hn}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v \propto \frac{1}{n}$.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{4}{3}$ થાય છે.

(D) રમન અસર માં, જ્યારે પ્રકાશ અણુઓ દ્વારા પ્રકીર્ણન પામે છે, ત્યારે પ્રકીર્ણિત પ્રકાશમાં આપાત આવૃત્તિ કરતા અલગ આવૃત્તિઓ જોવા મળે છે.
સ્ટોક્સ રેખાઓ એ પ્રકીર્ણિત પ્રકાશમાં જોવા મળતી વર્ણપટ રેખાઓ છે જેની આવૃત્તિ આપાત (મૂળ) આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોય છે.
આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ એ સમીકરણ $c = f\lambda$ દ્વારા વ્યસ્ત પ્રમાણમાં જોડાયેલા હોવાથી, ઓછી આવૃત્તિ એ લાંબી (વધારે) તરંગલંબાઈ સૂચવે છે.
તેથી, સ્ટોક્સ રેખાઓની તરંગલંબાઈ મૂળ રેખા કરતા વધારે હોય છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે આયનીકરણ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = R c h Z^2$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
લિથિયમ આયન $Li^{2+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
સૂત્રમાં $Z$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = R c h (3)^2 = 9 R c h$.
તેથી,$Li^{2+}$ ની આયનીકરણ ઉર્જા $9 h c R$ છે.

(A) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને એક-ચતુર્થાંશ ક્ષેત્રફળમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય.
એક કેપેસિટર જેમાં હવા ડાયઇલેક્ટ્રિક તરીકે છે,તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{3A}{4}$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (3A/4)}{d} = \frac{3}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3C}{4}$ છે.
બીજા કેપેસિટર જેમાં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક છે,તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{A}{4}$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{K}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{KC}{4}$ છે.
આ બે કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net} = C_1 + C_2$ થશે.
$C_{net} = \frac{3C}{4} + \frac{KC}{4} = \frac{C}{4}(K+3)$.

(D) જ્યારે બે કેપેસીટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે ઉર્જામાં થતો ઘટાડો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2$.
આપેલ છે: $C_1 = C_2 = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \ F$,$V_1 = 2 \ kV = 2000 \ V$,અને $V_2 = 1 \ kV = 1000 \ V$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}} \times (2000 - 1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} \times (1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6$
$\Delta U = 1.25 \ J$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં, બે $2 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Omega^{-1}$, તેથી $R_p = 1 \Omega$.
આદર્શ એમીટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે અને તે $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. આનાથી $4 \Omega$ નો અવરોધ શોર્ટ-સર્કિટ થાય છે, એટલે કે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ એ બેટરીનો આંતરિક અવરોધ $(1 \Omega)$, શ્રેણી અવરોધ $(2 \Omega)$ અને સમાંતર જોડાણ $(1 \Omega)$ નો સરવાળો છે.
$R_{net} = 1 \Omega + 2 \Omega + 1 \Omega = 4 \Omega$.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{net}} = \frac{4 \text{ V}}{4 \Omega} = 1 \text{ A}$ છે.
એમીટર $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી, સમગ્ર પ્રવાહ $I$ આદર્શ એમીટરમાંથી પસાર થશે.

(B) ડ્રિફ્ટ વેગનું સૂત્ર $v_{d} = \frac{I}{n e A}$ છે।
અહીં, $I = 5 \,A$, $n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, અને $A = 4 \times 10^{-6} \,m^{2}$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$v_{d} = \frac{5}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{5}{5 \times 1.6 \times 4 \times 10^{26-19-6}}$
$v_{d} = \frac{1}{6.4 \times 10^{1}}$
$v_{d} = \frac{1}{64} = 0.015625 \,ms^{-1} = 1.56 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$.

(B) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ બલ્બ માટે: $R_1 = \frac{220^2}{25} = 1936 \ \Omega$.
બીજા બલ્બ માટે: $R_2 = \frac{220^2}{100} = 484 \ \Omega$.
બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R_{net} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420 \ \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{supply}}{R_{net}} = \frac{440}{2420} = \frac{2}{11} \ A$ છે.
$25 \ W$ ના બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = I \times R_1 = \frac{2}{11} \times 1936 = 352 \ V$ છે.
$100 \ W$ ના બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = I \times R_2 = \frac{2}{11} \times 484 = 88 \ V$ છે.
$25 \ W$ ના બલ્બ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(352 \ V)$ તેના રેટ કરેલા વોલ્ટેજ $(220 \ V)$ કરતા વધારે હોવાથી,$25 \ W$ નો બલ્બ ફ્યુઝ થઈ જશે.

