JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) माना $2^x = t$ है। चूँकि $2^x > 0$,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
समीकरण $5 + |t - 1| = t(t - 2) = t^2 - 2t$ हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$|t - 1| = t^2 - 2t - 5$ प्राप्त होता है।
माना $g(t) = |t - 1|$ और $f(t) = t^2 - 2t - 5$ है।
हम $t > 0$ के लिए हल ढूँढते हैं।
स्थिति $1$: $t \ge 1$ के लिए।
$t - 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$ $\Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0$।
चूँकि $t \ge 1$,इसलिए $t = 4$ प्राप्त होता है। अतः $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$।
स्थिति $2$: $0 < t < 1$ के लिए।
$-(t - 1) = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow -t + 1 = t^2 - 2t - 5$ $\Rightarrow t^2 - t - 6 = 0$ $\Rightarrow (t - 3)(t + 2) = 0$।
$t = 3$ या $t = -2$ में से कोई भी $0 < t < 1$ को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,केवल $1$ वास्तविक मूल है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $3x^2 + 5y^2 = 32$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $6x + 10y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{5y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{3(2)}{5(2)} = -\frac{3}{5}$ है।
$P(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ है। $Q$ ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर,$-2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = \frac{10}{3}$ $\Rightarrow x = \frac{16}{3}$। अतः,$Q = (\frac{16}{3}, 0)$।
$P(2, 2)$ पर अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \frac{5}{3}$ है।
$P(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ है। $R$ ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर,$-2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = -\frac{6}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$। अतः,$R = (\frac{4}{5}, 0)$।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |x_Q - x_R| \times |y_P| = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{3} - \frac{4}{5}| \times 2 = \frac{68}{15}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ मिलता है,अर्थात $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूँकि $B = 60^{\circ}$,$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $A = 30^{\circ}$।
अतः $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$।
$c = 4$ दिया गया है,इसलिए $a = c \sin A = 4 \sin 30^{\circ} = 2$ और $b = c \sin B = 4 \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} \times \sin 90^{\circ} = 2\sqrt{3} \text{ sq. cm}$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2.$
चूंकि $3a, 7b, 15c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2(7b) = 3a + 15c.$
$b$ और $c$ का मान रखने पर: $14(ar) = 3a + 15ar^2.$
चूंकि $a \ne 0,$ इसलिए $15r^2 - 14r + 3 = 0.$
गुणनखंड करने पर: $(3r - 1)(5r - 1) = 0,$ अतः $r = \frac{1}{3}$ या $r = \frac{1}{5}.$
$0 < r \le \frac{1}{2}$ के लिए,दोनों मान स्वीकार्य हैं। विकल्पों के अनुसार,$r = \frac{1}{3}$ लेने पर.
सार्व अंतर $d = 7b - 3a = 7a(\frac{1}{3}) - 3a = -\frac{2a}{3}.$
चौथा पद $= 15c + d = 15a(\frac{1}{3})^2 - \frac{2a}{3} = \frac{15a}{9} - \frac{2a}{3} = a.$

(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k}$ है।
सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर,$T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है।
प्रथम $15$ पदों का योग $\sum_{n=1}^{15} T_n = \sum_{n=1}^{15} \frac{n(n+1)}{2} = 680$ है।
दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{n=1}^{15} T_n - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} n = 680 - \frac{1}{2} \times 120 = 680 - 60 = 620$ है।

(D) हम व्यंजक $\sim s \vee (\sim r \wedge s)$ का निषेध ज्ञात करना चाहते हैं।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim (\sim s \vee (\sim r \wedge s)) = \sim (\sim s) \wedge \sim (\sim r \wedge s)$.
यह $s \wedge (\sim (\sim r) \vee \sim s)$ में सरल हो जाता है,जो $s \wedge (r \vee \sim s)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(s \wedge r) \vee (s \wedge \sim s)$.
चूंकि $s \wedge \sim s = \phi$ (एक विरोधाभास),व्यंजक $(s \wedge r) \vee \phi$ बन जाता है।
अतः,परिणाम $s \wedge r$ है।

(D) माना $z = r_1 e^{i\theta_1}$ और $w = r_2 e^{i\theta_2}$ है।
दिया है $|zw| = |z||w| = r_1 r_2 = 1$,इसलिए $r_2 = \frac{1}{r_1}$ है।
दिया है $\arg(z) - \arg(w) = \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta_1 = \theta_2 + \frac{\pi}{2}$ है।
अब,$\bar{z}w = (r_1 e^{-i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$ पर विचार करें।
मान रखने पर,$\bar{z}w = (1) e^{i(-\pi/2)} = \cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2) = -i$ प्राप्त होता है।
अतः,$\bar{z}w = -i$।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है,इसलिए $a = 3$। स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{3}{m}$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $8x^2 - y^2 = 8$ है,जिसे $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = 8$ है।
स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{m^2 - 8}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,$\frac{3}{m} = \pm \sqrt{m^2 - 8}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{9}{m^2} = m^2 - 8 \Rightarrow m^4 - 8m^2 - 9 = 0$।
$(m^2 - 9)(m^2 + 1) = 0$। चूँकि $m$ वास्तविक है,$m^2 = 9$,इसलिए $m = \pm 3$।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = 3x + 1$ और $y = -3x - 1$ हैं।
इन्हें हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(-1/3, 0)$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$ के लिए,$e = \sqrt{1 + 8} = 3$।
नाभियाँ $S(3, 0)$ और $S'(-3, 0)$ हैं।
माना $P$,$SS'$ को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो $P = \left( \frac{3-3k}{k+1}, 0 \right)$।
$P(-1/3, 0)$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{3-3k}{k+1} = -\frac{1}{3}$।
$9 - 9k = -k - 1$ $\Rightarrow 8k = 10$ $\Rightarrow k = 5/4$।
अतः,अनुपात $5 : 4$ है।

(C) $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
एक सम षट्भुज में,एक शीर्ष छोड़कर दूसरे शीर्ष को चुनने से समबाहु त्रिभुज बनता है। संभावित समबाहु त्रिभुज $\triangle A_{1}A_{3}A_{5}$ और $\triangle A_{2}A_{4}A_{6}$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ समबाहु त्रिभुज हैं।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+x)(1-x)^{10}(1+x+x^2)^9$
हम जानते हैं कि $(1-x)(1+x+x^2) = (1-x^3)$.
अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखें: $(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3)(1-x^3)^9$
$= (1-x-x^2+x^3) \sum_{k=0}^{9} \binom{9}{k} (-1)^k x^{3k}$
हमें $x^{18}$ का गुणांक चाहिए। यह तब होता है जब $3k = 18$,अर्थात $k=6$.
$k=6$ के संगत पद $\binom{9}{6} (-1)^6 x^{18} = 84 x^{18}$ है।
अतः,गुणांक $84$ है।

(A) मान लीजिए $10$ समान वस्तुएं $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएं $D_1, D_2, ..., D_{21}$ हैं।
$10$ वस्तुओं का चयन करने के लिए,हम $21$ भिन्न वस्तुओं में से $k$ वस्तुएं और $10$ समान वस्तुओं में से $(10-k)$ वस्तुएं चुन सकते हैं,जहाँ $0 \le k \le 10$.
समान वस्तुओं के लिए चयन का केवल $1$ तरीका है।
कुल तरीके = $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \binom{21}{0} + \binom{21}{1} + ... + \binom{21}{10}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{21} \binom{21}{k} = 2^{21}$.
चूंकि $\binom{21}{k} = \binom{21}{21-k}$,इसलिए $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \sum_{k=11}^{21} \binom{21}{k}$ है।
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k}$. तब $S + S = 2^{21}$,जिससे $S = 2^{20}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = x + iy$ है। तब समीकरण $|x + iy - i| = |x + iy - 1|$ हो जाता है।
यह $|x + i(y - 1)| = |(x - 1) + iy|$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2$।
दोनों पक्षों से $x^2, y^2$ और $1$ को हटाने पर,$-2y = -2x$ प्राप्त होता है,जो $y = x$ में सरल हो जाता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है।

