KCET 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) हम जानते हैं कि,यदि $a = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{\alpha_{2}} \cdot p_{3}^{\alpha_{3}} \dots$
तो $a$ के धनात्मक भाजकों की कुल संख्या $T(a) = (\alpha_{1} + 1)(\alpha_{2} + 1)(\alpha_{3} + 1) \dots$ है।
दिया गया है,$252 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7^{1}$
यहाँ,$\alpha_{1} = 2, \alpha_{2} = 2, \alpha_{3} = 1$
$\therefore T(252) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1)$
$= 3 \cdot 3 \cdot 2$
$= 18$

(C) दिया गया व्यंजक $7^{2 \log _{7} 5}$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $n \log _{a} x = \log _{a} x^{n}$ का उपयोग करने पर:
$7^{\log _{7} 5^{2}}$
सर्वसमिका $a^{\log _{a} x} = x$ (जहाँ $x > 0$) का उपयोग करने पर:
$5^{2} = 25$
अतः,सही मान $25$ है।

(B) हैंडशेकिंग लेम्मा के अनुसार,एक ग्राफ में सभी शीर्षों की डिग्री का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है,जो एक सम संख्या है।
मान लीजिए $V_{odd}$ विषम डिग्री वाले शीर्षों का सेट है और $V_{even}$ सम डिग्री वाले शीर्षों का सेट है।
डिग्री का योग $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v) + \sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v) = 2|E|$ है।
चूंकि $\sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v)$ हमेशा सम होता है,इसलिए कुल योग को सम होने के लिए $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v)$ को भी सम होना चाहिए।
$m$ विषम संख्याओं का योग सम होने के लिए,$m$ को एक सम संख्या होना चाहिए।
इसलिए,विषम डिग्री वाले शीर्षों की संख्या $m$ हमेशा सम होती है।

(D) माना $z = \frac{(1+i)^{2}}{1-i}$.
अंश का विस्तार करने पर: $(1+i)^{2} = 1^{2} + i^{2} + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$.
अतः,$z = \frac{2i}{1-i}$.
सरल करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करें:
$z = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^{2}}{1 - i^{2}} = \frac{2i - 2}{1 - (-1)} = \frac{2i - 2}{2} = i - 1$.
इस प्रकार,$z = -1 + i$.
एक सम्मिश्र संख्या $z = a + bi$ का संयुग्मी $\bar{z} = a - bi$ होता है।
इसलिए,$-1 + i$ का संयुग्मी $-1 - i$ है।

(B) माना $z = (1+i)^{5}$.
सबसे पहले,$1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (\sqrt{2})^{5}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})^{5} = 4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
$z$ का कोणांक $\frac{5\pi}{4}$ है।
चूंकि मुख्य कोणांक $(-\pi, \pi]$ अंतराल में होना चाहिए,इसलिए $\frac{5\pi}{4}$ से $2\pi$ घटाने पर:
$\frac{5\pi}{4} - 2\pi = -\frac{3\pi}{4}$.
अतः,मुख्य आयाम $-\frac{3\pi}{4}$ है।

(A) माना $z = i^{i}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(z) = i \ln(i)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $i = e^{i(\pi/2 + 2n\pi)}$ होता है। मुख्य मान के लिए $n=0$ लेने पर,$\ln(i) = i\pi/2$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\ln(z) = i(i\pi/2) = i^{2}(\pi/2) = -\pi/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$z = e^{-\pi/2}$ है।
चूंकि $e^{-\pi/2}$ एक पूर्णतः वास्तविक संख्या है,इसे $e^{-\pi/2} + 0i$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस प्रकार,$i^{i}$ का काल्पनिक भाग $0$ है।

(A) हम जानते हैं कि $1+\omega+\omega^{2}=0$ और $\omega^{3}=1$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $(1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega^{4})(1+\omega^{8})$
$= (1+\omega)(1+\omega^{2})(1+\omega)(1+\omega^{2})$
$= [(1+\omega)(1+\omega^{2})]^{2}$
$= [1+\omega^{2}+\omega+\omega^{3}]^{2}$
$= [1+(\omega^{2}+\omega)+1]^{2}$
$= [1+(-1)+1]^{2}$
$= [1]^{2} = 1$.

(C) माना योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)}$ है।
सामान्य पद को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2} \right)$.
अब,$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जहाँ मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$.
$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+2-2}{2(3n+2)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{6n+4} \right) = \frac{n}{6n+4}$.

