JEE Main 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) कुल उपलब्ध सदस्य $8$ पुरुष और $5$ महिलाएँ हैं,इसलिए कुल व्यक्ति = $13$ हैं। हमें $11$ सदस्यों का चयन करना है।
$m$ के लिए (कम से कम $6$ पुरुष):
संभावित स्थितियाँ ($6$ पुरुष,$5$ महिलाएँ),($7$ पुरुष,$4$ महिलाएँ),($8$ पुरुष,$3$ महिलाएँ) हैं।
$m = \binom{8}{6} \times \binom{5}{5} + \binom{8}{7} \times \binom{5}{4} + \binom{8}{8} \times \binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
$n$ के लिए (कम से कम $3$ महिलाएँ):
संभावित स्थितियाँ ($8$ पुरुष,$3$ महिलाएँ),($7$ पुरुष,$4$ महिलाएँ),($6$ पुरुष,$5$ महिलाएँ) हैं।
$n = \binom{5}{3} \times \binom{8}{8} + \binom{5}{4} \times \binom{8}{7} + \binom{5}{5} \times \binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
अतः,$m = n = 78$.

(B) माना $E = \cos^2 10^o - \cos 10^o \cos 50^o + \cos^2 50^o$.
$\frac{2}{2}$ से गुणा करने पर,$E = \frac{1}{2} (2 \cos^2 10^o - 2 \cos 10^o \cos 50^o + 2 \cos^2 50^o)$.
$2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ और $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^o) - (\cos 60^o + \cos(-40^o)) + (1 + \cos 100^o)]$.
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 20^o - \frac{1}{2} - \cos 40^o + \cos 100^o]$.
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - 2 \sin 70^o \sin 30^o]$.
चूंकि $\sin 30^o = \frac{1}{2}$ और $\sin 70^o = \cos 20^o$:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - \cos 20^o] = \frac{3}{4}$.

(D) माना $z = \frac{\alpha + i}{\alpha - i}$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें $|z| = \left| \frac{\alpha + i}{\alpha - i} \right|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\alpha + i| = \sqrt{\alpha^2 + 1}$ और $|\alpha - i| = \sqrt{\alpha^2 + (-1)^2} = \sqrt{\alpha^2 + 1}$,इसलिए $|z| = \frac{\sqrt{\alpha^2 + 1}}{\sqrt{\alpha^2 + 1}} = 1$ है।
समीकरण $|z| = 1$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(A) प्रथम $n$ पदों का योग दिया गया है: $S_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A$.
$n$-वां पद $T_n = S_n - S_{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T_n = 50n + \frac{n(n - 7)}{2}A - [50(n - 1) + \frac{(n - 1)(n - 8)}{2}A]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [n^2 - 7n - (n^2 - 9n + 8)]$.
$T_n = 50 + \frac{A}{2} [2n - 8] = 50 + A(n - 4)$.
सार्व अंतर $d = T_n - T_{n-1} = [50 + A(n - 4)] - [50 + A(n - 5)] = A$.
$a_{50}$ ज्ञात करने के लिए,$T_n$ के व्यंजक में $n = 50$ रखने पर:
$a_{50} = 50 + A(50 - 4) = 50 + 46A$.
अतः,क्रमित युग्म $(d, a_{50})$ का मान $(A, 50 + 46A)$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{24} - \frac{y^2}{18} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 24$ और $b^2 = 18$ है।
अभिलंब की शर्त के अनुसार,$c^2 = \frac{m^2(a^2 + b^2)^2}{a^2 - b^2m^2}$ है।
यहाँ $c = 7\sqrt{3}$ है,इसलिए $c^2 = 147$ है।
मान रखने पर: $147 = \frac{m^2(24 + 18)^2}{24 - 18m^2} = \frac{1764m^2}{24 - 18m^2}$।
सरल करने पर: $24 - 18m^2 = 12m^2$ $\Rightarrow 30m^2 = 24$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{5}$।
अतः,$m = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 16$,अतः $a = 4$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $S(a, 0) = (4, 0)$ है।
माना नाभीय जीवा का एक सिरा $A(at_1^2, 2at_1) = (1, 4)$ है।
चूंकि $a = 4$,इसलिए $4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}$ (क्योंकि $y > 0$ है)।
नाभीय जीवा के लिए,सिरों के प्राचलों का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है। अतः,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -2$ है।
$t$ प्राचल वाली नाभीय जीवा की लंबाई $L = a(t + \frac{1}{t})^2$ द्वारा दी जाती है।
$t = t_1 = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = 4(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2})^2 = 4(\frac{1}{2} + 2)^2 = 4(\frac{5}{2})^2 = 4 \times \frac{25}{4} = 25$.