(B) दिया गया है कि पहले चार अवलोकनों का माध्य $11$ है,इसलिए $\sum_{i=1}^{4} x_i = 4 \times 11 = 44$.
शेष छह अवलोकनों का माध्य $16$ है,इसलिए $\sum_{i=5}^{10} x_i = 6 \times 16 = 96$.
सभी अवलोकनों का कुल योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 44 + 96 = 140$ है।
आँकड़ों का माध्य $\bar{x} = \frac{140}{10} = 14$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\sigma^2 = \frac{2000}{10} - (14)^2 = 200 - 196 = 4$.
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{4} = 2$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $375x^2 - 25x - 2 = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{25}{375} = \frac{1}{15}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{-2}{375}$ है।
व्यंजक $\sum_{r=1}^{\infty} \alpha^r + \sum_{r=1}^{\infty} \beta^r = \frac{\alpha}{1-\alpha} + \frac{\beta}{1-\beta}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{(\alpha+\beta) - 2\alpha\beta}{1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{1}{15} + \frac{4}{375}}{1 - \frac{1}{15} - \frac{2}{375}} = \frac{\frac{25+4}{375}}{\frac{375-25-2}{375}} = \frac{29}{348} = \frac{1}{12}$।

(C) दिया गया समीकरण $1 + \sin^4 x = \cos^2 3x$ है।
चूँकि $\sin^4 x \ge 0$,बायाँ पक्ष $1 + \sin^4 x \ge 1$ है।
दायाँ पक्ष $\cos^2 3x \le 1$ है।
समानता के लिए,$1 + \sin^4 x = 1$ और $\cos^2 3x = 1$ होना चाहिए।
$1 + \sin^4 x = 1 \implies \sin x = 0 \implies x = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अब $x = n\pi$ के लिए $\cos^2 3x = 1$ की जाँच करने पर:
$\cos^2(3n\pi) = 1$ जो हमेशा सत्य है।
$x \in [-\frac{5\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ अंतराल में $x = n\pi$ के मान:
$n = -2, -1, 0, 1, 2$ के लिए $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$ हैं।
अतः,कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।
माना बिंदु $P$ $(2\cos \theta, \sqrt{3}\sin \theta)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है,जो $2x\sec \theta - \sqrt{3}y\csc \theta = 1$ में सरल होता है।
इस अभिलंब की ढाल $\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta$ है।
चूँकि अभिलंब रेखा $2x + y = 4$ के समांतर है,इसकी ढाल $-2$ है। अतः,$\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta = -2$,जिससे $\tan \theta = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = -\sqrt{3}$ के लिए,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x\cos \theta + \frac{2y\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $Q(4, 4)$ से गुजरती है,हमें $4\cos \theta + \frac{8\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta = -\sqrt{3}\cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ मिलता है।
अतः,$P = (-1, 3/2)$ है।
$PQ = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 3/2)^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$।

(C) दिया गया समीकरण: $y = \sin \,x \sin \,(x + 2) - \sin^2 \,(x + 1)$
$2$ से गुणा करने पर: $2y = 2 \sin \,x \sin \,(x + 2) - 2 \sin^2 \,(x + 1)$
सर्वसमिका $2 \sin \,A \sin \,B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \,x \sin \,(x + 2) = \cos(x - (x + 2)) - \cos(x + x + 2) = \cos(-2) - \cos(2x + 2) = \cos \,2 - \cos(2x + 2)$
सर्वसमिका $2 \sin^2 \,A = 1 - \cos(2A)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \,(x + 1) = 1 - \cos(2(x + 1)) = 1 - \cos(2x + 2)$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2y = (\cos \,2 - \cos(2x + 2)) - (1 - \cos(2x + 2))$
$2y = \cos \,2 - 1$
चूंकि $\cos \,2 < 1$,इसलिए $y < 0$ प्राप्त होता है।
यह एक क्षैतिज रेखा $y = k$ को दर्शाता है जहाँ $k < 0$,जो तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश से होकर गुजरती है।

(B) माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1 = 5 \ cm$ और $r_2 = 12 \ cm$ हैं। चूँकि वृत्त $90^o$ पर प्रतिच्छेद करते हैं,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{r_1^2 + r_2^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \ cm$ है।
माना उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2x$ है। उभयनिष्ठ जीवा केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा पर लंब होती है।
त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र से: $\frac{1}{2} \times r_1 \times r_2 = \frac{1}{2} \times d \times x$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 13 \times x$.
$60 = 13x \implies x = \frac{60}{13}$.
अतः,उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई $2x = \frac{120}{13} \ cm$ है।

(C) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_4 = 16$ के लिए,$\frac{4}{2} \{2a + 3d\} = 16$,जो $2a + 3d = 8$ (समीकरण $1$) में सरल होता है।
$S_6 = -48$ के लिए,$\frac{6}{2} \{2a + 5d\} = -48$,जो $2a + 5d = -16$ (समीकरण $2$) में सरल होता है।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(2a + 5d) - (2a + 3d) = -16 - 8$,अतः $2d = -24$,जिससे $d = -12$ प्राप्त होता है।
$d = -12$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $2a + 3(-12) = 8$,अतः $2a - 36 = 8$,जिससे $2a = 44$ प्राप्त होता है,अतः $a = 22$।
अब,$S_{10} = \frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 5 \{2(22) + 9(-12)\} = 5 \{44 - 108\} = 5 \{-64\} = -320$।

(A) प्रतिबंधात्मक कथन $p \to (\sim q \vee r)$ असत्य $(F)$ तभी होता है जब पूर्ववर्ती सत्य $(T)$ हो और परिणामी असत्य $(F)$ हो।
$1$. $p = T$
$2$. $(\sim q \vee r) = F$
वियोजन $(\sim q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,दोनों घटकों का असत्य होना आवश्यक है:
$\sim q = F \implies q = T$
$r = F$
अतः,सत्यता मान $p = T, q = T, r = F$ हैं।

(C) मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$.
हम जानते हैं कि यदि $-1 \le x < 0$ है तो $[x] = -1$ और यदि $-2 \le x < -1$ है तो $[x] = -2$ होता है।
पद $\left[ -\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \right]$ के लिए,मान $-1$ तब होता है जब $-\frac{1}{3} - \frac{k}{100} \ge -1$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{100} \le 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,इसलिए $k \le \frac{200}{3} \approx 66.66$।
अतः,$k = 0, 1, 2, \dots, 66$ (कुल $67$ पद) के लिए,मान $-1$ है।
$k = 67, 68, \dots, 99$ (कुल $33$ पद) के लिए,मान $-2$ है।
योग $= 67 \times (-1) + 33 \times (-2) = -67 - 66 = -133$.

(C) दिया गया समीकरण: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$1 - 2 \sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$2 \sin^2 x - \alpha \sin x + 2\alpha - 8 = 0$
यह $\sin x$ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4} = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$
स्थिति $1$: $\sin x = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$
स्थिति $2$: $\sin x = 2$ (संभव नहीं है)
हल के अस्तित्व के लिए,$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$
$2 \leq \alpha \leq 6$
अतः,$S = [2, 6]$.

