KCET 2007 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) शेल का कुल द्रव्यमान $M = 20 \,kg$ है।
द्रव्यमानों का अनुपात $m_1 : m_2 = 2 : 3$ दिया गया है।
अतः,$m_1 = (2/5) \times 20 = 8 \,kg$ और $m_2 = (3/5) \times 20 = 12 \,kg$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$।
छोटे टुकड़े का वेग $v_1 = 6 \,ms^{-1}$ लेने पर,$8 \times 6 + 12 \times v_2 = 0$ प्राप्त होता है।
$48 + 12 v_2 = 0 \implies v_2 = -4 \,ms^{-1}$।
बड़े टुकड़े के वेग का परिमाण $4 \,ms^{-1}$ है।
बड़े टुकड़े की गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96 \,J$ है।

(B) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर,$\frac{g'}{g} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $g' = \frac{g}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$R+h = R\sqrt{2}$.
$h = R(\sqrt{2}-1)$.

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, पूरी प्रणाली में आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है।
$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$
यहाँ, $A_{1} = 8 \,cm^{2} = 8 \times 10^{-4} \,m^{2}$ है।
नली के अंदर गति $v_{1} = 0.15 \,m \,min^{-1} = \frac{0.15}{60} \,m \,s^{-1} = 0.0025 \,m \,s^{-1}$ है।
$40$ छिद्रों का कुल क्षेत्रफल $A_{2} = 40 \times 10^{-8} \,m^{2}$ है।
इन मानों को सांतत्य समीकरण में रखने पर:
$(8 \times 10^{-4}) \times (0.0025) = (40 \times 10^{-8}) \times v_{2}$
$v_{2} = \frac{8 \times 10^{-4} \times 0.0025}{40 \times 10^{-8}}$
$v_{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-8}} = \frac{200}{40} = 5 \,m \,s^{-1}$।
अतः, जिस गति से द्रव बाहर निकलता है वह $5 \,m \,s^{-1}$ है।

(A) संकीर्ण नलियों या छिद्रयुक्त पदार्थों में द्रवों के ऊपर चढ़ने या नीचे उतरने की घटना को केशिकात्व कहा जाता है।
पादप रेशे सूक्ष्म केशिका नलियों के जाल के रूप में कार्य करते हैं।
अतः,केशिकात्व की घटना के कारण पादप रेशों में पानी ऊपर चढ़ता है।

(A) अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$H = \frac{R}{2}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{2} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
दोनों पक्षों को $\frac{u^2 \sin \theta}{g}$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin \theta}{2} = \cos \theta$.
अतः,$\tan \theta = 2$,जिससे $\theta = \tan^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

(A) माना जंक्शन $C$ का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए दोनों के लिए $A$ और $L$ समान हैं।
अतः,$K_1(100 - \theta) = K_2(\theta - 25)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$.
तिर्यक गुणा करने पर $2(100 - \theta) = 3(\theta - 25)$ प्राप्त होता है।
$200 - 2\theta = 3\theta - 75$.
$5\theta = 275$.
$\theta = 55^{\circ}C$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है:
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
दिया गया है:
$\lambda_{m1} = 500 \,nm$,$T_1 = 6000 \,K$
$\lambda_{m2} = 400 \,nm$,$T_2 = ?$
समीकरण में मान रखने पर:
$500 \,nm \times 6000 \,K = 400 \,nm \times T_2$
$T_2 = \frac{500 \times 6000}{400}$
$T_2 = 5 \times 1500$
$T_2 = 7500 \,K$
अतः,तारे का तापमान $7500 \,K$ होगा।

(B) कार्नो इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन $(K)$ में है।
दिया गया है: $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$ और $T_2 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर: $\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ या $\frac{1}{4}$.
दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_1}$ के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q_1$ दी गई ऊष्मा है।
चूँकि $Q_1 = 40 \ kJ$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{4} = \frac{W}{40 \ kJ}$.
अतः,$W = \frac{40}{4} \ kJ = 10 \ kJ$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए समीकरण $P V^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दाब का घन आयतन की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए $P^3 \propto V^{-4}$, जिसका अर्थ है $P^3 V^4 = \text{constant}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, हमें $(P^3 V^4)^{1/3} = \text{constant}^{1/3}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $P V^{4/3} = \text{constant}$ हो जाता है।
इसकी तुलना मानक रुद्धोष्म समीकरण $P V^{\gamma} = \text{constant}$ से करने पर, हम पाते हैं कि $\gamma = 4/3$ है।
अतः, विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = 1.33$ है।

(B) स्थिर दाब पर,आवश्यक ऊष्मा $Q_p = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 2 \ moles$,$\Delta T = 35^{\circ} C - 25^{\circ} C = 10 \ K$,और $Q_p = 310 \ J$ है।
$310 = 2 \times C_p \times 10 \Rightarrow C_p = \frac{310}{20} = 15.5 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$।
संबंध $C_p - C_V = R$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R \approx 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$:
$C_V = C_p - R = 15.5 - 8.3 = 7.2 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$।
स्थिर आयतन पर,आवश्यक ऊष्मा $Q_V = n C_V \Delta T$ है।
$Q_V = 2 \times 7.2 \times 10 = 144 \ J$।