(A) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે સંતુલિત સ્થિતિ $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $P=10 \Omega, Q=20 \Omega, R=15 \Omega, S=30 \Omega$.
ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{P}{R} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{Q}{S} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
અહીં $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
હવે,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: એક $(P+R)$ અને બીજી $(Q+S)$.
પ્રથમ શાખાનો અવરોધ,$R_1 = P + R = 10 + 15 = 25 \Omega$.
બીજી શાખાનો અવરોધ,$R_2 = Q + S = 20 + 30 = 50 \Omega$.
$R_1$ અને $R_2$ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega$.
$V = 6 \text{ V}$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{50/3} = \frac{6 \times 3}{50} = \frac{18}{50} = 0.36 \text{ A}$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $K = qV$ એ ગતિઊર્જા છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $V = 1000 \ V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 0.9 \times 10^{-12} \ m$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$E_{k} = h\nu - \Phi$
જ્યાં $E_{k}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi = h\nu_{0}$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્યવિધેય છે ($\nu_{0}$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે).
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$y = E_{k}$
$x = \nu$
$m = h$ (ઢાળ)
$c = -\Phi$ (y-અંતઃખંડ)
$1$. જ્યારે $\nu < \nu_{0}$ હોય,ત્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જા કાર્યવિધેય કરતા ઓછી હોય છે,તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થતું નથી અને $E_{k} = 0$ રહે છે.
$2$. જ્યારે $\nu = \nu_{0}$ હોય,ત્યારે $E_{k} = 0$ થાય છે.
$3$. જ્યારે $\nu > \nu_{0}$ હોય,ત્યારે $E_{k}$ એ આવૃત્તિ $\nu$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આલેખ $D$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ સુધી $E_{k}$ શૂન્ય રહે છે,અને ત્યારબાદ તે રેખીય રીતે વધે છે.

(B) થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા (કાર્ય વિધેય) $\Phi = h \nu_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ અને $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
ધાતુ $A$ માટે:
$\Phi_A = h \nu_A = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.8 \times 10^{14}) \ J = 11.88 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $\Phi_A = \frac{11.88 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.7425 \ eV$.
ધાતુ $B$ માટે:
$\Phi_B = h \nu_B = (6.6 \times 10^{-34}) \times (2.2 \times 10^{14}) \ J = 14.52 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $\Phi_B = \frac{14.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.9075 \ eV$.
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = 0.825 \ eV$ છે.
અહીં $E > \Phi_A$ $(0.825 \ eV > 0.7425 \ eV)$ અને $E < \Phi_B$ $(0.825 \ eV < 0.9075 \ eV)$ હોવાથી,ફોટોઈલેક્ટ્રોન માત્ર ધાતુ $A$ માંથી જ ઉત્સર્જિત થશે.

(A) પ્રકાશનો શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત પ્રકાશને એક સતત તરંગ તરીકે ગણે છે. આ સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગની ઉર્જા તેની તીવ્રતા (કંપવિસ્તાર) પર આધાર રાખે છે. જો કે,ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં. વધુમાં,ઉત્સર્જન ત્વરિત થાય છે,જે ઉર્જા શોષણ માટે સમયના વિલંબની શાસ્ત્રીય આગાહીથી વિરોધાભાસી છે. તેથી,પ્રકાશનો વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર સમજાવવામાં નિષ્ફળ રહ્યો.

(C) બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200 \, \Omega$ છે.
બલ્બ તેના રેટ કરેલ પાવર પર કાર્ય કરે તે માટે, પ્રવાહ $I = \frac{P}{V} = \frac{50}{100} = 0.5 \, A$ હોવો જોઈએ.
જ્યારે તેને $200 \, V$ $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z = \frac{V_{source}}{I} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$ થાય છે.
$RL$ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે, જ્યાં $X_L = 2\pi fL$.
કિંમતો મૂકતા: $400 = \sqrt{200^2 + X_L^2}$.
$160000 = 40000 + X_L^2 \implies X_L^2 = 120000$.
$X_L = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \, \Omega$.
$X_L = 2\pi fL$ હોવાથી, $200\sqrt{3} = 2 \times \pi \times 50 \times L$.
$L = \frac{200\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \approx 1.1 \, H$.