(C) $f(x) = 5 - |x - 2|$.
$f(x)$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $|x - 2| = 0$,अर्थात $x = 2 = \alpha$.
$g(x) = |x + 1|$.
$g(x)$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $x + 1 = 0$,अर्थात $x = -1 = \beta$.
हमें $\lim_{x \to \alpha \beta} \frac{(x - 1)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8}$ का मान ज्ञात करना है।
यहाँ $\alpha \beta = (2)(-1) = -2$ है,लेकिन विकल्पों के अनुसार सीमा $x \to 2$ लेने पर उत्तर $\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z = x + 10i$ है।
दिया है $\frac{2z - n}{2z + n} = 2i - 1$ है।
$z = x + 10i$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(x + 10i) - n}{2(x + 10i) + n} = 2i - 1$
$(2x - n) + 20i = (2i - 1)((2x + n) + 20i)$
$(2x - n) + 20i = 2i(2x + n) + 40i^2 - (2x + n) - 20i$
$(2x - n) + 20i = (2i(2x + n) - 20i) - 40 - (2x + n)$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $2x - n = -40 - (2x + n)$ $\Rightarrow$ $2x - n = -40 - 2x - n$ $\Rightarrow$ $4x = -40$ $\Rightarrow$ $x = -10$ है।
काल्पनिक भाग: $20 = 2(2x + n) - 20$ $\Rightarrow$ $40 = 2(2x + n)$ $\Rightarrow$ $20 = 2x + n$ है।
$x = -10$ को $20 = 2x + n$ में रखने पर:
$20 = 2(-10) + n$ $\Rightarrow$ $20 = -20 + n$ $\Rightarrow$ $n = 40$ है।
अतः, $n = 40$ और $Re(z) = -10$ है।

(B) दी गई व्यंजक $\left( \frac{1}{60} - \frac{x^8}{81} \right) \left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ है।
$\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {^6C_r} (2x^2)^{6-r} \left( -\frac{3}{x^2} \right)^r = {^6C_r} 2^{6-r} (-3)^r x^{12-4r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए:
$1$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ में $12-4r = 0 \Rightarrow r = 3$ लेने पर,पद ${^6C_3} 2^3 (-3)^3 = 20 \times 8 \times (-27) = -4320$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{1}{60}$ से गुणा करने पर,$\frac{1}{60} \times (-4320) = -72$ प्राप्त होता है।
$2$. $\left( 2x^2 - \frac{3}{x^2} \right)^6$ में $12-4r = -8 \Rightarrow r = 5$ लेने पर,पद ${^6C_5} 2^1 (-3)^5 = 6 \times 2 \times (-243) = -2916$ प्राप्त होता है।
इसे $-\frac{1}{81}$ से गुणा करने पर,$-\frac{1}{81} \times (-2916) = 36$ प्राप्त होता है।
कुल योग $-72 + 36 = -36$ है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $a_1 + a_7 + a_{16} = 40$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + (a + 6d) + (a + 15d) = 40$
$3a + 21d = 40$
$3(a + 7d) = 40$
$a + 7d = \frac{40}{3}$
हमें प्रथम $15$ पदों का योग $S_{15}$ ज्ञात करना है।
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + (15-1)d]$
$S_{15} = \frac{15}{2} [2a + 14d]$
$S_{15} = 15(a + 7d)$
$(a + 7d)$ का मान रखने पर:
$S_{15} = 15 \times \frac{40}{3} = 5 \times 40 = 200$.

(D) नाभियाँ $(0, \pm c)$ पर हैं जहाँ $c = 2$ है। चूँकि नाभियाँ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
लघु अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$c^2 = b^2 - a^2$,जहाँ $b$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
$2^2 = b^2 - 2^2$ $\Rightarrow 4 = b^2 - 4$ $\Rightarrow b^2 = 8$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
विकल्प $(D)$ की जाँच करने पर: $\frac{(\sqrt{2})^2}{4} + \frac{2^2}{8} = \frac{2}{4} + \frac{4}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।
अतः,बिंदु $(\sqrt{2}, 2)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है।

(A) दिया गया है कि $\phi \ne A \cap B \subseteq C$ है।
विकल्प $(A)$ की जाँच करें: यदि $(A - C) \subseteq B$ है तो $A \subseteq B$ है।
मान लीजिए $A = \{1, 2\}$,$B = \{2, 3\}$,$C = \{1, 2\}$ है।
यहाँ $A \cap B = \{2\} \subseteq C$ और $A \cap B \ne \phi$ है।
$A - C = \phi \subseteq B$ सत्य है।
लेकिन $A = \{1, 2\} \not\subseteq B = \{2, 3\}$ है।
अतः,विकल्प $(A)$ में दिया गया कथन सत्य नहीं है।

(D) चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $\beta^2 = \alpha\gamma$ है।
यह दिया गया है कि समीकरणों $\alpha x^2 + 2\beta x + \gamma = 0$ और $x^2 + x - 1 = 0$ के गुणांक समानुपाती हैं,इसलिए दोनों मूल उभयनिष्ठ होंगे।
अतः,$\frac{\alpha}{1} = \frac{2\beta}{1} = \frac{\gamma}{-1} = k$।
इससे $\alpha = k$,$\beta = \frac{k}{2}$,और $\gamma = -k$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha(\beta + \gamma) = k(\frac{k}{2} - k) = k(-\frac{k}{2}) = -\frac{k^2}{2}$।
साथ ही,$\beta\gamma = (\frac{k}{2})(-k) = -\frac{k^2}{2}$।
अतः,$\alpha(\beta + \gamma) = \beta\gamma$।

(D) दिया गया वक्र $y = (x - 2)^2 - 1$ है,जिसे $(x - 2)^2 = y + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P(x_1, y_1)$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से परवलय $(x - 2)^2 = y + 1$ के लिए स्पर्श जीवा (chord of contact) का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x - 2)(x_1 - 2) = \frac{1}{2}(y + y_1 + 2)$
$2(x - 2)(x_1 - 2) = y + y_1 + 2$
$2(x_1 - 2)x - y - (4x_1 + y_1 - 6) = 0 \quad ......(i)$
हमें दिया गया है कि स्पर्श जीवा रेखा $x - y - 3 = 0$ है $\quad ......(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = \frac{-1}{-1} = \frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3}$
$\frac{2(x_1 - 2)}{1} = 1$ से,$2x_1 - 4 = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{-(4x_1 + y_1 - 6)}{-3} = 1$ से,$4x_1 + y_1 = 9$ प्राप्त होता है।
$x_1 = \frac{5}{2}$ रखने पर: $4(\frac{5}{2}) + y_1 = 9$ $\Rightarrow 10 + y_1 = 9$ $\Rightarrow y_1 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{5}{2}, -1 \right)$ है।

(C) मान लीजिए $MN$ ऊंचाई $h$ का टॉवर है और $AN = x$ टॉवर के पाद से बिंदु $A$ की दूरी है।
$\Delta ANM$ में,$\tan(45^o) = \frac{MN}{AN} = \frac{h}{x} = 1 \Rightarrow h = x$.
बिंदु $B$,$A$ से $30 \, m$ ऊपर है,इसलिए $PB = AN = x$ और $PM = MN - NP = h - 30 = x - 30$.
$\Delta BPM$ में,$\tan(30^o) = \frac{PM}{PB} = \frac{x - 30}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x - 30}{x} \Rightarrow x = \sqrt{3}x - 30\sqrt{3}$.
$x(\sqrt{3} - 1) = 30\sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = \frac{30\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{30(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{30(3 + \sqrt{3})}{2} = 15(3 + \sqrt{3}) \, m$.

(C) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(1, 2)$,$B(x_2, y_2)$,और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिया गया है कि भुजाओं $AB$ और $AC$ के मध्य बिंदु क्रमशः $E(-1, 1)$ और $F(2, 3)$ हैं।
$AB$ के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_2 + 1}{2} = -1 \implies x_2 + 1 = -2 \implies x_2 = -3$
$\frac{y_2 + 2}{2} = 1 \implies y_2 + 2 = 2 \implies y_2 = 0$
अतः,$B = (-3, 0)$.
$AC$ के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{x_3 + 1}{2} = 2 \implies x_3 + 1 = 4 \implies x_3 = 3$
$\frac{y_3 + 2}{2} = 3 \implies y_3 + 2 = 6 \implies y_3 = 4$
अतः,$C = (3, 4)$.
त्रिभुज का केंद्रक $G$ जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ हैं,का सूत्र $\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ है।
$G = \left( \frac{1 - 3 + 3}{3}, \frac{2 + 0 + 4}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{6}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, 2 \right)$.