(A) आवेग को बल और समय अंतराल के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आवेग = बल $\times$ समय
बल का विमीय सूत्र = $[MLT^{-2}]$
समय का विमीय सूत्र = $[T]$
अतः,आवेग का विमीय सूत्र = $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$।

(A) सरल आवर्त तरंग का समीकरण $y = a \sin \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन $y$ का अवकलन करने पर,हमें कण का वेग प्राप्त होता है:
$v_p = \frac{dy}{dt} = a \cdot \frac{2 \pi v}{\lambda} \cos \frac{2 \pi}{\lambda} (vt - x)$.
अधिकतम कण वेग $(v_{p, \max})$ तब प्राप्त होता है जब कोसाइन पद $1$ हो:
$v_{p, \max} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम कण वेग,तरंग वेग $(v)$ का आधा है:
$v_{p, \max} = \frac{v}{2}$.
$v_{p, \max}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{v}{2} = \frac{2 \pi v a}{\lambda}$.
आयाम $a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{\lambda}{4 \pi}$.

(C) इस प्रश्न में डॉप्लर प्रभाव के दो चरण शामिल हैं।
सबसे पहले,दीवार एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो गतिमान इंजन (स्रोत) से ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $f = 1.2 \ kHz$,$v = 350 \ m/s$,और $v_s = 50 \ m/s$ है।
$f_1 = 1.2 \left( \frac{350}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{300} \right) = 1.4 \ kHz$।
दूसरे,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो इस आवृत्ति $f_1$ को ड्राइवर (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है,जो $v_o = 50 \ m/s$ के वेग से दीवार की ओर बढ़ रहा है।
ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है।
$f' = 1.4 \left( \frac{350 + 50}{350} \right) = 1.4 \left( \frac{400}{350} \right) = 1.4 \times \frac{8}{7} = 1.6 \ kHz$।

(A) $l$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार रखा जाता है कि उसकी आधी लंबाई डूब जाए,तो यह $l' = \frac{l}{2}$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के रूप में कार्य करती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f' = \frac{v}{4l'}$ द्वारा दी जाती है।
$f'$ के व्यंजक में $l' = \frac{l}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f' = \frac{v}{4(l/2)} = \frac{v}{2l}$.
इसकी तुलना प्रारंभिक आवृत्ति $f = \frac{v}{2l}$ से करने पर,हम पाते हैं कि $f' = f$.

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$R$ गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए वेगों का अनुपात $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_{H_2} M_{He}}{\gamma_{He} M_{H_2}}}$ होगा।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और $\gamma_{H_2} = \frac{7}{5}$।
हीलियम $(He)$ के लिए,$M_{He} = 4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और $\gamma_{He} = \frac{5}{3}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_{H_2}}{v_{He}} = \sqrt{\frac{(7/5) \times 4}{(5/3) \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{2}} = \sqrt{\frac{7 \times 3 \times 2}{5 \times 5}} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा $I$ और वोल्टेज $V$ के बीच कला कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{X_L - X_C}{R}$
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{200}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 20 \, \Omega$
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (10^{-3} / \pi)} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega$
दिया गया प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ है।
इन मानों को कला कोण के सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ रेडियन।
अतः,परिपथ का कला कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

(C) ट्रांसफार्मर की दक्षता को आउटपुट पावर और इनपुट पावर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$.
दिया गया है, $\eta = 88 \% = 0.88$ और $P_{out} = 880 \,W$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.88 = \frac{880}{P_{in}}$.
इसलिए, $P_{in} = \frac{880}{0.88} = 1000 \,W$.
इनपुट पावर को $P_{in} = V_{in} \times I_{in}$ द्वारा भी दिया जाता है, जहाँ $V_{in} = 2200 \,V$.
अतः, $I_{in} = \frac{P_{in}}{V_{in}} = \frac{1000}{2200} \,A$.
$I_{in} = \frac{10}{22} \,A \approx 0.4545 \,A$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, इनपुट धारा $0.45 \,A$ है।

(A) जब एक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर $n$ से निचले स्तरों में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$N = 3$:
$3 = \frac{n_{1}(n_{1}-1)}{2} \Rightarrow n_{1}^2 - n_{1} - 6 = 0 \Rightarrow (n_{1}-3)(n_{1}+2) = 0$.
चूंकि $n_{1} > 0$,इसलिए $n_{1} = 3$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए,$N = 6$:
$6 = \frac{n_{2}(n_{2}-1)}{2} \Rightarrow n_{2}^2 - n_{2} - 12 = 0 \Rightarrow (n_{2}-4)(n_{2}+3) = 0$.
चूंकि $n_{2} > 0$,इसलिए $n_{2} = 4$ है।
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति $v_n = \frac{Ze^2}{2\varepsilon_0 hn}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $v \propto \frac{1}{n}$।
अतः,गति का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{4}{3}$ है।

