मान लीजिए f(x) = a^x (a 0) को f(x) = f_1(x) | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि किसी भी फलन $f(x)$ को एक सम फलन $f_1(x)$ और एक विषम फलन $f_2(x)$ के योग के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:$f_1(x) = \fra

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$2f_1(x)f_1(y)$

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(B) हम जानते हैं कि किसी भी फलन $f(x)$ को एक सम फलन $f_1(x)$ और एक विषम फलन $f_2(x)$ के योग के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$अब,हम $f_1(x + y) + f_1(x - y)$ की गणना करते हैं:$f_1(x + y) + f_1(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$$= \frac{1}{2} [a^x a^y + a^{-x} a^{-y} + a^x a^{-y} + a^{-x} a^y]$$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$$= 2 \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$$= 2 f_1(x) f_1(y)$

List-$I$	List-$II$
$A$. $\frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4; x \neq 0$	$I$. न तो विषम और न ही सम फलन है
$B$. $\tan^{-1}(\log\|x+\sqrt{x^2+1}\|), x > 0$	$II$. सम फलन है
$C$. $3 < x < 5$ के लिए,$\|x-2\|+\|x-3\|+\|x-5\|$	$III$. विषम फलन है
$D$. $\sin 2x + \sin^2 x + \cos 3x, \forall x \in \mathbb{R}$	$IV$. तत्समक फलन है
	$V$. अचर फलन है

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