JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) हम जानते हैं कि $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$ और $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} = e^{-i\pi/6}$.
अतः,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$,हमें $z = 2\cos(5\pi/6)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $z = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$.
यहाँ,$R(z) = -\sqrt{3}$ और $I(z) = 0$.
इसलिए,$I(z) = 0$ सही कथन है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 10x + 12y + c = 0$ है।
केंद्र $(-5, -6)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2 - c} = \sqrt{25 + 36 - c} = \sqrt{61 - c}$ है।
वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $a = R\sqrt{3}$ होती है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $27\sqrt{3}$ है,इसलिए $\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 = 27\sqrt{3}$।
$R^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$।
चूँकि $R^2 = 61 - c$,इसलिए $61 - c = 36$।
अतः,$c = 61 - 36 = 25$।

(D) सबसे पहले,दिए गए कथनों के सत्यता मानों का मूल्यांकन करें:
$P: 5$ एक अभाज्य संख्या है। यह $True$ $(T)$ है।
$Q: 7$,$192$ का एक गुणनखंड है। चूंकि $192 \div 7 = 27.42...$,इसलिए यह $False$ $(F)$ है।
$R: 5$ और $7$ का ल.स.प. $35$ है। यह $True$ $(T)$ है।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करें:
$A: (\sim T) \vee (F \wedge T) = F \vee F = F$.
$B: (T \wedge F) \vee (\sim T) = F \vee F = F$.
$C: (\sim T) \wedge (\sim F \wedge T) = F \wedge (T \wedge T) = F \wedge T = F$.
$D: T \vee (\sim F \wedge T) = T \vee (T \wedge T) = T \vee T = T$.
अतः,विकल्प $D$ में दिया गया कथन सत्य है।

(D) दिया गया परवलय समीकरण $x^2 = 4y$ और जीवा का समीकरण $x - \sqrt{2}y + 4\sqrt{2} = 0$ है।
जीवा के समीकरण से,$y = \frac{x}{\sqrt{2}} + 4$ प्राप्त होता है।
इस मान को परवलय के समीकरण में रखने पर: $x^2 = 4(\frac{x}{\sqrt{2}} + 4) = 2\sqrt{2}x + 16$.
अतः,$x^2 - 2\sqrt{2}x - 16 = 0$.
माना मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। तब $x_1 + x_2 = 2\sqrt{2}$ और $x_1x_2 = -16$.
मूलों का अंतर $|x_1 - x_2| = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4(-16)} = \sqrt{8 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$y$-निर्देशांकों का अंतर $|y_1 - y_2| = |\frac{x_1 - x_2}{\sqrt{2}}| = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.
जीवा की लंबाई = $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{y^2}{1+r} - \frac{x^2}{1-r} = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $r > 1$,तो $1-r < 0$ है। समीकरण $\frac{y^2}{1+r} + \frac{x^2}{r-1} = 1$ बन जाता है,जो एक दीर्घवृत्त है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
यहाँ $a^2 = 1+r$ और $b^2 = r-1$ है,इसलिए $e = \sqrt{1 - \frac{r-1}{r+1}} = \sqrt{\frac{2}{r+1}}$।
स्थिति $2$: यदि $0 < r < 1$,तो $1-r > 0$ है। यह एक अतिपरवलय है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ होती है।
यहाँ $a^2 = 1+r$ और $b^2 = 1-r$ है,इसलिए $e = \sqrt{1 + \frac{1-r}{1+r}} = \sqrt{\frac{2}{1+r}}$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि $^{n}C_{r} \cdot ^{n-r}C_{k-r} = ^{n}C_{k} \cdot ^{k}C_{r}$ होता है।
दिए गए योग के लिए:
$\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} = \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{50}C_{25} \cdot ^{25}C_r}$.
$= ^{50}C_{25} \sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r}$.
चूंकि $\sum\limits_{r = 0}^{n} {^{n}C_r} = 2^n$,इसलिए $\sum\limits_{r = 0}^{25} {^{25}C_r} = 2^{25}$.
अतः,व्यंजक $^{50}C_{25} \cdot 2^{25}$ हो जाता है।
$K\left( {^{50}C_{25}} \right)$ के साथ तुलना करने पर,$K = 2^{25}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$n_1 = 5$,$\bar{x} = 10$,और $\sigma = 3$.
प्रेक्षणों का योग $\sum x_i = n_1 \times \bar{x} = 5 \times 10 = 50$.
प्रसरण $\sigma^2 = 9 = \frac{\sum x_i^2}{n_1} - (\bar{x})^2$.
$9 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 100 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 109 \implies \sum x_i^2 = 545$.
अब,हमारे पास $6$ प्रेक्षण हैं: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ और $-50$.
नया योग $\sum x_{new} = 50 + (-50) = 0$.
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{0}{6} = 0$.
वर्गों का नया योग $\sum x_{new}^2 = \sum x_i^2 + (-50)^2 = 545 + 2500 = 3045$.
नया प्रसरण $\sigma_{new}^2 = \frac{\sum x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{3045}{6} - 0^2 = 507.5$.

(B) माना तीसरा शीर्ष $A(h, k)$ है। अन्य दो शीर्ष $B(0, 2)$ और $C(4, 3)$ हैं। लंबकेंद्र $H$ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
चूँकि $AH \perp BC$,$AH$ की ढाल $\times BC$ की ढाल $= -1$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - 2}{4 - 0} = \frac{1}{4}$ है।
$AH$ की ढाल $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$ है।
अतः,$\frac{k}{h} \times \frac{1}{4} = -1 \implies k = -4h$ है।
चूँकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $\times AC$ की ढाल $= -1$ है।
$AC$ की ढाल $= \frac{k - 3}{h - 4}$ है।
$BH$ की ढाल $= \frac{2 - 0}{0 - 0}$ अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 0$)।
अतः,$AC$ एक क्षैतिज रेखा होनी चाहिए,इसलिए $k = 3$ है।
$k = -4h$ में $k = 3$ रखने पर,$3 = -4h$,इसलिए $h = -\frac{3}{4}$ है।
तीसरा शीर्ष $(-\frac{3}{4}, 3)$ है,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(A) दिया है $\angle A + \angle B = 120^{\circ}$ और $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$.
चूंकि $\angle B = 120^{\circ} - A$,इसलिए $\frac{\sin A}{\sin(120^{\circ}-A)} = 2+\sqrt{3}$.
इस समीकरण को हल करने पर,$\cot A = \sqrt{3}-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 105^{\circ}$ और $B = 15^{\circ}$ है।
इसलिए,अनुपात $A : B = 105^{\circ} : 15^{\circ} = 7 : 1$ है।

(A) $f_4(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_6(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)}{6} = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_4(x) - f_6(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x)$
$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 103 = 0$ है।
केंद्र $(3, -4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{9 + 16 + 103} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ है।
वर्ग के शीर्ष $(3 \pm 8, -4 \pm 8)$ अर्थात $(11, 4), (11, -12), (-5, 4), (-5, -12)$ हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इन शीर्षों की दूरियाँ:
$\sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{137}$
$\sqrt{11^2 + (-12)^2} = \sqrt{265}$
$\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{41}$
$\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$
न्यूनतम दूरी $\sqrt{41}$ है।

(D) मान लीजिए कि अवलोकन $x_i$ हैं। कुल $30$ वस्तुएं हैं।
$10$ वस्तुओं का मान $\frac{1}{2} - d$,$10$ वस्तुओं का मान $\frac{1}{2}$,और $10$ वस्तुओं का मान $\frac{1}{2} + d$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{10(\frac{1}{2} - d) + 10(\frac{1}{2}) + 10(\frac{1}{2} + d)}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(\frac{1}{2} - d - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} + d - \frac{1}{2})^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(-d)^2 + 10(0)^2 + 10(d)^2] = \frac{20d^2}{30} = \frac{2d^2}{3}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{2d^2}{3} = \frac{4}{3}$.
$2d^2 = 4 \Rightarrow d^2 = 2$.
अतः,$|d| = \sqrt{2}$.

(B) माना दो वृत्तों के केंद्र $A$ और $B$ हैं। समान त्रिज्या होने के कारण,माना त्रिज्या $r$ है। वृत्त $D(0, 1)$ और $E(0, -1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
माना पहले वृत्त का केंद्र $A(-h, 0)$ और दूसरे का $B(h, 0)$ है।
वृत्त $A(-h, 0)$ का समीकरण $(x+h)^2 + y^2 = r^2$ है। चूँकि यह $(0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $h^2 + 1 = r^2$ प्राप्त होता है।
$(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा $AD$ के लंबवत है। $AD$ की ढाल $\frac{1}{h}$ है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $-h$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = -h(x - 0)$ अर्थात $y = -hx + 1$ है।
यह रेखा दूसरे वृत्त के केंद्र $B(h, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = -h(h) + 1$,जिससे $h^2 = 1$,अर्थात $h = 1$ प्राप्त होता है।
केंद्रों $A(-1, 0)$ और $B(1, 0)$ के बीच की दूरी $1 - (-1) = 2$ है।