(D) रमन प्रभाव में, जब प्रकाश अणुओं द्वारा प्रकीर्णित होता है, तो प्रकीर्णित प्रकाश में आपतित आवृत्ति से भिन्न आवृत्तियाँ होती हैं।
स्टोक्स रेखाएँ प्रकीर्णित प्रकाश में देखी जाने वाली वे स्पेक्ट्रमी रेखाएँ हैं जिनकी आवृत्ति आपतित (मूल) आवृत्ति से कम होती है।
चूंकि आवृत्ति $(f)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ समीकरण $c = f\lambda$ द्वारा व्युत्क्रमानुपाती रूप से संबंधित हैं, इसलिए कम आवृत्ति का अर्थ है अधिक (बड़ी) तरंगदैर्ध्य।
अतः, स्टोक्स रेखाओं की तरंगदैर्ध्य मूल रेखा की तुलना में अधिक होती है।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयन की आयनन ऊर्जा का सूत्र $E = R c h Z^2$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$h$ प्लांक नियतांक है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
लिथियम आयन $Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
सूत्र में $Z$ का मान रखने पर:
$E = R c h (3)^2 = 9 R c h$.
अतः,$Li^{2+}$ की आयनन ऊर्जा $9 h c R$ है।

(A) हवा से भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की मूल धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को एक-चौथाई क्षेत्रफल में डाला जाता है,तो संधारित्र को समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है।
एक संधारित्र में हवा परावैद्युत के रूप में है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{3A}{4}$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (3A/4)}{d} = \frac{3}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3C}{4}$ है।
दूसरे संधारित्र में $K$ परावैद्युत है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{A}{4}$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{K}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{KC}{4}$ है।
चूंकि ये दो संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{net} = C_1 + C_2$ होगी।
$C_{net} = \frac{3C}{4} + \frac{KC}{4} = \frac{C}{4}(K+3)$।

(D) जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो ऊर्जा में हानि का सूत्र है: $\Delta U = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2$.
दिया गया है: $C_1 = C_2 = 5 \mu F = 5 \times 10^{-6} \ F$,$V_1 = 2 \ kV = 2000 \ V$,और $V_2 = 1 \ kV = 1000 \ V$.
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{(5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6})}{5 \times 10^{-6} + 5 \times 10^{-6}} \times (2000 - 1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-6}} \times (1000)^2$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 2.5 \times 10^{-6} \times 10^6$
$\Delta U = 1.25 \ J$.

(B) दिए गए परिपथ में, दो $2 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \Omega^{-1}$, इसलिए $R_p = 1 \Omega$।
एक आदर्श अमीटर का प्रतिरोध शून्य होता है और यह $4 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में जुड़ा है। यह प्रभावी रूप से $4 \Omega$ के प्रतिरोधक को शॉर्ट-सर्किट कर देता है, जिसका अर्थ है कि इससे कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $(1 \Omega)$, श्रेणी प्रतिरोध $(2 \Omega)$ और समानांतर संयोजन $(1 \Omega)$ का योग है।
$R_{net} = 1 \Omega + 2 \Omega + 1 \Omega = 4 \Omega$।
बैटरी से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I = \frac{V}{R_{net}} = \frac{4 \text{ V}}{4 \Omega} = 1 \text{ A}$ है।
चूंकि अमीटर $4 \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है, इसलिए पूरी धारा $I$ आदर्श अमीटर से होकर गुजरती है।

(B) अनुगमन वेग का सूत्र $v_{d} = \frac{I}{n e A}$ है।
यहाँ, $I = 5 \,A$, $n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, और $A = 4 \times 10^{-6} \,m^{2}$ है।
मान रखने पर:
$v_{d} = \frac{5}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (4 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{5}{5 \times 1.6 \times 4 \times 10^{26-19-6}}$
$v_{d} = \frac{1}{6.4 \times 10^{1}}$
$v_{d} = \frac{1}{64} = 0.015625 \,ms^{-1} = 1.56 \times 10^{-2} \,ms^{-1}$.

(B) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले बल्ब के लिए: $R_1 = \frac{220^2}{25} = 1936 \ \Omega$.
दूसरे बल्ब के लिए: $R_2 = \frac{220^2}{100} = 484 \ \Omega$.
चूंकि बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,कुल प्रतिरोध $R_{net} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420 \ \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V_{supply}}{R_{net}} = \frac{440}{2420} = \frac{2}{11} \ A$ है।
$25 \ W$ बल्ब के सिरों पर विभवांतर $V_1 = I \times R_1 = \frac{2}{11} \times 1936 = 352 \ V$ है।
$100 \ W$ बल्ब के सिरों पर विभवांतर $V_2 = I \times R_2 = \frac{2}{11} \times 484 = 88 \ V$ है।
चूंकि $25 \ W$ बल्ब पर विभवांतर $(352 \ V)$ उसके रेटेड वोल्टेज $(220 \ V)$ से अधिक है,इसलिए $25 \ W$ का बल्ब फ्यूज हो जाएगा।

(A) व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए संतुलित स्थिति $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ है।
दी गई मान: $P=10 \Omega, Q=20 \Omega, R=15 \Omega, S=30 \Omega$.
अनुपात की जाँच करने पर: $\frac{P}{R} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ और $\frac{Q}{S} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है और गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अब,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक $(P+R)$ और दूसरी $(Q+S)$।
पहली शाखा का प्रतिरोध,$R_1 = P + R = 10 + 15 = 25 \Omega$.
दूसरी शाखा का प्रतिरोध,$R_2 = Q + S = 20 + 30 = 50 \Omega$.
चूँकि $R_1$ और $R_2$ समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega$.
$V = 6 \text{ V}$ की बैटरी से प्रवाहित धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{50/3} = \frac{6 \times 3}{50} = \frac{18}{50} = 0.36 \text{ A}$.