(A) हम जानते हैं कि $(1+x)^{20} = \sum_{r=0}^{20} {^{20}C_r} x^r = {^{20}C_0} + {^{20}C_1} x + {^{20}C_2} x^2 + \dots + {^{20}C_{20}} x^{20} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$20(1+x)^{19} = ^{20}C_1 + 2 \cdot ^{20}C_2 x + 3 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $x$ से गुणा करने पर:
$20x(1+x)^{19} = ^{20}C_1 x + 2 \cdot ^{20}C_2 x^2 + 3 \cdot ^{20}C_3 x^3 + \dots + 20 \cdot ^{20}C_{20} x^{20} \dots (iii)$
समीकरण $(iii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$20[(1+x)^{19} + 19x(1+x)^{18}] = ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 x + 3^2 \cdot ^{20}C_3 x^2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} x^{19} \dots (iv)$
समीकरण $(iv)$ में $x=1$ रखने पर:
$20[2^{19} + 19(2^{18})] = 1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20}$
$= 20 \cdot 2^{18} [2 + 19] = 20 \cdot 21 \cdot 2^{18} = 420 \cdot 2^{18}$
$A(2^\beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 420$ और $\beta = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(420, 18)$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(3, r)$ या $(3, -r)$ है और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x-$ अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसका समीकरण $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ या $(x - 3)^2 + (y + r)^2 = r^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 6x + 9 + y^2 \mp 2ry + r^2 = r^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 6x \mp 2ry + 9 = 0$ बनता है।
$y-$ अंतःखंड $2\sqrt{f^2 - c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f = \mp r$ और $c = 9$ है।
अंतःखंड की लंबाई $8$ दी गई है,इसलिए $2\sqrt{r^2 - 9} = 8$ है।
$\sqrt{r^2 - 9} = 4 \implies r^2 - 9 = 16 \implies r^2 = 25 \implies r = 5$ है।
वृत्तों के समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 9 = 0$ और $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण में बिंदु $(3, 10)$ की जाँच करने पर: $(3)^2 + (10)^2 - 6(3) - 10(10) + 9 = 9 + 100 - 18 - 100 + 9 = 0$ है।
अतः,वृत्त $(3, 10)$ से होकर गुजरता है।

(D) परवलय $y^2 = 16x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{4}{m}$ के रूप में होता है,जहाँ $a = 4$ है। अतः,$y = mx + \frac{4}{m} \dots (i)$।
यदि यह रेखा अतिपरवलय $xy = -4$ की भी स्पर्शरेखा है,तो $(i)$ से $y$ का मान अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर $x(mx + \frac{4}{m}) = -4$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $mx^2 + \frac{4}{m}x + 4 = 0$ या $m^2x^2 + 4x + 4m = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के स्पर्शरेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए: $D = (4)^2 - 4(m^2)(4m) = 0$।
$16 - 16m^3 = 0$ $\Rightarrow m^3 = 1$ $\Rightarrow m = 1$।
$m = 1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $y = x + 4$ प्राप्त होता है,जिसे $x - y + 4 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) कुल विद्यार्थी = $5 + n$.
हमें $3$ विद्यार्थी इस प्रकार चुनने हैं कि कम से कम एक लड़का और एक लड़की हो।
संभावित स्थितियाँ:
स्थिति $1$: $1$ लड़का और $2$ लड़कियाँ: $^5C_1 \times ^nC_2 = 5 \times \frac{n(n-1)}{2} = \frac{5n(n-1)}{2}$.
स्थिति $2$: $2$ लड़के और $1$ लड़की: $^5C_2 \times ^nC_1 = 10 \times n = 10n$.
कुल तरीके = $\frac{5n(n-1)}{2} + 10n = 1750$.
$2$ से गुणा करने पर: $5n(n-1) + 20n = 3500$.
$5$ से भाग देने पर: $n(n-1) + 4n = 700$.
$n^2 - n + 4n = 700 \Rightarrow n^2 + 3n - 700 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(n + 28)(n - 25) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 25$.

(A) रेखा का अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है,जहाँ $p = 4$ मूल बिंदु से लंबवत दूरी है और $\alpha$ अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
रेखा $x + y = 0$ की ढाल $-1$ है,जो $x$-अक्ष के साथ $135^o$ का कोण बनाती है।
मूल बिंदु से रेखा $L$ पर लंब $x + y = 0$ के साथ $60^o$ का कोण बनाता है। अतः,$\alpha = 135^o \pm 60^o$.
स्थिति $1$: $\alpha = 135^o - 60^o = 75^o$.
$\cos 75^o = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt 2}$ और $\sin 75^o = \frac{\sqrt 3 + 1}{2\sqrt 2}$.
समीकरण $(\sqrt 3 - 1)x + (\sqrt 3 + 1)y = 8\sqrt 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 2\sin x}}{{\sqrt {{x^2} + 2\sin x + 1} - \sqrt {{{\sin }^2}x - x + 1} }}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + 2\sin x)(\sqrt {{x^2} + 2\sin x + 1} + \sqrt {{{\sin }^2}x - x + 1} )}}{{x^2 + x + 2\sin x - {{\sin }^2}x}}$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + 2\frac{\sin x}{x})(\sqrt {{x^2} + 2\sin x + 1} + \sqrt {{{\sin }^2}x - x + 1} )}}{{x + 1 + 2\frac{\sin x}{x} - \sin x \frac{\sin x}{x}}}$
जब $x \to 0$,तब $\frac{\sin x}{x} \to 1$ और $\sin x \to 0$:
$L = \frac{{(1 + 2(1))(1 + 1)}}{{0 + 1 + 2(1) - 0}} = \frac{6}{3} = 2$.
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) हम जानते हैं कि निहितार्थ $p \Rightarrow r$,$(\sim p) \vee r$ के समतुल्य है।
इसलिए,$p \Rightarrow (\sim q)$,$(\sim p) \vee (\sim q)$ के समतुल्य है।
अब,निषेध लागू करने पर: $\sim (p \Rightarrow (\sim q)) = \sim ((\sim p) \vee (\sim q))$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$।
अतः,$\sim ((\sim p) \vee (\sim q)) = (\sim (\sim p)) \wedge (\sim (\sim q)) = p \wedge q$।
अतः,सही उत्तर विकल्प $(C)$ है।

(B) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{2-(1+\cos x)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x (\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
सर्वसमिका $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x = (1-\cos x)(1+\cos x)$ का उपयोग करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})}{1-\cos x}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} (1+\cos x)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos x})$
$x = 0$ रखने पर:
$= (1+\cos 0)(\sqrt{2}+\sqrt{1+\cos 0})$
$= (1+1)(\sqrt{2}+\sqrt{1+1})$
$= 2 \times (\sqrt{2}+\sqrt{2})$
$= 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

(A) दिया गया व्यंजक: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$.
पहले भाग में डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
अब व्यंजक यह हो जाता है: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
इसे वापस रखने पर: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
अवशोषण नियम का उपयोग करने पर: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,जहाँ $A = (p \wedge \sim q)$ और $B = r$.
अतः,व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ में सरल हो जाता है।