(B) दिया गया व्यंजक संचयों के गुणनफल का योग है:
$^{20}C_r ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} ^{20}C_1 + ... + ^{20}C_0 ^{20}C_r = ^{40}C_r$
यह वेंडरमोंड की सर्वसमिका (Vandermonde's Identity) पर आधारित है,जो कहती है कि $\sum_{k=0}^{r} {^nC_k} {^mC_{r-k}} = ^{n+m}C_r$.
यहाँ,$n=20$ और $m=20$ है,इसलिए योग $^{40}C_r$ है।
$^{40}C_r$ का मान तब अधिकतम होता है जब $r = \frac{n+m}{2} = \frac{40}{2} = 20$ हो।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
दीर्घवृत्त के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A \left( \frac{a}{\cos \theta}, 0 \right)$ पर और $y$-अक्ष को $B \left( 0, \frac{b}{\sin \theta} \right)$ पर काटती है।
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः:
$h = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2h}$
$k = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2k}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left( \frac{a}{2h} \right)^2 + \left( \frac{b}{2k} \right)^2 = 1$
$\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$
$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हम सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (\pi {{\sin }^2}x) + (\left| x \right| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}}$ का मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,पद $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan (\pi {{\sin }^2}x)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\tan (\pi {{\sin }^2}x)}}{{\pi {{\sin }^2}x}} \cdot \frac{{\pi {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} \right) = 1 \cdot \pi \cdot 1^2 = \pi$ पर विचार करें।
अब दूसरे पद पर विचार करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(\left| x \right| - \sin (x[x]))^2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\left| x \right| - \sin (x[x])}}{{\left| x \right|}} \right)^2$ (चूंकि $x^2 = |x|^2$ है)।
$x \to 0^+$ के लिए,$[x] = 0$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \left( 1 - \frac{{\sin (x \cdot 0)}}{x} \right)^2 = (1 - 0)^2 = 1$ है।
$x \to 0^-$ के लिए,$[x] = -1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \left( 1 - \frac{{\sin (-x)}}{{-x}} \right)^2 = (1 - 1)^2 = 0$ है।
चूंकि बाईं ओर की सीमा $(0)$ दाईं ओर की सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$\frac{a^3}{(1-r)^3} = 27 \quad (1)$।
पदों के घनों की श्रेणी $a^3, a^3r^3, a^3r^6, \dots$ है,जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19} \quad (2)$ है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$ प्राप्त होता है।
$1-r^3 = (1-r)(1+r+r^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$ मिलता है।
$1+r+r^2 = 19(1-2r+r^2) \implies 18r^2 - 39r + 18 = 0$।
$6r^2 - 13r + 6 = 0 \implies (2r-3)(3r-2) = 0$।
चूंकि $|r| < 1$ है,इसलिए $r = \frac{2}{3}$।

(A) रेखा $x + 2y = 1$,$x$-अक्ष को $A(1, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 1/2)$ पर काटती है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$,$A(1, 0)$ और $B(0, 1/2)$ से होकर गुजरता है,और त्रिभुज $OAB$ मूल बिंदु पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।
व्यास $AB$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1/2) = 0$ है,जो $x^2 + y^2 - x - \frac{1}{2}y = 0$ में सरल हो जाता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $x^2$ को $x \cdot 0$ से,$y^2$ को $y \cdot 0$ से,$x$ को $\frac{x+0}{2}$ से और $y$ को $\frac{y+0}{2}$ से बदलकर प्राप्त किया जा सकता है।
इससे $0 + 0 - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $-\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 0$ या $2x + y = 0$ में सरल हो जाता है।
$A(1, 0)$ से रेखा $2x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|2(1) + 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
$B(0, 1/2)$ से रेखा $2x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|2(0) + 1/2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{1/2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ है।
दूरियों का योग $d_1 + d_2 = \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{4+1}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b,$ और $c$ हैं। दिया है $a + b = x$ और $ab = y$.
शर्त $x^2 - c^2 = y$ में $x = a + b$ रखने पर:
$(a + b)^2 - c^2 = ab$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = ab$
$a^2 + b^2 - c^2 = -ab$
$2ab$ से भाग देने पर:
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$,इसलिए $\cos C = -\frac{1}{2}$.
अतः,$C = 120^\circ$ या $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन।
तब $\sin C = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
साइन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त त्रिज्या है:
$R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$.

(C) परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है ....$(i)$
इसे अतिपरवलय $xy = 2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(mx + \frac{1}{m}) = 2$
$mx^2 + \frac{x}{m} - 2 = 0$
रेखा के स्पर्श रेखा होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$D = b^2 - 4ac = (\frac{1}{m})^2 - 4(m)(-2) = 0$
$\frac{1}{m^2} + 8m = 0$
$1 + 8m^3 = 0$
$m^3 = -\frac{1}{8}$
$m = -\frac{1}{2}$
$m = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$y = -\frac{1}{2}x - 2$
$2y = -x - 4$
$x + 2y + 4 = 0$

(A) द्विपद विस्तार में $n=8$ पद हैं,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{8}{2} + 1\right) = 5$ वां पद है।
सामान्य पद $t_{r+1} = ^{8}C_{r} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{8-r} \left(\frac{3}{x}\right)^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$5$ वें पद के लिए,$r=4$:
$t_{5} = ^{8}C_{4} \left(\frac{x^{3}}{3}\right)^{4} \left(\frac{3}{x}\right)^{4} = 5670$
$^{8}C_{4} = 70$.
$70 \times \frac{x^{12}}{3^{4}} \times \frac{3^{4}}{x^{4}} = 5670$
$70 \times x^{8} = 5670$
$x^{8} = 81$
$x^{8} = 81 \implies x^{4} = 9 \implies x^{2} = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$.
$x$ के वास्तविक मानों का योग $\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$ है।

(A) मान लीजिए $a_1, a_2, ..., a_{10}$ एक $G.P.$ है जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
हम जानते हैं कि $a_n = a_1 r^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{a_3}{a_1} = 25$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a_1 r^2}{a_1} = r^2 = 25$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{a_9}{a_5}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{a_9}{a_5} = \frac{a_1 r^8}{a_1 r^4} = r^4$ होता है।
चूंकि $r^2 = 25$,इसलिए $r^4 = (r^2)^2 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$ है।
अतः,सही उत्तर $5^4$ है।

(D) माना द्विघात समीकरण $81x^2 + kx + 256 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^3$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + \alpha^3 = -\frac{k}{81}$ $(1)$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \alpha^3 = \alpha^4 = \frac{256}{81}$ $(2)$
$(2)$ से,$\alpha^4 = (\frac{4}{3})^4$,अतः $\alpha = \pm \frac{4}{3}$.
स्थिति $1$: यदि $\alpha = \frac{4}{3}$,तो $\alpha + \alpha^3 = \frac{4}{3} + \frac{64}{27} = \frac{100}{27}$.
$(1)$ में मान रखने पर: $\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = -300$.
स्थिति $2$: यदि $\alpha = -\frac{4}{3}$,तो $\alpha + \alpha^3 = -\frac{100}{27}$.
$(1)$ में मान रखने पर: $-\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = 300$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $-300$ है।

(A) दिया गया है: ${\left( -2 - \frac{i}{3} \right)^3} = \frac{x + iy}{27}$
ऋण चिह्न बाहर निकालने पर: $-1 \times {\left( 2 + \frac{i}{3} \right)^3} = \frac{x + iy}{27}$
$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$-1 \times \left[ 2^3 + \left( \frac{i}{3} \right)^3 + 3(2^2)\left( \frac{i}{3} \right) + 3(2)\left( \frac{i}{3} \right)^2 \right] = \frac{x + iy}{27}$
$-1 \times \left[ 8 - \frac{i}{27} + 4i - \frac{2}{3} \right] = \frac{x + iy}{27}$
$-8 + \frac{2}{3} - i\left( 4 - \frac{1}{27} \right) = \frac{x + iy}{27}$
$27$ से गुणा करने पर:
$x + iy = 27 \times \left( -\frac{22}{3} \right) - i \times 27 \times \left( \frac{107}{27} \right)$
$x = -198$ और $y = -107$
अतः $y - x = -107 - (-198) = -107 + 198 = 91$

(D) दिया गया सीमा: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cot(4x)}{\sin^2 x \cot^2(2x)}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ रखने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x \sin(4x) \cos^2(2x)}$
$\sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x \cos(4x) \sin^2(2x)}{\sin^2 x (2 \sin(2x) \cos(2x)) \cos^2(2x)}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \right)^2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{\cos(4x)}{\cos^3(2x)}$
जब $x \to 0$,तब $\frac{\sin \theta}{\theta} \to 1$ और $\cos \theta \to 1$:
$L = (1)^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1^3} = 1$

(A) संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b = 5$ है,इसलिए $b = \frac{5}{2}$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 13$ है,इसलिए $ae = \frac{13}{2}$।
अतिपरवलय के लिए,$a$,$b$ और $e$ के बीच का संबंध $a^2e^2 = a^2 + b^2$ है।
मान रखने पर,$(ae)^2 = a^2 + b^2$।
$\left(\frac{13}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2$।
$\frac{169}{4} = a^2 + \frac{25}{4}$।
$a^2 = \frac{169 - 25}{4} = \frac{144}{4} = 36$।
अतः,$a = 6$।
उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{13/2}{6} = \frac{13}{12}$।

(D) परवलय का समीकरण ${y^2} = -4(x - {a^2})$ है।
परवलय का शीर्ष $V = ({a^2}, 0)$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = 0$ रखने पर:
${y^2} = -4(0 - {a^2}) = 4{a^2}$.
अतः,$y = \pm 2a$. प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (0, 2a)$ और $Q = (0, -2a)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $V({a^2}, 0)$,$P(0, 2a)$ और $Q(0, -2a)$ हैं।
$y$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $P$ और $Q$ के बीच की दूरी है,जो $|2a - (-2a)| = 4|a|$ है।
शीर्ष $V$ से $y$-अक्ष तक की ऊँचाई ${a^2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4|a| \times {a^2} = 2|a|^3 = 250$.
अतः,$|a|^3 = 125$,जिसका अर्थ है $|a| = 5$।

(A) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए $E$ विकर्ण $BC$ का मध्यबिंदु है।
$E$ के निर्देशांक $\left( \frac{2+3}{2}, \frac{5+4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$ हैं।
चूंकि $E$ विकर्ण $AD$ का भी मध्यबिंदु है,मान लीजिए $D = (x, y)$ है।
तब $\left( \frac{x+1}{2}, \frac{y+2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$।
$x+1 = 5 \Rightarrow x = 4$ और $y+2 = 9 \Rightarrow y = 7$। अतः,$D = (4, 7)$ है।
विकर्ण $AD$,$A(1, 2)$ और $D(4, 7)$ से होकर गुजरता है।
$AD$ की ढाल $m = \frac{7-2}{4-1} = \frac{5}{3}$ है।
$AD$ का समीकरण $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 1)$ है।
$3(y - 2) = 5(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = 5x - 5$ $\Rightarrow 5x - 3y + 1 = 0$।

