JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) गुणनफल सम तब होता है जब उपसमुच्चय का कम से कम एक अवयव सम हो।
$S$ के कुल अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^{100} - 1$ है।
केवल विषम अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या $S$ में मौजूद विषम संख्याओं के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर है।
$S = \{1, 2, \dots, 100\}$ में $50$ विषम संख्याएँ हैं।
केवल विषम अवयवों वाले अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^{50} - 1$ है।
अतः,सम गुणनफल वाले उपसमुच्चयों की संख्या = (कुल अरिक्त उपसमुच्चय) - (केवल विषम अवयवों वाले अरिक्त उपसमुच्चय)।
$= (2^{100} - 1) - (2^{50} - 1) = 2^{100} - 2^{50}$.

(D) अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ शीर्ष $(\pm 2, 0)$ पर हैं,इसलिए $a = 2$ और $a^2 = 4$ है।
नाभि $(\pm ae, 0)$ पर होती है,इसलिए $ae = 3$ है।
अतिपरवलय के लिए $b^2 = a^2e^2 - a^2$ होता है,इसलिए $b^2 = 3^2 - 2^2 = 5$ है।
अतः अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $\frac{6^2}{4} - \frac{(5\sqrt{2})^2}{5} = 9 - 10 = -1 \neq 1$ है।
अतः,बिंदु $(6, 5\sqrt{2})$ अतिपरवलय पर स्थित नहीं है।

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt \pi - \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} }}{{\sqrt {1 - x} }}$।
अंश का परिमेयकरण करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\pi - 2{{\sin }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - x} (\sqrt \pi + \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} )}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2(\frac{\pi }{2} - {{\sin }^{ - 1}}x)}}{{\sqrt {1 - x} (\sqrt \pi + \sqrt {2{{\sin }^{ - 1}}x} )}}$
सर्वसमिका $\frac{\pi }{2} - {{\sin }^{ - 1}}x = {{\cos }^{ - 1}}x$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{{\cos }^{ - 1}}x}}{{\sqrt {1 - x} }} \cdot \frac{1}{{2\sqrt \pi }}$
$x = \cos \theta$ रखने पर,जब $x \to 1^-$,तब $\theta \to 0^+$। $\sqrt{1-x} = \sqrt{2}\sin(\theta/2)$।
$L = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0^+} \frac{{2\theta }}{{\sqrt{2}\sin(\theta/2)}} \cdot \frac{1}{{2\sqrt \pi }} = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$।

(D) $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 1 + 1}{4} \geq (\sin^4 \alpha \cdot 4 \cos^4 \beta \cdot 1 \cdot 1)^{1/4}$
$\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 2 \geq 4\sqrt{2} \sin \alpha \cos \beta$
समानता के लिए,$\sin^4 \alpha = 1$ और $4 \cos^4 \beta = 1$ होगा।
अतः,$\sin \alpha = 1$ और $\cos \beta = \pm 1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\alpha = \pi/2$ और $\beta = \pi/4$ या $3\pi/4$ लेने पर,
$\cos(\alpha + \beta) = -1/\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा बिंदु $P(-3, 4)$ से गुजरती है और यह बिंदु अक्षों के बीच के अंतःखंडित भाग को समद्विभाजित करता है,इसलिए अंतःखंड $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार,$P = \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right).$
दिए गए $P(-3, 4)$ से,हमारे पास $\frac{a}{2} = -3 \implies a = -6$ और $\frac{b}{2} = 4 \implies b = 8$ है।
इन मानों को अंतःखंड रूप समीकरण में रखने पर: $\frac{x}{-6} + \frac{y}{8} = 1.$
$24$ से गुणा करने पर,हमें $-4x + 3y = 24$ या $4x - 3y + 24 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना पुरुषों की संख्या $m$ है और महिलाओं की संख्या $2$ है।
प्रत्येक प्रतिभागी अन्य प्रत्येक प्रतिभागी के साथ $2$ खेल खेलता है।
पुरुषों के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times \binom{m}{2} = 2 \times \frac{m(m-1)}{2} = m^2 - m$ है।
पुरुषों और महिलाओं के बीच खेले गए खेलों की संख्या $2 \times (m \times 2) = 4m$ है।
प्रश्न के अनुसार,इनका अंतर $84$ है:
$(m^2 - m) - 4m = 84$
$m^2 - 5m - 84 = 0$
$(m - 12)(m + 7) = 0$
चूंकि $m$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m = 12$ है।

(A) दिया गया है $|z_1| = 9$,जो $(0, 0)$ केंद्र और $r_1 = 9$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C_1$ है।
दिया गया है $|z_2 - (3 + 4i)| = 4$,जो $(3, 4)$ केंद्र और $r_2 = 4$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C_2$ है।
केंद्रों $C_1(0, 0)$ और $C_2(3, 4)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
यहाँ केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ और त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |9 - 4| = 5$ है,इसलिए $d = |r_1 - r_2|$ है।
इसका अर्थ है कि वृत्त $C_2$,वृत्त $C_1$ के भीतर स्थित है और उसे आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।
चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $C_1$ पर स्थित बिंदु $z_1$ और $C_2$ पर स्थित बिंदु $z_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $0$ है।

(D) $(7^{1/5} - 3^{1/10})^{60}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^{60}C_{r} (7^{1/5})^{60-r} (-3^{1/10})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
घातांकों को सरल करने पर,$T_{r+1} = ^{60}C_{r} (-1)^{r} (7)^{12 - r/5} (3)^{r/10}$ प्राप्त होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$7$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसके लिए $r/5$ और $r/10$ को पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ को $10$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 60$,$r$ के संभावित मान $0, 10, 20, 30, 40, 50, 60$ हैं।
ऐसे $7$ मान हैं,इसलिए $7$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में पदों की कुल संख्या $60 + 1 = 61$ है।
अतः,अपरिमेय पदों की संख्या $61 - 7 = 54$ है।

(C) दिया गया परवलय समीकरण $x^2 = 8y$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{4}$।
चूंकि स्पर्शरेखा $x-$अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए स्पर्शरेखा की ढाल $\tan \theta$ है।
अतः,$\frac{x}{4} = \tan \theta$,जिससे $x = 4 \tan \theta$ प्राप्त होता है।
$x = 4 \tan \theta$ को परवलय समीकरण $x^2 = 8y$ में रखने पर,$(4 \tan \theta)^2 = 8y$ प्राप्त होता है,जिससे $16 \tan^2 \theta = 8y$,अर्थात $y = 2 \tan^2 \theta$।
स्पर्श बिंदु $(4 \tan \theta, 2 \tan^2 \theta)$ है।
$(x_1, y_1)$ बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है,जहाँ $m = \tan \theta$ है।
$y - 2 \tan^2 \theta = \tan \theta (x - 4 \tan \theta)$
$y - 2 \tan^2 \theta = x \tan \theta - 4 \tan^2 \theta$
$y = x \tan \theta - 2 \tan^2 \theta$।
वैकल्पिक रूप से,$\tan \theta$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\tan \theta \neq 0$):
$x = y \cot \theta + 2 \tan \theta$।

(A) माना $A$ उन छात्रों का समुच्चय है जिन्होंने $NCC$ चुना है और $B$ उन छात्रों का समुच्चय है जिन्होंने $NSS$ चुना है।
दिया गया है: $n(U) = 60$,$n(A) = 40$,$n(B) = 30$,$n(A \cap B) = 20$.
कम से कम एक विषय चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$n(A \cup B) = 40 + 30 - 20 = 50$.
न तो $NCC$ और न ही $NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(A^c \cap B^c) = n(U) - n(A \cup B) = 60 - 50 = 10$ है।
चुने गए छात्र द्वारा कुछ भी न चुनने की प्रायिकता $\frac{n(A^c \cap B^c)}{n(U)} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ है।

(A) माना पाँच प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। दिया है $n = 5$,$\bar{x} = 4$,और $\sigma^2 = 5.2$.
प्रेक्षणों का योग: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 5 \times 4 = 20$.
दिया है $x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 4$,अतः $3 + 4 + 4 + x_4 + x_5 = 20$,जिससे $x_4 + x_5 = 9$ $(i)$.
प्रसरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 4^2$ $\Rightarrow 5.2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 16$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 5 \times 21.2 = 106$.
वर्गों का योग: $3^2 + 4^2 + 4^2 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow 9 + 16 + 16 + x_4^2 + x_5^2 = 106$ $\Rightarrow x_4^2 + x_5^2 = 65$ $(ii)$.
हम जानते हैं कि $(x_4 - x_5)^2 = 2(x_4^2 + x_5^2) - (x_4 + x_5)^2$.
$(x_4 - x_5)^2 = 2(65) - (9)^2 = 130 - 81 = 49$.
अतः,$|x_4 - x_5| = \sqrt{49} = 7$.