(B) दिया गया है कि $q$ असत्य है और $p \wedge q \leftrightarrow r$ सत्य है।
चूंकि $q \equiv F$,इसलिए $p \wedge q \equiv F$ होगा।
द्वि-प्रतिबंधक कथन $p \wedge q \leftrightarrow r$ के सत्य होने के लिए,$r$ का सत्यता मान $p \wedge q$ के समान होना चाहिए।
अतः,$r \equiv F$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$(A)$ $p \vee r \equiv p \vee F \equiv p$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$(B)$ $(p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) \equiv (p \wedge F)$ $\rightarrow (p \vee F) \equiv F$ $\rightarrow p$. चूंकि $F \rightarrow p$ हमेशा सत्य होता है,इसलिए यह एक पुनरुक्ति है।
$(C)$ $(p \vee r)$ $\rightarrow (p \wedge r) \equiv (p \vee F)$ $\rightarrow (p \wedge F) \equiv p$ $\rightarrow F$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
$(D)$ $p \wedge r \equiv p \wedge F \equiv F$,जो एक व्याघात (contradiction) है।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{50}$ हैं।
दिया गया है कि $30$ से विचलनों का योग $50$ है,अतः:
$\sum_{i=1}^{50} (x_i - 30) = 50$
योग का विस्तार करने पर:
$\sum_{i=1}^{50} x_i - \sum_{i=1}^{50} 30 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - (50 \times 30) = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i - 1500 = 50$
$\sum_{i=1}^{50} x_i = 1550$
अब,माध्य $\bar{x}$ इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{n} = \frac{1550}{50} = 31$

(A) रेखा $l_1$ की ढाल $= \frac{4-2}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(h, k)$,$l_1$ पर स्थित है,$(h, k)$ और $(1, 2)$ के बीच की ढाल $-\frac{1}{2}$ होगी:
$\frac{k-2}{h-1} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k-4 = -h+1$ $\Rightarrow h+2k = 5$ ... $(i)$.
रेखा $l_2$,$(h, k)$ और $(4, 3)$ से गुजरती है और $l_1$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ है।
अतः,$\frac{3-k}{4-h} = 2$ $\Rightarrow 3-k = 8-2h$ $\Rightarrow 2h-k = 5$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4h-2k = 10$ ... $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $(h+2k) + (4h-2k) = 5+10$ $\Rightarrow 5h = 15$ $\Rightarrow h = 3$.
$h=3$ को $(i)$ में रखने पर: $3+2k = 5$ $\Rightarrow 2k = 2$ $\Rightarrow k = 1$.
अतः,$\frac{k}{h} = \frac{1}{3}$.

(D) दी गई संख्याएँ $-1, 0, 1, k$ हैं।
मानक विचलन,$\sigma = \sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ होता है।
यहाँ,$n = 4$ है।
$\sigma^2 = 5 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2}{4} - \left(\frac{-1 + 0 + 1 + k}{4}\right)^2$।
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \left(\frac{k}{4}\right)^2$।
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$।
पूरे समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$।
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$।
$72 = 3k^2$।
$k^2 = 24$।
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$।

(D) दी गई असमिका $2^{\sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 5}} \cdot 2^{-2 \sin^2 y} \leq 1$ है।
इसे $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 2^{2 \sin^2 y}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
आधार $2 > 1$ है,इसलिए $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2 \sin^2 y$।
हम जानते हैं कि $(\sin x - 1)^2 \geq 0$,इसलिए $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \geq 2$।
अतः $2 \sin^2 y \geq 2$,जिसका अर्थ है $\sin^2 y \geq 1$।
$\sin^2 y$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\sin^2 y = 1$ अर्थात $\sin y = \pm 1$।
$\sin^2 y = 1$ रखने पर,$\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2$ प्राप्त होता है।
इससे $(\sin x - 1)^2 + 4 \leq 4$,अर्थात $(\sin x - 1)^2 \leq 0$।
अतः $\sin x = 1$।
इस प्रकार,$\sin x = |\sin y|$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $O_1 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ है।
अभीष्ट वृत्त $C$ का केंद्र $O_1(-2, 3)$ और स्पर्श बिंदु $P(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है।
रेखा $O_1P$ की ढाल $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ है।
बिंदु $P(1, -1)$ पर अभिलंब की ढाल $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ होगी।
इस अभिलंब का समीकरण $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $(h, k)$ है,जो इस रेखा पर स्थित है,अतः $3h-4k=7$ है।
साथ ही,$(h, k)$ से $P(1, -1)$ की दूरी $R$ है और $(h, k)$ से $(4, 0)$ की दूरी भी $R$ है। अतः,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$ है।
इसे सरल करने पर: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$ प्राप्त होता है।
जिससे $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ मिलता है।
समीकरणों $3h-4k=7$ और $3h+k=7$ को हल करने पर $5k=0 \Rightarrow k=0$ और $h=7/3$ प्राप्त होता है।
अतः त्रिज्या $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ है।

(A) सबसे पहले,$\vec{a} + \vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{j}$ और $\vec{a} - \vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
दोनों सदिशों के लंबवत सदिश उनका क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 16\hat{i} - 16\hat{j} - 8\hat{k} = 8(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
इस सदिश का परिमाण $8 \times 3 = 24$ है।
$12$ परिमाण वाला सदिश प्राप्त करने के लिए,हमें इसे $\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ से गुणा करना होगा।
अतः,अभीष्ट सदिश $\pm 4(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$ है।

(A) दिए गए फलन $f(x) = \sqrt{x}$,$g(x) = \tan x$,और $h(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$ हैं।
सबसे पहले,$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{\tan x}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\phi(x) = (h \circ (f \circ g))(x) = h(\sqrt{\tan x})$ ज्ञात करें।
$h(x)$ में $\sqrt{\tan x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi(x) = \frac{1 - (\sqrt{\tan x})^2}{1 + (\sqrt{\tan x})^2} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \tan\left( \frac{\pi}{4} - x \right)$।
अब,$\phi\left( \frac{\pi}{3} \right) = \tan\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} \right) = \tan\left( \frac{3\pi - 4\pi}{12} \right) = \tan\left( -\frac{\pi}{12} \right) = -\tan\left( \frac{\pi}{12} \right)$ की गणना करें।
चूंकि $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$,इसलिए $-\tan\left( \frac{\pi}{12} \right) = \tan\left( \pi - \frac{\pi}{12} \right) = \tan\left( \frac{11\pi}{12} \right)$ होता है।

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot x}{\cot x + \csc x} dx$.
फलन का सरलीकरण करने पर: $\frac{\cot x}{\cot x + \csc x} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}} = \frac{\cos x}{\cos x + 1}$.
सर्वसमिका $\cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\cos x}{\cos x + 1} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = 1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
अब समाकलन करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}) dx$.
$I = [x - \tan \frac{x}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}$.
सीमाओं का मान रखने पर: $I = (\frac{\pi}{2} - \tan \frac{\pi}{4}) - (0 - \tan 0) = \frac{\pi}{2} - 1$.
इसे $I = \frac{1}{2}(\pi - 2) = \frac{1}{2}(\pi + (-2))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$m(\pi + n)$ से तुलना करने पर,$m = \frac{1}{2}$ और $n = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m \cdot n = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$.