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$,जहाँ $K = qV$ गतिज ऊर्जा है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $V = 1000 \ V$.
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}}$
$\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{5.344 \times 10^{-43}}} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{7.31 \times 10^{-22}} \approx 0.9 \times 10^{-12} \ m$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E_{k} = h\nu - \Phi$
जहाँ $E_{k}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\Phi = h\nu_{0}$ धातु की सतह का कार्य फलन (work function) है ($\nu_{0}$ देहली आवृत्ति है)।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ:
$y = E_{k}$
$x = \nu$
$m = h$ (ढाल)
$c = -\Phi$ (y-अंतःखंड)
$1$. जब $\nu < \nu_{0}$ होता है,तो आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से कम होती है,इसलिए कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है और $E_{k} = 0$ रहता है।
$2$. जब $\nu = \nu_{0}$ होता है,तो $E_{k} = 0$ होता है।
$3$. जब $\nu > \nu_{0}$ होता है,तो $E_{k}$ आवृत्ति $\nu$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
ग्राफ $D$ सही ढंग से दर्शाता है कि देहली आवृत्ति $\nu_{0}$ तक $E_{k}$ शून्य रहता है,जिसके बाद यह रैखिक रूप से बढ़ता है।

(B) देहली ऊर्जा (कार्य फलन) $\Phi = h \nu_0$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $1 \ eV = 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
धातु $A$ के लिए:
$\Phi_A = h \nu_A = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.8 \times 10^{14}) \ J = 11.88 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $\Phi_A = \frac{11.88 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.7425 \ eV$.
धातु $B$ के लिए:
$\Phi_B = h \nu_B = (6.6 \times 10^{-34}) \times (2.2 \times 10^{14}) \ J = 14.52 \times 10^{-20} \ J$.
$eV$ में परिवर्तित करने पर: $\Phi_B = \frac{14.52 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 0.9075 \ eV$.
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 0.825 \ eV$ है।
चूंकि $E > \Phi_A$ $(0.825 \ eV > 0.7425 \ eV)$ और $E < \Phi_B$ $(0.825 \ eV < 0.9075 \ eV)$,इसलिए फोटोइलेक्ट्रॉन केवल धातु $A$ से उत्सर्जित होंगे।

(A) प्रकाश का शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय सिद्धांत प्रकाश को एक सतत तरंग के रूप में मानता है। इस सिद्धांत के अनुसार,तरंग की ऊर्जा उसकी तीव्रता (आयाम) पर निर्भर करती है। हालाँकि,प्रकाशवैद्युत प्रभाव के प्रायोगिक अवलोकन यह दर्शाते हैं कि इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,न कि उसकी तीव्रता पर। इसके अलावा,उत्सर्जन तात्कालिक होता है,जो ऊर्जा अवशोषण के लिए समय अंतराल की शास्त्रीय भविष्यवाणी के विपरीत है। इसलिए,प्रकाश का विद्युतचुंबकीय सिद्धांत प्रकाशवैद्युत प्रभाव को समझाने में विफल रहा।

(C) बल्ब का प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{100^2}{50} = 200 \, \Omega$ है।
बल्ब को अपनी रेटेड शक्ति पर कार्य करने के लिए, धारा $I = \frac{P}{V} = \frac{50}{100} = 0.5 \, A$ होनी चाहिए।
जब इसे $200 \, V$ $AC$ स्रोत से जोड़ा जाता है, तो परिपथ का कुल प्रतिबाधा (impedance) $Z = \frac{V_{source}}{I} = \frac{200}{0.5} = 400 \, \Omega$ होता है।
$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ है, जहाँ $X_L = 2\pi fL$ है।
मान रखने पर: $400 = \sqrt{200^2 + X_L^2}$।
$160000 = 40000 + X_L^2 \implies X_L^2 = 120000$।
$X_L = \sqrt{120000} = 200\sqrt{3} \, \Omega$।
चूंकि $X_L = 2\pi fL$, इसलिए $200\sqrt{3} = 2 \times \pi \times 50 \times L$।
$L = \frac{200\sqrt{3}}{100\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} \approx 1.1 \, H$।

(C) कुंडली में प्रेरित emf का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|e| = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$.
दिया गया है:
प्रारंभिक धारा $I_1 = 4 \,A$.
अंतिम धारा $I_2 = 0 \,A$.
धारा में परिवर्तन $dI = I_2 - I_1 = 0 - 4 = -4 \,A$.
समय अंतराल $dt = 0.1 \,s$.
प्रेरित emf $|e| = 100 \,V$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$100 = L \times \frac{|-4|}{0.1}$.
$100 = L \times \frac{4}{0.1}$.
$100 = L \times 40$.
$L = \frac{100}{40} = 2.5 \,H$.
अतः,कुंडली का स्वप्रेरकत्व $2.5 \,H$ है।

(B) निर्वात में,विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम के सभी घटक समान वेग से चलते हैं,जो प्रकाश की गति है,जिसे $c$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह मान लगभग $3 \times 10^{8} \ m/s$ होता है।
यद्यपि उनकी आवृत्तियाँ और तरंगदैर्ध्य भिन्न होते हैं,लेकिन निर्वात में उनका वेग स्थिर रहता है।

(D) दो आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
दिया गया है: $F = 10 \text{ mg wt} = 10 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 10 \text{ ms}^{-2} = 0.1 \text{ N}$.
दूरी $r = 0.6 \text{ m}$.
चूंकि आवेश समान हैं,मान लीजिए $q_{1} = q_{2} = q$.
मान रखने पर: $0.1 = (9 \times 10^{9}) \times \frac{q^{2}}{(0.6)^{2}}$.
$q^{2} = \frac{0.1 \times 0.36}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.036}{9 \times 10^{9}} = 0.004 \times 10^{-9} = 4 \times 10^{-12} \text{ C}^{2}$.
वर्गमूल लेने पर: $q = \sqrt{4 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-6} \text{ C} = 2 \mu\text{C}$.