(B) माना मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $AB$ पर लंब का पाद $P(h, k)$ है।
चूंकि $OP \perp AB,$ $OP$ की ढाल $m_1 = \frac{k}{h}$ है।
अतः,$AB$ की ढाल $m_2 = -\frac{h}{k}$ है।
$P(h, k)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $y - k = -\frac{h}{k}(x - h)$ है,जो $hx + ky = h^2 + k^2$ में सरल हो जाता है।
अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $A\left(\frac{h^2 + k^2}{h}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{h^2 + k^2}{k}\right)$ हैं।
चूंकि $AB$ त्रिज्या $R$ वाले वृत्त की जीवा है और $\angle AOB = 90^\circ$ है,इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।
अतः,लंबाई $AB = 2R.$
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB^2 = (2R)^2 = 4R^2.$
$\left(\frac{h^2 + k^2}{h}\right)^2 + \left(\frac{h^2 + k^2}{k}\right)^2 = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{h^2 + k^2}{h^2k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^3 = 4R^2h^2k^2.$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^3 = 4R^2x^2y^2$ है।

(A) दिया गया है $A = \{ x \in Z : 2^{(x + 2)(x^2 - 5x + 6)} = 1 \}$.
चूंकि $2^0 = 1$,इसलिए $(x + 2)(x^2 - 5x + 6) = 0$.
$(x + 2)(x - 2)(x - 3) = 0$,अतः $x = -2, 2, 3$.
इस प्रकार,$A = \{-2, 2, 3\}$,इसलिए $n(A) = 3$.
दिया गया है $B = \{ x \in Z : -3 < 2x - 1 < 9 \}$.
सभी पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $-2 < 2x < 10$.
$2$ से विभाजित करने पर: $-1 < x < 5$.
चूंकि $x \in Z$,इसलिए $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$,अतः $n(B) = 5$.
$A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A) \times n(B) = 3 \times 5 = 15$ है।
$A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n(A \times B)} = 2^{15}$ है।

(B) दिया गया है कि $^nC_4, ^nC_5,$ और $^nC_6$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
अतः,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
समीकरण को हल करने पर,हमें $n^2 - 81n + 338 = 0$ प्राप्त होता है।
$(n-14)(n-67) = 0$
अतः,$n = 14$ या $n = 67$। विकल्पों के अनुसार,$n = 14$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का अंत बिंदु $B(0, b)$ है।
चूँकि $\Delta S'BS$ बिंदु $B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,$BS$ और $BS'$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$BS$ की प्रवणता $= -\frac{b}{ae}$.
$BS'$ की प्रवणता $= \frac{b}{ae}$.
$B$ पर कोण $90^\circ$ है,इसलिए प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा,अतः $(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$,जिससे $b^2 = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$\Delta S'BS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times b = aeb = 8$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2b^2 = 64$. $a^2e^2 = b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^4 = 64$ प्राप्त होता है,अतः $b^2 = 8$.
चूँकि $b^2 = \frac{a^2}{2}$,हमारे पास $8 = \frac{a^2}{2}$ है,इसलिए $a^2 = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{4} = 4$.

(B) माना झील की सतह से बादल की ऊँचाई $h$ है। बिंदु $P$ झील की सतह से $25 \, m$ ऊपर है।
माना बादल बिंदु $P$ के स्तर से $x$ ऊँचाई पर है,इसलिए $h = x + 25$ है।
झील की सतह के नीचे बादल के प्रतिबिंब की दूरी $h = x + 25$ है।
$P$ से प्रतिबिंब तक की कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $(x + 25) + 25 = x + 50$ है।
माना $P$ से बादल की ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी $y$ है।
उन्नयन कोण से: $\tan(30^o) = \frac{x}{y} \Rightarrow y = \frac{x}{\tan(30^o)} = x\sqrt{3}$ है।
अवनमन कोण से: $\tan(60^o) = \frac{x + 50}{y} \Rightarrow y = \frac{x + 50}{\sqrt{3}}$ है।
$y$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $x\sqrt{3} = \frac{x + 50}{\sqrt{3}}$ है।
$3x = x + 50$ $\Rightarrow 2x = 50$ $\Rightarrow x = 25 \, m$ है।
सतह से बादल की कुल ऊँचाई $h = x + 25 = 25 + 25 = 50 \, m$ है।

(A) हम तार्किक तुल्यता $\sim (a \to b) \equiv a \wedge \sim b$ का उपयोग करते हैं।
दिए गए व्यंजक $\sim ( \sim p \to q)$ पर इसे लागू करने पर:
मान लीजिए $a = \sim p$ और $b = q$ है।
तब $\sim ( \sim p \to q) \equiv (\sim p) \wedge (\sim q)$।
अतः,व्यंजक $\sim p \wedge \sim q$ के समतुल्य है।

(B) दी गई श्रेणी ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{6}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{9}{4}} \right)^3} + {\left( {\frac{12}{4}} \right)^3} + \dots$ $15$ पदों तक है।
इसे $\sum_{r=1}^{15} {\left( \frac{3r}{4} \right)^3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$= \frac{27}{64} \sum_{r=1}^{15} r^3$.
सूत्र $\sum_{r=1}^{n} r^3 = {\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{27}{64} \times {\left[ \frac{15(16)}{2} \right]^2}$.
$= \frac{27}{64} \times (120)^2$.
$= \frac{27}{64} \times 14400$.
$= 27 \times 225$.
दिया गया है कि योग $225\,k$ है,इसलिए $225\,k = 225 \times 27$.
अतः,$k = 27$.

(C) द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ के हमेशा धनात्मक होने के लिए $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
चरण $1$: $a > 0$ की शर्त
$1 + 2m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}$.
चरण $2$: $D < 0$ की शर्त
$D = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + 2m)(4(1 + m)) < 0$
$m^2 - 6m - 3 < 0$.
चरण $3$: असमिका $m^2 - 6m - 3 < 0$ को हल करना
$m$ के मूल $3 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
अतः,$3 - 2\sqrt{3} < m < 3 + 2\sqrt{3}$ अर्थात $-0.464 < m < 6.464$.
चरण $4$: $m > -0.5$ के साथ प्रतिच्छेदन
$m$ के पूर्णांक मान ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
कुल $7$ मान संभव हैं।

(C) एक रेखा और एक वक्र के बीच की न्यूनतम दूरी वक्र पर उस बिंदु पर होती है जहाँ स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होती है।
दी गई रेखा $y = x$ है,जिसका ढाल $m = 1$ है।
वक्र $y^2 = x - 2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
स्पर्श रेखा के ढाल को रेखा के ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{1}{2y} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$।
$y = \frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $(\frac{1}{2})^2 = x - 2 \Rightarrow \frac{1}{4} = x - 2 \Rightarrow x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$।
अतः,वक्र पर बिंदु $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ है।
न्यूनतम दूरी बिंदु $P(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ से रेखा $x - y = 0$ की लंबवत दूरी है।
दूरी $d = \frac{|x_1 - y_1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{9}{4} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{2}} = \frac{|\frac{9-2}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}}$।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2x + 2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$ प्राप्त होता है।
माना $\alpha = 1 + i$ और $\beta = 1 - i$ है।
तब $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$ है।
हमें $n$ का वह न्यूनतम प्राकृतिक मान ज्ञात करना है जिसके लिए $(\frac{\alpha}{\beta})^n = 1$ हो,जिसका अर्थ है $i^n = 1$ है।
$i$ की घातें $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ होती हैं।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $4$ है।

(A) कुल अंकों की संख्या $9$ है। अंक $1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4$ हैं।
विषम अंक $1, 1, 3$ हैं (कुल $3$ विषम अंक)।
सम अंक $2, 2, 2, 2, 4, 4$ हैं (कुल $6$ सम अंक)।
$4$ सम स्थान $(2^{nd}, 4^{th}, 6^{th}, 8^{th})$ और $5$ विषम स्थान $(1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, 7^{th}, 9^{th})$ हैं।
$4$ सम स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^4C_3$ हैं।
$3$ विषम अंकों को इन $3$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{3!}{2!} = 3$ हैं।
शेष $6$ अंकों को शेष $6$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{6!}{4!2!} = 15$ हैं।
कुल संख्याएँ $= ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} \times \frac{6!}{4!2!} = 4 \times 3 \times 15 = 180$.

(C) मान लीजिए $P = (h, k)$ है। $\Delta AOP$ का परिमाप $AP + OP + AO = 4$ है।
यहाँ $O(0, 0)$ और $A(0, 1)$ दिए गए हैं,इसलिए $AO = 1$ है।
अतः,$AP + OP = 4 - 1 = 3$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} + \sqrt{h^2 + k^2} = 3$ है।
$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} = 3 - \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h^2 + k^2 - 2k + 1 = 9 + h^2 + k^2 - 6\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
$-2k - 8 = -6\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
$k + 4 = 3\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
पुनः वर्ग करने पर:
$k^2 + 8k + 16 = 9(h^2 + k^2)$ है।
$k^2 + 8k + 16 = 9h^2 + 9k^2$ है।
$9h^2 + 8k^2 - 8k - 16 = 0$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $9x^2 + 8y^2 - 8y = 16$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ और $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि $\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$,इसलिए $\tan(\alpha + \beta) = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$,इसलिए $\cos(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$ है,अतः $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$ है।
अब,$\tan(2\alpha) = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$ है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(2\alpha) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{4}{3} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{16}{36}} = \frac{63}{16}$.

(C) माना $t = \sqrt{x}$,जहाँ $t > 0$ है।
समीकरण $|t - 2| + t(t - 4) + 2 = 0$ हो जाता है।
$|t - 2| + t^2 - 4t + 2 = 0$.
हम $t^2 - 4t + 2$ को $(t^2 - 4t + 4) - 2 = (t - 2)^2 - 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$|t - 2| + (t - 2)^2 - 2 = 0$.
माना $u = |t - 2|$,तो $u^2 + u - 2 = 0$ है।
$(u + 2)(u - 1) = 0$.
चूँकि $u = |t - 2| \ge 0$,इसलिए $u = 1$ होगा।
$|t - 2| = 1 \implies t - 2 = 1$ या $t - 2 = -1$ है।
$t = 3$ या $t = 1$ है।
चूँकि $t = \sqrt{x}$ है,इसलिए $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ और $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$ है।
हलों का योग $9 + 1 = 10$ है।

(D) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{20} (3r + 2) \cdot {}^{20}C_r$ है।
$S = 3 \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_r + 2 \sum_{r=0}^{20} {}^{20}C_r$.
सर्वसमिका $r \cdot {}^{n}C_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = 3 \sum_{r=1}^{20} 20 \cdot {}^{19}C_{r-1} + 2 \cdot 2^{20}$.
$S = 3 \cdot 20 \cdot \sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} + 2^{21}$.
चूंकि $\sum_{r=1}^{20} {}^{19}C_{r-1} = 2^{19}$,इसलिए:
$S = 60 \cdot 2^{19} + 2 \cdot 2^{20} = 30 \cdot 2^{20} + 2 \cdot 2^{20} = 32 \cdot 2^{20} = 2^5 \cdot 2^{20} = 2^{25}$.