(C) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए हम जानते हैं कि $\det(B) = \frac{1}{\det(A)}$.
सबसे पहले,आव्यूह $B$ का सारणिक ज्ञात करें:
$\det(B) = 5(2(-1) - 3(1)) - 2\alpha(0(-1) - \alpha(1)) + 1(0(3) - \alpha(2))$
$\det(B) = 5(-5) + 2\alpha^2 - 2\alpha = 2\alpha^2 - 2\alpha - 25$.
शर्त $\det(A) + 1 = 0$ के अनुसार,$\det(A) = -1$ है।
अतः,$\det(B) = \frac{1}{-1} = -1$.
$\det(B)$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2\alpha^2 - 2\alpha - 25 = -1$
$2\alpha^2 - 2\alpha - 24 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\alpha^2 - \alpha - 12 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 3) = 0$.
$\alpha$ के मान $4$ और $-3$ हैं।
इन मानों का योग $4 + (-3) = 1$ है।

(A) माना रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-1}=\lambda$ है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $x=3\lambda+2, y=2\lambda-1, z=-\lambda+1$ द्वारा दिया जाता है।
समतल $2x+3y-z+13=0$ के साथ प्रतिच्छेदन के लिए:
$2(3\lambda+2)+3(2\lambda-1)-(-\lambda+1)+13=0$
$6\lambda+4+6\lambda-3+\lambda-1+13=0$
$13\lambda+13=0 \implies \lambda=-1$.
$\lambda=-1$ रखने पर,हमें $P(-1, -3, 2)$ प्राप्त होता है।
समतल $3x+y+4z=16$ के साथ प्रतिच्छेदन के लिए:
$3(3\lambda+2)+(2\lambda-1)+4(-\lambda+1)=16$
$9\lambda+6+2\lambda-1-4\lambda+4=16$
$7\lambda+9=16 \implies 7\lambda=7 \implies \lambda=1$.
$\lambda=1$ रखने पर,हमें $Q(5, 1, 0)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2 + (0 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

(D) सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + \lambda \hat{k}$,और $\vec{c} = \lambda \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल का निरपेक्ष मान है:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \\ \lambda & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det = 1(1 - 0) - \lambda(0 - \lambda^2) + 1(0 - \lambda) = 1 + \lambda^3 - \lambda$
अतः,$V(\lambda) = |\lambda^3 - \lambda + 1|$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,माना $f(\lambda) = \lambda^3 - \lambda + 1$ है। अवकलन करने पर $f'(\lambda) = 3\lambda^2 - 1 = 0$ रखने पर:
$\lambda^2 = \frac{1}{3} \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इन बिंदुओं पर $f(\lambda)$ का मान जाँचने पर:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.615$.
$\lambda = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 1.385$.
चूंकि आयतन $V = |f(\lambda)|$ है,हम $|f(\lambda)|$ का न्यूनतम मान देखते हैं। $f(\lambda)$ का मान $\lambda < -1$ के लिए शून्य होता है,जहाँ आयतन $V = 0$ है,जो कि न्यूनतम है। दिए गए विकल्पों में से कोई भी $\lambda^3 - \lambda + 1 = 0$ का मूल नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = A$।
दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^T = -B$।
हमें दिया गया है $A + B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \quad (1)$।
दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(A + B)^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}^T \implies A^T + B^T = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$।
$A^T = A$ और $B^T = -B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \quad (2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2A = \begin{bmatrix} 2+2 & 3+5 \\ 5+3 & -1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 8 & -2 \end{bmatrix} \implies A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$।
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$2B = \begin{bmatrix} 2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \implies B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अब,$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(0) + (4)(1) & (2)(-1) + (4)(0) \\ (4)(0) + (-1)(1) & (4)(-1) + (-1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & -4 \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0$
$dx$ से भाग देने पर ($dx \neq 0$ मानते हुए):
$y^2 - x^3 - xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} - y^2 = -x^3$
$x$ से भाग देने पर:
$y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^2 = -x^2$ ......$(i)$
माना $y^2 = v$,तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,अतः $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dv}{dx}$.
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = -x^2$
$\frac{dv}{dx} - \frac{2}{x} v = -2x^2$ ......$(ii)$
यह $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -2x^2$.
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
हल $v \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + c$ है।
$v \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-2x^2) \cdot \frac{1}{x^2} dx + c$
$\frac{v}{x^2} = \int -2 dx + c$
$\frac{v}{x^2} = -2x + c$
चूँकि $v = y^2$,इसलिए $\frac{y^2}{x^2} = -2x + c$.
$y^2 = -2x^3 + cx^2$,जिसका अर्थ है $y^2 - 2x^3 + cx^2 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल घटकों के सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -\alpha \\ \alpha & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\alpha(1(3) - (-2)(-\alpha)) - 1(2(3) - \alpha(-\alpha)) + 3(2(-2) - \alpha(1)) = 0$
$\alpha(3 - 2\alpha) - 1(6 + \alpha^2) + 3(-4 - \alpha) = 0$
$3\alpha - 2\alpha^2 - 6 - \alpha^2 - 12 - 3\alpha = 0$
$-3\alpha^2 - 18 = 0$
$-3(\alpha^2 + 6) = 0$
$\alpha^2 + 6 = 0$
चूंकि $\alpha \in \mathbb{R}$,$\alpha^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $\alpha^2 + 6 \geq 6$। अतः,$\alpha$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{\tan x + \tan \alpha}{\tan x - \tan \alpha} dx$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\tan x \pm \tan \alpha = \frac{\sin(x \pm \alpha)}{\cos x \cos \alpha}$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sin(x + \alpha) / (\cos x \cos \alpha)}{\sin(x - \alpha) / (\cos x \cos \alpha)} dx = \int \frac{\sin(x + \alpha)}{\sin(x - \alpha)} dx$.
माना $t = x - \alpha$,तो $x = t + \alpha$ और $dx = dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sin(t + 2\alpha)}{\sin t} dt$.
$\sin(t + 2\alpha) = \sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha$ का विस्तार करने पर:
$I = \int \frac{\sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha}{\sin t} dt$
$I = \int \cos 2\alpha dt + \int \cot t \sin 2\alpha dt$
$I = t \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \ln |\sin t| + C$.
$t = x - \alpha$ वापस रखने पर:
$I = (x - \alpha) \cos 2\alpha + \ln |\sin (x - \alpha)| \sin 2\alpha + C$.
इसकी तुलना $A(x) \cos 2\alpha + B(x) \sin 2\alpha + C$ से करने पर,हमें $A(x) = x - \alpha$ और $B(x) = \ln |\sin (x - \alpha)|$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) परवलय $y^2 = 4\lambda x$ और रेखा $y = \lambda x$ के समीकरण दिए गए हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \lambda x$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$(\lambda x)^2 = 4\lambda x$
$\lambda^2 x^2 - 4\lambda x = 0$
$\lambda x(\lambda x - 4) = 0$
चूँकि $\lambda > 0$,इसलिए $x = 0$ और $x = \frac{4}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल निम्न है:
$A = \int_{0}^{4/\lambda} (\sqrt{4\lambda x} - \lambda x) dx = \frac{1}{9}$
$A = 2\sqrt{\lambda} \int_{0}^{4/\lambda} \sqrt{x} dx - \lambda \int_{0}^{4/\lambda} x dx$
$A = 2\sqrt{\lambda} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4/\lambda} - \lambda \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4/\lambda}$
$A = \frac{4}{3} \sqrt{\lambda} \left( \frac{4}{\lambda} \right)^{3/2} - \frac{\lambda}{2} \left( \frac{4}{\lambda} \right)^2$
$A = \frac{4}{3} \sqrt{\lambda} \cdot \frac{8}{\lambda \sqrt{\lambda}} - \frac{\lambda}{2} \cdot \frac{16}{\lambda^2}$
$A = \frac{32}{3\lambda} - \frac{8}{\lambda} = \frac{32 - 24}{3\lambda} = \frac{8}{3\lambda}$
दिया गया है कि $A = \frac{1}{9}$,इसलिए:
$\frac{8}{3\lambda} = \frac{1}{9}$
$3\lambda = 72$
$\lambda = 24$