(A) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ और विद्युत विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V$ होता है।
चूंकि विभव $V$ केवल $x$ पर निर्भर करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E_x = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 3x^2 + 5$।
अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 6x$।
अतः,$E_x = -6x$।
बिंदु $(-2, 1, 0)$ पर,$x$-निर्देशांक $-2$ है।
$E_x$ के व्यंजक में $x = -2$ रखने पर:
$E_x = -6(-2) = +12 \ Vm^{-1}$।
इस प्रकार,$(-2, 1, 0)$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $+12 \ Vm^{-1}$ है।

(C) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और उसका आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $V' = \frac{kq}{r}$ है।
जब $8$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$, जिससे $R = 2r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद का कुल आवेश $Q = 8q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4V'$ होता है।
दिया गया है कि $V = 20 \,V$, इसलिए $20 = 4V'$।
अतः, $V' = \frac{20}{4} = 5 \,V$ प्राप्त होता है।

(D) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। यदि धाराएं एक ही दिशा में हैं तो बल आकर्षक होता है।
$A$ के कारण $C$ पर बल $(F_{AC})$:
$F_{AC} = \frac{\mu_0 I_A I_C L}{2 \pi r_{AC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 2 \times 3 \times 1}{0.05} = \frac{12 \times 10^{-7}}{0.05} = 2.4 \times 10^{-5} \, N$ ($A$ की ओर, आकर्षक)।
$B$ के कारण $C$ पर बल $(F_{BC})$:
$F_{BC} = \frac{\mu_0 I_B I_C L}{2 \pi r_{BC}} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4 \times 3 \times 1}{0.08} = \frac{24 \times 10^{-7}}{0.08} = 3.0 \times 10^{-5} \, N$ ($B$ की ओर, आकर्षक)।
चूंकि $F_{BC} > F_{AC}$, परिणामी बल $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = (3.0 - 2.4) \times 10^{-5} \, N = 0.6 \times 10^{-5} \, N$ जो $B$ की ओर होगा।

(B) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$N=1$ फेरे के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_{0} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ है।
जब कुंडली को उसी तार की लंबाई का उपयोग करके $N' = 3$ फेरों के साथ पुनः लपेटा जाता है,तो नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{3}$ हो जाती है।
केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_{0} N' I}{2 r'} = \frac{\mu_{0} (3) I}{2 (r/3)}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $B' = \frac{9 \mu_{0} I}{2 r} = 9 B_{0}$ प्राप्त होता है।

(B) लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = Bqv$.
यह त्रिज्या के सूत्र में सरल हो जाता है: $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि दोनों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ समान है,हम $p = \sqrt{2mE}$ संबंध का उपयोग करते हैं।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{Bq}$.
प्रोटॉन $(p)$ और ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए,आवेश समान हैं $(q_p = q_d = e)$ और गतिज ऊर्जा समान है $(E_p = E_d = E)$।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_p}{r_d} = \frac{\sqrt{2m_p E} / (Be)}{\sqrt{2m_d E} / (Be)} = \sqrt{\frac{m_p}{m_d}}$ है।
यह देखते हुए कि ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का दोगुना है $(m_d = 2m_p)$,हमें $\frac{r_p}{r_d} = \sqrt{\frac{m_p}{2m_p}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$Bqv = \frac{mv^2}{r}$
चूँकि कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r}$ है,हम $Bq = m\omega$ लिख सकते हैं।
$\omega = 2\pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Bq = m(2\pi f)$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर,$f = \frac{Bq}{2\pi m}$ प्राप्त होता है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = R_{0} A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_{0} \approx 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}$ है।
नाभिक का आयतन $(V)$ गोले के आयतन के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$।
$R$ के व्यंजक को आयतन के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi (R_{0} A^{1/3})^{3}$
$V = \frac{4}{3} \pi R_{0}^{3} A$
चूंकि $\frac{4}{3}$,$\pi$,और $R_{0}^{3}$ स्थिरांक हैं,इसलिए $V \propto A$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिक का आयतन उसकी द्रव्यमान संख्या $A$ के सीधे आनुपातिक होता है।

(D) लेप्टॉन प्राथमिक कणों का एक वर्ग है जो प्रबल नाभिकीय अंतःक्रियाओं में भाग नहीं लेते हैं। वे मुख्य रूप से विद्युत चुम्बकीय और दुर्बल नाभिकीय बलों के माध्यम से अंतःक्रिया करते हैं।
इलेक्ट्रॉन लेप्टॉन परिवार से संबंधित एक मौलिक कण है।

