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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{n}{{{n^2} + {r^2}}}}$ है।हम सामान्य पद को $\frac{n}{n^2(1

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$	an^{-1}(2)$

Vedclass · Answer

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{n}{{{n^2} + {r^2}}}}$ है।हम सामान्य पद को $\frac{n}{n^2(1 + (r/n)^2)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (r/n)^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \sum\limits_{r=1}^{kn} \frac{1}{n} f(\frac{r}{n}) = \int_0^k f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है और ऊपरी सीमा $2$ है (क्योंकि $r$ का मान $2n$ तक जाता है)।अतः,समाकलन $\int_0^2 \frac{1}{1+x^2} dx$ हो जाता है।समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $[	an^{-1}(x)]_0^2 = 	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(0) = 	an^{-1}(2)$ प्राप्त होता है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\le x$ को दर्शाता है,तो $\mathop {\text{Limit}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^4} \left( [1^3 x] + [2^3 x] + \dots + [n^3 x] \right)$ का मान क्या होगा?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3+1^3}+\frac{2^2}{n^3+2^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n^2}{(n+1)^3}+\frac{n^2}{(n+2)^3}+\frac{n^2}{(n+3)^3}+\ldots+\frac{n^2}{(n+4n)^3}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ का मान किसके बराबर है?

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