(D) विस्तार $(x+a)^{n}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ है।
दिए गए विस्तार $\left(3x - \frac{1}{2x}\right)^{8}$ के लिए,$n = 8$ है।
नौवां पद $(T_{9})$ ज्ञात करने के लिए,$r+1 = 9$ रखने पर,$r = 8$ प्राप्त होता है।
सूत्र में $n = 8$,$r = 8$,$x = 3x$,और $a = -\frac{1}{2x}$ रखने पर:
$T_{9} = {}^{8}C_{8} (3x)^{8-8} \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot (3x)^{0} \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{(-1)^{8}}{2^{8} x^{8}}$
$T_{9} = \frac{1}{256x^{8}}$

(A) हमारे पास है,$5^{124} = (5^3)^{41} \cdot 5$.
चूंकि $5^3 = 125$,हम लिख सकते हैं $5^3 \equiv 1 \pmod{124}$.
अतः,$(5^3)^{41} \equiv 1^{41} \equiv 1 \pmod{124}$.
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $(5^3)^{41} \cdot 5 \equiv 1 \cdot 5 \pmod{124}$.
इस प्रकार,$5^{124} \equiv 5 \pmod{124}$.
शेषफल $5$ है.

(B) हमारे पास है,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ}$
चूँकि $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$,इसलिए $\sin(72.5^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - 17.5^{\circ}) = \cos(17.5^{\circ})$।
अतः,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ} = \sin ^{2} 17.5^{\circ} + \cos ^{2} 17.5^{\circ}$।
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\tan ^{2} 45^{\circ} = 1^{2} = 1$।
अतः,यह व्यंजक $\tan ^{2} 45^{\circ}$ के बराबर है।

(D) दिया गया है $\sin 3 \theta = \sin \theta$.
$\sin 3 \theta - \sin \theta = 0$
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos 2 \theta \sin \theta = 0$
इसका अर्थ है $\cos 2 \theta = 0$ या $\sin \theta = 0$.
यदि $\sin \theta = 0$ है,तो $\theta = n \pi$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ के लिए,हल $\theta = 0, \pi, 2 \pi$ हैं।
यदि $\cos 2 \theta = 0$ है,तो $2 \theta = (2n+1) \frac{\pi}{2} \implies \theta = (2n+1) \frac{\pi}{4}$.
$0 \le \theta \le 2 \pi$ के लिए,हल $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $3 + 4 = 7$ है।

(A) $\triangle ABC$ में,$\angle A=30^{\circ}$ और $BC=10 \text{ cm}$ है।
माना $R$,$\triangle ABC$ की परिवृत्त त्रिज्या है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{10}{\sin 30^{\circ}} = 2R$।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{10}{1/2} = 2R$,जिसका अर्थ है $20 = 2R$,अतः $R = 10 \text{ cm}$।
परिवृत्त का क्षेत्रफल $\pi R^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \pi (10)^2 = 100 \pi \text{ cm}^2$।

(B) त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$,माध्यिका $AD$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना $A = (2, 3)$,$G = (7, 5)$,और $D = (x, y)$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$G$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$G = \left(\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2+1}, \frac{2 \cdot y + 1 \cdot 3}{2+1}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$7 = \frac{2x + 2}{3}$ $\Rightarrow 21 = 2x + 2$ $\Rightarrow 2x = 19$ $\Rightarrow x = \frac{19}{2}$
$5 = \frac{2y + 3}{3}$ $\Rightarrow 15 = 2y + 3$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$
अतः,बिंदु $D$ के निर्देशांक $\left(\frac{19}{2}, 6\right)$ हैं।

(D) दिए गए शीर्ष $A(0,0)$,$B(0, \frac{3}{2})$ और $C(-5,0)$ हैं।
चूंकि $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर है,$AB$,$y$-अक्ष पर स्थित है और $AC$,$x$-अक्ष पर स्थित है।
इसका अर्थ है कि यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण शीर्ष $A(0,0)$ पर है।
एक समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण स्थित होता है।
अतः,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र $(0,0)$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0,3)$ पर स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ है। अतः केंद्र $(\pm r, 3)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x \mp r)^{2} + (y-3)^{2} = r^{2}$ है।
चूँकि वृत्त $X$-अक्ष पर $8$ इकाई का अंतःखंड बनाता है,अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^{2}-k^{2}} = 8$ है।
यहाँ $k=3$ है,इसलिए $2\sqrt{r^{2}-3^{2}} = 8 \implies \sqrt{r^{2}-9} = 4 \implies r^{2}-9 = 16 \implies r^{2} = 25 \implies r = 5$.
केंद्र $(\pm 5, 3)$ है।
समीकरण $(x \mp 5)^{2} + (y-3)^{2} = 5^{2}$ होगा।
$x^{2} \mp 10x + 25 + y^{2} - 6y + 9 = 25$.
$x^{2} + y^{2} \mp 10x - 6y + 9 = 0$.