(C) हमें व्यंजक $E = \frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ दिया गया है।
हम इस व्यंजक को $E = \frac{x^m}{1 + x^{2m}} \times \frac{y^n}{1 + y^{2n}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को क्रमशः $x^m$ और $y^n$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{1}{\left( \frac{1}{x^m} + x^m \right)} \times \frac{1}{\left( \frac{1}{y^n} + y^n \right)}$.
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ के लिए,$a + \frac{1}{a} \ge 2$,जहाँ समानता तब होती है जब $a = 1$ हो।
इसलिए,$x^m + \frac{1}{x^m} \ge 2$ और $y^n + \frac{1}{y^n} \ge 2$.
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{x^m + \frac{1}{x^m}} \le \frac{1}{2}$ और $\frac{1}{y^n + \frac{1}{y^n}} \le \frac{1}{2}$.
इन असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें $E$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $S_n = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$.
हमें $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ का मान ज्ञात करना है।
$= \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \left( \frac{q^r - 1}{q - 1} \right)$
$= \frac{1}{q - 1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$
$= \frac{1}{q - 1} \left( ((1 + q)^{101} - 1) - (2^{101} - 1) \right)$
$= \frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{q - 1}$.
अब,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2}{q-1} \left( \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{101}} \right) = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{(q-1) 2^{100}}$.
दिया गया है कि $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1} = \alpha T_{100}$,इसलिए:
$\frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{q - 1} = \alpha \cdot \frac{(1 + q)^{101} - 2^{101}}{(q - 1) 2^{100}}$.
अतः,$\alpha = 2^{100}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 \sin \theta - x(\sin \theta \cos \theta + 1) + \cos \theta = 0$ है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm \sqrt{(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta}}{2 \sin \theta}$.
विविक्तकर का सरलीकरण: $(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta \cos \theta - 1)^2$.
अतः,$x = \frac{\sin \theta \cos \theta + 1 \pm (\sin \theta \cos \theta - 1)}{2 \sin \theta}$.
इससे $x_1 = \cos \theta$ और $x_2 = \csc \theta$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि $0 < \theta < 45^\circ$,इसलिए $\alpha = \cos \theta$ और $\beta = \csc \theta$ है।
योग $S = \sum_{n=0}^\infty \alpha^n + \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{\beta})^n = \frac{1}{1 - \cos \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$ होगा।

(B) माना $z = x + iy$ है।
दिया गया है $|z| + z = 3 + i$।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 3 + i$ प्राप्त होता है।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$y = 1$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भागों की तुलना करने पर,$\sqrt{x^2 + 1} + x = 3$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{x^2 + 1} = 3 - x$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + 1 = (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2$।
$1 = 9 - 6x$,जिसका अर्थ है $6x = 8$,अतः $x = \frac{4}{3}$।
अब,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$।

(C) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $A.P.$ का $n^{th}$ पद $t_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $19^{th}$ पद शून्य है: $t_{19} = a + 18d = 0$,जिसका अर्थ है $a = -18d$.
हमें अनुपात $\frac{t_{49}}{t_{29}}$ ज्ञात करना है।
$t_{49} = a + 48d = -18d + 48d = 30d$.
$t_{29} = a + 28d = -18d + 28d = 10d$.
अतः,अनुपात $\frac{30d}{10d} = \frac{3}{1}$ है,जो $3 : 1$ है।

(A) माना $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
योग करने पर $2(a+b+c) = 36k$,अतः $a+b+c = 18k$.
प्रत्येक समीकरण को घटाने पर:
$a = 7k, b = 6k, c = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर $\cos A = \frac{1}{5}, \cos B = \frac{19}{35}, \cos C = \frac{5}{7}$.
चूंकि $\frac{\cos A}{\alpha} = \frac{\cos B}{\beta} = \frac{\cos C}{\gamma}$ है,
$\alpha : \beta : \gamma = 7 : 19 : 25$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है। $2ae = 2b$ दिया गया है,इसलिए $ae = b$,जिससे $a^2e^2 = b^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करते हुए,$a^2e^2 = b^2$ प्रतिस्थापित करने पर $b^2 = a^2 - b^2$,या $2b^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
$b^2 = 4a$ को $2b^2 = a^2$ में रखने पर,$2(4a) = a^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = 8a$। चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $a = 8$ है।
तब $b^2 = 4(8) = 32$,अर्थात $b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{32} = 1$ है।
बिंदु $(4\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$ की जाँच करने पर: $\frac{(4\sqrt{3})^2}{64} + \frac{(2\sqrt{2})^2}{32} = \frac{48}{64} + \frac{8}{32} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$। अतः,यह बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है।

(C) दिया गया विस्तार: $(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + .... + a_{50}x^{50}$.
$a_0$ ज्ञात करने के लिए,$x = 0$ रखें:
$a_0 = (0 + 10)^{50} + (0 - 10)^{50} = 10^{50} + 10^{50} = 2 \times 10^{50}$.
$a_2$ ज्ञात करने के लिए,$(x + 10)^{50} + (x - 10)^{50}$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करें.
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k a^{n-k}$.
$(x + 10)^{50}$ के लिए,$x^2$ वाला पद $\binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ है.
$(x - 10)^{50}$ के लिए,$x^2$ वाला पद $\binom{50}{2} x^2 (-10)^{48} = \binom{50}{2} x^2 (10)^{48}$ है.
अतः,$a_2 = \binom{50}{2} (10)^{48} + \binom{50}{2} (10)^{48} = 2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}$.
अब,अनुपात $\frac{a_2}{a_0}$ की गणना करें:
$\frac{a_2}{a_0} = \frac{2 \times \binom{50}{2} \times 10^{48}}{2 \times 10^{50}} = \frac{\binom{50}{2}}{10^2} = \frac{\frac{50 \times 49}{2}}{100} = \frac{1225}{100} = 12.25$.

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष पर $4a$ लंबाई की जीवा काटता है,केंद्र $(h, k)$ से $x$-अक्ष की दूरी $|k|$ है। जीवा के गुणधर्म से,$r^2 = k^2 + (2a)^2 = k^2 + 4a^2$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, 2b)$ से होकर गुजरता है,केंद्र $(h, k)$ से $(0, 2b)$ की दूरी $r$ है। अतः,$r^2 = (h - 0)^2 + (k - 2b)^2 = h^2 + (k - 2b)^2$ है।
$r^2$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$k^2 + 4a^2 = h^2 + (k - 2b)^2$
$k^2 + 4a^2 = h^2 + k^2 - 4bk + 4b^2$
$h^2 = 4bk - 4b^2 + 4a^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $x^2 = 4b(y - b + a^2/b)$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(D) मान लीजिए $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $512$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 512$
$a^3 = 512 \Rightarrow a = 8$.
अब,यदि पहले और दूसरे पद में $4$ जोड़ा जाता है,तो पद $(\frac{8}{r} + 4), 12, 8r$ बन जाते हैं।
चूंकि ये पद $A.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद अन्य दो का समांतर माध्य है:
$2 \times 12 = (\frac{8}{r} + 4) + 8r$
$24 = \frac{8}{r} + 4 + 8r$
$20 = \frac{8}{r} + 8r$
$4$ से विभाजित करने पर:
$5 = \frac{2}{r} + 2r$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r = 2$ है,तो पद $4, 8, 16$ हैं।
यदि $r = \frac{1}{2}$ है,तो पद $16, 8, 4$ हैं।
दोनों स्थितियों में,पदों का योग $4 + 8 + 16 = 28$ है।

(C) माना व्यंजक $E = ((p \wedge q) \vee (p \vee \sim q)) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए,पहले भाग को सरल करने पर: $(p \wedge q) \vee (p \vee \sim q) \equiv (p \vee (p \wedge q)) \vee \sim q \equiv p \vee \sim q$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $E \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim p \wedge \sim q)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $E \equiv (p \wedge (\sim p \wedge \sim q)) \vee (\sim q \wedge (\sim p \wedge \sim q))$.
चूंकि $p \wedge \sim p \equiv F$ (असत्य),पहला पद $F \wedge \sim q \equiv F$ हो जाता है।
दूसरा पद $\sim q \wedge \sim q \equiv \sim q$ के रूप में सरल होता है,इसलिए हमें $F \vee (\sim p \wedge \sim q)$ प्राप्त होता है।
अतः,$E \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(A) हमें $\{1, 2, \dots, 10\}$ सेट से $3$ अलग-अलग गेंदें इस तरह चुननी हैं कि उनके लेबल $n_1 < n_2 < n_3$ को संतुष्ट करें।
चूंकि क्रम सख्ती से बढ़ रहा है,$10$ उपलब्ध गेंदों में से $3$ अलग-अलग गेंदों के किसी भी चयन को $n_1 < n_2 < n_3$ की शर्त को पूरा करने के लिए केवल एक ही तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,तरीकों की संख्या संयोजन सूत्र $^{10}C_3$ द्वारा दी जाती है।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

(D) दी गई रेखा $2x - 3y + 17 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा। माना $(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$ है।
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(B) $\Delta PXQ$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $X$ पर स्पर्शरेखा जीवा $PQ$ के समानांतर होती है।
जीवा $PQ$ की ढाल $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ है।
परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $2y \frac{dy}{dx} = 4$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा की ढाल को जीवा की ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{2}{y} = 2 \Rightarrow y = 1$।
चूंकि $X$,$y^2 = 4x$ पर स्थित है,$y = 1$ के लिए,$1^2 = 4x \Rightarrow x = \frac{1}{4}$। अतः,$X = (\frac{1}{4}, 1)$।
शीर्षों $P(4, -4)$,$Q(9, 6)$,और $X(\frac{1}{4}, 1)$ वाले $\Delta PXQ$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_P(y_X - y_Q) + x_X(y_Q - y_P) + x_Q(y_P - y_X)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(1 - 6) + \frac{1}{4}(6 - (-4)) + 9(-4 - 1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-20 + 2.5 - 45| = \frac{1}{2} |-62.5| = 31.25 = \frac{125}{4}$ वर्ग इकाई।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - (-2)} = \sqrt{4} = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 14 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 3^2 - 14} = \sqrt{18 - 14} = \sqrt{4} = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
चतुर्भुज $PC_1QC_2$ में,भुजाएँ $C_1P = C_1Q = r_1 = 2$ और $C_2P = C_2Q = r_2 = 2$ हैं।
चूंकि सभी भुजाएँ $2$ हैं,इसलिए चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
विकर्ण $C_1C_2 = 2\sqrt{2}$ और $PQ$ हैं। $\triangle PC_1C_2$ में,$C_1P=2, C_2P=2, C_1C_2=2\sqrt{2}$ है। चूँकि $2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$,इसलिए $\triangle PC_1C_2$ बिंदु $P$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle PC_1C_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ है।
चतुर्भुज $PC_1QC_2$ का क्षेत्रफल $= 2 \times (\triangle PC_1C_2 \text{ का क्षेत्रफल}) = 2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई है।

(A) माना $f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \right)$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
$a \sin \theta + b \cos \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
अधिकतम मान $= \sqrt{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19}$.