(D) माना $7$ प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{x} = 8$,इसलिए $\sum_{i=1}^{7} x_i = 7 \times 8 = 56$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = 16$,हम सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हैं।
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 8^2$.
$16 = \frac{1}{7} \sum_{i=1}^{7} x_i^2 - 64 \Rightarrow \sum_{i=1}^{7} x_i^2 = 7 \times 80 = 560$.
दिए गए $5$ प्रेक्षण $2, 4, 10, 12, 14$ हैं। माना शेष दो $x_6$ और $x_7$ हैं।
$5$ प्रेक्षणों का योग: $2 + 4 + 10 + 12 + 14 = 42$.
$x_6 + x_7 = 56 - 42 = 14$.
$5$ प्रेक्षणों के वर्गों का योग: $2^2 + 4^2 + 10^2 + 12^2 + 14^2 = 4 + 16 + 100 + 144 + 196 = 460$.
$x_6^2 + x_7^2 = 560 - 460 = 100$.
हम जानते हैं कि $(x_6 + x_7)^2 = x_6^2 + x_7^2 + 2x_6x_7$.
$14^2 = 100 + 2x_6x_7$.
$196 = 100 + 2x_6x_7$ $\Rightarrow 2x_6x_7 = 96$ $\Rightarrow x_6x_7 = 48$.

(B) एक सशर्त कथन $p \to q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \to \sim p$ होता है।
माना $p$ कथन है: "आप भारत में पैदा हुए हैं।"
माना $q$ कथन है: "आप भारत के नागरिक हैं।"
दिया गया कथन $p \to q$ है।
अतः,इसका प्रतिधनात्मक $\sim q \to \sim p$ होगा,जिसका अर्थ है: "यदि आप भारत के नागरिक नहीं हैं,तो आप भारत में पैदा नहीं हुए हैं।"
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) हमें उन सभी $n$ का योग ज्ञात करना है जिनके लिए $100 < n < 200$ और $H.C.F. (91, n) > 1$ हो।
चूंकि $91 = 7 \times 13$,$H.C.F. (91, n) > 1$ का अर्थ है कि $n$ को $7$ या $13$ से विभाज्य होना चाहिए।
माना $S_A$,$100$ और $200$ के बीच $7$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।
ये संख्याएँ $105, 112, \dots, 196$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 105$,$l = 196$,और $d = 7$ है।
पदों की संख्या $k = \frac{196 - 105}{7} + 1 = 14$ है।
$S_A = \frac{14}{2} (105 + 196) = 7 \times 301 = 2107$।
माना $S_B$,$100$ और $200$ के बीच $13$ से विभाज्य संख्याओं का योग है।
ये संख्याएँ $104, 117, \dots, 195$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 104$,$l = 195$,और $d = 13$ है।
पदों की संख्या $m = \frac{195 - 104}{13} + 1 = 8$ है।
$S_B = \frac{8}{2} (104 + 195) = 4 \times 299 = 1196$।
माना $S_C$,$100$ और $200$ के बीच $7$ और $13$ दोनों से विभाज्य संख्याओं का योग है (अर्थात $91$ से विभाज्य)।
एकमात्र संख्या $182$ है।
$S_C = 182$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) के अनुसार,अभीष्ट योग $S_A + S_B - S_C = 2107 + 1196 - 182 = 3121$ है।

(B) माना $f(x) = (x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$.
द्विपद विस्तार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, ...} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2 [ \binom{6}{0} x^6 + \binom{6}{2} x^4 (x^3 - 1) + \binom{6}{4} x^2 (x^3 - 1)^2 + \binom{6}{6} (x^3 - 1)^3 ]$
$f(x) = 2 [ x^9 + 15x^8 + 15x^7 - 2x^6 - 30x^5 - 15x^4 + 3x^3 + 15x^2 - 1 ]$
यहाँ सम घात वाले पदों के गुणांक $15, -2, -15, 15, -1$ हैं।
गुणांकों का योग $= 2 \times (15 - 2 - 15 + 15 - 1) = 2 \times 12 = 24$.

(D) माना बिंदु $P(t, y)$ है। चूंकि बिंदु रेखा $3x + 5y = 15$ पर स्थित है,इसलिए $3t + 5y = 15$,जिससे $y = \frac{15 - 3t}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है,इसलिए $|x| = |y|$,अतः $|t| = |\frac{15 - 3t}{5}|$.
इसका अर्थ है $\frac{15 - 3t}{5} = t$ या $\frac{15 - 3t}{5} = -t$.
स्थिति $1$: $15 - 3t = 5t$ $\Rightarrow 8t = 15$ $\Rightarrow t = \frac{15}{8}$. अतः $y = \frac{15}{8}$. बिंदु $P(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ $1^{st}$ चतुर्थांश में स्थित है।
स्थिति $2$: $15 - 3t = -5t$ $\Rightarrow 2t = -15$ $\Rightarrow t = -\frac{15}{2}$. अतः $y = \frac{15}{2}$. बिंदु $P(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ $2^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,बिंदु $1^{st}$ और $2^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित हैं।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + y^2 = 8$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$8x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y}$।
बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{4(1)}{2} = -2$ है।
मान लीजिए बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{4a}{b}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $(-2) \times (-\frac{4a}{b}) = -1$,जिससे $\frac{8a}{b} = -1$,या $b = -8a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(a, b)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$4a^2 + b^2 = 8$।
$b = -8a$ प्रतिस्थापित करने पर,$4a^2 + (-8a)^2 = 8$ प्राप्त होता है,जो $4a^2 + 64a^2 = 8$ में सरल हो जाता है।
अतः,$68a^2 = 8$,इसलिए $a^2 = \frac{8}{68} = \frac{2}{17}$।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = 4$ है। केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y - n = 0$ की दूरी $p = \frac{|0 + 0 - n|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{n}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा के अस्तित्व के लिए $p < r$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{n}{\sqrt{2}} < 4$,जिसका अर्थ है $n < 4\sqrt{2} \approx 5.65$। चूंकि $n \in N$,इसलिए $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$।
जीवा की लंबाई $L = 2\sqrt{r^2 - p^2} = 2\sqrt{16 - \frac{n^2}{2}} = \sqrt{64 - 2n^2}$ है।
लंबाई का वर्ग $L^2 = 64 - 2n^2$ है।
$n = 1$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(1) = 62$।
$n = 2$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(4) = 56$।
$n = 3$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(9) = 46$।
$n = 4$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(16) = 32$।
$n = 5$ के लिए,$L^2 = 64 - 2(25) = 14$।
वर्गों का योग $62 + 56 + 46 + 32 + 14 = 210$ है।

(A) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$.
व्यंजक $(1 + iz + z^5 + iz^8)^9$ को सरल करने पर:
$1 + iz + z^5 + iz^8 = 1 + e^{i\pi/2}e^{i\pi/6} + e^{i5\pi/6} + e^{i\pi/2}e^{i8\pi/6}$
$= 1 + e^{i2\pi/3} + e^{i5\pi/6} + e^{i11\pi/6}$
$= 1 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2})$
$= \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$.
अब,इसकी घात $9$ लेने पर:
$(e^{i\pi/3})^9 = e^{i3\pi} = -1$.

(B) टॉटोलॉजी वह कथन है जो अपने सभी घटकों के सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $(p \vee q) \to (p \vee (\sim q)) = \sim (p \vee q) \vee (p \vee \sim q) = p \vee \sim q$,जो टॉटोलॉजी नहीं है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $(p \vee q) \to p = \sim (p \vee q) \vee p = \sim q \vee p$,जो टॉटोलॉजी नहीं है।
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $p \to (p \vee q) = \sim p \vee (p \vee q) = T$,जो टॉटोलॉजी है।
विकल्प $(D)$ की जाँच करें: $(p \wedge q) \to ((\sim p) \vee q) = \sim (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = T$,जो टॉटोलॉजी है।

(C) हमें $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ अंकों का उपयोग करके $4321$ से बड़ी चार अंकों की संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
स्थिति $1$: $5$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहला अंक $5$ है। शेष $3$ स्थानों को $6$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 6 \times 6 \times 6 = 216$.
स्थिति $2$: $44$ या $45$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहला अंक $4$ है। दूसरा अंक $4$ या $5$ ($2$ विकल्प) है। शेष $2$ स्थानों को $6$ अंकों में से किसी से भी भरा जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 2 \times 6 \times 6 = 72$.
स्थिति $3$: $43$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहले दो अंक $43$ हैं। तीसरा अंक $2$ से बड़ा होना चाहिए,यानी $3, 4, 5$ ($3$ विकल्प)।
चौथा अंक $6$ अंकों में से कोई भी हो सकता है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 1 \times 3 \times 6 = 18$.
स्थिति $4$: $432$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
पहले तीन अंक $432$ हैं। चौथा अंक $1$ से बड़ा होना चाहिए,यानी $2, 3, 4, 5$ ($4$ विकल्प)।
तरीकों की संख्या $= 1 \times 1 \times 1 \times 4 = 4$.
कुल संख्या $= 216 + 72 + 18 + 4 = 310$.