(C) रेखा का समीकरण $3x + y + k = 0$ है।
वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 10$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
यदि रेखा $Ax + By + C = 0$ वृत्त की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right| = r$
मान रखने पर:
$\left| \frac{3(0) + 1(0) + k}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} \right| = \sqrt{10}$
$\left| \frac{k}{\sqrt{10}} \right| = \sqrt{10}$
$|k| = 10$
अतः,$k = \pm 10$.

(A) दिए गए वृत्त $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ और $S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ हैं।
यहाँ,$g_{1}=-1, f_{1}=-1, c_{1}=-7$ और $g_{2}=2, f_{2}=1, c_{2}=k$ है।
चूंकि वृत्त लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,$2(g_{1}g_{2} + f_{1}f_{2}) = c_{1} + c_{2}$।
$2((-1)(2) + (-1)(1)) = -7 + k$
$2(-2 - 1) = -7 + k$
$-6 = -7 + k \Rightarrow k = 1$।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_{1} - S_{2} = 0$ है।
$(x^{2}+y^{2}-2x-2y-7) - (x^{2}+y^{2}+4x+2y+1) = 0$
$-6x - 4y - 8 = 0 \Rightarrow 3x + 2y + 4 = 0$।
वृत्त $S_{1}$ के लिए,केंद्र $C_{1} = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_{1} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} - (-7)} = \sqrt{9} = 3$ है।
केंद्र $C_{1}(1, 1)$ से जीवा $3x + 2y + 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \frac{|3(1) + 2(1) + 4|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \frac{|9|}{\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}}$।
उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2\sqrt{r_{1}^{2} - d^{2}}$ है।
$= 2\sqrt{3^{2} - (\frac{9}{\sqrt{13}})^{2}} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{13}} = 2\sqrt{\frac{117 - 81}{13}} = 2\sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}$।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$,जिसका केंद्र $O_{1}=(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1}=2$ है।
$C_{2}: x^{2}+y^{2}-6x-8y-24=0$,जिसका केंद्र $O_{2}=(3,4)$ और त्रिज्या $r_{2}=\sqrt{3^{2}+4^{2}-(-24)}=\sqrt{9+16+24}=\sqrt{49}=7$ है।
अब,केंद्रों $O_{1}$ और $O_{2}$ के बीच की दूरी ज्ञात करें:
$d = \sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$.
दूरी $d$ की तुलना त्रिज्याओं के योग और अंतर से करें:
$r_{1}+r_{2} = 2+7 = 9$.
$|r_{1}-r_{2}| = |2-7| = 5$.
चूंकि $d = |r_{1}-r_{2}|$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $1$ है।

(C) तीन वृत्तों का रेडिकल केंद्र तभी मौजूद होता है जब उनकी रेडिकल अक्ष समानांतर न हों।
सबसे पहले,$S_{1}$ और $S_{2}$ की रेडिकल अक्ष $S_{1} - S_{2} = 0$ द्वारा ज्ञात करें:
$-4x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$.
इसके बाद,$S_{2}$ और $S_{3}$ की रेडिकल अक्ष $S_{2} - S_{3} = 0$ द्वारा ज्ञात करें:
$-(2+2k)x - 6y + 2 = 0 \Rightarrow (2+2k)x + 6y - 2 = 0$.
यदि ये दो रेखाएं समानांतर हैं तो रेडिकल केंद्र मौजूद नहीं होता है।
दो रेखाएं $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ समानांतर होती हैं यदि $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}$ हो।
अतः,$\frac{4}{2+2k} = \frac{2}{6}$.
$24 = 4 + 4k$ $\Rightarrow 20 = 4k$ $\Rightarrow k = 5$.
इस प्रकार,यदि $k = 5$ है,तो रेखाएं समानांतर हैं और रेडिकल केंद्र मौजूद नहीं है।
इसलिए,$k$ का मान $5$ नहीं हो सकता है।