(B) माना समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया है $\lambda = \frac{\alpha}{\beta}$.
$\lambda + \frac{1}{\lambda} = 1$ से,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 1$ प्राप्त होता है।
यह $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों में $2\alpha\beta$ जोड़ने पर,$(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $3m^2x^2 + m(m - 4)x + 2 = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{m - 4}{3m}$ और मूलों का गुणनफल $\alpha\beta = \frac{2}{3m^2}$ है।
इन मानों को $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ में रखने पर:
$\left(-\frac{m - 4}{3m}\right)^2 = 3 \left(\frac{2}{3m^2}\right)$.
$\frac{(m - 4)^2}{9m^2} = \frac{2}{m^2}$.
चूंकि $m \neq 0$,$9m^2$ से गुणा करने पर:
$(m - 4)^2 = 18$.
$m^2 - 8m + 16 = 18 \Rightarrow m^2 - 8m - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$m = 4 \pm 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः न्यूनतम मान $4 - 3\sqrt{2}$ है।

(C) वृत्तों के केंद्र $C_1(1, 1)$ और $C_2(9, 1)$ हैं।
उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = 1$ और $r_2 = 2$ हैं।
रेखा $3x + 4y - \lambda = 0$ के विपरीत पक्षों पर वृत्त होने के लिए,केंद्रों पर व्यंजक $f(x, y) = 3x + 4y - \lambda$ के मानों के चिह्न विपरीत होने चाहिए और रेखा को वृत्तों को प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।
$(7 - \lambda)(31 - \lambda) < 0 \implies \lambda \in (7, 31)$.
केंद्र से रेखा की दूरी त्रिज्या से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|7 - \lambda|}{5} \ge 1 \implies \lambda \le 2$ या $\lambda \ge 12$.
$\frac{|31 - \lambda|}{5} \ge 2 \implies \lambda \le 21$ या $\lambda \ge 41$.
इन शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$\lambda \in [12, 21]$ प्राप्त होता है।

(C) माना विस्तार $(a+b)^n$ है,जहाँ $a = 2^{1/3}$,$b = \frac{1}{2(3)^{1/3}}$,और $n = 10$ है।
प्रारंभ से $r$ वाँ पद $T_r = {}^{n}C_{r-1} a^{n-r+1} b^{r-1}$ है।
प्रारंभ से $5$ वाँ पद $T_5 = {}^{10}C_4 (2^{1/3})^6 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^4 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^2 (3)^{4/3}}$ है।
अंत से $5$ वाँ पद प्रारंभ से $(10-5+2) = 7$ वाँ पद है।
$T_7 = {}^{10}C_6 (2^{1/3})^4 (\frac{1}{2(3)^{1/3}})^6 = {}^{10}C_4 \frac{1}{2^{14/3} (3)^2}$ है।
अनुपात $\frac{T_5}{T_7} = \frac{2^{14/3}}{2^2} \cdot \frac{3^2}{3^{4/3}} = 2^{8/3} \cdot 3^{2/3} = (144)^{1/3} = 4(36)^{1/3}$ है।
अतः,अनुपात $4(36)^{1/3} : 1$ है।

(C) दिया गया है $S_k = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.
हमें $A$ ज्ञात करना है ताकि $\sum_{k=1}^{10} S_k^2 = \frac{5}{12}A$ हो।
$\sum_{k=1}^{10} \left( \frac{k+1}{2} \right)^2 = \frac{5}{12}A$
$\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} (k+1)^2 = \frac{5}{12}A$
$\frac{1}{4} (2^2 + 3^2 + .... + 11^2) = \frac{5}{12}A$
हम जानते हैं कि $\sum_{n=1}^{n} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।
अतः,$\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11(12)(23)}{6} = 11 \times 2 \times 23 = 506$.
इसलिए,$2^2 + 3^2 + .... + 11^2 = 506 - 1^2 = 505$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4} (505) = \frac{5}{12}A$.
$A = 505 \times \frac{12}{4 \times 5} = 505 \times \frac{3}{5} = 101 \times 3 = 303$.

(D) माना $f(x) = \cot^3 x - \tan x$ और $g(x) = \cos(x + \pi/4)$ है।
$x = \pi/4$ पर,$f(\pi/4) = 1^3 - 1 = 0$ और $g(\pi/4) = \cos(\pi/2) = 0$ है। यह $0/0$ रूप है।
$L$'$H$ôpital नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx}(\cot^3 x - \tan x) = 3\cot^2 x(-\csc^2 x) - \sec^2 x$।
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx}(\cos(x + \pi/4)) = -\sin(x + \pi/4)$।
अब,$x \to \pi/4$ के लिए सीमा का मान ज्ञात करने पर:
$\lim_{x \to \pi/4} \frac{-3\cot^2 x \csc^2 x - \sec^2 x}{-\sin(x + \pi/4)} = \frac{-3(1)^2(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}{-\sin(\pi/2)} = \frac{-3(2) - 2}{-1} = \frac{-8}{-1} = 8$।

(A) माना $w = \frac{z - \alpha}{z + \alpha}$। चूंकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $w + \bar{w} = 0$ होगा।
$\frac{z - \alpha}{z + \alpha} + \frac{\bar{z} - \alpha}{\bar{z} + \alpha} = 0$
$(z - \alpha)(\bar{z} + \alpha) + (\bar{z} - \alpha)(z + \alpha) = 0$
$2z\bar{z} - 2\alpha^2 = 0$
$|z|^2 = \alpha^2$
चूंकि $|z| = 2$ दिया गया है,इसलिए $2^2 = \alpha^2$,जिससे $\alpha^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \pm 2$। विकल्पों में $2$ दिया गया है।

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{p=1}^n 2p = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n^2 + n$ होता है।
अतः,योग के अंदर का पद $\cot^{-1}(1 + n^2 + n) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 + n(n+1)}\right)$ है।
सर्वसमिका $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\tan^{-1}\left(\frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}\right) = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)$।
अब,योग इस प्रकार होगा:
$\sum_{n=1}^{19} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n)) = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 19)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर $\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 1$ हो जाती है।
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1} 20 - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1}\left(\frac{20-1}{1+20 \times 1}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।
अंत में,हमें $\cot(\tan^{-1}(19/21)) = \cot(\cot^{-1}(21/19)) = \frac{21}{19}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $f'(x) + \frac{3}{4x} f(x) = 7$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{3}{4x}$ और $Q(x) = 7$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{4x} dx} = e^{\frac{3}{4} \ln x} = x^{3/4}$ है।
व्यापक हल $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ है।
$f(x) \cdot x^{3/4} = \int 7 x^{3/4} dx + c = 7 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} + c = 4x^{7/4} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = 4x + c x^{-3/4}$ है।
अब,हम $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{1}{x}\right)^{-3/4} = \frac{4}{x} + c x^{3/4}$ है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{4}{x} + c x^{3/4}\right) = \lim_{x \to 0^+} (4 + c x^{7/4}) = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$.
हम समाकलन को $x=0$ पर विभाजित करते हैं:
$I = \int_{-\pi/2}^{0} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4} + \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$.
$x \in [-\pi/2, 0)$ के लिए,$[\sin x] = -1$ और $x \in [0, \pi/2]$ के लिए,$[\sin x] = 0$.
$I = \int_{-\pi/2}^{-1} \frac{dx}{[x] - 1 + 4} + \int_{-1}^{0} \frac{dx}{[x] - 1 + 4} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{[x] + 0 + 4} + \int_{1}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + 0 + 4}$.
$I = \int_{-\pi/2}^{-1} 1 dx + \int_{-1}^{0} \frac{1}{2} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{4} dx + \int_{1}^{\pi/2} \frac{1}{5} dx$.
$I = (\frac{\pi}{2} - 1) + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}(\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{3\pi}{5} - \frac{9}{20} = \frac{3(4\pi - 3)}{20}$.