(D) मान लीजिए छठी परीक्षा का स्कोर $x$ है। छह परीक्षाओं का औसत इस प्रकार है:
$\frac{45 + 54 + 41 + 57 + 43 + x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$
अब,छह स्कोर $41, 43, 45, 48, 54, 57$ हैं।
प्रसरण $\sigma^2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{41^2 + 43^2 + 45^2 + 48^2 + 54^2 + 57^2}{6} - 48^2$
$\sigma^2 = \frac{1681 + 1849 + 2025 + 2304 + 2916 + 3249}{6} - 2304$
$\sigma^2 = \frac{14024}{6} - 2304 = \frac{7012}{3} - \frac{6912}{3} = \frac{100}{3}$
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,अतः $2b = a + c$.
कोण $A, B, C$ हैं,जहाँ $C = 2A$ और $A < B < C$.
त्रिभुज के गुणधर्म से $A + B + C = 180^{\circ}$,अतः $B = 180^{\circ} - 3A$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$2\sin B = \sin A + \sin C$.
$2\sin(180^{\circ} - 3A) = \sin A + \sin 2A$.
इस समीकरण को हल करने पर,$8\cos^2 A - 2\cos A - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
जिससे $\cos A = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
भुजाओं का अनुपात $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ है।

(B) दिया गया है कि नाभि $(0, 5\sqrt{3})$ पर है,इसलिए दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है और इसका दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है। अतः,$b > a$.
नाभि $(0, be) = (0, 5\sqrt{3})$ है,इसलिए $be = 5\sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2e^2 = 75$.
दीर्घवृत्त के लिए,$a^2 = b^2(1 - e^2) = b^2 - b^2e^2$,इसलिए $b^2 - a^2 = 75$.
हमें दिया गया है कि दीर्घ अक्ष $(2b)$ और लघु अक्ष $(2a)$ की लंबाइयों का अंतर $10$ है:
$2b - 2a = 10 \Rightarrow b - a = 5$.
सर्वसमिका $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 75$ का उपयोग करने पर:
$5(b + a) = 75 \Rightarrow b + a = 15$.
समीकरणों को हल करने पर:
$b - a = 5$
$b + a = 15$
जोड़ने पर $2b = 20 \Rightarrow b = 10$.
घटाने पर $2a = 10 \Rightarrow a = 5$.
ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ होती है।
$LR = \frac{2(5^2)}{10} = \frac{2 \times 25}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{16}{a^2} - \frac{36}{b^2} = 1 \dots (i)$।
दी गई उत्केंद्रता $e = 2$ है,इसलिए $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow 4 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ $\Rightarrow b^2 = 3a^2 \dots (ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,$\frac{16}{a^2} - \frac{36}{3a^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{16 - 12}{a^2} = 1$ $\Rightarrow a^2 = 4$।
अतः $b^2 = 3(4) = 12$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ है।
$(x_1, y_1) = (4, 6)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$\frac{4x}{4} - \frac{6y}{12} = 1$ $\Rightarrow x - \frac{y}{2} = 1$ $\Rightarrow 2x - y = 2$ $\Rightarrow 2x - y - 2 = 0$।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (1 + m^2)$,$b = -2(1 + 3m)$,और $c = (1 + 8m)$ है।
$D = b^2 - 4ac = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + m^2)(1 + 8m) < 0$.
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m) - 4(1 + 8m + m^2 + 8m^3) < 0$.
$D = 4(-8m^3 + 8m^2 - 2m) < 0$.
$D = -8m(2m - 1)^2 < 0$.
चूंकि $(2m - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $D < 0$ के लिए $-8m < 0$ और $2m - 1 \neq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $m > 0$ और $m \neq \frac{1}{2}$।
अतः,$m > 0$ के लिए अनंत पूर्णांक मान संभव हैं।

(A) माना $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{20}{{{2^{20}}}}$
$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{19}{{{2^{20}}}} + \frac{20}{{{2^{21}}}}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{20}{{{2^{21}}}}$
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$\frac{1}{2}S = (1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}) - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$
अतः,$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

(D) मान लीजिए वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है। बिंदु $P$ $(\sqrt{3}, 1)$ है।
$P$ पर अभिलंब वह रेखा है जो $O(0, 0)$ और $P(\sqrt{3}, 1)$ से होकर गुजरती है। इसका समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ या $x - \sqrt{3}y = 0$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ के अनुसार $\sqrt{3}x + y = 4$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटती है। स्पर्श रेखा के समीकरण में $y = 0$ रखने पर,$\sqrt{3}x = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$। अतः,$Q = (\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ है।
त्रिभुज मूल बिंदु $O(0, 0)$,बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ और बिंदु $Q(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ द्वारा बनता है।
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
आधार $OQ = \frac{4}{\sqrt{3}}$ और ऊंचाई ($P$ का $y$-निर्देशांक) $= 1$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(B) दिए गए समीकरण $y^2 = 4x$ और $x^2 + y^2 = 5$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4x$ रखने पर: $x^2 + 4x = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow (x + 5)(x - 1) = 0$.
चूँकि प्रतिच्छेदन प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 4(1) = 4$,अतः $y = 2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $y > 0$ है)।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(1, 2)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2(x + x_1)$ है।
$(1, 2)$ रखने पर: $2y = 2(x + 1) \Rightarrow y = x + 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$x = \frac{3}{4}$ के लिए,$y = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
अतः,स्पर्श रेखा $\left( \frac{3}{4}, \frac{7}{4} \right)$ से होकर गुजरती है।

(C) माना दो खंभे $AB = 20 \ m$ और $CD = 80 \ m$ हैं जो एक क्षैतिज तल पर $x$ दूरी पर स्थित हैं।
माना दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है और इसकी जमीन से ऊँचाई $h$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\frac{h}{y} = \frac{20}{x}$ और $\frac{h}{x-y} = \frac{80}{x}$.
इन समीकरणों से,$\frac{y}{h} = \frac{x}{20}$ और $\frac{x-y}{h} = \frac{x}{80}$.
दोनों को जोड़ने पर: $\frac{y + x - y}{h} = \frac{x}{20} + \frac{x}{80}$.
$\frac{x}{h} = x \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{80} \right) \implies \frac{1}{h} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
अतः,$h = 16 \ m$.

(D) द्विपद विस्तार $(a+b)^n$ में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
यहाँ $n=6$,$a = x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)}$,और $b = x^{\frac{1}{12}}$ है।
चौथे पद $(T_4)$ के लिए $r=3$ रखने पर:
$T_4 = ^6C_3 \cdot (x^{-\frac{1}{2}(1+\log_{10} x)})^3 \cdot (x^{\frac{1}{12}})^3 = 200$.
$20 \cdot x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x)} \cdot x^{\frac{1}{4}} = 200$.
$x^{-\frac{3}{2}(1+\log_{10} x) + \frac{1}{4}} = 10$.
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर,माना $t = \log_{10} x$:
$-\frac{3}{2}(1+t)t + \frac{1}{4} = 1$.
$-6t^2 - 6t - 3 = 0 \Rightarrow 2t^2 + 2t + 1 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(2)(1) = -4 < 0$ है।
अतः,$x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) चूंकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,इस समीकरण का मूल $x = -\frac{b}{a}$ है।
चूंकि यह $dx^2 + 2ex + f = 0$ के लिए भी एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए $x = -\frac{b}{a}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$
$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$
$a^2$ से गुणा करने पर,$db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$b^2 = ac$ रखने पर,$dac - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $ac$ से विभाजित करने पर,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$ है।
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है कि $p, q \in \mathbb{Q}$ और $2 - \sqrt{3}$ द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ का एक मूल है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,इसलिए अपरिमेय मूल हमेशा संयुग्मी जोड़े में होते हैं।
अतः,दूसरा मूल $2 + \sqrt{3}$ है।
मूलों का योग $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का योग $= -p$.
अतः,$-p = 4 \implies p = -4$.
मूलों का गुणनफल $= (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
समीकरण से,मूलों का गुणनफल $= q$.
अतः,$q = 1$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(B)$ के लिए,$p^2 - 4q - 12 = (-4)^2 - 4(1) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ है।
यहाँ $n=6$,$a = \frac{2}{x}$,और $b = x^{\log_8 x}$ है।
चौथा पद $T_4 = T_{3+1} = \binom{6}{3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 \left( x^{\log_8 x} \right)^3 = 20 \cdot \frac{8}{x^3} \cdot x^{3 \log_8 x} = 160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3}$ है।
दिया गया है कि $T_4 = 20 \times 8^7$,इसलिए $160 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 20 \cdot 8^7$।
$8 \cdot x^{3 \log_8 x - 3} = 8^7 \Rightarrow x^{3 \log_8 x - 3} = 8^6$।
दोनों पक्षों में $\log_8$ लेने पर: $(3 \log_8 x - 3) \log_8 x = 6$।
माना $t = \log_8 x$ है। तब $(3t - 3)t = 6 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0$।
$(t-2)(t+1) = 0$,इसलिए $t=2$ या $t=-1$।
यदि $t=2$,तो $x = 8^2 = 64$।
यदि $t=-1$,तो $x = 8^{-1} = 1/8$।

(C) हमें व्यंजक $p \vee (\sim p \wedge q)$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim (p \vee (\sim p \wedge q))$
$= \sim p \wedge \sim (\sim p \wedge q)$
$= \sim p \wedge (p \vee \sim q)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge p) \vee (\sim p \wedge \sim q)$
चूंकि $(\sim p \wedge p)$ एक व्याघात $(c)$ है:
$= c \vee (\sim p \wedge \sim q)$
$= \sim p \wedge \sim q$