(A) दिए गए समीकरणों का निकाय है:
$[\sin \theta ]x + [-\cos \theta ]y = 0 \dots (1)$
$[\cot \theta ]x + y = 0 \dots (2)$
स्थिति $I$: जब $\theta \in \left( \frac{\pi }{2}, \frac{2\pi }{3} \right)$
$\sin \theta \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [\sin \theta ] = 0$
$-\cos \theta \in \left( 0, \frac{1}{2} \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0 \right) \implies [\cot \theta ] = -1$
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$0x + 0y = 0$
$-x + y = 0$
पहला समीकरण सभी $(x, y)$ के लिए संतुष्ट होता है,और दूसरा समीकरण $y = x$ दर्शाता है। अतः,निकाय के अनंत हल हैं।
स्थिति $II$: जब $\theta \in \left( \pi, \frac{7\pi}{6} \right)$
$\sin \theta \in \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \implies [\sin \theta ] = -1$
$-\cos \theta \in \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in (\sqrt{3}, \infty) \implies [\cot \theta ] = k$,जहाँ $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$
इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$-x + 0y = 0 \implies x = 0$
$kx + y = 0 \implies k(0) + y = 0 \implies y = 0$
अतः,निकाय का अद्वितीय हल $(0, 0)$ है।

(C) माना कुल समस्याओं की संख्या $n = 50$ है।
समस्या को हल करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{5}$ है।
समस्या को हल न कर पाने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{5}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उम्मीदवार दो से कम समस्याओं को हल करने में असमर्थ है,जिसका अर्थ है कि हल न की गई समस्याओं की संख्या $(X)$ $0$ या $1$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = ^{n}C_{k} q^{k} p^{n-k}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = ^{50}C_{0} \left( \frac{1}{5} \right)^{0} \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = \left( \frac{4}{5} \right)^{50}$
$P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left( \frac{1}{5} \right)^{1} \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 50 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर:
$P(X < 2) = \left( \frac{4}{5} \right)^{50} + 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4}{5} + 10 \right)$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4 + 50}{5} \right)$
$= \frac{54}{5} \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$

(B) समतल बिंदु $(1, 1, 0)$ से होकर गुजरता है और सदिशों $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4+1) - \hat{j}(-2-1) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
$-3$ से विभाजित करने पर,हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x-1) - 1(y-1) - 1(z-0) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $x - y - z = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(2, 1, 4)$ से समतल $x - y - z = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2 - 1 - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।

(D) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$1$. डबलेट के लिए: परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{doublet}) = \frac{6}{36}$. लाभ $= +15$.
$2$. योग $9$ होने के लिए: परिणाम $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ हैं। ऐसे $4$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{sum } 9) = \frac{4}{36}$. लाभ $= +12$.
$3$. किसी अन्य परिणाम के लिए: परिणामों की संख्या $36 - (6 + 4) = 26$ है।
प्रायिकता $P(\text{other}) = \frac{26}{36}$. हानि $= -6$.
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i = (15 \times \frac{6}{36}) + (12 \times \frac{4}{36}) + (-6 \times \frac{26}{36})$
$E(X) = \frac{90}{36} + \frac{48}{36} - \frac{156}{36} = \frac{90 + 48 - 156}{36} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है,यह $\frac{1}{2}$ $Rs.$ की हानि को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) माना $y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}} \right)$.
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x + 1}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - \tan(\frac{\pi}{4})}}{{1 + \tan x \cdot \tan(\frac{\pi}{4})}}} \right)$.
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right)$.
चूंकि $x \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$,इसलिए $x - \frac{\pi }{4} \in \left( {-\frac{\pi }{4}, \frac{\pi }{4}} \right)$,जो $\tan^{-1}$ के मुख्य परिसर में है।
अतः,$y = x - \frac{\pi }{4}$.
अब,हमें $u = \frac{x}{2}$ के सापेक्ष $y$ का अवकलज ज्ञात करना है।
चूंकि $u = \frac{x}{2}$,इसलिए $x = 2u$ है।
$y$ में $x$ का मान रखने पर,$y = 2u - \frac{\pi }{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(2u - \frac{\pi }{4}) = 2$.

(B) दो समतलों $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ और $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ के कोण समद्विभाजक का समीकरण $\frac{A_1x + B_1y + C_1z + D_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}} = \pm \frac{A_2x + B_2y + C_2z + D_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतलों $2x - y + 2z - 4 = 0$ और $x + 2y + 2z - 2 = 0$ के लिए,समीकरण है:
$\frac{2x - y + 2z - 4}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\frac{2x - y + 2z - 4}{3} = \pm \frac{x + 2y + 2z - 2}{3}$
$2x - y + 2z - 4 = \pm(x + 2y + 2z - 2)$.
स्थिति $I$ (धनात्मक चिह्न):
$2x - y + 2z - 4 = x + 2y + 2z - 2$
$x - 3y - 2 = 0$.
स्थिति $II$ (ऋणात्मक चिह्न):
$2x - y + 2z - 4 = -(x + 2y + 2z - 2)$
$2x - y + 2z - 4 = -x - 2y - 2z + 2$
$3x + y + 4z - 6 = 0$.
समीकरण $3x + y + 4z - 6 = 0$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:
$(2, -4, 1)$ के लिए: $3(2) + (-4) + 4(1) - 6 = 6 - 4 + 4 - 6 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(B) दिया गया समाकलन $\int_{\alpha}^{\alpha+1} \frac{dx}{(x+\alpha)(x+\alpha+1)} = \log_{e}\left(\frac{9}{8}\right)$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x+\alpha)(x+\alpha+1)} = \frac{1}{x+\alpha} - \frac{1}{x+\alpha+1}$.
दोनों पदों का समाकलन करने पर:
$\int_{\alpha}^{\alpha+1} \left( \frac{1}{x+\alpha} - \frac{1}{x+\alpha+1} \right) dx = \left[ \log_{e}|x+\alpha| - \log_{e}|x+\alpha+1| \right]_{\alpha}^{\alpha+1} = \left[ \log_{e}\left| \frac{x+\alpha}{x+\alpha+1} \right| \right]_{\alpha}^{\alpha+1}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$\log_{e}\left( \frac{2\alpha+1}{2\alpha+2} \right) - \log_{e}\left( \frac{2\alpha}{2\alpha+1} \right) = \log_{e}\left( \frac{(2\alpha+1)^2}{2\alpha(2\alpha+2)} \right) = \log_{e}\left( \frac{9}{8} \right)$.
तर्क की तुलना करने पर:
$\frac{(2\alpha+1)^2}{4\alpha(\alpha+1)} = \frac{9}{8} \Rightarrow 8(4\alpha^2 + 4\alpha + 1) = 9(4\alpha^2 + 4\alpha)$.
$32\alpha^2 + 32\alpha + 8 = 36\alpha^2 + 36\alpha \Rightarrow 4\alpha^2 + 4\alpha - 8 = 0$.
$\alpha^2 + \alpha - 2 = 0 \Rightarrow (\alpha+2)(\alpha-1) = 0$.
अतः,$\alpha = 1$ या $\alpha = -2$ है। विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $-2$ है।

(B) दिया गया है $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$.
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(1 - 0) - 0 + (-1)(0 - 4 \cos 6\theta) = 0$.
$2 + 4 \cos 6\theta = 0$.
$4 \cos 6\theta = -2 \Rightarrow \cos 6\theta = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{3})$,इसलिए $6\theta \in (0, 2\pi)$.
$\cos 6\theta = -\frac{1}{2} \Rightarrow 6\theta = \frac{2\pi}{3}$ या $6\theta = \frac{4\pi}{3}$.
$\theta = \frac{\pi}{9}$ या $\theta = \frac{2\pi}{9}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\theta = \frac{\pi}{9}$ सही मान है।

(C) दिया गया वक्र $y = \frac{x}{x^2-3}$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2-3)(1) - x(2x)}{(x^2-3)^2} = \frac{x^2-3-2x^2}{(x^2-3)^2} = \frac{-(x^2+3)}{(x^2-3)^2}$.
रेखा $2x + 6y - 11 = 0$ की ढाल $m = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा,दी गई रेखा के समांतर है,इसलिए $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{1}{3}$ होगी।
अतः,$\frac{-(\alpha^2+3)}{(\alpha^2-3)^2} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3(\alpha^2+3) = (\alpha^2-3)^2$.
माना $t = \alpha^2$. तब $3t + 9 = t^2 - 6t + 9 \Rightarrow t^2 - 9t = 0$.
चूंकि $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$,$\alpha^2 \neq 0$,इसलिए $\alpha^2 = 9$,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm 3$.
यदि $\alpha = 3$,तो $\beta = \frac{3}{3^2-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
यदि $\alpha = -3$,तो $\beta = \frac{-3}{(-3)^2-3} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.
अब,$|6\alpha + 2\beta|$ का मान ज्ञात करते हैं:
बिंदु $(3, 1/2)$ के लिए,$|6(3) + 2(1/2)| = |18 + 1| = 19$.
बिंदु $(-3, -1/2)$ के लिए,$|6(-3) + 2(-1/2)| = |-18 - 1| = |-19| = 19$.
अतः,$|6\alpha + 2\beta| = 19$.

