ધારો કે int_alpha^{log _e 4} frac{dx}{sqrt{e^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સંકલન $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$ છે.ધારો કે $e^{x}-1=t^2$,તેથી $e^x dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx =

Vedclass · Accepted Answer

$2 x^2-5 x+2=0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સંકલન $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$ છે.ધારો કે $e^{x}-1=t^2$,તેથી $e^x dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $dx = \frac{2t dt}{t^2+1}$.જ્યારે $x = \log_e 4$,ત્યારે $t = \sqrt{e^{\log_e 4}-1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$.જ્યારે $x = \alpha$,ત્યારે $t = \sqrt{e^\alpha-1}$.સંકલન $\int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{2t dt}{t(t^2+1)} = 2 \int_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}} \frac{dt}{t^2+1} = 2 [	an^{-1} t]_{\sqrt{e^\alpha-1}}^{\sqrt{3}}$ બને છે.આ $2(	an^{-1} \sqrt{3} - 	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = 2(\frac{\pi}{3} - 	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1}) = \frac{\pi}{6}$ થાય છે.$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\pi}{3} - 	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{12}$ મળે છે,તેથી $	an^{-1} \sqrt{e^\alpha-1} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.આમ,$\sqrt{e^\alpha-1} = 	an(\frac{\pi}{4}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e^\alpha-1 = 1$,તેથી $e^\alpha = 2$.પછી $e^{-\alpha} = \frac{1}{2}$.$2$ અને $\frac{1}{2}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x-2)(x-\frac{1}{2}) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$ અથવા $2x^2 - 5x + 2 = 0$ થાય છે.

ધારો કે $\int_\alpha^{\log _e 4} \frac{dx}{\sqrt{e^{x}-1}}=\frac{\pi}{6}$. તો $e^\alpha$ અને $e^{-\alpha}$ એ કયા સમીકરણના બીજ છે:

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$ ની કિંમત શોધો.

આદેશ $x+2=t^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને સંકલન $\int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{3}^{5} \frac{1}{2x + 3} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module