(C) કોઈલમાં ઉદ્ભવતા emf નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|e| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1 = 4 \,A$.
અંતિમ વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2 = 0 \,A$.
વિદ્યુતપ્રવાહમાં ફેરફાર $dI = I_2 - I_1 = 0 - 4 = -4 \,A$.
સમયગાળો $dt = 0.1 \,s$.
ઉદ્ભવતું emf $|e| = 100 \,V$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$100 = L \times \frac{|-4|}{0.1}$.
$100 = L \times \frac{4}{0.1}$.
$100 = L \times 40$.
$L = \frac{100}{40} = 2.5 \,H$.
તેથી,કોઈલનું આત્મપ્રેરકત્વ $2.5 \,H$ છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં,વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના તમામ ઘટકો સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,જેને પ્રકાશનો વેગ કહેવામાં આવે છે,જે $c$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ મૂલ્ય આશરે $3 \times 10^{8} \ m/s$ છે.
જોકે તેમની આવૃત્તિઓ અને તરંગલંબાઈ અલગ-અલગ હોય છે,પરંતુ શૂન્યાવકાશમાં તેમનો વેગ અચળ રહે છે.

(D) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
આપેલ છે: $F = 10 \text{ mg wt} = 10 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 10 \text{ ms}^{-2} = 0.1 \text{ N}$.
અંતર $r = 0.6 \text{ m}$.
વિદ્યુતભારો સમાન હોવાથી,ધારો કે $q_{1} = q_{2} = q$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = (9 \times 10^{9}) \times \frac{q^{2}}{(0.6)^{2}}$.
$q^{2} = \frac{0.1 \times 0.36}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.036}{9 \times 10^{9}} = 0.004 \times 10^{-9} = 4 \times 10^{-12} \text{ C}^{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $q = \sqrt{4 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-6} \text{ C} = 2 \mu\text{C}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
અહીં સ્થિતિમાન $V$ માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_x = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $V = 3x^2 + 5$.
વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 6x$.
તેથી,$E_x = -6x$.
$(-2, 1, 0)$ બિંદુ પર,$x$-યામ $-2$ છે.
$E_x$ ના સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$E_x = -6(-2) = +12 \ Vm^{-1}$.
આમ,$(-2, 1, 0)$ બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $+12 \ Vm^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $8$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$, જે આપણને $R = 2r$ આપે છે.
મોટા ટીપાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 8q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4V'$ થાય.
આપેલ છે કે $V = 20 \,V$, તેથી $20 = 4V'$.
આમ, $V' = \frac{20}{4} = 5 \,V$ મળે.

(D) $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાહકો વચ્ચેનું એકમ લંબાઈ દીઠ બળ $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। જો પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય તો બળ આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે।
$A$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{AC})$:
$F_{AC} = \frac{\mu_0 I_A I_C L}{2 \pi r_{AC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 3 \times 1}{0.05} = \frac{12 \times 10^{-7}}{0.05} = 2.4 \times 10^{-5} \, N$ ($A$ તરફ, આકર્ષી)।
$B$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{BC})$:
$F_{BC} = \frac{\mu_0 I_B I_C L}{2 \pi r_{BC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4 \times 3 \times 1}{0.08} = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.08} = 3.0 \times 10^{-5} \, N$ ($B$ તરફ, આકર્ષી)।
અહીં $F_{BC} > F_{AC}$ હોવાથી, પરિણામી બળ $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = (3.0 - 2.4) \times 10^{-5} \, N = 0.6 \times 10^{-5} \, N$ જે $B$ તરફ લાગશે।

(B) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$N=1$ આંટા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{0} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ છે.
જ્યારે ગૂંચળાને સમાન લંબાઈના તારનો ઉપયોગ કરીને $N' = 3$ આંટા થાય તે રીતે ફરીથી વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{3}$ થાય છે.
કેન્દ્ર પર નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \frac{\mu_{0} N' I}{2 r'} = \frac{\mu_{0} (3) I}{2 (r/3)}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $B' = \frac{9 \mu_{0} I}{2 r} = 9 B_{0}$ મળે છે.