(D) माना रेखा का ढाल $m = \tan \theta$ है। $P(2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x = 2 + r \cos \theta$ और $y = 3 + r \sin \theta$ है,जहाँ $r = 4$ है।
इन मानों को $x + y = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2 + 4 \cos \theta) + (3 + 4 \sin \theta) = 7$
$4(\cos \theta + \sin \theta) = 2$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2m}{1 + m^2} = -\frac{3}{4}$
$8m = -3 - 3m^2 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$
द्विघात सूत्र $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$
$\frac{1 - \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}}$ का परिमेयकरण करने पर यह $\frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $2\cos^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin^2 \theta) + 3\sin \theta = 0$
$2 - 2\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$
$(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$
चूंकि $\sin \theta = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ है।
$\theta \in [-2\pi, 2\pi]$ के लिए,$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ के हल हैं:
$\theta = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$।
अवयवों का योग = $(-\frac{\pi}{6}) + (-\frac{5\pi}{6}) + (\frac{7\pi}{6}) + (\frac{11\pi}{6}) = \frac{12\pi}{6} = 2\pi$।

(C) माना $PQ$ का मध्य-बिंदु $S(h, k)$ है।
चूंकि $P$ $x$-अक्ष पर और $Q$ $y$-अक्ष पर स्थित है,माना $P = (a, 0)$ और $Q = (0, b)\text{।}$
मध्य-बिंदु $S(h, k)$ के लिए $h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2},$ अतः $a = 2h$ और $b = 2k\text{।}$
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है,जो $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ हो जाता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ की स्पर्श रेखा है,मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 1$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|-1|}{\sqrt{(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2}} = 1\text{।}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2}} = 1,$
जो सरल होकर $\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$ हो जाता है।
$4h^2k^2$ से गुणा करने पर,$k^2 + h^2 = 4h^2k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 4x^2y^2$ या $x^2 + y^2 - 4x^2y^2 = 0$ है।

(A) माना कि चार व्यक्तियों द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,$P(C) = \frac{1}{4}$,और $P(D) = \frac{1}{8}$ हैं।
लक्ष्य के भेद जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी लक्ष्य को नहीं भेद पाता})$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(\text{कोई नहीं}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \cdot P(\overline{D})$.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,और $P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$P(\text{कोई नहीं}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32}$.
अतः,लक्ष्य के भेद जाने की प्रायिकता $1 - \frac{7}{32} = \frac{25}{32}$ है।

(C) परवलय $y^2 = x$ के बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y\beta = \frac{x + \alpha}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $(\alpha, \beta)$ परवलय पर स्थित है,$\beta^2 = \alpha$,अतः समीकरण $y\beta = \frac{x + \beta^2}{2}$ हो जाता है,जिसे $y = \frac{1}{2\beta}x + \frac{\beta}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,ढाल $m = \frac{1}{2\beta}$ और अंतःखंड $c = \frac{\beta}{2}$ है।
यह रेखा दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 1$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
मान रखने पर: $(\frac{\beta}{2})^2 = 1(\frac{1}{2\beta})^2 + \frac{1}{2}$.
$\frac{\beta^2}{4} = \frac{1}{4\beta^2} + \frac{1}{2}$.
$4\beta^2$ से गुणा करने पर: $\beta^4 = 1 + 2\beta^2$.
$\beta^4 - 2\beta^2 - 1 = 0$.
$\beta^2$ के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\beta^2 = 1 + \sqrt{2}$.
चूंकि $\alpha = \beta^2$,इसलिए $\alpha = \sqrt{2} + 1$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा में $n$ गेंदें हैं।
त्रिभुज में गेंदों की कुल संख्या पहली $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग द्वारा दी जाती है: $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
प्रश्न के अनुसार,$99$ गेंदें जोड़ने पर वे $(n-2)$ भुजा वाले वर्ग का निर्माण करती हैं।
अतः,समीकरण है: $\frac{n(n+1)}{2} + 99 = (n-2)^2$.
$2$ से गुणा करने पर: $n^2 + n + 198 = 2(n^2 - 4n + 4)$.
$n^2 + n + 198 = 2n^2 - 8n + 8$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 9n - 190 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(n - 19)(n + 10) = 0$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = 19$.
समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए उपयोग की गई गेंदों की संख्या $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_1(0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2(-3, -4)$ और त्रिज्या $r_2 = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
चूंकि $d = |r_2 - r_1| = 5$,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 8y - 24) = 0$
$3x + 4y - 10 = 0$.
बिंदु $(6, -2)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) माना कि $A.P.$ में तीन संख्याएँ $a-d, a, a+d$ हैं।
दिया गया है कि $(a-d) + a + (a+d) = 33$.
$3a = 33 \Rightarrow a = 11$.
साथ ही,$(a-d)(a)(a+d) = 1155$.
$a(a^2 - d^2) = 1155$.
$11(121 - d^2) = 1155$.
$121 - d^2 = 105$.
$d^2 = 16 \Rightarrow d = \pm 4$.
यदि $d = 4$ है,तो प्रथम पद $A = a-d = 7$ है। $11$ वाँ पद $T_{11} = A + 10d = 7 + 10(4) = 47$ है।
यदि $d = -4$ है,तो प्रथम पद $A = a-d = 15$ है। $11$ वाँ पद $T_{11} = A + 10d = 15 + 10(-4) = -25$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin\theta \sin(60^o - \theta) \sin(60^o + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$।
दिया गया व्यंजक: $E = \sin\,10^o \sin\,30^o \sin\,50^o \sin\,70^o$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $E = \sin\,30^o \times [\sin\,10^o \sin(60^o - 10^o) \sin(60^o + 10^o)]$।
$\theta = 10^o$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $E = \sin\,30^o \times [\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^o)]$।
$E = \sin\,30^o \times \frac{1}{4} \sin\,30^o$।
चूंकि $\sin\,30^o = \frac{1}{2}$,इसलिए $E = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$।