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{n}{{{n^2} + {r^2}}}}$ है।
हम सामान्य पद को $\frac{n}{n^2(1 + (r/n)^2)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (r/n)^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है और ऊपरी सीमा $2$ है (क्योंकि $r$ का मान $2n$ तक जाता है)।
अतः,समाकलन $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ हो जाता है।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $[\tan^{-1}(x)]_0^2 = \tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $w$ संख्या $5$ या $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $w = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
माना $L$ संख्या $1, 2, 3, \text{ या } 4$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $L = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
खेल तब रुकता है यदि उसे $5$ या $6$ मिल जाए या $3$ बार फेंकने के बाद।
स्थिति $1$: पहले प्रयास में जीत: प्रायिकता $= w = \frac{1}{3}$,लाभ $= 100$.
स्थिति $2$: दूसरे प्रयास में जीत: प्रायिकता $= L \times w = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$,लाभ $= -50 + 100 = 50$.
स्थिति $3$: तीसरे प्रयास में जीत: प्रायिकता $= L^2 \times w = (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$,लाभ $= -50 - 50 + 100 = 0$.
स्थिति $4$: तीनों प्रयासों में हार: प्रायिकता $= L^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$,लाभ $= -50 - 50 - 50 = -150$.
अपेक्षित मान $= (\frac{1}{3} \times 100) + (\frac{2}{9} \times 50) + (\frac{4}{27} \times 0) + (\frac{8}{27} \times -150) = \frac{100}{3} + \frac{100}{9} + 0 - \frac{1200}{27} = 0$.

(B) दिया गया वक्र $y = x^2 - 5x + 5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x - 5$ द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखा $2y = 4x + 1$ है,जिसे $y = 2x + \frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होगी: $2x - 5 = 2 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$.
$x = \frac{7}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $y = \left( \frac{7}{2} \right)^2 - 5\left( \frac{7}{2} \right) + 5 = \frac{49}{4} - \frac{35}{2} + 5 = \frac{49 - 70 + 20}{4} = -\frac{1}{4}$.
स्पर्श बिंदु $\left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{4} \right)$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जहाँ $m = 2$: $y - (-\frac{1}{4}) = 2(x - \frac{7}{2}) \implies y + \frac{1}{4} = 2x - 7 \implies y = 2x - \frac{29}{4}$.
अब,हम जांचते हैं कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट करता है। विकल्प $B$ के लिए: $x = \frac{1}{8}$,$y = 2(\frac{1}{8}) - \frac{29}{4} = \frac{1}{4} - \frac{29}{4} = -\frac{28}{4} = -7$.
अतः,स्पर्श रेखा बिंदु $\left( \frac{1}{8}, -7 \right)$ से होकर गुजरती है।

(B) मान लीजिए चार बिंदु $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ और $D(-1, -1, 1)$ हैं।
चूंकि समतल इन चारों बिंदुओं से होकर गुजरता है,इसलिए वे समतलीय (coplanar) होने चाहिए।
चार बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,$(x_3, y_3, z_3)$ और $(x_4, y_4, z_4)$ के समतलीय होने की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \\ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \\ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 1+1 & 1-1 \\ 1+1 & -\lambda^2+1 & 1-1 \\ 1+1 & 1+1 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 1-\lambda^2 & 2 & 0 \\ 2 & 1-\lambda^2 & 0 \\ 2 & 2 & -(\lambda^2+1) \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(\lambda^2+1) \cdot [(1-\lambda^2)^2 - 4] = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (1-\lambda^2-2)(1-\lambda^2+2) = 0$
$-(\lambda^2+1) \cdot (-1-\lambda^2)(3-\lambda^2) = 0$
$(\lambda^2+1)^2 (3-\lambda^2) = 0$
चूंकि $\lambda$ वास्तविक है,$\lambda^2+1 \neq 0$। इसलिए,$3-\lambda^2 = 0$,जिससे $\lambda^2 = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = \pm \sqrt{3}$।

(D) आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta - 0 + \sin^2 \theta + 1 = 2 + 2\sin^2 \theta = 2(1 + \sin^2 \theta)$
दिया गया है कि $\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$,इसलिए $\sin \theta$ का मान $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ से $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के बीच है।
विशेष रूप से,$-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
असमिका का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $0 \le \sin^2 \theta < \frac{1}{2}$.
अब,इस मान को $|A|$ के व्यंजक में रखने पर:
$|A| = 2(1 + \sin^2 \theta)$
चूंकि $0 \le \sin^2 \theta < 0.5$,इसलिए $1 \le 1 + \sin^2 \theta < 1.5$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \le 2(1 + \sin^2 \theta) < 3$.
अतः,$\det(A) \in [2, 3)$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $[2, 3)$ का मान $(1.5, 3)$ के अंतर्गत आता है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1 - \lambda)x - 2y - 2z = 0$
$x + (2 - \lambda)y + z = 0$
$-x - y - \lambda z = 0$
निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 & -2 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1 - \lambda) [(2 - \lambda)(-\lambda) - (-1)(1)] - (-2) [1(-\lambda) - (-1)(1)] + (-2) [1(-1) - (-1)(2 - \lambda)] = 0$
$(1 - \lambda) [-2\lambda + \lambda^2 + 1] + 2 [-\lambda + 1] - 2 [-1 + 2 - \lambda] = 0$
$(1 - \lambda)(\lambda - 1)^2 + 2(1 - \lambda) - 2(1 - \lambda) = 0$
$-(\lambda - 1)^3 = 0$
$\lambda = 1$
चूंकि $\lambda$ का केवल एक ही मान है,इसलिए सभी मानों का समुच्चय एक एकल समुच्चय है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3(a - 2)x^2 + 3ax + 7$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 - 6(a - 2)x + 3a$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x)$ अंतराल $(0, 1]$ में वर्धमान और $[1, 5)$ में ह्रासमान है,इसलिए $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) होगा।
अतः,$f'(1) = 0$.
$f'(1) = 3(1)^2 - 6(a - 2)(1) + 3a = 3 - 6a + 12 + 3a = 15 - 3a = 0$.
इसे हल करने पर $a = 5$ प्राप्त होता है।
$a = 5$ को $f(x)$ में रखने पर,$f(x) = x^3 - 3(5 - 2)x^2 + 3(5)x + 7 = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ को हल करना है,जिसका अर्थ है $f(x) - 14 = 0$ ($x \neq 1$ के लिए)।
$x^3 - 9x^2 + 15x + 7 - 14 = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$.
चूँकि $x = 1$,$f(x) - 14 = 0$ का एक मूल है,हम $(x - 1)^2$ से विभाजित कर सकते हैं:
$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = (x - 1)^2(x - 7) = 0$.
अतः,समीकरण $\frac{f(x) - 14}{(x - 1)^2} = 0$ का मूल $x = 7$ है।

(D) माना $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ का सदिश $\vec{n}$ पर प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ है।
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (3)(-2) + (1)(1) = 2 - 6 + 1 = -3$ है।
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।
अतः,प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(C) हमें $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर को $2 \cos \frac{x}{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx$
सूत्र $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$
$\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ और $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx$
$I = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx$
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = x + \sin 2x + 2 \sin x + c$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$।
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & -\sin(n\alpha) \\ \sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{32} = \begin{bmatrix} \cos(32\alpha) & -\sin(32\alpha) \\ \sin(32\alpha) & \cos(32\alpha) \end{bmatrix}$।
हमें दिया गया है $A^{32} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $\cos(32\alpha) = 0$ और $\sin(32\alpha) = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $32\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$n=0$ के लिए,$32\alpha = \frac{\pi}{2}$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{64}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
फलन में $x$ को $\frac{2x}{1+x^2}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \log_e \left( \frac{1 - \frac{2x}{1+x^2}}{1 + \frac{2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1+x^2-2x}{1+x^2+2x} \right)$
$= \log_e \left( \frac{(1-x)^2}{(1+x)^2} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^2$
$= 2 \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= 2f(x)$.

(A) दिया गया है $2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 \cos x + \sin x}}{{\cos x - \sqrt 3 \sin x}}} \right)} \right)^2}$.
कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x}}{{\frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x}} = \frac{{\sin(x + \frac{\pi }{3})}}{{\cos(x + \frac{\pi }{3})}} = \tan(x + \frac{\pi }{3})$.
अतः,$2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}(\tan(x + \frac{\pi }{3}))} \right)^2}$.
${{\cot }^{ - 1}}(\tan \theta ) = \frac{\pi }{2} - \theta$ का उपयोग करने पर:
$2y = {\left( {\frac{\pi }{2} - (x + \frac{\pi }{3})} \right)^2} = {\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2\frac{{dy}}{{dx}} = 2(\frac{\pi }{6} - x) \cdot (-1)$.
$\frac{{dy}}{{dx}} = -(\frac{\pi }{6} - x) = x - \frac{\pi }{6}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ है।
$(x^2 + 1)^2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ और $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$ है।
सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.
$y(x^2 + 1) = \tan^{-1}(x) + C$.
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0(0^2 + 1) = \tan^{-1}(0) + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 0$ है।
अतः,$y(x) = \frac{\tan^{-1}(x)}{x^2 + 1}$ है।
हमें $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ दिया गया है।
$y(1) = \frac{\tan^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ है।
इसलिए,$a = (1/4)^2 = 1/16$ है।

(A) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ है।
यहाँ $f(-x) = \frac{2 - (-x) \cos(-x)}{2 + (-x) \cos(-x)} = \frac{2 + x \cos x}{2 - x \cos x} = \frac{1}{f(x)}$ है।
अतः,$g(f(-x)) = \ln(f(-x)) = \ln(1/f(x)) = -\ln(f(x)) = -g(f(x))$ है।
इस प्रकार,$g(f(x))$ एक विषम फलन (odd function) है।
किसी भी विषम फलन $h(x)$ के लिए,$\int_{-a}^{a} h(x) dx = 0$ होता है।
इसलिए,$I = 0$ है।
चूंकि $\ln 1 = 0$,इसलिए सही विकल्प $\ln 1$ है।

(B) क्षेत्र $0 \le x \le 3$,$0 \le y \le 4$,और $y \le x^2 + 3x$ द्वारा परिभाषित है।
सबसे पहले,$y = x^2 + 3x$ और $y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^2 + 3x = 4 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0$.
चूंकि $x \ge 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = 1$ है।
$0 \le x \le 1$ के लिए,क्षेत्र $y = x^2 + 3x$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \int_0^1 (x^2 + 3x) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2+9}{6} = \frac{11}{6}$.
$1 \le x \le 3$ के लिए,क्षेत्र $y = 4$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A_2 = \int_1^3 4 dx = [4x]_1^3 = 4(3-1) = 8$.
कुल क्षेत्रफल = $A_1 + A_2 = \frac{11}{6} + 8 = \frac{11+48}{6} = \frac{59}{6}$.

