સમૂહ $(G, \times_{15})$ માં,જ્યાં $G = \{3, 6, 9, 12\}$ અને $\times_{15}$ એ $15$ મોડ્યુલો ગુણાકાર છે,તો તટસ્થ ઘટક (identity element) કયો છે?

એક જૂથ $(G, *)$ માં $10$ ઘટકો છે. $G$ ના ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા,જે તેમના પોતાના વ્યસ્ત છે,તે છે

ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a ^* b = a - b$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે.

સાબિત કરો કે સરવાળો, બાદબાકી અને ગુણાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓ (binary operations) છે, પરંતુ ભાગાકાર એ $R$ પર દ્વિ-ક્રિયા નથી. વધુમાં, સાબિત કરો કે ભાગાકાર એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R_*$ પર દ્વિ-ક્રિયા છે.

$N$ પર એક દ્વિ ક્રિયા $*$ ને $a * b = a^{3} + b^{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. સાચો જવાબ પસંદ કરો.

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Q$ પર,$a ^* b = ab + 1$ વ્યાખ્યાયિત કરો.