(C) दिया गया है $w = \frac{5 + 3z}{5(1 - z)}$.
$z$ के लिए हल करने पर:
$5w(1 - z) = 5 + 3z$
$5w - 5wz = 5 + 3z$
$5w - 5 = z(3 + 5w)$
$z = \frac{5w - 5}{5w + 3}$.
चूँकि $|z| < 1$ है,इसलिए $\left| \frac{5w - 5}{5w + 3} \right| < 1$.
$|5w - 5| < |5w + 3|$.
$5$ से विभाजित करने पर:
$|w - 1| < |w + \frac{3}{5}|$.
यह सम्मिश्र तल में उन बिंदुओं $w$ को दर्शाता है जो $-\frac{3}{5}$ की तुलना में $1$ के अधिक निकट हैं।
$1$ और $-\frac{3}{5}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक $x = \frac{1 - 3/5}{2} = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि बिंदु $1$ के अधिक निकट हैं,इसलिए $\text{Re}(w) > \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है $5 \text{ Re}(w) > 1$.

(D) माना तीन क्रमागत गुणांक $^{n}C_{r-1}, ^{n}C_{r},$ और $^{n}C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात: $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{2}{15}$ और $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$।
सूत्र $\frac{^{n}C_{r-1}}{^{n}C_{r}} = \frac{r}{n-r+1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{2}{15}$ $\Rightarrow 15r = 2n - 2r + 2$ $\Rightarrow 2n - 17r = -2 \dots (1)$।
सूत्र $\frac{^{n}C_{r}}{^{n}C_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{3}{14}$ $\Rightarrow 14r + 14 = 3n - 3r$ $\Rightarrow 3n - 17r = 14 \dots (2)$।
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $(3n - 17r) - (2n - 17r) = 14 - (-2) \Rightarrow n = 16$।
$(1)$ में $n = 16$ रखने पर: $2(16) - 17r = -2$ $\Rightarrow 32 + 2 = 17r$ $\Rightarrow 17r = 34$ $\Rightarrow r = 2$।
गुणांक $^{16}C_{1}, ^{16}C_{2}, ^{16}C_{3}$ हैं।
$^{16}C_{1} = 16, ^{16}C_{2} = 120, ^{16}C_{3} = 560$।
औसत $= \frac{16 + 120 + 560}{3} = \frac{696}{3} = 232$।