(C) दिए गए परवलय का समीकरण $y = 2x^{2} + x$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{y}{2} + \frac{1}{16}$।
यह $(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{2}(y + \frac{1}{8})$ में सरल हो जाता है।
इसे मानक रूप $X^{2} = 4AY$ से तुलना करने पर,जहाँ $X = x + \frac{1}{4}$,$Y = y + \frac{1}{8}$,और $4A = \frac{1}{2}$,हमें $A = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
$(X, Y)$ निर्देशांक प्रणाली में नाभि $(0, A) = (0, \frac{1}{8})$ है।
मान वापस रखने पर,$x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$ और $y + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \Rightarrow y = 0$।
अतः,दिए गए परवलय की नाभि $(-\frac{1}{4}, 0)$ है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=36$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=6$।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के लिए नाभीय दूरियों का योग उसकी दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर होता है।
अतः,$PS + PS^{\prime} = 2a$।
$a$ का मान रखने पर,$PS + PS^{\prime} = 2 \times 6 = 12$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
सहायक वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi a^{2}$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $= \pi ab$।
प्रश्न के अनुसार,सहायक वृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का दोगुना है:
$\pi a^{2} = 2(\pi ab)$
$a^{2} = 2ab$
$a = 2b \Rightarrow b = \frac{a}{2}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार है:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{(a/2)^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}/4}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण: $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1$.
$k^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{y^{2}}{k^{2}} = \frac{x^{2}-36}{36}$
$k^{2} = \frac{36y^{2}}{x^{2}-36}$.
चूंकि $k^{2} > 0$,इसलिए $x^{2}-36 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x^{2} > 36$ या $|x| > 6$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$. $(-3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (असत्य)
$B$. $(3, 1) \Rightarrow x^{2} = 9 < 36$ (असत्य)
$C$. $(10, 4) \Rightarrow x^{2} = 100 > 36$ (सत्य)
$D$. $(5, 2) \Rightarrow x^{2} = 25 < 36$ (असत्य)
अतः,बिंदु $(10, 4)$ अतिपरवलय पर स्थित हो सकता है।

(A) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\tan \left(x^{2}-1\right)}{x-1}$ है।
$x=1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।
$L$'Hospital नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{d}{dx} \tan \left(x^{2}-1\right)}{\frac{d}{dx} (x-1)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sec ^{2}\left(x^{2}-1\right) \cdot (2x)}{1}$
$= \sec ^{2}(1^{2}-1) \cdot 2(1)$
$= \sec ^{2}(0) \cdot 2$
$= 1 \cdot 2 = 2$.

(B) माना $p$ कथन "$2$ अभाज्य है" है।
माना $q$ कथन "$3$ विषम है" है।
दिया गया कथन $p \rightarrow q$ है।
निहितार्थ $p \rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ "$2$ अभाज्य है" है और $\sim q$ "$3$ विषम नहीं है" है।
अतः,निषेध "$2$ अभाज्य है और $3$ विषम नहीं है" है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8}$.
चूंकि अंश और हर की घात समान है,हम भाग विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8} = 3 + \frac{18 x - 23}{x^{2}-6 x+8}$.
अब,शेषफल को आंशिक भिन्नों में विभाजित करते हैं:
$\frac{18 x - 23}{(x-2)(x-4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-4}$.
$18 x - 23 = A(x-4) + B(x-2)$.
$x=2$ रखने पर: $18(2) - 23 = A(2-4) \Rightarrow 13 = -2A \Rightarrow A = -\frac{13}{2}$.
$x=4$ रखने पर: $18(4) - 23 = B(4-2) \Rightarrow 49 = 2B \Rightarrow B = \frac{49}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3 x^{2}+1}{x^{2}-6 x+8} = 3 - \frac{13}{2(x-2)} + \frac{49}{2(x-4)}$.
यह विकल्प $A$ के समान है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $xy=0$ निर्देशांक अक्षों को दर्शाता है,अर्थात $x=0$ और $y=0$।
अन्य रेखाएँ $x-4=0$ (जो $x=4$ है) और $y+5=0$ (जो $y=-5$ है) हैं।
ये चार रेखाएँ $x=0, x=4, y=0$ और $y=-5$ कार्तीय तल में एक आयताकार क्षेत्र को परिबद्ध करती हैं।
इस आयत के शीर्ष $(0, 0), (4, 0), (4, -5)$ और $(0, -5)$ हैं।
आयत की लंबाई $x=0$ और $x=4$ के बीच की दूरी है,जो $|4-0| = 4 \text{ इकाई}$ है।
आयत की चौड़ाई $y=0$ और $y=-5$ के बीच की दूरी है,जो $|0-(-5)| = 5 \text{ इकाई}$ है।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 4 \times 5 = 20 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(A) हम जानते हैं कि बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax+by+c=0$ पर खींचे गए लंब के पाद $(h, k)$ का सूत्र है:
$\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = \frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1) = (3,4)$ है और रेखा $2x+y-7=0$ है।
अतः,$a=2, b=1, c=-7$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(2(3) + 1(4) - 7)}{2^2 + 1^2}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(6+4-7)}{4+1}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-3}{5}$
अब,$h$ के लिए हल करने पर:
$h-3 = 2 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-6}{5}$
$h = 3 - \frac{6}{5} = \frac{15-6}{5} = \frac{9}{5}$
$k$ के लिए हल करने पर:
$k-4 = 1 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-3}{5}$
$k = 4 - \frac{3}{5} = \frac{20-3}{5} = \frac{17}{5}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{9}{5}, \frac{17}{5}\right)$ हैं।