(B) લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = Bqv$.
આ ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં પરિણમે છે: $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
બંને માટે ગતિઊર્જા $E$ સમાન હોવાથી,આપણે $p = \sqrt{2mE}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{Bq}$.
પ્રોટોન $(p)$ અને ડ્યુટેરોન $(d)$ માટે,વિદ્યુતભાર સમાન છે $(q_p = q_d = e)$ અને ગતિઊર્જા સમાન છે $(E_p = E_d = E)$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_p}{r_d} = \frac{\sqrt{2m_p E} / (Be)}{\sqrt{2m_d E} / (Be)} = \sqrt{\frac{m_p}{m_d}}$ થાય.
ડ્યુટેરોનનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતા બમણું હોવાથી $(m_d = 2m_p)$,આપણને $\frac{r_p}{r_d} = \sqrt{\frac{m_p}{2m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$Bqv = \frac{mv^2}{r}$
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,આપણે $Bq = m\omega$ લખી શકીએ.
$\omega = 2\pi f$ મૂકતા,આપણને $Bq = m(2\pi f)$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{Bq}{2\pi m}$ મળે છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = R_{0} A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{0} \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ છે.
ન્યુક્લિયસનું કદ $(V)$ એ ગોળાના કદના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$.
$R$ નું સૂત્ર કદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{1/3})^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A$
અહીં $\frac{4}{3}$,$\pi$,અને $R_{0}^{3}$ અચળાંકો હોવાથી,$V \propto A$ મળે છે.
તેથી,ન્યુક્લિયસનું કદ તેના દળ ક્રમાંક $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) લેપ્ટોન એ પ્રાથમિક કણોનો એક વર્ગ છે જે પ્રબળ ન્યુક્લિયર આંતરક્રિયાઓમાં ભાગ લેતા નથી. તેઓ મુખ્યત્વે વિદ્યુતચુંબકીય અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળો દ્વારા આંતરક્રિયા કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન એ લેપ્ટોન પરિવારનો એક મૂળભૂત કણ છે.

(B) કોઈપણ રેડિયોએક્ટિવ તત્વ તેના પોતાના આઈસોટોપમાં ફેરવાય તે માટે પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ સમાન રહેવો જોઈએ,જ્યારે પરમાણુ દળાંક $(A)$ બદલાય છે.
$\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળાંક $4$ જેટલો ઘટે છે $(_{2}He^{4})$.
$\beta$-કણના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(_{-1}\beta^{0})$.
$3$ વિઘટન પછી પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ અચળ રાખવા માટે,આપણે ફેરફારને સંતુલિત કરવો પડે: $\Delta Z = (n_{\alpha} \times -2) + (n_{\beta} \times 1) = 0$.
અહીં $n_{\alpha} + n_{\beta} = 3$ આપેલ છે,જો $n_{\alpha} = 1$ લઈએ તો $(-2) + (2) = 0$ થાય છે.
તેથી,$1$ $\alpha$-કણ અને $2$ $\beta$-કણોનું ઉત્સર્જન સમાન પરમાણુ ક્રમાંક જાળવી રાખે છે,જે આઈસોટોપ બનાવે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ નીચે મુજબ છે: $N = N_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
અહીં,ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_{0} = 10000$,અર્ધ-આયુષ્ય $T = 20 \text{ દિવસ}$,અને વીતેલો સમય $t = 10 \text{ દિવસ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10/20}$
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}$
$N = \frac{10000}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા:
$N = \frac{10000}{1.414} \approx 7072.13$
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં ગણતા,આપણને $N \approx 7070$ મળે છે.

(A) અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $(F)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
અહીં $f_1 = 0.2 \,m$,$f_2 = 0.2 \,m$ અને $d = 0.5 \,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} - \frac{0.5}{(0.2)(0.2)}$
$\frac{1}{F} = 5 + 5 - \frac{0.5}{0.04}$
$\frac{1}{F} = 10 - 12.5$
$\frac{1}{F} = -2.5$
તેથી,$F = -\frac{1}{2.5} = -0.4 \,m$.