(B) मान लीजिए $G.P.$ $a_n = a \cdot x^{n-1}$ है,जहाँ $a > 0$ और $x > 0$ है।
तब $\log_e(a_n^r a_{n+1}^k) = r \log_e(a_n) + k \log_e(a_{n+1}) = r \log_e(a \cdot x^{n-1}) + k \log_e(a \cdot x^n) = r(\log_e a + (n-1)\log_e x) + k(\log_e a + n \log_e x) = (r+k)\log_e a + (r(n-1) + kn)\log_e x$ है।
मान लीजिए $A = \log_e a$ और $B = \log_e x$ है। तो पद $(r+k)A + (r(n-1) + kn)B$ है।
ध्यान दें कि सारणिक के पद $n$ में रैखिक व्यंजक हैं। विशेष रूप से,मान लीजिए $f(n) = c_1 n + c_2$ है।
चूंकि सारणिक की प्रत्येक पंक्ति समांतर श्रेणी में है (जैसे $n$ में $1$ की वृद्धि होती है,मान $rB + kB$ से बदलता है),पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
विशेष रूप से,$R_2 - R_1 = R_3 - R_2$,जिसका अर्थ है $R_1 - 2R_2 + R_3 = 0$ है।
चूंकि पंक्तियाँ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए किसी भी $r, k \in N$ के लिए सारणिक हमेशा $0$ होता है।
अतः,समुच्चय $S$ में सभी युग्म $(r, k)$ शामिल हैं जहाँ $r, k \in N$ है,जिसका अर्थ है कि $S$ में अनंत अवयव हैं।

(C) माना वक्र पर बिंदु $P(x, x^{3/2} + 7)$ है। सैनिक $A(1/2, 7)$ पर है।
दूरी का वर्ग $D^2 = (x - 1/2)^2 + (x^{3/2} + 7 - 7)^2 = (x - 1/2)^2 + x^3$ है।
माना $f(x) = (x - 1/2)^2 + x^3$ है। न्यूनतम दूरी के लिए,$f'(x) = 0$ होगा।
$f'(x) = 2(x - 1/2) + 3x^2 = 3x^2 + 2x - 1 = 0$ है।
$(3x - 1)(x + 1) = 0$। चूंकि $x \geq 0$,इसलिए $x = 1/3$ है।
बिंदु $P$ का मान $(1/3, 7 + \frac{1}{3\sqrt{3}})$ है।
दूरी $AD = \sqrt{(1/3 - 1/2)^2 + (\frac{1}{3\sqrt{3}})^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{27}} = \sqrt{\frac{7}{108}} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{7}{3}}$ है।

(A) दिए गए समीकरण:
$2x + 2y + 3z = a$ $(1)$
$3x - y + 5z = b$ $(2)$
$x - 3y + 2z = c$ $(3)$
निकाय के एक से अधिक हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए और निकाय संगत होना चाहिए।
सारणिक $D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2(-2 + 15) - 2(6 - 5) + 3(-9 + 1) = 26 - 2 - 24 = 0$.
चूँकि $D = 0$ है,निकाय के अनंत हल हो सकते हैं।
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $(2x+x) + (2y-3y) + (3z+2z) = a+c \Rightarrow 3x - y + 5z = a+c$.
इसकी तुलना समीकरण $(2)$ से करने पर,हमें $b = a+c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b - c - a = 0$।

(B) दिए गए समीकरण $x^2 = 4y$ $(1)$ और $x = 4y - 2$ हैं,जिसका अर्थ है $4y = x + 2$ $(2)$।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4y$ के व्यंजकों की तुलना करें:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं।
क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाकर समाकलन करने से प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} \left( \frac{x + 2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) dx$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$
$A = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right]$
$A = \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 12 + 2}{6} \right) \right]$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right]$
$A = \frac{1}{4} \times \frac{27}{6} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) माना $I = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$,जहाँ $f(x) = \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}}$.
अंतराल $[-2, 2]$ और $\pi \approx 3.14$ होने के कारण,$\frac{x}{\pi}$ का मान $(-\frac{2}{\pi}, \frac{2}{\pi}) \approx (-0.63, 0.63)$ के बीच है।
अतः,$x \in (-2, 0)$ के लिए,$[\frac{x}{\pi}] = -1$,और $x \in [0, 2)$ के लिए,$[\frac{x}{\pi}] = 0$.
हम समाकलन को विभाजित करते हैं: $I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-1 + 0.5} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{\sin^2 x}{0 + 0.5} \, dx$.
$I = \int_{-2}^{0} \frac{\sin^2 x}{-0.5} \, dx + \int_{0}^{2} \frac{\sin^2 x}{0.5} \, dx$.
$I = -2 \int_{-2}^{0} \sin^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(-x) \, dx$ का उपयोग करने पर और चूँकि $\sin^2(-x) = \sin^2 x$ है:
$I = -2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx + 2 \int_{0}^{2} \sin^2 x \, dx = 0$.

(D) माना दी गई रेखा $L: \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2k + 3, -k - 2, 3k + 1)$ है।
समतल $P_1$ का समीकरण $2x + 3y - z = 5$ है। $P_1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ है।
रेखा $L$ की दिशा $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल $P_2$ रेखा $L$ और $P_1$ पर इसके प्रक्षेप को समाहित करता है। इसका अर्थ है कि $P_2$ रेखा $L$ को समाहित करता है और $P_1$ के लंबवत है।
वांछित समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,रेखा की दिशा $\vec{v}$ और समतल $P_1$ के अभिलंब $(\vec{n_1})$ के लंबवत होना चाहिए।
$\vec{n_2} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 9) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(6 + 2) = -8\hat{i} + 8\hat{j} + 8\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ले सकते हैं।
यह समतल रेखा पर स्थित बिंदु $(3, -2, 1)$ से गुजरता है। समतल का समीकरण $1(x - 3) - 1(y + 2) - 1(z - 1) = 0$ है।
$x - 3 - y - 2 - z + 1 = 0 \Rightarrow x - y - z = 4$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: 2 - 2 - 0 = 0 \neq 4$
$B: -2 - 2 - 2 = -6 \neq 4$
$C: 0 - (-2) - 2 = 0 \neq 4$
$D: 2 - 0 - (-2) = 4$. अतः,बिंदु $(2, 0, -2)$ समतल पर स्थित है।

(C) माना $S = \{1, 2, \dots, 11\}$ है। इस समुच्चय में $5$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ और $6$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ हैं।
दो संख्याओं का योग सम होता है यदि दोनों सम हों या दोनों विषम हों।
दो सम संख्याएँ चुनने के तरीके: $^5C_2 = 10$.
दो विषम संख्याएँ चुनने के तरीके: $^6C_2 = 15$.
योग सम होने के कुल तरीके: $10 + 15 = 25$.
योग सम होने पर दोनों संख्याओं के सम होने की सप्रतिबंध प्रायिकता:
$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \le x < 0 \\ x^2 - 1, & 0 \le x \le 2 \end{cases}$.
सबसे पहले,$|f(x)|$ ज्ञात करें:
$|f(x)| = \begin{cases} |-1| = 1, & -2 \le x < 0 \\ |x^2 - 1|, & 0 \le x \le 2 \end{cases}$.
इसके बाद,$f(|x|)$ ज्ञात करें:
चूंकि सभी $x$ के लिए $|x| \ge 0$ है,इसलिए $x \in [-2, 2]$ के लिए $f(|x|) = |x|^2 - 1 = x^2 - 1$ होगा।
अब,$g(x) = |f(x)| + f(|x|)$:
$x \in [-2, 0)$ के लिए,$g(x) = 1 + (x^2 - 1) = x^2$.
$x \in [0, 2]$ के लिए,$g(x) = |x^2 - 1| + (x^2 - 1)$.
$g(x)$ का विस्तार:
$g(x) = \begin{cases} x^2, & -2 \le x < 0 \\ -(x^2 - 1) + x^2 - 1 = 0, & 0 \le x < 1 \\ (x^2 - 1) + x^2 - 1 = 2(x^2 - 1), & 1 \le x \le 2 \end{cases}$.
$x=0$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करें:
$g(0^-) = 0^2 = 0$,$g(0^+) = 0$. $x=0$ पर सतत है।
$g'(0^-) = 2x|_{x=0} = 0$,$g'(0^+) = 0$. $x=0$ पर अवकलनीय है।
$x=1$ पर सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच करें:
$g(1^-) = 0$,$g(1^+) = 2(1^2 - 1) = 0$. $x=1$ पर सतत है।
$g'(1^-) = 0$,$g'(1^+) = 4x|_{x=1} = 4$.
चूंकि $g'(1^-) \neq g'(1^+)$,इसलिए $g$ बिंदु $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$g$ एक बिंदु पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $x \ln(\ln x) - x^2 + y^2 = 4$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[x \ln(\ln x)] - \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)$
प्रथम पद पर गुणन नियम का उपयोग करने पर: $1 \cdot \ln(\ln x) + x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} - 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$x = e$ रखने पर,$\ln(\ln e) = \ln(1) = 0$ और $\ln e = 1$:
$0 + \frac{1}{1} - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0$
$1 - 2e + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2y}$
अब,मूल समीकरण में $x = e$ रखकर $y$ का मान ज्ञात करें:
$e \ln(\ln e) - e^2 + y^2 = 4$
$e(0) - e^2 + y^2 = 4 \implies y^2 = 4 + e^2 \implies y = \sqrt{4 + e^2}$ (क्योंकि $y > 0$)
$y$ का मान $\frac{dy}{dx}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2e - 1}{2\sqrt{4 + e^2}}$

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{4}} dx$ है।
समाकल्य को इस प्रकार लिखें: $I = \int \frac{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1}}{x^{4}} dx = \int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-1} dx.$
माना $t = \frac{1}{x^{2}} - 1.$ तब $dt = -\frac{2}{x^{3}} dx,$ जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^{3}} = -\frac{1}{2} dt.$
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = -\frac{1}{2} \int \sqrt{t} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = -\frac{1}{3} t^{3/2} + C.$
$t = \frac{1-x^2}{x^2}$ वापस रखने पर,$I = -\frac{1}{3} \left(\frac{1-x^2}{x^2}\right)^{3/2} + C = -\frac{1}{3} \frac{(1-x^2)^{3/2}}{x^3} + C.$
चूँकि $(1-x^2)^{3/2} = (\sqrt{1-x^2})^3,$ इसलिए $I = -\frac{1}{3x^3} (\sqrt{1-x^2})^3 + C.$
इसकी तुलना $A(x) (\sqrt{1-x^2})^m + C$ से करने पर,हमें $m = 3$ और $A(x) = -\frac{1}{3x^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27x^9}$.