(B) किसी रेडियोधर्मी तत्व के अपने समस्थानिक में बदलने के लिए,परमाणु क्रमांक $(Z)$ समान रहना चाहिए,जबकि द्रव्यमान संख्या $(A)$ बदलती है।
$\alpha$-कण के उत्सर्जन से परमाणु क्रमांक $2$ कम हो जाता है और द्रव्यमान संख्या $4$ कम हो जाती है $(_{2}He^{4})$।
$\beta$-कण के उत्सर्जन से परमाणु क्रमांक $1$ बढ़ जाता है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है $(_{-1}\beta^{0})$।
$3$ विघटनों के बाद परमाणु क्रमांक $Z$ को स्थिर रखने के लिए,हमें परिवर्तन को संतुलित करना होगा: $\Delta Z = (n_{\alpha} \times -2) + (n_{\beta} \times 1) = 0$।
चूंकि $n_{\alpha} + n_{\beta} = 3$ है,यदि हम $n_{\alpha} = 1$ रखें तो $(-2) + (2) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$1$ $\alpha$-कण और $2$ $\beta$-कणों का उत्सर्जन समान परमाणु क्रमांक बनाए रखता है,जिससे समस्थानिक का निर्माण होता है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $N = N_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
यहाँ,नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_{0} = 10000$,अर्ध-आयु $T = 20 \text{ दिन}$,और बीता हुआ समय $t = 10 \text{ दिन}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10/20}$
$N = 10000 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2}$
$N = \frac{10000}{\sqrt{2}}$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर:
$N = \frac{10000}{1.414} \approx 7072.13$
निकटतम पूर्णांक में,हमें $N \approx 7070$ प्राप्त होता है।

(A) दूरी से अलग किए गए दो पतले लेंसों की तुल्य फोकस दूरी $(F)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
यहाँ $f_1 = 0.2 \,m$,$f_2 = 0.2 \,m$ और $d = 0.5 \,m$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{0.2} + \frac{1}{0.2} - \frac{0.5}{(0.2)(0.2)}$
$\frac{1}{F} = 5 + 5 - \frac{0.5}{0.04}$
$\frac{1}{F} = 10 - 12.5$
$\frac{1}{F} = -2.5$
अतः,$F = -\frac{1}{2.5} = -0.4 \,m$.

(C) दोनों हेडलाइट्स के बस अलग-अलग दिखाई देने (resolved) की शर्त रेले मानदंड (Rayleigh criterion) द्वारा दी जाती है: $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$, जहाँ $\theta$ कोणीय विभेदन है, $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ पुतली का व्यास है।
साथ ही, $\theta = \frac{d}{x}$, जहाँ $d$ हेडलाइट्स के बीच की दूरी है और $x$ प्रेक्षक से जीप की दूरी है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{d}{x} = 1.22 \frac{\lambda}{D} \Rightarrow x = \frac{d \times D}{1.22 \times \lambda}$.
दिया गया है: $d = 1.2 \,m$, $D = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$, $\lambda = 5896 \,\text{Å} = 5896 \times 10^{-10} \,m$.
मान रखने पर: $x = \frac{1.2 \times 2 \times 10^{-3}}{1.22 \times 5896 \times 10^{-10}} \approx 3336 \,m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $x \approx 3.34 \,km$.

(B) एक समकोण समद्विबाहु प्रिज्म के एक फलक पर लंबवत आपतित प्रकाश की किरण बिना विचलित हुए प्रिज्म में प्रवेश करती है।
जब यह कर्ण (hypotenuse) पर पहुँचती है,तो आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ होता है।
चूँकि किरण कर्ण को स्पर्श करते हुए निकल जाती है,इसलिए अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,आपतन कोण क्रांतिक कोण $C$ के बराबर है,इसलिए $C = 45^{\circ}$ है।
अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{1}{\sin C}$ है।
$C$ का मान रखने पर,$\mu = \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\mu \approx 1.414$।

(C) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{\delta_{B} - \delta_{R}}{\delta_{y}}$ है,जहाँ $\delta_{B}$ और $\delta_{R}$ नीली और लाल किरणों के लिए विचलन हैं,और $\delta_{y}$ माध्य विचलन है,जिसकी गणना $\delta_{y} = \frac{\delta_{B} + \delta_{R}}{2}$ के रूप में की जाती है।
पहले प्रिज्म के लिए:
$\delta_{B1} = 12^{\circ}$,$\delta_{R1} = 8^{\circ}$.
$\delta_{y1} = \frac{12^{\circ} + 8^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
$\omega_{1} = \frac{12^{\circ} - 8^{\circ}}{10^{\circ}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
दूसरे प्रिज्म के लिए:
$\delta_{B2} = 14^{\circ}$,$\delta_{R2} = 10^{\circ}$.
$\delta_{y2} = \frac{14^{\circ} + 10^{\circ}}{2} = 12^{\circ}$.
$\omega_{2} = \frac{14^{\circ} - 10^{\circ}}{12^{\circ}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
विक्षेपण क्षमता का अनुपात $\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} = \frac{2/5}{1/3} = \frac{2}{5} \times 3 = \frac{6}{5}$ है।