(C) બે હેડલાઇટ માંડ અલગ દેખાય (resolved) તે માટેની શરત રેલેના માપદંડ (Rayleigh criterion) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$, જ્યાં $\theta$ એ કોણીય વિભેદન છે, $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ આંખની કીકીનો વ્યાસ છે.
વળી, $\theta = \frac{d}{x}$, જ્યાં $d$ એ હેડલાઇટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $x$ એ અવલોકનકારથી જીપનું અંતર છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d}{x} = 1.22 \frac{\lambda}{D} \Rightarrow x = \frac{d \times D}{1.22 \times \lambda}$.
આપેલ છે: $d = 1.2 \,m$, $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, $\lambda = 5896 \,\text{Å} = 5896 \times 10^{-10} \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{1.2 \times 2 \times 10^{-3}}{1.22 \times 5896 \times 10^{-10}} \approx 3336 \,m$.
કિલોમીટરમાં ફેરવતા: $x \approx 3.34 \,km$.

(B) કાટકોણ સમદ્વિબાજુ પ્રિઝમની એક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ વિચલન પામ્યા વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશ કરે છે.
જ્યારે તે કર્ણ (hypotenuse) પાસે પહોંચે છે,ત્યારે આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ થાય છે.
કિરણ કર્ણને સ્પર્શીને જતું હોવાથી,વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ છે.
આમ,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ જેટલો છે,તેથી $C = 45^{\circ}$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{1}{\sin C}$ છે.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,$\mu = \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\mu \approx 1.414$.

(C) પ્રિઝમની વિભાજન શક્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\delta_{B} - \delta_{R}}{\delta_{y}}$ છે,જ્યાં $\delta_{B}$ અને $\delta_{R}$ એ વાદળી અને લાલ કિરણો માટેનું વિચલન છે,અને $\delta_{y}$ એ સરેરાશ વિચલન છે,જે $\delta_{y} = \frac{\delta_{B} + \delta_{R}}{2}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
પ્રથમ પ્રિઝમ માટે:
$\delta_{B1} = 12^{\circ}$,$\delta_{R1} = 8^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{12^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_{1} = \frac{12^{\circ} - 8^{\circ}}{10^{\circ}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
બીજા પ્રિઝમ માટે:
$\delta_{B2} = 14^{\circ}$,$\delta_{R2} = 10^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{14^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_{2} = \frac{14^{\circ} - 10^{\circ}}{12^{\circ}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
વિભાજન શક્તિનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{2/5}{1/3} = \frac{2}{5} \times 3 = \frac{6}{5}$ છે.

(B) હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$ છે.
$C = \sin^{-1}(0.667) \approx 41.8^{\circ} \approx 42^{\circ}$.
અહીં આપાતકોણ $i = 50^{\circ}$ એ ક્રાંતિકોણ $C = 42^{\circ}$ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રકાશનું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનમાં,પરાવર્તન કોણ $r$ એ આપાતકોણ $i$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $r = 50^{\circ}$.
વિચલન $\delta$ એ આપાત કિરણના મૂળ માર્ગ અને પરાવર્તિત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ભૂમિતિ મુજબ,વિચલન $\delta = 180^{\circ} - (i + r) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ થાય.

(B) માધ્યમમાં પદાર્થની આભાસી ઊંડાઈ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{વક્રીભવનાંક}}$.
પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $2d$ છે. તે બે અમિશ્રણીય પ્રવાહીઓથી અડધું ભરેલું છે,તેથી દરેક પ્રવાહીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d$ છે.
પ્રથમ પ્રવાહી માટે,જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = \sqrt{2}$ છે,તેની આભાસી ઊંડાઈ $x_1$ છે:
$x_1 = \frac{d}{\sqrt{2}}$
બીજા પ્રવાહી માટે,જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = n$ છે,તેની આભાસી ઊંડાઈ $x_2$ છે:
$x_2 = \frac{d}{n}$
પાત્રના તળિયાની કુલ આભાસી ઊંડાઈ એ બંને સ્તરોની આભાસી ઊંડાઈનો સરવાળો છે:
$\text{કુલ આભાસી ઊંડાઈ} = x_1 + x_2 = \frac{d}{\sqrt{2}} + \frac{d}{n}$
છેદ સમાન કરતા:
$\text{કુલ આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{dn + d\sqrt{2}}{n\sqrt{2}} = \frac{d(n + \sqrt{2})}{n\sqrt{2}}$