(B) समूह $(G, \times_{15})$ में तत्समक अवयव $e$ को $a \times_{15} e = a$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \in G$ है।
संयोजन तालिका से,हम देखते हैं कि $6$ के संगत पंक्ति $G$ के अवयवों को उसी क्रम में पुनरुत्पादित करती है।
तालिका के अनुसार,$3 \times_{15} 6 = 3$,$6 \times_{15} 6 = 6$,$9 \times_{15} 6 = 9$,और $12 \times_{15} 6 = 12$ है,इसलिए तत्समक अवयव $6$ है।

(B) किसी भी समूह $(G, *)$ में,तत्समक अवयव $e$ हमेशा स्वयं का प्रतिलोम होता है,क्योंकि $e * e = e$ होता है।
चूंकि समूह $G$ में कम से कम तत्समक अवयव का होना आवश्यक है,इसलिए उन अवयवों की न्यूनतम संख्या जो स्वयं के प्रतिलोम हैं,$1$ है।

(B) एक समुच्चय $G$ और द्विआधारी संक्रिया $*$ के लिए,यदि यह संवृतता,साहचर्य,तत्समक अवयव का अस्तित्व और प्रतिलोम अवयव का अस्तित्व संतुष्ट करता है,तो इसे समूह कहा जाता है।
योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों के समुच्चय के लिए,मान लीजिए $a = 1$ और $b = 3$ है। तब $a + b = 4$,जो एक सम पूर्णांक है।
चूंकि दो विषम पूर्णांकों का योग हमेशा सम होता है,इसलिए विषम पूर्णांकों का समुच्चय योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
इसके अतिरिक्त,योग के लिए तत्समक अवयव $0$ है,जो एक विषम संख्या नहीं है।
अतः,योग के अंतर्गत विषम पूर्णांकों का समुच्चय एक समूह नहीं है।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I$ होता है,जहाँ $|A|$ आव्यूह $A$ का सारणिक है और $I$ समान कोटि का तत्समक आव्यूह है।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = 1(2 \times 4 - (-3) \times (-2)) - (-2)(0 \times 4 - (-3) \times 3) + 2(0 \times (-2) - 2 \times 3)$
$|A| = 1(8 - 6) + 2(0 + 9) + 2(0 - 6)$
$|A| = 1(2) + 2(9) + 2(-6)$
$|A| = 2 + 18 - 12 = 8$
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$I = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
अतः,$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A| I = 8 \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\right]$।

(C) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ और $10 B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
चूँकि $B$,$A$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $B = A^{-1}$.
अतः,$10 A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right]$.
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर,$10 A^{-1} A = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] A$.
चूँकि $A^{-1} A = I$,इसलिए $10 I = \left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$.
दाईं ओर गुणनफल की गणना करने पर:
$\left[\begin{array}{ccc}4(1)+2(2)+2(1) & 4(-1)+2(1)+2(1) & 4(1)+2(-3)+2(1) \\ -5(1)+0(2)+\alpha(1) & -5(-1)+0(1)+\alpha(1) & -5(1)+0(-3)+\alpha(1) \\ 1(1)-2(2)+3(1) & 1(-1)-2(1)+3(1) & 1(1)-2(-3)+3(1)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ -5+\alpha & \alpha+5 & -5+\alpha \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$.
इसे $10 I = \left[\begin{array}{ccc}10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10\end{array}\right]$ के साथ तुलना करने पर.
$(2, 1)$ स्थान पर स्थित अवयव की तुलना करने पर,$-5 + \alpha = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 5$.