(B) हवा के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक $\mu = 1.5$ है।
क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$ द्वारा दिया जाता है।
$C = \sin^{-1}(0.667) \approx 41.8^{\circ} \approx 42^{\circ}$।
चूंकि आपतन कोण $i = 50^{\circ}$,क्रांतिक कोण $C = 42^{\circ}$ से अधिक है,इसलिए प्रकाश किरण पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन में,परावर्तन कोण $r$,आपतन कोण $i$ के बराबर होता है,इसलिए $r = 50^{\circ}$।
विचलन $\delta$,आपतित किरण के मूल पथ और परावर्तित किरण के बीच का कोण है।
ज्यामिति के अनुसार,विचलन $\delta = 180^{\circ} - (i + r) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ है।

(B) किसी माध्यम में वस्तु की आभासी गहराई का सूत्र है: $\text{आभासी गहराई} = \frac{\text{वास्तविक गहराई}}{\text{अपवर्तनांक}}$.
पात्र की कुल ऊँचाई $2d$ है। यह दो अमिश्रणीय द्रवों से आधा भरा हुआ है,इसलिए प्रत्येक द्रव की वास्तविक गहराई $d$ है।
पहले द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_1 = \sqrt{2}$ है,आभासी गहराई $x_1$ है:
$x_1 = \frac{d}{\sqrt{2}}$
दूसरे द्रव के लिए,जिसका अपवर्तनांक $\mu_2 = n$ है,आभासी गहराई $x_2$ है:
$x_2 = \frac{d}{n}$
पात्र के तल की कुल आभासी गहराई दोनों परतों की आभासी गहराई का योग है:
$\text{कुल आभासी गहराई} = x_1 + x_2 = \frac{d}{\sqrt{2}} + \frac{d}{n}$
हर समान करने पर:
$\text{कुल आभासी गहराई} = \frac{dn + d\sqrt{2}}{n\sqrt{2}} = \frac{d(n + \sqrt{2})}{n\sqrt{2}}$

(B) डायोड का रिवर्स बायस प्रतिरोध $(R)$, वोल्टेज में परिवर्तन $(\Delta V)$ और धारा में परिवर्तन $(\Delta I)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
वोल्टेज में परिवर्तन, $\Delta V = 1 \, V$
धारा में परिवर्तन, $\Delta I = 0.5 \, \mu A = 0.5 \times 10^{-6} \, A$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R = \frac{\Delta V}{\Delta I}$
$R = \frac{1}{0.5 \times 10^{-6}} \, \Omega$
$R = \frac{1}{0.5} \times 10^{6} \, \Omega$
$R = 2 \times 10^{6} \, \Omega$
अतः, रिवर्स बायस प्रतिरोध $2 \times 10^{6} \, \Omega$ है।

(D) दी गई सत्यता सारणी दर्शाती है कि जब $A$ या $B$ या दोनों $0$ होते हैं,तो आउटपुट $Y$ का मान $1$ होता है,और जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ का मान $1$ होता है,तभी आउटपुट $Y$ का मान $0$ होता है।
यह व्यवहार बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ के अनुरूप है।
यह $NAND$ गेट की विशिष्ट सत्यता सारणी है,जो एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट का संयोजन है।

(A) $p$-प्रकार के अर्धचालक में,त्रिसंयोजक अशुद्धि परमाणुओं को मिलाने के कारण मोबाइल होल का घनत्व चालन इलेक्ट्रॉनों के घनत्व से काफी अधिक होता है।
इसलिए,बहुसंख्यक आवेश वाहक होल होते हैं और अल्पसंख्यक आवेश वाहक चालन (मुक्त) इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(D) $LASER$ क्रिया निम्नलिखित मूलभूत प्रक्रियाओं पर निर्भर करती है:
$(i)$ पॉपुलेशन इन्वर्जन: एक ऐसी स्थिति प्राप्त करना जहाँ मूल अवस्था (ground state) की तुलना में उत्तेजित अवस्था में अधिक परमाणु हों।
(ii) स्टिमुलेटेड एमिशन: एक आपतित फोटॉन एक उत्तेजित परमाणु को दूसरे फोटॉन का उत्सर्जन करने के लिए प्रेरित करता है जो चरण,आवृत्ति और दिशा में समान होता है।
(iii) प्रवर्धन (Amplification): एक ऑप्टिकल कैविटी के भीतर स्टिमुलेटेड एमिशन को दोहराकर प्रकाश की तीव्रता बढ़ाने की प्रक्रिया।
अतः,दिए गए सभी विकल्प सही हैं।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $x_n = \frac{(2n+1) \lambda D}{2a}$ है,जहाँ $n$ द्वितीयक उच्चिष्ठ का क्रम है।
लाल प्रकाश $(\lambda_1 = 6500 Å)$ के दूसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=2)$ के लिए: $x_2 = \frac{(2(2)+1) \lambda_1 D}{2a} = \frac{5 \lambda_1 D}{2a}$.
अज्ञात तरंगदैर्ध्य $(\lambda_2)$ के तीसरे द्वितीयक उच्चिष्ठ $(n=3)$ के लिए: $x_3 = \frac{(2(3)+1) \lambda_2 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
चूंकि उच्चिष्ठ संपाती हैं,$x_2 = x_3$,जिसका अर्थ है $\frac{5 \lambda_1 D}{2a} = \frac{7 \lambda_2 D}{2a}$.
सरल करने पर,हमें $5 \lambda_1 = 7 \lambda_2$ प्राप्त होता है।
$\lambda_1 = 6500 Å$ रखने पर,$5 \times 6500 = 7 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{32500}{7} Å \approx 4642.8 Å$.