(B) ડાયોડનો રિવર્સ બાયસ અવરોધ $(R)$ એ વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફાર $(\Delta V)$ અને પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
વોલ્ટેજમાં ફેરફાર, $\Delta V = 1 \, V$
પ્રવાહમાં ફેરફાર, $\Delta I = 0.5 \, \mu A = 0.5 \times 10^{-6} \, A$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{\Delta V}{\Delta I}$
$R = \frac{1}{0.5 \times 10^{-6}} \, \Omega$
$R = \frac{1}{0.5} \times 10^{6} \, \Omega$
$R = 2 \times 10^{6} \, \Omega$
તેથી, રિવર્સ બાયસ અવરોધ $2 \times 10^{6} \, \Omega$ છે.

(D) આપેલ સત્યતા કોષ્ટક દર્શાવે છે કે જ્યારે $A$ અથવા $B$ અથવા બંને $0$ હોય ત્યારે આઉટપુટ $Y$ એ $1$ મળે છે,અને જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $1$ હોય ત્યારે જ આઉટપુટ $Y$ એ $0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક સત્યતા કોષ્ટક છે,જે $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે.

(A) $p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ઉમેરવાને કારણે મોબાઈલ હોલ્સની ઘનતા વાહક ઇલેક્ટ્રોનની ઘનતા કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી,બહુમતી ચાર્જ વાહકો હોલ્સ છે અને લઘુમતી ચાર્જ વાહકો વાહક (મુક્ત) ઇલેક્ટ્રોન છે.

(D) $LASER$ ક્રિયા નીચેની મૂળભૂત પ્રક્રિયાઓ પર આધારિત છે:
$(i)$ પોપ્યુલેશન ઇન્વર્ઝન: એવી સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરવી જ્યાં ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ કરતા ઉત્તેજિત અવસ્થામાં વધુ અણુઓ હોય.
(ii) સ્ટીમ્યુલેટેડ એમિશન: એક આપાત ફોટોન ઉત્તેજિત અણુને બીજા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરવા માટે પ્રેરે છે જે તબક્કો,આવૃત્તિ અને દિશામાં સમાન હોય છે.
(iii) એમ્પ્લીફિકેશન: ઓપ્ટિકલ કેવિટીની અંદર સ્ટીમ્યુલેટેડ એમિશનનું પુનરાવર્તન કરીને પ્રકાશની તીવ્રતા વધારવાની પ્રક્રિયા.
તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં $n$-માં ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ છે,જ્યાં $n$ એ ગૌણ અધિકતમનો ક્રમ છે.
લાલ પ્રકાશ $(\lambda_1 = 6500 Å)$ ના બીજા ગૌણ અધિકતમ $(n=2)$ માટે: $x_2 = \frac{(2(2)+1) \lambda_1 D}{2a} = \frac{5 \lambda_1 D}{2a}$.
અજ્ઞાત તરંગલંબાઈ $(\lambda_2)$ ના ત્રીજા ગૌણ અધિકતમ $(n=3)$ માટે: $x_3 = \frac{(2(3)+1) \lambda_2 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
જ્યારે અધિકતમ સંપાત થાય છે,ત્યારે $x_2 = x_3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{5 \lambda_1 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $5 \lambda_1 = 7 \lambda_2$ મળે છે.
$\lambda_1 = 6500 Å$ મૂકતા,$5 \times 6500 = 7 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{32500}{7} Å \approx 4642.8 Å$.

(B) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,જ્યારે પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત હોય,ત્યારે આપાતકોણ એ ધ્રુવીભવન કોણ $(\theta_p)$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે,$\theta_p = 60^{\circ}$.
કાચનો વક્રીભવનાંક $(\mu_g)$ એ $\mu_g = \tan \theta_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_g = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v_g)$ નો ગુણોત્તર છે:
$\mu_g = \frac{c}{v_g}$.
કિંમતો મૂકતા,$\sqrt{3} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{v_g}$.
$v_g = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \text{ m/s} = \sqrt{3} \times 10^8 \text{ m/s}$.