(D) माना दी गई रेखा $\frac{x + 3}{10} = \frac{y - 2}{-7} = \frac{z}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $M$ $(10\lambda - 3, -7\lambda + 2, \lambda)$ के रूप में है।
सदिश $\vec{PM} = (10\lambda - 3 - 2, -7\lambda + 2 - (-1), \lambda - 4) = (10\lambda - 5, -7\lambda + 3, \lambda - 4)$ है।
चूंकि $\vec{PM}$ रेखा $(10, -7, 1)$ के दिक अनुपात के लंबवत है,इसलिए:
$10(10\lambda - 5) - 7(-7\lambda + 3) + 1(\lambda - 4) = 0$
$100\lambda - 50 + 49\lambda - 21 + \lambda - 4 = 0$
$150\lambda - 75 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$।
$M$ के निर्देशांक $(2, -1.5, 0.5)$ प्राप्त होते हैं।
लंब की लंबाई $PM = \sqrt{(2-2)^2 + (-1.5 - (-1))^2 + (0.5 - 4)^2}$
$= \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $\frac{5}{1.414} \approx 3.535$।
यह मान $3$ से अधिक और $4$ से कम है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 9x^4 + 12x^3 - 36x^2 + 25$ है।
स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 36x^3 + 36x^2 - 72x$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$36x(x^2 + x - 2) = 0$
$36x(x - 1)(x + 2) = 0$
अतः क्रांतिक बिंदु $x = -2, 0, 1$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए $f''(x) = 108x^2 + 72x - 72$:
$x = -2$ के लिए: $f''(-2) = 108(4) + 72(-2) - 72 = 216 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = 0$ के लिए: $f''(0) = -72 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 108 + 72 - 72 = 108 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
इस प्रकार,स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं का समुच्चय $S_1 = \{-2, 1\}$ और स्थानीय अधिकतम बिंदुओं का समुच्चय $S_2 = \{0\}$ है।

(A) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{3}{5}$। चूँकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए $\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ होगा।
हमें $\tan \beta = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}{1 + (\frac{4}{3})(\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{4}{9}} = \frac{1}{\frac{13}{9}} = \frac{9}{13}$।
अब,यदि $\tan(\alpha - \beta) = \frac{9}{13}$ है,तो $\sin(\alpha - \beta) = \frac{9}{\sqrt{9^2 + 13^2}} = \frac{9}{\sqrt{81 + 169}} = \frac{9}{\sqrt{250}} = \frac{9}{5\sqrt{10}}$ होगा।
अतः,$\alpha - \beta = \sin^{-1}\left(\frac{9}{5\sqrt{10}}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) समतलों $P_1: 2x - y - 4 = 0$ और $P_2: y + 2z - 4 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$
चूंकि समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 1, y = 1, z = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ को समीकरण में रखने पर:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $x - y - z = 0$ प्राप्त होता है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए $(D = 0)$।
समीकरण हैं:
$x - cy - cz = 0$
$cx - y + cz = 0$
$cx + cy - z = 0$
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -c & -c \\ c & -1 & c \\ c & c & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (c)(c)) - (-c)((c)(-1) - (c)(c)) + (-c)((c)(c) - (-1)(c)) = 0$
$1(1 - c^2) + c(-c - c^2) - c(c^2 + c) = 0$
$1 - c^2 - c^2 - c^3 - c^3 - c^2 = 0$
$-2c^3 - 3c^2 + 1 = 0$
$2c^3 + 3c^2 - 1 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(c + 1)^2(2c - 1) = 0$
अतः,मूल $c = -1$ (पुनरावृत्ति) और $c = \frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
इसलिए,$c$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ या $0.5$ है।

(C) दिया गया है $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x)$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in (0, 2)$ के लिए $f''(x) > 0$ है,इसलिए अवकलज $f'(x)$ अंतराल $(0, 2)$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
स्थिति $I$: यदि $x > 1$ है,तो $x > 2 - x$ होगा। चूंकि $f'(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) > f'(2 - x)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) > 0$ है। अतः,$\phi(x)$ अंतराल $(1, 2)$ पर वर्धमान है।
स्थिति $II$: यदि $x < 1$ है,तो $x < 2 - x$ होगा। चूंकि $f'(x)$ निरंतर वर्धमान है,इसलिए $f'(x) < f'(2 - x)$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\phi'(x) = f'(x) - f'(2 - x) < 0$ है। अतः,$\phi(x)$ अंतराल $(0, 1)$ पर ह्रासमान है।
इसलिए,$\phi(x)$ अंतराल $(0, 1)$ पर ह्रासमान और $(1, 2)$ पर वर्धमान है।

(D) दिया गया है कि $A \subset B$,इसलिए $A \cap B = A$ होता है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ है।
$A \cap B = A$ रखने पर,हमें $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \subset B$,इसलिए $P(B) \le 1$ होता है।
अतः,$\frac{1}{P(B)} \ge 1$ होता है।
दोनों पक्षों को $P(A)$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{P(A)}{P(B)} \ge P(A)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$P(A|B) \ge P(A)$ सही है।

(C) क्षेत्र $S(\alpha)$ परवलय $y^2 = x$ और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \alpha$ द्वारा घिरा हुआ है।
क्षेत्रफल $A(\alpha)$ इस प्रकार है:
$A(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\alpha} = \frac{4}{3} \alpha^{3/2}$.
दिए गए अनुपात $A(\lambda) : A(4) = 2 : 5$ से:
$\frac{\frac{4}{3} \lambda^{3/2}}{\frac{4}{3} 4^{3/2}} = \frac{2}{5}$
$\frac{\lambda^{3/2}}{8} = \frac{2}{5}$
$\lambda^{3/2} = \frac{16}{5}$
$\lambda = \left( \frac{16}{5} \right)^{2/3} = \left( \frac{16^2}{5^2} \right)^{1/3} = \left( \frac{256}{25} \right)^{1/3} = 4 \left( \frac{4}{25} \right)^{1/3}$.
अतः,$\lambda = 4\left(\frac{4}{25}\right)^{1/3}$।

(A) दिया गया है $f(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt$. चूँकि $g(t)$ एक सम फलन है,$f(x)$ एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = \int_{0}^{-x} g(t) dt$. $t = -u$ लेने पर,$dt = -du$. अतः $f(-x) = \int_{0}^{x} g(-u) (-du) = -\int_{0}^{x} g(u) du = -f(x)$.
दिया गया है $f(x+5) = g(x)$. चूँकि $g(x)$ सम है,$g(x) = g(-x)$,इसलिए $f(x+5) = g(-x)$.
साथ ही,चूँकि $f$ विषम है,$f(x+5) = -f(-x-5)$.
हमें $I = \int_{0}^{x} f(t) dt$ का मूल्यांकन करना है।
$f(x+5) = g(x)$ से,हमारे पास $g(t) = f(t+5)$ है।
चूँकि $g$ सम है,$g(t) = g(-t)$,इसलिए $f(t+5) = f(-t+5)$.
अवकलन का उपयोग करते हुए,$f'(x) = g(x)$.
$f(x+5) = g(x)$ का $0$ से $x$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{x} f(t+5) dt = \int_{0}^{x} g(t) dt = f(x)$.
$u = t+5$ लेने पर,$du = dt$. जब $t=0, u=5$; जब $t=x, u=x+5$.
अतः,$\int_{5}^{x+5} f(u) du = f(x)$.
इस प्रकार,$\int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{x+5}^{5} g(t) dt$ सही उत्तर है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी फलन $f(x)$ को एक सम फलन $f_1(x)$ और एक विषम फलन $f_2(x)$ के योग के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$
$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$
अब,हम $f_1(x + y) + f_1(x - y)$ की गणना करते हैं:
$f_1(x + y) + f_1(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
$= \frac{1}{2} [a^x a^y + a^{-x} a^{-y} + a^x a^{-y} + a^{-x} a^y]$
$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$
$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$
$= 2 \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 f_1(x) f_1(y)$