(A) मान लीजिए $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y(x^2 + 1) = x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $yx^2 - x + y = 0$ है।
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D$,$0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$D = (-1)^2 - 4(y)(y) \ge 0$ है।
$1 - 4y^2 \ge 0$ है।
$4y^2 \le 1$,जिसका अर्थ है $y^2 \le \frac{1}{4}$ है।
वर्गमूल लेने पर,हमें $|y| \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y \in [ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ है।
अतः,$f$ का परिसर $[ - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ]$ है।

(C) दिया गया है कि $AA^T = I_3$,अतः $A$ एक लांबिक आव्यूह (orthogonal matrix) है।
आव्यूह गुणन $AA^T$ करने पर:
$\begin{bmatrix} 0 & 2q & r \\ p & q & -r \\ p & -q & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & p & p \\ 2q & q & -q \\ r & -r & r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
गुणन के अवयवों की तुलना करने पर:
पंक्ति $1$ $\cdot$ स्तंभ $1$: $4q^2 + r^2 = 1$ (समी. $1$)
पंक्ति $2$ $\cdot$ स्तंभ $2$: $p^2 + q^2 + r^2 = 1$ (समी. $2$)
पंक्ति $2$ $\cdot$ स्तंभ $3$: $p^2 - q^2 - r^2 = 0$ (समी. $3$)
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2p^2 = 1 \implies p^2 = \frac{1}{2} \implies |p| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ और $Q(x) = e^{-2x}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।
$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
चूँकि $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$ दिया गया है,$x=1$ और $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ रखने पर:
$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ प्राप्त होता है।
फलन की प्रकृति की जाँच करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ ज्ञात करते हैं।
जब $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ है,तब $1 - 2x < 0$ होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} < 0$ है,जिसका अर्थ है कि $y(x)$ अंतराल $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ में ह्रासमान है।

(D) माना समतल का समीकरण $ax + by + cz = d$ है। यह $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $-b = d$ और $c = d$। अर्थात $d = -b = c$।
समतल का समीकरण $ax - dy - dz = d$ हो जाता है। अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, -d, -d)$ है।
बिंदुओं $(0, -1, 0)$ और $(0, 0, 1)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक-अनुपात $(0, 1, 1)$ हैं। चूंकि रेखा समतल में है,अभिलंब इसके लंबवत है: $a(0) + (-d)(1) + (-d)(1) = 0 \Rightarrow -2d = 0$ (यहाँ $a, b, c$ का उपयोग करते हैं)।
बिंदुओं $A(0, -1, 0)$ और $B(0, 0, 1)$ के लिए,सदिश $\vec{AB} = (0, 1, 1)$ है।
अभिलंब $\vec{n} = (a, b, c)$ है। चूंकि $\vec{AB}$ समतल में है,$\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow c = -b$।
अतः,$\vec{n} = (a, b, -b)$।
समतल और $y - z + 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है। दूसरे समतल का अभिलंब $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ है।
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n}| |\vec{n_2}|} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|b + b|}{\sqrt{a^2 + b^2 + b^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|2b|}{\sqrt{a^2 + 2b^2} \cdot \sqrt{2}} \Rightarrow \sqrt{a^2 + 2b^2} = 2|b|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^2 + 2b^2 = 4b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2}b$।
यदि $a = \sqrt{2}b$ है,तो $\vec{n} = (\sqrt{2}b, b, -b)$,जिसके दिक-अनुपात $(\sqrt{2}, 1, -1)$ हैं।
यदि $a = -\sqrt{2}b$ है,तो $\vec{n} = (-\sqrt{2}b, b, -b)$,जिसके दिक-अनुपात $(-\sqrt{2}, 1, -1)$ हैं।
विकल्प $(C)$ $(\sqrt{2}, 1, -1)$ है। विकल्प $(B)$ $(2, \sqrt{2}, -\sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2}, 1, -1)$ है,जो समान दिशा को दर्शाता है। अतः,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 2 & 4 & \lambda^2 - 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & \lambda^2 - 9 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\lambda^2 - 9)(\lambda - 2) = 0$.
इससे $\lambda = 2$ या $\lambda^2 = 9$ प्राप्त होता है। यदि हम $\lambda = 2$ लेते हैं,तो $\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & (2^2 - 1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(3 - 8) + \hat{k}(4 - 4) = -10\hat{i} + 5\hat{j}$.

(C) माना $y = \cot^{-1} x$ है। असमिका $y^2 - 7y + 10 > 0$ बन जाती है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y - 5)(y - 2) > 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $y < 2$ या $y > 5$।
चूँकि $\cot^{-1} x$ का परिसर $(0, \pi)$ है,इसलिए $0 < \cot^{-1} x < \pi$ होता है।
अतः,$0 < \cot^{-1} x < 2$ या $5 < \cot^{-1} x < \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cot$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है,इसलिए जब हम इसे लागू करते हैं तो असमिका का चिह्न बदल जाता है:
$0 < \cot^{-1} x < 2$ के लिए,$x > \cot 2$ प्राप्त होता है।
$5 < \cot^{-1} x < \pi$ के लिए,$\cot \pi < x < \cot 5$ प्राप्त होता है,जो $-\infty < x < \cot 5$ है।
अतः,$x \in (-\infty, \cot 5) \cup (\cot 2, \infty)$।

(A) माना कि दोनों रेखाओं पर स्थित बिंदु $P_1 = (\lambda + 3, 3\lambda - 1, -\lambda + 6)$ और $P_2 = (7\alpha - 5, -6\alpha + 2, 4\alpha + 3)$ हैं।
रेखाओं के बिंदु $R$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$\lambda + 3 = 7\alpha - 5 \Rightarrow \lambda - 7\alpha = -8$ (समीकरण $1$)
$3\lambda - 1 = -6\alpha + 2 \Rightarrow 3\lambda + 6\alpha = 3 \Rightarrow \lambda + 2\alpha = 1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर $9\alpha = 9$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 1$ है।
$\alpha = 1$ को समीकरण $2$ में रखने पर,$\lambda + 2(1) = 1$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = -1$ है।
$\lambda = -1$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर,$R = (-1 + 3, 3(-1) - 1, -(-1) + 6) = (2, -4, 7)$ प्राप्त होता है।
$xy$-समतल में किसी बिंदु $(x, y, z)$ का प्रतिबिंब $(x, y, -z)$ होता है।
अतः,$xy$-समतल में $R(2, -4, 7)$ का प्रतिबिंब $(2, -4, -7)$ है।

(B) माना $I = \int_{\pi /6}^{\pi /4} \frac{dx}{\sin 2x (\tan^5 x + \cot^5 x)}$.
$\sin 2x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\sin 2x} = \frac{1+\tan^2 x}{2\tan x}$.
$I = \int_{\pi /6}^{\pi /4} \frac{(1+\tan^2 x) dx}{2\tan x (\tan^5 x + \cot^5 x)}$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx = (1+\tan^2 x) dx$.
जब $x = \pi/6, t = 1/\sqrt{3}$. जब $x = \pi/4, t = 1$.
$I = \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{dt}{2t(t^5 + 1/t^5)} = \int_{1/\sqrt{3}}^{1} \frac{t^4 dt}{2(t^{10} + 1)}$.
माना $u = t^5$,तब $du = 5t^4 dt$,अर्थात $t^4 dt = du/5$.
जब $t = 1/\sqrt{3}, u = (1/\sqrt{3})^5 = 1/(9\sqrt{3})$. जब $t = 1, u = 1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{1/(9\sqrt{3})}^{1} \frac{du/5}{u^2 + 1} = \frac{1}{10} [\tan^{-1} u]_{1/(9\sqrt{3})}^{1}$.
$I = \frac{1}{10} (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(1/(9\sqrt{3}))) = \frac{1}{10} (\frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(\frac{1}{9\sqrt{3}}))$.

(B) कुल गेंदों की संख्या $30 + 10 = 40$ है।
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ है।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ है।
प्रयासों की संख्या $n = 16$ है।
चूंकि गेंदें प्रतिस्थापन के साथ निकाली जाती हैं,इसलिए $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
$X$ का माध्य $E(X) = np = 16 \times \frac{3}{4} = 12$ है।
$X$ का मानक विचलन $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{16 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}} = \sqrt{3}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{\text{mean}}{\text{standard deviation}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{matrix} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
$R_1$ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{matrix} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a + b + c) \end{matrix} \right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a + b + c) [1 \cdot (-(a + b + c)) \cdot (-(a + b + c)) - 0] = (a + b + c)^3$.
दिया है कि $\Delta = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$,इसलिए:
$(a + b + c)^3 = (a + b + c)(x + a + b + c)^2$.
चूंकि $a + b + c \ne 0$,$(a + b + c)$ से भाग देने पर:
$(a + b + c)^2 = (x + a + b + c)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + a + b + c = \pm(a + b + c)$.
यदि $x + a + b + c = a + b + c$ है,तो $x = 0$ (जो मान्य नहीं है क्योंकि $x \ne 0$)।
यदि $x + a + b + c = -(a + b + c)$ है,तो $x = -2(a + b + c)$।

(D) स्थिति सदिश $\vec{OA} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ हैं।
$OA$ और $OB$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}_A = \frac{\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}}{2}$ और $\hat{u}_B = \frac{\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}}{2}$ हैं।
$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक सदिश $\vec{u}_A + \vec{u}_B = \frac{(\sqrt{3}+1) \hat{i} + (1+\sqrt{3}) \hat{j}}{2}$ की दिशा में है,जो रेखा $y = x$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $C$ के निर्देशांक $(\beta, 1 + \beta)$ हैं।
रेखा $x - y = 0$ से बिंदु $C(x_0, y_0)$ की दूरी $d = \frac{|x_0 - y_0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यदि हम $C$ के निर्देशांक $(\beta, 1-\beta)$ लेते हैं,तो दूरी $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{2}} = \frac{|2\beta - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ होती है।
अतः $|2\beta - 1| = 3$,जिसका अर्थ है $2\beta - 1 = 3$ या $2\beta - 1 = -3$.
$\beta = 2$ या $\beta = -1$.
मानों का योग $= 2 + (-1) = 1$.