(A) एक आव्यूह $A$ अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक $|A| = 0$ हो।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & x & 16 \\ x & 5 & 7 \\ 0 & 9 & x \end{bmatrix}$।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 9 & x \end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix} x & 16 \\ 9 & x \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} x & 16 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = 0$.
$-x(x^2 - 144) = 0$.
$-x(x - 12)(x + 12) = 0$.
अतः,$x$ के संभावित मान $0, 12, -12$ हैं।

(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}x & p & q \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right|$.
$R_1 \to R_1 - R_2$ संक्रिया का उपयोग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}x-p & p-x & 0 \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right| = (x-p) \left|\begin{array}{lll}1 & -1 & 0 \\ p & x & q \\ p & q & x\end{array}\right|$.
$C_2 \to C_2 + C_1$ संक्रिया का उपयोग करने पर:
$\Delta = (x-p) \left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ p & x+p & q \\ p & q+p & x\end{array}\right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (x-p) [1 \cdot ((x+p)x - q(q+p)) - 0 + 0]$
$\Delta = (x-p) [x^2 + xp - q^2 - qp]$
$\Delta = (x-p) [x^2 - q^2 + xp - qp]$
$\Delta = (x-p) [(x-q)(x+q) + p(x-q)]$
$\Delta = (x-p)(x-q)(x+q+p)$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2 \pi}{3}$
हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (\frac{1}{x})$ होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} (\frac{1}{x}) = \frac{2 \pi}{3}$
सर्वसमिका $2 \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} (\frac{2y}{1-y^2})$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2/x}{1-1/x^2}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} (\frac{2x}{x^2-1}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} (\frac{A+B}{1-AB})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} (\frac{x + \frac{2x}{x^2-1}}{1 - x(\frac{2x}{x^2-1})}) = \frac{2 \pi}{3}$
$\frac{\frac{x^3-x+2x}{x^2-1}}{\frac{x^2-1-2x^2}{x^2-1}} = \tan (\frac{2 \pi}{3})$
$\frac{x^3+x}{-x^2-1} = -\sqrt{3}$
$\frac{x(x^2+1)}{-(x^2+1)} = -\sqrt{3}$
$-x = -\sqrt{3} \implies x = \sqrt{3}$

(C) माना $\theta = \cos ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{3}$,तब $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
हमें $\sin(2\theta)$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin(2\theta) = 2 \times \left(\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{4 \sqrt{5}}{9}$।

(C) हमारे पास $f(x) = |x|$ है।
किसी फलन के व्युत्क्रमणीय (invertible) होने के लिए,उसका एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) होना आवश्यक है।
मान लीजिए $f(1) = |1| = 1$ और $f(-1) = |-1| = 1$ है।
चूंकि $f(1) = f(-1)$ है लेकिन $1 \neq -1$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
क्योंकि फलन एकैकी नहीं है,इसलिए यह बाइजेक्टिव (bijective) नहीं है।
अतः,प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ k, & x=0 \end{cases}$ है।
चूंकि फलन $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = k$ होगा।
सीमा सूत्र $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^{2}(x/2)}{x^{2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2\sin^{2}(x/2)}{4(x/2)^{2}} = \frac{2}{4} \cdot (1)^{2} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$k = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$y=2^{\log x}$।
श्रृंखला नियम (chain rule) और अवकलन के सूत्र $\frac{d}{dx}(a^u) = a^u \cdot \ln a \cdot \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \log x$ और $a = 2$ है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2^{\log x}) = 2^{\log x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$।
चूँकि $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ है,इसलिए:
$\frac{dy}{dx} = 2^{\log x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{x}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2^{\log x} \cdot \log 2}{x}$।

(D) दिया गया है,$x^{x}=y^{y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (log) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \log x = y \log y$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(y \log y)$।
गुणन नियम $(uv)' = u'v + uv'$ का उपयोग करने पर:
$(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) = (1 \cdot \log y + y \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx})$।
$(\log x + 1) = (\log y + 1) \frac{dy}{dx}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1+\log x}{1+\log y}$।