(A) हम विभिन्न अंतरालों में फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं:
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$,इसलिए $f(x) = -x - 1$.
$x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$,इसलिए $f(x) = x + 0 = x$.
$x \in [1, 2)$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + x = 2x$.
$x \in [2, 3]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = x + x = 2x$.
अतः,$f(x) = \begin{cases} -x-1, & -1 \leq x < 0 \\ x, & 0 \leq x < 1 \\ 2x, & 1 \leq x \leq 3 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ और $f(0) = 0$. चूँकि $-1 \neq 0$,$f$ बिंदु $x=0$ पर असंतत है।
$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ और $f(1) = 2(1) = 2$. चूँकि $1 \neq 2$,$f$ बिंदु $x=1$ पर असंतत है।
$x=2$ पर सांतत्य की जाँच करने पर: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) = 4$ और $f(2) = 2(2) = 4$. चूँकि सीमा फलन के मान के बराबर है,$f$ बिंदु $x=2$ पर संतत है।
इसलिए,$f$ केवल दो बिंदुओं $x=0$ और $x=1$ पर असंतत है।

(A) माना $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,अवकलज है:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(f(x))) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x) + 2f(x) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ पर,हमारे पास $f(1) = 1$ और $f'(1) = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(f(1))) \cdot f'(f(1)) \cdot f'(1) + 2f(1) \cdot f'(1)$.
चूंकि $f(1) = 1$,यह इस प्रकार होगा:
$\frac{dy}{dx} = f'(f(1)) \cdot f'(1) \cdot f'(1) + 2(1)(3)$.
$\frac{dy}{dx} = f'(1) \cdot 3 \cdot 3 + 6$.
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) $P(2, -3, 4)$ और $Q(8, 0, 10)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{8-2} = \frac{y-(-3)}{0-(-3)} = \frac{z-4}{10-4}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $R(4, y, z)$ इस रेखा पर स्थित है,हम $x=4$ को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{4-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{1}{3} = \frac{y+3}{3}$ से $y+3 = 1$ मिलता है,अतः $y = -2$ है।
$\frac{1}{3} = \frac{z-4}{6}$ से $z-4 = 2$ मिलता है,अतः $z = 6$ है।
इस प्रकार,$R$ के निर्देशांक $(4, -2, 6)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $R(4, -2, 6)$ की दूरी $\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ है।

(B) निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -k \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-k + 1) - (-2)(-2k - 3) + k(-2 - 3) = 0$
$-k + 1 + 2(-2k - 3) - 5k = 0$
$-k + 1 - 4k - 6 - 5k = 0$
$-10k - 5 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$
$k = -\frac{1}{2}$ को समीकरणों में रखने पर:
$x - 2y - \frac{1}{2}z = 1 \Rightarrow 2x - 4y - z = 2$ $(1)$
$2x + y + z = 2$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2x - 4y - z) + (2x + y + z) = 2 + 2$
$4x - 3y = 4$
अतः,$(x, y)$ रेखा $4x - 3y - 4 = 0$ पर स्थित है।

(C) समतलों $P_1: x + y + z - 1 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 1) + \lambda(2x + 3y + 4z - 5) = 0$
$(1 + 2\lambda)x + (1 + 3\lambda)y + (1 + 4\lambda)z - (1 + 5\lambda) = 0$.
यह समतल $x - y + z = 0$ के लंबवत है। दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के लंबवत होने की शर्त $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ है।
अतः,$(1 + 2\lambda)(1) + (1 + 3\lambda)(-1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$.
$1 + 2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 + 4(-\frac{1}{3}))z - (1 + 5(-\frac{1}{3})) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $x - z + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,यह $\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ है।

(C) मान लीजिए कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$n$ उछाल में कोई चित न आने (सभी पट आने) की प्रायिकता $(\frac{1}{2})^n$ है।
हम चाहते हैं कि $P(\text{at least one head}) \ge 90\%$,जिसका अर्थ है $1 - (\frac{1}{2})^n \ge 0.9$.
$1 - 0.9 \ge (\frac{1}{2})^n$
$0.1 \ge \frac{1}{2^n}$
$\frac{1}{10} \ge \frac{1}{2^n}$
$2^n \ge 10$.
$n=3$ के लिए,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ के लिए,$2^4 = 16 \ge 10$.
अतः,आवश्यक उछालों की न्यूनतम संख्या $4$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (x + 2)\hat{i} + (x - 3)\hat{j} - 5\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $r = |\vec{a} \times \vec{b}|$ ज्ञात करें:
$r^2 = (x + 2)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2$
$r^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 6x + 9) + 25$
$r^2 = 2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x + 19)$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें:
$r^2 = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + 19 - \frac{1}{4}\right) = 2\left((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{4}\right) = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,इसलिए $r^2$ का न्यूनतम मान $\frac{75}{2}$ है।
अतः,$r^2 \geq \frac{75}{2} \implies r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = 5\sqrt{\frac{3}{2}}$.
इस प्रकार,शर्त $r \geq 5\sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(C) माना गोले की त्रिज्या $R=3$ है। माना बेलन की ऊँचाई $h$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
गोले और बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास $r^2 + (h/2)^2 = R^2 = 3^2 = 9$ है।
अतः,$r^2 = 9 - \frac{h^2}{4}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (9 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (9h - \frac{h^3}{4})$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - \frac{3h^2}{4}) = 0$।
$9 = \frac{3h^2}{4} \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
इस प्रकार,अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई $2\sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया है कि $2, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए हम $b = 2 + d$ और $c = 2 + 2d$ लिख सकते हैं,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
सारणिक इस प्रकार है:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & b & c \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ को लागू करने पर:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & b-2 & c-2 \\ 4 & b^2-4 & c^2-4 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\det(A) = (b-2)(c^2-4) - (c-2)(b^2-4)$
$= (b-2)(c-2)(c+2) - (c-2)(b-2)(b+2)$
$= (b-2)(c-2)(c+2 - b - 2) = (b-2)(c-2)(c-b)$
$b = 2+d$ और $c = 2+2d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\det(A) = (d)(2d)(2d - d) = (d)(2d)(d) = 2d^3$
दिया गया है कि $\det(A) \in [2, 16]$,इसलिए $2 \le 2d^3 \le 16$,जिसका अर्थ है $1 \le d^3 \le 8$,अतः $1 \le d \le 2$.
चूँकि $c = 2 + 2d$,इसलिए $2(1) + 2 \le c \le 2(2) + 2$,जो $4 \le c \le 6$ देता है।
अतः,$c \in [4, 6]$.

(B) यह पद $1^\infty$ रूप में है जब $x \to 0$ है।
मान लीजिए $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$.
सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left( {f(x)} \right)^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)(f(x) - 1)}$ का उपयोग करने पर:
$L = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{f(3+x) - f(3) - f(2-x) + f(2)}{1 + f(2-x) - f(2)} \right)}$
घातांक के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर:
घातांक $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{f'(3+x) + f'(2-x)}{1 + f(2-x) - f(2) - xf'(2-x)} = \frac{f'(3) + f'(2)}{1} = 0$.
अतः,$L = e^0 = 1$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{x^{3}(1+x^{6})^{2 / 3}}$ है।
हम कोष्ठक से $x^6$ को बाहर निकालकर समाकलन को फिर से लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot (x^6)^{2/3} (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^{3} \cdot x^4 (1 + x^{-6})^{2/3}} = \int \frac{dx}{x^7 (1 + x^{-6})^{2/3}}$.
माना $t = 1 + x^{-6}$ है। तब $dt = -6x^{-7} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^7} = -\frac{dt}{6}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{1}{6} t^{-2/3} dt = -\frac{1}{6} \cdot \frac{t^{1/3}}{1/3} + C = -\frac{1}{2} t^{1/3} + C$.
$t = 1 + x^{-6} = \frac{x^6+1}{x^6}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{2} \left( \frac{1+x^6}{x^6} \right)^{1/3} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1+x^6)^{1/3}}{x^2} + C$.
इसे दिए गए रूप $xf(x)(1+x^6)^{1/3} + C$ के साथ तुलना करने पर:
$xf(x)(1+x^6)^{1/3} = -\frac{1}{2x^2} (1+x^6)^{1/3}$.
दोनों पक्षों को $x(1+x^6)^{1/3}$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \frac{-1}{2x^3}$.

(A) माना $y = \frac{x^2}{1 - x^2}$.
हमें $f(x)$ का परिसर (range) ज्ञात करना है।
$y(1 - x^2) = x^2$
$y - yx^2 = x^2$
$y = x^2(1 + y)$
$x^2 = \frac{y}{1 + y}$.
चूंकि $x^2 \ge 0$,इसलिए $\frac{y}{1 + y} \ge 0$ होना चाहिए।
असमिका के लिए चिह्न योजना का उपयोग करने पर,हमें $y \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x^2 = \frac{y}{1 + y} \neq 1$ (क्योंकि $x \neq \pm 1$),इसलिए $\frac{y}{1 + y} \neq 1 \implies y \neq y + 1$,जो हमेशा सत्य है।
अतः,परिसर $R - [-1, 0)$ है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,सह-प्रांत (codomain) $A$ को परिसर के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$A = R - [-1, 0)$.