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब परावर्तित किरण पूरी तरह से ध्रुवीकृत होती है,तो आपतन कोण ध्रुवण कोण $(\theta_p)$ के बराबर होता है।
दिया गया है,$\theta_p = 60^{\circ}$।
कांच का अपवर्तनांक $(\mu_g)$,$\mu_g = \tan \theta_p$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_g = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक निर्वात में प्रकाश की गति $(c)$ और माध्यम में प्रकाश की गति $(v_g)$ का अनुपात होता है:
$\mu_g = \frac{c}{v_g}$।
मान रखने पर,$\sqrt{3} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{v_g}$।
$v_g = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \text{ m/s} = \sqrt{3} \times 10^8 \text{ m/s}$।

(D) विलयन $A$ के लिए: $L_{1} = 20 \ cm$,$\theta_{1} = +38^{\circ}$। माना सांद्रता $C_{1}$ है। विशिष्ट घूर्णन $\alpha_{1} = \frac{\theta_{1}}{L_{1} C_{1}} = \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}}$ है।
विलयन $B$ के लिए: $L_{2} = 30 \ cm$,$\theta_{2} = -24^{\circ}$ (वाम-हस्त)। माना सांद्रता $C_{2}$ है। विशिष्ट घूर्णन $\alpha_{2} = \frac{\theta_{2}}{L_{2} C_{2}} = \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}}$ है।
मिश्रण में,आयतन का अनुपात $1:2$ है। अतः,नई सांद्रता $C_{1}' = \frac{C_{1}}{3}$ और $C_{2}' = \frac{2C_{2}}{3}$ होगी।
$l = 30 \ cm$ की पथ लंबाई के लिए कुल प्रकाशीय घूर्णन $\theta = (\alpha_{1} C_{1}' + \alpha_{2} C_{2}') l$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}} \cdot \frac{C_{1}}{3} + \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}} \cdot \frac{2 C_{2}}{3} \right) \times 30$.
$\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{60} - \frac{48^{\circ}}{90} \right) \times 30 = \left( \frac{19^{\circ}}{30} - \frac{16^{\circ}}{30} \right) \times 30 = 19^{\circ} - 16^{\circ} = +3^{\circ}$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,यह $3^{\circ}$ का दक्षिण-हस्त घूर्णन है।

(D) कला-संबद्ध स्रोतों के लिए,केंद्रीय उच्चिष्ठ पर तीव्रता $I_{0} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों स्रोतों का आयाम $A$ समान है,इसलिए उनकी व्यक्तिगत तीव्रताएं समान हैं,मान लीजिए $I_{1} = I_{2} = I$।
अतः,$I_{0} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I})^2 = 4I$।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत की तीव्रता $I = \frac{I_{0}}{4}$ है।
जब स्रोत कला-असंबंध होते हैं,तो व्यतिकरण पद का समय के साथ औसत शून्य हो जाता है। इसलिए,परिणामी तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग होती है: $I_{res} = I_{1} + I_{2} = I + I = 2I$।
$I = \frac{I_{0}}{4}$ को समीकरण में रखने पर,हमें $I_{res} = 2 \times (\frac{I_{0}}{4}) = \frac{I_{0}}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की अर्ध कोणीय चौड़ाई $\theta$ को संबंध $\sin \theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया तरंगदैर्ध्य $\lambda = 589 \ nm = 589 \times 10^{-9} \ m$ है।
दी गई झिरियों के बीच की दूरी $d = 0.589 \ mm = 0.589 \times 10^{-3} \ m$ है।
मान रखने पर:
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{0.589 \times 10^{-3}}$
$\sin \theta = \frac{589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-6}} = 10^{-3} = 0.001$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}(0.001)$।

(B) एक स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I = \frac{2r B_H}{\mu_0 N} \tan \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $r$ त्रिज्या है, $N$ फेरों की संख्या है और $\theta$ विक्षेप है。
चूंकि गैल्वेनोमीटर $V$ emf वाले सेल के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं, इसलिए प्रत्येक पर विभवांतर समान है $(V_A = V_B = V)$。
$V = IR$ होने के कारण, $I = V/R$ प्राप्त होता है। दोनों के लिए $R$ समान $(8 \Omega)$ है, इसलिए धारा $I_A$ और $I_B$ समान हैं。
अतः, $\frac{2 r_A B_H}{\mu_0 N_A} \tan \theta_A = \frac{2 r_B B_H}{\mu_0 N_B} \tan \theta_B$.
सरल करने पर, $\frac{r_A \tan \theta_A}{N_A} = \frac{r_B \tan \theta_B}{N_B}$ प्राप्त होता है。
दिए गए मान रखने पर: $r_A = 8 \text{ cm}$, $r_B = 16 \text{ cm}$, $N_A = 2$, $\theta_A = 30^{\circ}$, $\theta_B = 60^{\circ}$.
$\frac{8 \tan 30^{\circ}}{2} = \frac{16 \tan 60^{\circ}}{N_B}$.
$4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16 \times \sqrt{3}}{N_B}$.
$N_B = \frac{16 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3}{4} = 12$ फेरे।