(A) दिया गया है,$\sec ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-y}\right)=a$
दोनों पक्षों में $\sec$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1+x}{1-y}=\sec a$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1+x = (1-y) \sec a$
$1+x = \sec a - y \sec a$
$y \sec a = \sec a - 1 - x$
$y = \frac{\sec a - 1 - x}{\sec a} = 1 - \frac{1+x}{\sec a}$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = 0 - \frac{1}{\sec a} \cdot \frac{d}{d x}(1+x)$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\sec a} \cdot (1)$
चूंकि $\sec a = \frac{1+x}{1-y}$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{\frac{1+x}{1-y}} = -\frac{1-y}{1+x} = \frac{y-1}{x+1}$

(C) दिया गया है,$y = \cos^{2} \frac{3x}{2} - \sin^{2} \frac{3x}{2}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $\theta = \frac{3x}{2}$ है,इसलिए $2\theta = 3x$ होगा।
अतः,$y = \cos(3x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)$.
अब,पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -3 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = -9\cos(3x)$.
चूंकि $y = \cos(3x)$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -9y$.

(A) दिया गया वक्र $y^{2}=x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dx} = 1$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan(\theta)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $m = \tan(45^{\circ}) = 1$.
ढाल की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
$y = \frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण $y^{2} = x$ में रखने पर:
$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ है।

(C) दिया गया वक्र $x^{2} y^{2} = a^{4}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x y^{2} + 2x^{2} y \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(-a, a)$ पर मान रखने पर:
$2(-a)(a)^{2} + 2(-a)^{2}(a) \frac{dy}{dx} = 0$.
$-2a^{3} + 2a^{3} \frac{dy}{dx} = 0$.
$2a^{3} \frac{dy}{dx} = 2a^{3} \implies \frac{dy}{dx} = 1$.
अधःस्पर्शक की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ होता है।
$y = a$ और $\frac{dy}{dx} = 1$ रखने पर:
अधःस्पर्शक की लंबाई $= \left| \frac{a}{1} \right| = a$.

(A) माना $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है। माना समय $t$ पर $X$ की स्थिति $OA$ के अनुदिश $x(t) = 4t$ है और $Y$ की स्थिति $OB$ के अनुदिश $y(t) = 3t$ है।
माना $A$ समय $t$ पर $X$ और $Y$ के बीच की न्यूनतम दूरी है।
$\triangle OXY$ में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$A^2 = (4t)^2 + (3t)^2 - 2(4t)(3t) \cos(120^{\circ})$
चूंकि $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$A^2 = 16t^2 + 9t^2 - 24t^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$
$A^2 = 25t^2 + 12t^2 = 37t^2$
$A = \sqrt{37}t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2A \frac{dA}{dt} = 37(2t)$
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{A}$
$A = \sqrt{37}t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{\sqrt{37}t} = \sqrt{37} \text{ km/h}$.
अतः,दूरी के बढ़ने की दर $\sqrt{37} \text{ km/h}$ है।

(A) दिया गया फलन $y = -x^{2} + 6x - 3$ है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम इसका प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = -2x + 6$.
एक फलन वर्धमान होता है जब उसका अवकलज शून्य से बड़ा हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} > 0$.
अवकलज को शून्य से बड़ा रखने पर:
$-2x + 6 > 0$.
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर:
$-2x > -6$.
$-2$ से भाग देने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर):
$x < 3$.
अतः,फलन $x < 3$ के अंतराल में वर्धमान है।

(D) हम जानते हैं कि $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$.
$\theta = 4x$ के लिए इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $1 + \cos 8x = 2 \cos^2 4x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{2 \cos^2 4x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \sec^2 4x dx$
मानक समाकलन $\int \sec^2(ax) dx = \frac{\tan(ax)}{a} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan 4x}{4} + c$
$I = \frac{\tan 4x}{8} + c$

(B) हम जानते हैं कि $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$ होता है।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = x^{5}$।
तब,$f'(x) = 5x^{4}$।
दिया गया समाकलन $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4}+1)dx$ है।
हम इसे $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx + \int e^{x}dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\int e^{x}(f(x)+f'(x))dx = e^{x}f(x)+c$ का उपयोग करने पर,हमें $\int e^{x}(x^{5}+5x^{4})dx = e^{x}x^{5}+c_1$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल समाकलन $e^{x}x^{5} + e^{x} + c$ है।

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} d x$.
हम अंश को $x^{2}-1+2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \frac{x^{2}-1+2}{x^{2}-1} d x$.
$I = \int \left( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-1} + \frac{2}{x^{2}-1} \right) d x$.
$I = \int 1 d x + 2 \int \frac{1}{x^{2}-1} d x$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} d x = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$:
$I = x + 2 \cdot \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.
$I = x + \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + c$.