(D) दो रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके ढाल का गुणनफल $-1$ है।
रेखा $L_1: x + (a - 1)y = 1$ का ढाल $m_1 = -\frac{1}{a - 1}$ है।
रेखा $L_2: 2x + a^2y = 1$ का ढाल $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ है।
$m_1 m_2 = -1$ होने के कारण,$\left(-\frac{1}{a - 1}\right) \left(-\frac{2}{a^2}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{2}{a^2(a - 1)} = -1$ $\Rightarrow a^3 - a^2 + 2 = 0$.
समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(a + 1)(a^2 - 2a + 2) = 0$.
चूँकि $a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 > 0$,एकमात्र वास्तविक हल $a = -1$ है।
$a = -1$ रखने पर:
$L_1: x - 2y = 1$.
$L_2: 2x + y = 1$.
समीकरणों को हल करने पर:
$x - 2y = 1$ $(1)$
$2x + y = 1$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4x + 2y = 2$.
दोनों को जोड़ने पर: $5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$.
$x = \frac{3}{5}$ को $(2)$ में रखने पर: $y = -\frac{1}{5}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $OP = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(C) माना दो खंभों की ऊँचाई $h_1 = 5 \, m$ और $h_2 = 10 \, m$ है। उनके बीच की दूरी $x$ है।
छोटे खंभे के शीर्ष से बड़े खंभे पर एक क्षैतिज रेखा खींचने पर,हमें एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है जिसकी ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई $h_2 - h_1 = 10 - 5 = 5 \, m$ है।
छोटे खंभे के शीर्ष से बड़े खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $15^o$ है।
समकोण त्रिभुज में:
$\tan(15^o) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{5}{x}$
चूँकि $\tan(15^o) = 2 - \sqrt{3}$,इसलिए:
$2 - \sqrt{3} = \frac{5}{x}$
$x = \frac{5}{2 - \sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{5(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 5(2 + \sqrt{3}) \, m$.

(B) परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 4\left(\frac{x + 1}{2}\right)$ है,जो $y = x + 1$ में सरल हो जाता है।
$(1, 2)$ पर अभिलंब की प्रवणता $-1$ है और यह $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y - 2 = -1(x - 1)$ है,जो $y = -x + 3$ है।
माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है। केंद्र अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $k = -h + 3$,अर्थात $h = 3 - k$ है। अतः केंद्र $C(3 - r, r)$ है।
केंद्र $C(3 - r, r)$ से बिंदु $P(1, 2)$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$PC^2 = r^2$
$(3 - r - 1)^2 + (r - 2)^2 = r^2$
$2(r - 2)^2 = r^2$
$r^2 - 8r + 8 = 0$
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
छोटे वृत्त के लिए,$r = 4 - 2\sqrt{2}$ लेते हैं।
क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi (4 - 2\sqrt{2})^2 = 8\pi (3 - 2\sqrt{2})$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $(m^2 + 1)x^2 - 3x + (m^2 + 1)^2 = 0$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = \frac{3}{m^2 + 1}$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{(m^2 + 1)^2}{m^2 + 1} = m^2 + 1$ है।
मूलों का योग अधिकतम होने के लिए,हर $(m^2 + 1)$ न्यूनतम होना चाहिए।
$m^2 + 1$ का न्यूनतम मान $1$ है (जब $m = 0$ हो)।
अतः,$\alpha + \beta = \frac{3}{1} = 3$ और $\alpha \beta = 0^2 + 1 = 1$ है।
मूलों के घनों का निरपेक्ष अंतर $|\alpha^3 - \beta^3| = |(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2)|$ है।
हम जानते हैं कि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = 3^2 - 4(1) = 9 - 4 = 5$,इसलिए $|\alpha - \beta| = \sqrt{5}$ है।
साथ ही,$\alpha^2 + \alpha \beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta = 3^2 - 1 = 8$ है।
अतः,$|\alpha^3 - \beta^3| = \sqrt{5} \times 8 = 8\sqrt{5}$ है।

(C) मान लीजिए कुल जनसंख्या $100$ है।
$n(A) = 25$,$n(B) = 20$,और $n(A \cap B) = 8$.
$A$ पढ़ने वाले लेकिन $B$ न पढ़ने वाले लोगों की संख्या $n(A \setminus B) = n(A) - n(A \cap B) = 25 - 8 = 17$.
$B$ पढ़ने वाले लेकिन $A$ न पढ़ने वाले लोगों की संख्या $n(B \setminus A) = n(B) - n(A \cap B) = 20 - 8 = 12$.
$A$ और $B$ दोनों पढ़ने वाले लोगों की संख्या $n(A \cap B) = 8$.
विज्ञापन देखने वाली जनसंख्या का प्रतिशत:
$= (17 \text{ का } 30\%) + (12 \text{ का } 40\%) + (8 \text{ का } 50\%)$
$= (0.30 \times 17) + (0.40 \times 12) + (0.50 \times 8)$
$= 5.1 + 4.8 + 4.0 = 13.9$.