(D) દ્રાવણ $A$ માટે: $L_{1} = 20 \ cm$,$\theta_{1} = +38^{\circ}$. ધારો કે સાંદ્રતા $C_{1}$ છે. વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ $\alpha_{1} = \frac{\theta_{1}}{L_{1} C_{1}} = \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}}$ છે.
દ્રાવણ $B$ માટે: $L_{2} = 30 \ cm$,$\theta_{2} = -24^{\circ}$ (ડાબી બાજુ). ધારો કે સાંદ્રતા $C_{2}$ છે. વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ $\alpha_{2} = \frac{\theta_{2}}{L_{2} C_{2}} = \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}}$ છે.
મિશ્રણમાં,કદનો ગુણોત્તર $1:2$ છે. તેથી,નવી સાંદ્રતા $C_{1}' = \frac{C_{1}}{3}$ અને $C_{2}' = \frac{2C_{2}}{3}$ થશે.
$l = 30 \ cm$ ની પથ લંબાઈ માટે કુલ પ્રકાશીય પરિભ્રમણ $\theta = (\alpha_{1} C_{1}' + \alpha_{2} C_{2}') l$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}} \cdot \frac{C_{1}}{3} + \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}} \cdot \frac{2 C_{2}}{3} \right) \times 30$.
$\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{60} - \frac{48^{\circ}}{90} \right) \times 30 = \left( \frac{19^{\circ}}{30} - \frac{16^{\circ}}{30} \right) \times 30 = 19^{\circ} - 16^{\circ} = +3^{\circ}$.
પરિણામ ધન હોવાથી,તે $3^{\circ}$ નું જમણી બાજુનું પરિભ્રમણ છે.

(D) સુસંબદ્ધ ઉદગમો માટે,મધ્યસ્થ અધિકતમ પર તીવ્રતા $I_{0} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને ઉદગમો સમાન કંપવિસ્તાર $A$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની વ્યક્તિગત તીવ્રતા સમાન છે,ધારો કે $I_{1} = I_{2} = I$.
આમ,$I_{0} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I})^2 = 4I$.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક વ્યક્તિગત ઉદગમની તીવ્રતા $I = \frac{I_{0}}{4}$ છે.
જ્યારે ઉદગમો અસુસંબદ્ધ હોય,ત્યારે વ્યતિકરણ પદ સમય સાથે સરેરાશ શૂન્ય થઈ જાય છે. તેથી,પરિણામી તીવ્રતા એ વ્યક્તિગત તીવ્રતાનો સરવાળો છે: $I_{res} = I_{1} + I_{2} = I + I = 2I$.
$I = \frac{I_{0}}{4}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $I_{res} = 2 \times (\frac{I_{0}}{4}) = \frac{I_{0}}{2}$ મળે છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની અડધી કોણીય પહોળાઈ $\theta$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d}$.
આપેલ તરંગલંબાઇ $\lambda = 589 \ nm = 589 \times 10^{-9} \ m$.
આપેલ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.589 \ mm = 0.589 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{0.589 \times 10^{-3}}$
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-6}} = 10^{-3} = 0.001$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(0.001)$.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{2r B_H}{\mu_0 N} \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે, $N$ આંટાની સંખ્યા છે અને $\theta$ કોણાવર્તન છે。
ગેલ્વેનોમીટર $V$ emf ધરાવતા સેલ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે $(V_A = V_B = V)$。
$V = IR$ હોવાથી, $I = V/R$ મળે. બંને માટે $R$ સમાન $(8 \Omega)$ હોવાથી, પ્રવાહ $I_A$ અને $I_B$ સમાન છે。
તેથી, $\frac{2 r_A B_H}{\mu_0 N_A} \tan \theta_A = \frac{2 r_B B_H}{\mu_0 N_B} \tan \theta_B$.
સાદુરૂપ આપતા, $\frac{r_A \tan \theta_A}{N_A} = \frac{r_B \tan \theta_B}{N_B}$ મળે。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r_A = 8 \text{ cm}$, $r_B = 16 \text{ cm}$, $N_A = 2$, $\theta_A = 30^{\circ}$, $\theta_B = 60^{\circ}$.
$\frac{8 \tan 30^{\circ}}{2} = \frac{16 \tan 60^{\circ}}{N_B}$.
$4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16 \times \sqrt{3}}{N_B}$.
$N_B = \frac{16 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3}{4} = 12$ આંટા.