(D) माना $2x - 1 = t^2$ है। तब $2 dx = 2t dt$,अर्थात $dx = t dt$ है।
साथ ही,$x = \frac{t^2 + 1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x + 1 = \frac{t^2 + 1}{2} + 1 = \frac{t^2 + 3}{2}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x + 1}{\sqrt{2x - 1}} dx = \int \frac{(\frac{t^2 + 3}{2})}{t} (t dt) = \int \frac{t^2 + 3}{2} dt$
$= \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + C = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + C$
$= t (\frac{t^2}{6} + \frac{3}{2}) + C = t (\frac{t^2 + 9}{6}) + C$
चूंकि $t = \sqrt{2x - 1}$ है,इसलिए $t^2 = 2x - 1$ है।
$t^2$ का मान वापस रखने पर:
$= \sqrt{2x - 1} (\frac{2x - 1 + 9}{6}) + C = \sqrt{2x - 1} (\frac{2x + 8}{6}) + C$
$= \sqrt{2x - 1} (\frac{x + 4}{3}) + C$.
इसकी तुलना $f(x) \sqrt{2x - 1} + C$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{3}(x + 4)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ जहाँ $x \in (0, \infty)$.
एकैकी (injective) की जाँच के लिए: $f(x) = y$ लें। $y \in (0, 1)$ के लिए,$x$ के दो मान प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए,यदि $y = 0.5$ है,तो $|1 - \frac{1}{x}| = 0.5$,जिससे $1 - \frac{1}{x} = 0.5 \implies \frac{1}{x} = 0.5 \implies x = 2$,और $1 - \frac{1}{x} = -0.5 \implies \frac{1}{x} = 1.5 \implies x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(2) = f(\frac{2}{3}) = 0.5$,इसलिए फलन एकैकी नहीं है।
आच्छादक (surjective) की जाँच के लिए: सह-प्रांत $(0, \infty)$ है। $x \in (0, \infty)$ के लिए $f(x) = |1 - \frac{1}{x}|$ का परिसर $[0, \infty)$ है। चूँकि परिसर $[0, \infty)$,सह-प्रांत $(0, \infty)$ के बराबर नहीं है (क्योंकि $0$ परिसर में है लेकिन सह-प्रांत में नहीं है),इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(A) फलन $f(x) = \sin |x| - |x| + 2(x - \pi) \cos |x|$ है।
हम $x = 0$ और $x = \pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
स्थिति $1$: $x = 0$ पर।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$। तब $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$। अतः,$f'(0^+) = 1 - 1 + 2 - 0 = 2$।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \sin(-x) - (-x) + 2(x - \pi) \cos(-x) = -\sin x + x + 2(x - \pi) \cos x$। तब $f'(x) = -\cos x + 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$। अतः,$f'(0^-) = -1 + 1 + 2 - 0 = 2$।
चूँकि $f'(0^+) = f'(0^-) = 2$,फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।
स्थिति $2$: $x = \pi$ पर।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$। $f'(x) = \cos x - 1 + 2 \cos x - 2(x - \pi) \sin x$। $f'(\pi^+) = \cos \pi - 1 + 2 \cos \pi - 0 = -1 - 1 - 2 = -4$।
$x < 0$ यहाँ प्रासंगिक नहीं है क्योंकि हम $\pi$ के निकट जाँच कर रहे हैं। $\pi$ के निकट $|x| = x$ होने के कारण,फलन $f(x) = \sin x - x + 2(x - \pi) \cos x$ है,जो $\pi$ के पड़ोस में हर जगह अवकलनीय है।
अतः,फलन सभी वास्तविक $x$ के लिए अवकलनीय है। समुच्चय $K$ का मान $\phi$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y = x^2 + 1$ है।
बिंदु $(2, 5)$ पर स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए,अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
$x = 2$ पर,ढाल $m = 2(2) = 4$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 5 = 4(x - 2)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 4x - 3$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा $x$-अक्ष को $y = 0$ पर काटती है,इसलिए $4x - 3 = 0$,जिससे $x = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
आवश्यक क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 2$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है,जिसमें से स्पर्शरेखा,$x$-अक्ष और ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाना है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx - \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2 - \frac{3}{4}) \times 5 = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} \times 5 = \frac{25}{8}$।
समाकलन भाग $= [\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$।
आवश्यक क्षेत्रफल $= \frac{14}{3} - \frac{25}{8} = \frac{112 - 75}{24} = \frac{37}{24}$ वर्ग इकाई।

(B) माना $u = x - y$ है। तब $\frac{du}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$ है।
$\frac{dy}{dx} = u^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 - \frac{du}{dx} = u^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{du}{dx} = 1 - u^2$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{du}{1 - u^2} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{du}{1 - u^2} = \int dx$,जिससे $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| = x + C$ प्राप्त होता है।
$u = x - y$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x + C$ प्राप्त होता है।
प्रतिबंध $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$x = 1, y = 1$,इसलिए $u = 1 - 1 = 0$ है।
$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + 0}{1 - 0} \right| = 1 + C \Rightarrow 0 = 1 + C \Rightarrow C = -1$ है।
अतः,$\frac{1}{2} \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = x - 1$,जिसे सरल करने पर $\log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = 2(x - 1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,$- \log_e \left| \frac{1 + x - y}{1 - x + y} \right| = -2(x - 1)$,जो $- \log_e \left| \frac{1 - x + y}{1 + x - y} \right| = 2(x - 1)$ के बराबर है।

(B) $S = \{1, 2, \dots, 20\}$ के सभी तत्वों का योग $\frac{20 \times 21}{2} = 210$ है।
मान लीजिए $B$,$S$ का एक ऐसा उपसमुच्चय है जिसके तत्वों का योग $203$ है।
मान लीजिए $B^c = S \setminus B$,$S$ में $B$ का पूरक समुच्चय है।
$B^c$ के तत्वों का योग $(S \text{ का योग}) - (B \text{ का योग}) = 210 - 203 = 7$ होगा।
हमें $S$ के उन उपसमुच्चयों को खोजना है जिनके तत्वों का योग $7$ है।
$S$ के ऐसे उपसमुच्चय जिनके तत्वों का योग $7$ है,वे हैं:
$1. \{7\}$
$2. \{1, 6\}$
$3. \{2, 5\}$
$4. \{3, 4\}$
$5. \{1, 2, 4\}$
ऐसे कुल $5$ उपसमुच्चय हैं।
$S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{20}$ है।
अतः,यादृच्छिक रूप से चुने गए उपसमुच्चय के "नाइस" होने की प्रायिकता $\frac{5}{2^{20}}$ है।

(B) माना बिंदु $A(7, 0, 6)$ और $B(3, 4, 2)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (3-7)\hat{i} + (4-0)\hat{j} + (2-6)\hat{k} = -4\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
इस दिशा सदिश को $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
यह समतल $2x - 5y = 15$ के भी लंबवत है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{v}$ और $\vec{n_1}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 0 \end{vmatrix} = 5\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$(7, 0, 6)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $5(x-7) + 2(y-0) - 3(z-6) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 2y - 3z = 17$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(2, \alpha, \beta)$ इस समतल पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$5(2) + 2(\alpha) - 3(\beta) = 17$
$10 + 2\alpha - 3\beta = 17$
$2\alpha - 3\beta = 7$.

(C) माना $S = \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ है। $S$ में $4$ के गुणज $K = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ हैं। ऐसे $5$ अवयव हैं।
$k \in K$ के लिए,$f(k)$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। $S$ में $3$ के गुणज $M = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$ हैं। ऐसे $6$ अवयव हैं।
चूंकि $f$ एक आच्छादक फलन है,$K$ के $5$ अवयवों को $M$ के $5$ भिन्न अवयवों पर मैप होना चाहिए। इन्हें चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_5 = \frac{6!}{1!} = 6!$ हैं।
शेष $15$ अवयवों $S \setminus K$ को शेष $15$ अवयवों $S \setminus f(K)$ पर एकैकी और आच्छादक रूप से मैप करना होगा,जिसे $15!$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,कुल आच्छादक फलनों की संख्या $6! \times 15!$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$.
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
भागफल नियम या श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x$ और $v = \sqrt{a^2 + x^2}$। तब $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए,मान लीजिए $g(x) = \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$। पद के आगे ऋणात्मक चिह्न होने के कारण,इसका अवकलज $\frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
यहाँ $a^2, b^2 > 0$ है और हर हमेशा धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f$,$x$ का एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $3 \times 3$ के आव्यूह हैं।
हम जानते हैं कि $\det(ABA^T) = \det(A) \det(B) \det(A^T) = \det(A)^2 \det(B) = 8$.
साथ ही,$\det(AB^{-1}) = \det(A) \det(B)^{-1} = \frac{\det(A)}{\det(B)} = 8$,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 8 \det(B)$.
प्रथम समीकरण में $\det(A) = 8 \det(B)$ रखने पर: $(8 \det(B))^2 \det(B) = 8 \Rightarrow 64 \det(B)^3 = 8 \Rightarrow \det(B)^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow \det(B) = \frac{1}{2}$.
अतः $\det(A) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
हमें $\det(BA^{-1}B^T) = \det(B) \det(A)^{-1} \det(B^T) = \frac{\det(B)^2}{\det(A)}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{(1/2)^2}{4} = \frac{1/4}{4} = \frac{1}{16}$.