(A) दिया गया है $\vec{\alpha} = 3\hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{\beta} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}.$
चूंकि $\vec{\beta}_1$ सदिश $\vec{\alpha}$ के समांतर है,इसलिए $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}).$
दिया गया है $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta}_2,$ इसलिए $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta}_1 - \vec{\beta} = \lambda(3\hat{i} + \hat{j}) - (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = (3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
चूंकि $\vec{\beta}_2$ सदिश $\vec{\alpha}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0.$
$((3\lambda - 2)\hat{i} + (\lambda + 1)\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + \hat{j}) = 0.$
$3(3\lambda - 2) + 1(\lambda + 1) = 0 \implies 9\lambda - 6 + \lambda + 1 = 0 \implies 10\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{1}{2}.$
अतः,$\vec{\beta}_1 = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j}$ और $\vec{\beta}_2 = (\frac{3}{2} - 2)\hat{i} + (\frac{1}{2} + 1)\hat{j} - 3\hat{k} = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} - 3\hat{k}.$
अब,$\vec{\beta}_1 \times \vec{\beta}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -3 \end{vmatrix}.$
$= \hat{i}(-\frac{3}{2} - 0) - \hat{j}(-\frac{9}{2} - 0) + \hat{k}(\frac{9}{4} - (-\frac{1}{4})) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{10}{4}\hat{k} = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{9}{2}\hat{j} + \frac{5}{2}\hat{k}.$
$= \frac{1}{2}(-3\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k}).$

(D) माना $I = \int \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{(\cos x)^{2/3} (\sin x)^{4/3}} \, dx$.
अंश और हर को $\cos^{4/3} x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\frac{(\sin x)^{4/3}}{(\cos x)^{4/3}} \cdot (\cos x)^{2/3} \cdot (\cos x)^{4/3}} \, dx$.
$I = \int \frac{1}{(\tan x)^{4/3} \cdot \cos^2 x} \, dx$.
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x)^{4/3}} \, dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^{-4/3} \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} + C = \frac{t^{-1/3}}{-1/3} + C = -3 t^{-1/3} + C$.
$t = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = -3 \tan^{-1/3} x + C$.

(A) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। चूँकि यह $(0, -1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $-b = d$ है। चूँकि यह $(0, 0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $c = d$ है। माना $d = 1$,तो $b = -1$ और $c = 1$ है। समीकरण $ax - y + z = 1$ प्राप्त होता है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (a, -1, 1)$ है और समतल $y - z + 5 = 0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ है।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ सूत्र का उपयोग करने पर.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|(a)(0) + (-1)(1) + (1)(-1)|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{a^2 + 2} \sqrt{2}}$.
$\sqrt{a^2 + 2} = 2 \implies a^2 + 2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
यदि $a = -\sqrt{2}$ लेते हैं,तो समीकरण $-\sqrt{2}x - y + z = 1$ प्राप्त होता है। बिंदु $(\sqrt{2}, 1, 4)$ के लिए: $-\sqrt{2}(\sqrt{2}) - 1 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$ है। अतः,समतल $(\sqrt{2}, 1, 4)$ से गुजरता है।

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 + ax - b$ है।
चूंकि बिंदु $(1, -5)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए:
$-5 = (1)^3 + a(1) - b$
$-5 = 1 + a - b$
$a - b = -6$ $\dots(i)$
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + a$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(1, -5)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 3(1)^2 + a = 3 + a$ है।
दी गई रेखा $-x + y + 4 = 0$ है,जिसे $y = x - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = 1$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(3 + a)(1) = -1$
$3 + a = -1$
$a = -4$.
$a = -4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$-4 - b = -6$
$-b = -2$
$b = 2$.
अतः,वक्र का समीकरण $y = x^3 - 4x - 2$ है।
अब,हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(2, -2)$ के लिए: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$.
चूंकि बिंदु $(2, -2)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह वक्र पर स्थित है।

(A) दिया गया है $f(x) = 15 - |x - 10|$.
हमें उन बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है जहाँ $g(x) = f(f(x))$ अवकलनीय नहीं है।
$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
फलन $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है (मापांक फलन का शीर्ष)।
संयुक्त फलन $g(x) = f(f(x))$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,या जहाँ आंतरिक फलन $f(x)$ का मान $10$ हो जाता है (वह बिंदु जहाँ बाहरी $f$ अवकलनीय नहीं है)।
$1$. $f(x)$,$x = 10$ पर अवकलनीय नहीं है।
$2$. $f(x) = 10 \implies 15 - |x - 10| = 10 \implies |x - 10| = 5 \implies x - 10 = 5$ या $x - 10 = -5 \implies x = 15$ या $x = 5$.
अतः,उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $g(x)$ अवकलनीय नहीं है,$\{5, 10, 15\}$ है।

(C) चूँकि $f(x)$ $4$ घात का एक बहुपद है और इसके स्थानीय चरम बिंदु $x = -1, 0, 1$ पर हैं,इसलिए इसका अवकलज $f'(x)$ $3$ घात का एक बहुपद होगा जिसके मूल $-1, 0, 1$ हैं।
अतः,$f'(x) = \lambda(x + 1)(x)(x - 1) = \lambda(x^3 - x)$,जहाँ $\lambda \neq 0$ है।
$f'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $f(x) = \lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu$ प्राप्त होता है,जहाँ $\mu$ समाकलन स्थिरांक है।
हमें समुच्चय $S = \{x \in R; f(x) = f(0)\}$ दिया गया है।
$f(0) = \mu$ को समीकरण $f(x) = f(0)$ में रखने पर,हमें $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) + \mu = \mu$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\lambda(\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}) = 0$ हो जाता है।
चूँकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x^2(\frac{x^2}{4} - \frac{1}{2}) = 0$ है।
इससे $x^2 = 0$ या $x^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = 0, 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
समुच्चय $S$ में भिन्न अवयव $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$ हैं।
यहाँ,$0$ एक परिमेय संख्या है,और $\sqrt{2}, -\sqrt{2}$ अपरिमेय संख्याएँ हैं।
इसलिए,समुच्चय $S$ में दो अपरिमेय और एक परिमेय संख्या शामिल है।

(C) दी गई रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 + 2\lambda, -1 + 3\lambda, 2 + 4\lambda)$ के रूप में लिया जा सकता है,जहाँ $\lambda \in \mathbb{R}$ है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $x + 2y + 3z = 15$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + 2\lambda) + 2(-1 + 3\lambda) + 3(2 + 4\lambda) = 15$
$1 + 2\lambda - 2 + 6\lambda + 6 + 12\lambda = 15$
$20\lambda + 5 = 15$
$20\lambda = 10$
$\lambda = \frac{1}{2}$
$\lambda = \frac{1}{2}$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = (1 + 2(\frac{1}{2}), -1 + 3(\frac{1}{2}), 2 + 4(\frac{1}{2})) = (2, \frac{1}{2}, 4)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ की दूरी $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2}$ होगी।
$= \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$.

(D) हम जानते हैं कि $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
इस गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\begin{bmatrix} 1 & 1+2+3+\dots+(n-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 78 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
प्रथम $(n-1)$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{(n-1)n}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{n(n-1)}{2} = 78 \Rightarrow n^2 - n - 156 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n-13)(n+12) = 0$। चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 13$ प्राप्त होता है।
हमें $A = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करना है।
किसी आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,उसका व्युत्क्रम $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,व्युत्क्रम $\begin{bmatrix} 1 & -13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx$ है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^3 x}{\cos x + \sin x} dx$।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx$।
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)}{\sin x + \cos x} dx$।
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \sin x \cos x) dx$।
$2I = \int_{0}^{\pi / 2} (1 - \frac{1}{2} \sin 2x) dx$।
$2I = [x + \frac{1}{4} \cos 2x]_{0}^{\pi / 2}$।
$2I = (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{4} \cos \pi) - (0 + \frac{1}{4} \cos 0)$।
$2I = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}) - (0 + \frac{1}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}$।
$I = \frac{\pi - 1}{4}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$.
$x$ से विभाजित करने पर रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.
व्यापक हल है: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
शर्त $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 \cdot (1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
$C$ का मान व्यापक हल में रखने पर:
$y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$.
$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$.

(D) सबसे पहले,बिंदुओं $(1, f(1))$ और $(-1, f(-1))$ के निर्देशांक ज्ञात करें।
$f(1) = (1)^3 - (1)^2 - 2(1) = 1 - 1 - 2 = -2$.
$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 2(-1) = -1 - 1 + 2 = 0$.
$(1, -2)$ और $(-1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2 - 0}{2} = -1$.
वक्र $y = f(x)$ के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल अवकलज $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 - 2x) = 3x^2 - 2x - 2$.
चूंकि स्पर्श रेखा रेखाखंड के समानांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$3x^2 - 2x - 2 = -1$.
$3x^2 - 2x - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 - 3x + x - 1 = 0$.
$3x(x - 1) + 1(x - 1) = 0$.
$(3x + 1)(x - 1) = 0$.
अतः,$x = 1$ या $x = -\frac{1}{3}$.
इसलिए,$S = \left\{ -\frac{1}{3}, 1 \right\}$.

(D) दिए गए फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ और $f(1) = 2$ से,हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी $x \in \mathbb{N}$ के लिए $f(x) = 2^x$ है।
दिया गया योग $\sum\limits_{k = 1}^{10} {f(a + k)} = 16(2^{10} - 1)$ है।
$f(x) = 2^x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum\limits_{k = 1}^{10} {2^{a + k}} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a(2^1 + 2^2 + ... + 2^{10}) = 16(2^{10} - 1)$
कोष्ठक के अंदर का योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $2$ और सार्व अनुपात $2$ है:
$2^a \cdot \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 16(2^{10} - 1)$
$2^a \cdot 2(2^{10} - 1) = 16(2^{10} - 1)$
दोनों पक्षों को $2(2^{10} - 1)$ से विभाजित करने पर:
$2^a = \frac{16}{2} = 8$
$2^a = 2^3$
अतः,$a = 3$.

(C) दिया गया क्षेत्र परवलय $y = x^2$ और रेखा $y = x + 2$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = x + 2$ रखते हैं।
इससे $x^2 - x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 2)(x + 1) = 0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $x = 2$ और $x = -1$।
क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 2$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर प्राप्त समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-1}^{2} ((x + 2) - x^2) dx$
$= [\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{2}$
$= (\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3})$
$= (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3})$
$= (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3 - 12 + 2}{6})$
$= \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6})$
$= \frac{20 + 7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ वर्ग इकाई।