$k \in N$ ની કઈ કિંમત માટે સંકલન $I_n = \int_0^1 (1 - x^k)^n dx, n \in N$,એ $147 I_{20} = 148 I_{21}$ નું સમાધાન કરે છે?

$-1 < x, y < 1$ માટે,જો $\int \frac{x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} dx + \int \frac{y}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}} dy = A(1+x)^{3/2} + B(1-x)^{3/2} + f(y)(y+1)^{3/2} + g(y)(y-1)^{3/2} + C$ હોય,તો $A f(y) + B g(y) =$

જો $\int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx = g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$,જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે,તો $g(0)$ ની કિંમત શોધો.

$\int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ ની કિંમત શું થાય?

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \geq 2$ માટે,ધારો કે $I_n = \int \tan^n x \, dx$. જો $n \geq 2$ માટે $I_n = \frac{1}{a} \tan^{n-1} x - b I_{n-2}$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ બરાબર છે

ધારો કે $f(x) = \int \frac{dx}{(3+4x^2) \sqrt{4-3x^2}}$,$|x| < \frac{2}{\sqrt{3}}$. જો $f(0) = 0$ અને $f(1) = \frac{1}{\alpha \beta} \tan^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$,જ્યાં $\alpha, \beta > 0$,તો $\alpha^2 + \beta^2$ ની કિંમત $.........$ છે.