(A) रैखिक समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल होता है यदि और केवल यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D \neq 0$ हो।
गुणांक आव्यूह है:
$D = \begin{vmatrix} 1 + \alpha & \beta & 1 \\ \alpha & 1 + \beta & 1 \\ \alpha & \beta & 2 \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} \alpha + \beta + 2 & \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & 1 + \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
$C_1$ से $(\alpha + \beta + 2)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 1 & 1 + \beta & 1 \\ 1 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\alpha + \beta + 2)(1) = \alpha + \beta + 2$
अद्वितीय हल के लिए,$D \neq 0$,इसलिए $\alpha + \beta + 2 \neq 0$,जिसका अर्थ है $\alpha + \beta \neq -2$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A: 2 + 4 = 6 \neq -2$ (सही)
$B: -3 + 1 = -2$ (गलत)
$C: -4 + 2 = -2$ (गलत)
$D: 1 - 3 = -2$ (गलत)
अतः,क्रमित युग्म $(2, 4)$ एक अद्वितीय हल प्रदान करता है।

(B) माना शीर्ष $O(0, 0, 0)$,$P(1, 2, 1)$,$Q(2, 1, 3)$,और $R(-1, 1, 2)$ हैं।
फलकों $OPQ$ और $PQR$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम इन फलकों के अभिलंब सदिश (normal vectors) ज्ञात करते हैं।
फलक $OPQ$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \vec{OP} \times \vec{OQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
फलक $PQR$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{PQ} \times \vec{PR}$.
$\vec{PQ} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{PR} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+1+9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$.
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(C) माना परवलय पर आयत के शीर्ष $(\alpha, 12 - \alpha^2)$ और $(-\alpha, 12 - \alpha^2)$ हैं,जहाँ $\alpha > 0$ है।
आयत का आधार $x-$अक्ष पर स्थित है,इसलिए आधार की लंबाई $2\alpha$ और ऊँचाई $12 - \alpha^2$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = \text{लंबाई} \times \text{ऊँचाई} = 2\alpha(12 - \alpha^2) = 24\alpha - 2\alpha^3$ द्वारा दिया गया है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{d\alpha} = 24 - 6\alpha^2$।
$\frac{dA}{d\alpha} = 0$ रखने पर,हमें $24 - 6\alpha^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^2 = 4$,इसलिए $\alpha = 2$ (चूँकि $\alpha > 0$)।
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -12\alpha$। $\alpha = 2$ पर,$\frac{d^2A}{d\alpha^2} = -24 < 0$,इसलिए यह अधिकतम है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(2)(12 - 2^2) = 4(12 - 4) = 4(8) = 32$ वर्ग इकाइयाँ है।

(A) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो। अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$D = \begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = \mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$D = \mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu + 2)(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1)^2(\mu + 2) = 0$
$\mu$ के भिन्न वास्तविक मान $1$ और $-2$ हैं।
इन भिन्न वास्तविक मानों का योग $1 + (-2) = -1$ है।

(A) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
हम $P = I + A$ लिख सकते हैं,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix}$.
ध्यान दें कि $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $A^3 = O$.
द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए $P^n = (I + A)^n = I + nA + \frac{n(n-1)}{2}A^2$ (चूंकि $A^3 = O$):
$P^5 = I + 5A + \frac{5 \times 4}{2}A^2 = I + 5A + 10A^2$.
$P^5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 9 & 3 & 0 \end{bmatrix} + 10 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $Q = P^5 + I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 15 & 1 & 0 \\ 135 & 15 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 15 & 2 & 0 \\ 135 & 15 & 2 \end{bmatrix}$.
अतः,$q_{21} = 15$,$q_{31} = 135$,और $q_{32} = 15$.
$\frac{q_{21} + q_{31}}{q_{32}} = \frac{15 + 135}{15} = \frac{150}{15} = 10$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = \ln x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot x = \int (\ln x) \cdot x dx + C$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
अतः,$xy = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
दिया है $2y(2) = \ln 4 - 1$,इसलिए $y(2) = \frac{\ln 4 - 1}{2}$.
$x=2$ रखने पर: $2y(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4} + C \implies \ln 4 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$.
चूँकि $\ln 4 = 2 \ln 2$,इसलिए $2 \ln 2 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
अतः,$y = \frac{x}{2} \ln x - \frac{x}{4}$.
$x = e$ के लिए,$y(e) = \frac{e}{2} \ln e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

(D) वक्रों $y = f(x)$ और $y = g(x)$ के बीच $x = a$ से $x = b$ तक परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = x^2 + 2$ और $g(x) = x + 1$ है। $x \in [0, 3]$ के लिए,$x^2 + 2 \geq x + 1$ है क्योंकि $x^2 - x + 1 = (x - 0.5)^2 + 0.75 > 0$ है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $\int_{0}^{3} ((x^2 + 2) - (x + 1)) dx$ है।
$= \int_{0}^{3} (x^2 - x + 1) dx$
$= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{3}$
$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} + 3 \right) - (0)$
$= \left( 9 - 4.5 + 3 \right) = 7.5 = \frac{15}{2}$ वर्ग इकाई।

(D) मान लीजिए $X_i$ $i$-वां उछाल है। प्रयोग $5$-वें उछाल पर समाप्त होता है,इसका अर्थ है कि $4$-था और $5$-वां उछाल $4$ होना चाहिए और $3$-रा उछाल $4$ नहीं होना चाहिए।
संभावित अनुक्रम:
$1$. $(4, X_2, X_3, 4, 4)$ जहाँ $X_2, X_3 \neq 4$: प्रायिकता $= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$2$. $(X_1, 4, X_3, 4, 4)$ जहाँ $X_1, X_3 \neq 4$: प्रायिकता $= \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{6^5}$.
$3$. $(X_1, X_2, X_3, 4, 4)$ जहाँ $X_3 \neq 4$ और $(X_1, X_2) \neq (4, 4)$:
कुल प्रायिकता $= \frac{25+25+125}{6^5} = \frac{175}{6^5}$.

(C) माना $I = \int \cos(\log_e x) dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log_e x)$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$I = x \cos(\log_e x) - \int x \left( -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx$
$I = x \cos(\log_e x) + \int \sin(\log_e x) dx$.
अब,$\int \sin(\log_e x) dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$u = \sin(\log_e x)$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
$\int \sin(\log_e x) dx = x \sin(\log_e x) - \int x \left( \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x} \right) dx = x \sin(\log_e x) - I$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \cos(\log_e x) + x \sin(\log_e x) - I$
$2I = x(\cos(\log_e x) + \sin(\log_e x))$
$I = \frac{x}{2}(\cos(\log_e x) + \sin(\log_e x)) + C$.

(B) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\left| \begin{array}{ccc} x+2 & y-2 & z+5 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{array} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x+2)(35-28) - (y-2)(21-7) + (z+5)(12-5) = 0$
$7(x+2) - 14(y-2) + 7(z+5) = 0$
$7$ से भाग देने पर:
$(x+2) - 2(y-2) + (z+5) = 0$
$x - 2y + z + 2 + 4 + 5 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A=1, B=-2, C=1, D=11$.
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$.

(B) फलन $f(x) = \min\{\sin x, \cos x\}$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $y = \sin x$ और $y = \cos x$ के ग्राफ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं।
$\sin x = \cos x$ रखने पर,हमें $\tan x = 1$ प्राप्त होता है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,हल $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = -\frac{3\pi}{4}$ हैं।
इन बिंदुओं पर फलन में तीक्ष्ण कोने होते हैं,जो इसे अवकलनीय नहीं बनाते हैं।
अतः,$S = \{ -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$S$,$\{ -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \}$ का उपसमुच्चय है।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = Ae^x$.
शर्त $f(1) = 2$ का उपयोग करने पर,$Ae^1 = 2$,इसलिए $A = 2e^{-1}$.
अतः,$f(x) = 2e^{-1} \cdot e^x = 2e^{x-1}$.
परिणामस्वरूप,$f'(x) = 2e^{x-1}$.
दिया गया है कि $h(x) = f(f(x))$,श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$h'(x) = f'(f(x)) \cdot f'(x)$.
$x = 1$ पर,$h'(1) = f'(f(1)) \cdot f'(1)$.
चूंकि $f(1) = 2$,इसलिए $h'(1) = f'(2) \cdot f'(1)$.
मान रखने पर,$f'(2) = 2e^{2-1} = 2e$ और $f'(1) = 2e^{1-1} = 2$.
इसलिए,$h'(1) = (2e) \cdot (2) = 4e$.

(D) माना $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$.
समाकलन को अलग करने पर: $I = \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx - \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx$.
प्रथम समाकलन के लिए,$u = \left( \frac{x}{e} \right)^{2x}$ लें। तब $\log_{e} u = 2x (\log_{e} x - 1)$.
अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} du = 2 \log_{e} x \, dx$.
जब $x=1, u = e^{-2}$ और जब $x=e, u = 1$.
अतः,$\int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx = \frac{1}{2} \int_{e^{-2}}^{1} du = \frac{1}{2} (1 - e^{-2})$.
दूसरे समाकलन के लिए,$v = \left( \frac{e}{x} \right)^{x}$ लें। तब $\log_{e} v = x (1 - \log_{e} x)$.
अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} dv = -\log_{e} x \, dx$.
जब $x=1, v = e$ और जब $x=e, v = 1$.
अतः,$\int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx = -\int_{e}^{1} dv = e - 1$.
कुल मान: $I = \frac{1}{2} (1 - e^{-2}) - (e - 1) = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1.$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}.$
दिया है $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{b},$ इसलिए $(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \frac{1}{2} \vec{b}.$
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं,वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha = 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha = 0 \implies \alpha = 90^{\circ}.$
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| |\vec{c}| \cos \beta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} \implies \beta = 60^{\circ}.$
अतः,$|\alpha - \beta| = |90^{\circ} - 60^{\circ}| = 30^{\circ}.$

(B) स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y}{x}$ द्वारा दी गई है।
इसे एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।
सामान्य समाधान $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$।
चूंकि वक्र $(1, -2)$ से होकर गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$-2(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow -2 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$।
अतः,वक्र का समीकरण $y x^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{9}{4}$ या $4yx^2 = x^4 - 9$ है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करने पर: $x = \sqrt{3}$ के लिए,$4y(3) = (\sqrt{3})^4 - 9 = 9 - 9 = 0$,इसलिए $y = 0$। अतः,वक्र $(\sqrt{3}, 0)$ से होकर गुजरता है।

(A) रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - k\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\alpha$ का सूत्र $\sin \alpha = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-k)^2} = \sqrt{5 + k^2}$.
$\vec{b} \cdot \vec{n} = 2 - 2 + 2k = 2k$.
अतः,$\sin \alpha = \frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}}$.
दिया गया है कि $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,इसलिए $\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{|2k|}{3\sqrt{5 + k^2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{|2k|}{\sqrt{5 + k^2}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4k^2 = 5 + k^2 \Rightarrow 3k^2 = 5 \Rightarrow k^2 = \frac{5}{3}$.
अतः,$k = \sqrt{\frac{5}{3}}$।