यदि वक्र y = x^3 + ax - b के बिंदु (1, -5) पर | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 + ax - b$ है। चूंकि बिंदु $(1, -5)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए: $-5 = (1)^3 + a(1) - b$ $-5 = 1 + a - b$ $a - b = -6$ $\dots(i)

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$(2, -2)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $y = x^3 + ax - b$ है। चूंकि बिंदु $(1, -5)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए: $-5 = (1)^3 + a(1) - b$ $-5 = 1 + a - b$ $a - b = -6$ $\dots(i)$ किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + a$ द्वारा दी जाती है। बिंदु $(1, -5)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = 3(1)^2 + a = 3 + a$ है। दी गई रेखा $-x + y + 4 = 0$ है,जिसे $y = x - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = 1$ है। चूंकि स्पर्श रेखा,रेखा के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए: $m_1 	imes m_2 = -1$ $(3 + a)(1) = -1$ $3 + a = -1$ $a = -4$. $a = -4$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $-4 - b = -6$ $-b = -2$ $b = 2$. अतः,वक्र का समीकरण $y = x^3 - 4x - 2$ है। अब,हम दिए गए विकल्पों की जाँच करते हैं: $(2, -2)$ के लिए: $y = (2)^3 - 4(2) - 2 = 8 - 8 - 2 = -2$. चूंकि बिंदु $(2, -2)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए यह वक्र पर स्थित है।

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