(A) माना $I = k \int_{0}^{1} x \cdot f(3x) \, dx$.
$t = 3x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = 3 \, dx$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{3}$.
जब $x = 0$,तो $t = 0$. जब $x = 1$,तो $t = 3$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = k \int_{0}^{3} \left(\frac{t}{3}\right) \cdot f(t) \cdot \left(\frac{dt}{3}\right)$
$I = \frac{k}{9} \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt$.
दिया गया है कि $I = \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt$,अतः दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{k}{9} \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt = \int_{0}^{3} t \cdot f(t) \, dt$.
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{k}{9} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $k = 9$.

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100}(\frac{\pi}{2} - x) - \cos^{100}(\frac{\pi}{2} - x)) dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos^{100} x - \sin^{100} x) dx$
$I = -\int_{0}^{\pi / 2} (\sin^{100} x - \cos^{100} x) dx$
$I = -I$
$2I = 0$
$I = 0$.

(C) दिया गया वक्र $x = 4 - y^2$ है। वक्र $Y$-अक्ष को वहाँ काटता है जहाँ $x = 0$ है,जिससे $4 - y^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = \pm 2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 2)$ और $(0, -2)$ हैं।
चूँकि वक्र $X$-अक्ष के परितः सममित है,कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
$A = 2 \int_{0}^{2} x \, dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} (4 - y^2) \, dy$
$A = 2 \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2}$
$A = 2 \left[ (4(2) - \frac{2^3}{3}) - (0) \right]$
$A = 2 \left[ 8 - \frac{8}{3} \right]$
$A = 2 \left[ \frac{24 - 8}{3} \right] = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों की घात $3$ करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left[\left[1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}\right]^{\frac{1}{3}}\right]^{3}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
यह सरल होकर $1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{5}=\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$ हो जाता है।
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो कि $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
घात समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम अवकलज की घात होती है,जो कि $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(A) सरल रेखा का समीकरण जिसका ढाल $m$ और $y$-अंतःखंड $c$ है,$y = mx + c$ होता है।
दिया गया है कि ढाल $y$-अंतःखंड के बराबर है,अतः $m = c$ है।
इसे समीकरण में रखने पर,$y = cx + c = c(x+1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = c$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान पहले समीकरण से प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x+1) \frac{dy}{dx} - y = 0$ अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(C) दिया गया है,$|a+b| = |a-b|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a+b|^2 = |a-b|^2$
$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$
$4(a \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$
चूंकि दो सदिशों का अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,$a$ और $b$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) दिया गया है कि सदिशों $OA$ और $OB$ के परिमाण $|OA| = 5$ और $|OB| = 6$ हैं।
दोनों सदिशों के बीच का कोण $\theta = \angle BOA = 60^{\circ}$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $OA \cdot OB = |OA| |OB| \cos \theta$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$OA \cdot OB = 5 \times 6 \times \cos 60^{\circ}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$OA \cdot OB = 30 \times \frac{1}{2} = 15$.
अतः,$OA \cdot OB$ का मान $15$ है।

(B) बिंदुओं $A, B$ और $C$ वाले समतल के लंबवत सदिश ज्ञात करने के लिए,हम समतल में स्थित दो सदिशों,जैसे $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ का क्रॉस गुणनफल ज्ञात करते हैं।
दिए गए बिंदु: $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$,$C(0, 2, 1)$।
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0 - (-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2 - (-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{array}\right|$
$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1))$
$\vec{n} = \hat{i}(8) - \hat{j}(-4) + \hat{k}(4) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$
अतः,समतल के लंबवत सदिश $8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।

(D) और $c$ के समतल में स्थित सदिश $b$ और $c$ के रैखिक संयोजन द्वारा प्राप्त होता है। $a$ के लंबवत और $b$ तथा $c$ के समतल में स्थित सदिश $a \times (b \times c)$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम $b \times c$ की गणना करते हैं:
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 25) - \hat{j}(-1 + 15) + \hat{k}(5 - 6) = 23 \hat{i} - 14 \hat{j} - \hat{k}$.
अब,हम $a \times (b \times c)$ की गणना करते हैं:
$a \times (b \times c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 23 & -14 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3 - 14) - \hat{j}(-2 + 23) + \hat{k}(-28 - 69) = -17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$.
अतः,अभीष्ट सदिश $-17 \hat{i} - 21 \hat{j} - 97 \hat{k}$ है।