(D) दिया गया समुच्चय $S = \{x \in R : x^2+30 \leq 11x\}$ है।
असमिका को हल करने पर: $x^2-11x+30 \leq 0$.
$(x-5)(x-6) \leq 0$,जिसका अर्थ है $x \in [5, 6]$.
अब,फलन $f(x) = 3x^3-18x^2+27x-40$ पर विचार करें।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 9x^2-36x+27 = 9(x^2-4x+3) = 9(x-1)(x-3)$.
अंतराल $x \in [5, 6]$ के लिए,$(x-1)$ और $(x-3)$ दोनों धनात्मक हैं,इसलिए $f'(x) > 0$.
चूंकि $f'(x) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ अंतराल $[5, 6]$ पर निरंतर वर्धमान फलन है।
अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 6$ पर प्राप्त होता है।
$f(6) = 3(6)^3 - 18(6)^2 + 27(6) - 40 = 3(216) - 18(36) + 162 - 40 = 648 - 648 + 162 - 40 = 122$.

(A) चूंकि $f(x)$,$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर सतत है,इसलिए यह $x=\frac{\pi}{4}$ पर भी सतत होना चाहिए।
अतः,$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos x-1}{\cot x-1}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धारित रूप है।
एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए,हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$k = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{2} \cos x - 1)}{\frac{d}{dx}(\cot x - 1)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \sin x}{-\operatorname{cosec}^2 x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \sin x}{\operatorname{cosec}^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$k = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4})}{\operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan \theta}{\sqrt{2 k \sec \theta}} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \sqrt{\cos \theta} d \theta$.
$= \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos \theta}} d \theta$.
माना $\cos \theta = t$,तब $-\sin \theta d \theta = dt$,अर्थात $\sin \theta d \theta = -dt$.
जब $\theta = 0$,तब $t = 1$. जब $\theta = \frac{\pi}{3}$,तब $t = \frac{1}{2}$.
$I = \frac{-1}{\sqrt{2 k}} \int_{1}^{\frac{1}{2}} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{\sqrt{2 k}} \int_{\frac{1}{2}}^{1} t^{-\frac{1}{2}} dt$.
$I = \frac{1}{\sqrt{2 k}} [2\sqrt{t}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{2}{\sqrt{2 k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
दिया गया है कि $I = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{k}} = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{k} = \sqrt{2}$,अतः $k = 2$.

(C) मान लीजिए $I = \int_0^a f(x) g(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^a f(a-x) g(a-x) dx$.
चूंकि $f(x) = f(a-x)$ और $g(a-x) = 4 - g(x)$,हम इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_0^a f(x) (4 - g(x)) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x) g(x) dx$.
$I = 4 \int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 4 \int_0^a f(x) dx$.
$I = 2 \int_0^a f(x) dx$.

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-2y=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 1)$ है।
वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x^2}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{2}{x^2} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\log |y| = -\frac{2}{x} + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=1$ और $y=1$ रखने पर:
$\log |1| = -\frac{2}{1} + c \implies 0 = -2 + c \implies c = 2$.
सामान्य हल में $c=2$ रखने पर,हमें $\log |y| = -\frac{2}{x} + 2$ प्राप्त होता है।
$x$ से गुणा करने पर,$x \log |y| = -2 + 2x = 2(x-1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
$x$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2}{x}\right)y = x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$.
अतः,विशिष्ट हल $y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$ या $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$ है।
अब,$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{4} + \frac{3}{4(\frac{1}{2})^2} = \frac{1/4}{4} + \frac{3}{4(1/4)} = \frac{1}{16} + 3 = \frac{1 + 48}{16} = \frac{49}{16}$.

(D) दिया गया समीकरण: $(2x)^{2y} = 4e^{2x-2y}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2y \log_e(2x) = \log_e(4) + 2x - 2y$
$2y \log_e(2x) + 2y = 2x + 2 \log_e(2)$
$y(1 + \log_e(2x)) = x + \log_e(2)$
$y = \frac{x + \log_e(2)}{1 + \log_e(2x)}$
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1 + \log_e(2x)) \cdot 1 - (x + \log_e(2)) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \log_e(2x))^2}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - \frac{x + \log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = 1 + \log_e(2x) - 1 - \frac{\log_e(2)}{x}$
$(1 + \log_e(2x))^2 \frac{dy}{dx} = \frac{x \log_e(2x) - \log_e(2)}{x}$

(D) माना $I = \int \frac{3 x^{13}+2 x^{11}}{\left(2 x^4+3 x^2+1\right)^4} d x$.
अंश और हर को $x^{16}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{3 x^{-3}+2 x^{-5}}{\left(2+3 x^{-2}+x^{-4}\right)^4} d x$.
माना $u = 2+3 x^{-2}+x^{-4}$.
तब $du = (-6 x^{-3}-4 x^{-5}) d x = -2(3 x^{-3}+2 x^{-5}) d x$.
अतः,$(3 x^{-3}+2 x^{-5}) d x = -\frac{1}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-1/2}{u^4} du = -\frac{1}{2} \int u^{-4} du = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{-3}}{-3} \right) + C = \frac{1}{6 u^3} + C$.
$u$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{6(2+3 x^{-2}+x^{-4})^3} + C = \frac{1}{6(\frac{2x^4+3x^2+1}{x^4})^3} + C = \frac{x^{12}}{6(2 x^4+3 x^2+1)^3} + C$.

(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^8 + 7x^6}{(x^2 + 1 + 2x^7)^2} dx$.
समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर:
$f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^2} dx$.
माना $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$. तब $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{x^7}{1 + x^2 + 2x^7} + C$.
दिया गया है $f(0) = 0$,इसलिए $0 = \frac{0}{1} + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः,$f(x) = \frac{x^7}{x^2 + 1 + 2x^7}$.
$x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(1) = \frac{1^7}{1^2 + 1 + 2(1)^7} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$.

(D) मान लीजिए $X \sim B(n, p)$.
दिया गया है कि माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $8q = 4$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$ और $p = \frac{1}{2}$।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 8$ में रखने पर,हमें $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}}$।
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = \frac{16}{2^{16}}$।
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{120}{2^{16}}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \leqslant 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$।
इसे $\frac{k}{2^{16}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 137$ प्राप्त होता है।

(A) माना रेखा $\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-3}{1}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+4, 2\lambda+5, \lambda+3)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=2$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2\lambda+4) + (2\lambda+5) + (\lambda+3) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,इसलिए $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-2) + 4 = 0$,
$y = 2(-2) + 5 = 1$,
$z = (-2) + 3 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1, 1)$ है।
अब,जांचें कि कौन सा विकल्प बिंदु $(0, 1, 1)$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(A)$ के लिए: $\frac{0-1}{1} = -1$,$\frac{1-3}{2} = -1$,$\frac{1+4}{-5} = -1$.
चूंकि सभी अनुपात $-1$ के बराबर हैं,इसलिए बिंदु $(0, 1, 1)$ विकल्प $(A)$ में दी गई रेखा पर स्थित है।