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $P \Rightarrow (q \vee r)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती सत्य हो और परिणामी असत्य हो।
अर्थात,$P = T$ और $(q \vee r) = F$।
वियोजन $(q \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$q$ और $r$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
अतः,$p = T, q = F, r = F$।

(B) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = n(2n - 1) = 2n^2 - n$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 2 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}$.
$n = 11$ के लिए:
$S_{11} = \frac{11(12)(23)}{3} - \frac{11(12)}{2}$.
$S_{11} = 11 \times 4 \times 23 - 11 \times 6$.
$S_{11} = 1012 - 66 = 946$.

(A) दी गई $10$ संख्याएँ: $10, 22, 26, 29, 34, x, 42, 67, 70, y$ बढ़ते क्रम में हैं।
$1$. माध्य की गणना:
$\text{माध्य} = \frac{10 + 22 + 26 + 29 + 34 + x + 42 + 67 + 70 + y}{10} = 42$
$300 + x + y = 420$
$x + y = 120 \quad \dots (i)$
$2$. माध्यिका की गणना:
$10$ अवलोकनों के लिए,माध्यिका $5$ वें और $6$ वें पद का औसत है।
$\text{माध्यिका} = \frac{34 + x}{2} = 35$
$34 + x = 70$
$x = 36$
$3$. $y$ का मान:
समीकरण $(i)$ में $x = 36$ रखने पर:
$36 + y = 120$
$y = 84$
$4$. अंतिम अनुपात:
$\frac{y}{x} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$

(B) माना आयत के शीर्ष $A(-8, 5)$ और $B(6, 5)$ हैं। चूँकि $AB$ आयत की एक भुजा है,$AB$ की लंबाई $= |6 - (-8)| = 14$ है।
माना अन्य दो शीर्ष $D(-8, k)$ और $C(6, k)$ हैं।
वृत्त का केंद्र विकर्ण $AC$ (या $BD$) का मध्यबिंदु है।
$AC$ का मध्यबिंदु $= \left( \frac{-8 + 6}{2}, \frac{5 + k}{2} \right) = \left( -1, \frac{5 + k}{2} \right)$ है।
चूँकि केंद्र व्यास $3y = x + 7$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = -1 + 7$
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = 6$
$\frac{5 + k}{2} = 2$
$5 + k = 4$
$k = -1$ है।
भुजा $BC$ की लंबाई $= |5 - (-1)| = 6$ है।
आयत का क्षेत्रफल $= AB \times BC = 14 \times 6 = 84 \text{ sq. units}$।

(C) $(1 - 3x)^{15}$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (-3x)^k = 1 - 45x + 945x^2 - 12285x^3 + \dots$ है।
$x^2$ का गुणांक: $945 - 45a + b = 0 \Rightarrow 45a - b = 945$।
$x^3$ का गुणांक: $-12285 + 945a - 45b = 0 \Rightarrow 21a - b = 273$।
घटाने पर $24a = 672 \Rightarrow a = 28$ प्राप्त होता है।
$a = 28$ रखने पर $b = 315$ प्राप्त होता है।

(B) $n$ वां पद $T_n$ इस प्रकार है:
$T_n = \frac{(2n+1) \sum_{k=1}^n k^3}{\sum_{k=1}^n k^2}$
सूत्रों $\sum k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ और $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = \frac{(2n+1) \times \frac{n^2(n+1)^2}{4}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$
$T_n = \frac{6}{4} n(n+1) = \frac{3}{2}(n^2 + n)$
अब,योग $S_{10} = \sum_{n=1}^{10} T_n = \frac{3}{2} \left[ \sum_{n=1}^{10} n^2 + \sum_{n=1}^{10} n \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} \left[ \frac{10(11)(21)}{6} + \frac{10(11)}{2} \right]$
$S_{10} = \frac{3}{2} [385 + 55] = \frac{3}{2} [440] = 660$

(D) Tautology एक ऐसा कथन है जो अपने घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए हमेशा सत्य होता है।
विकल्प $(A)$ का मूल्यांकन करें: $(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \wedge \sim q) \equiv p \vee F \equiv p$. यह tautology नहीं है।
विकल्प $(B)$ का मूल्यांकन करें: $(p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q) \equiv p \wedge (q \vee \sim q) \equiv p \wedge T \equiv p$. यह tautology नहीं है।
विकल्प $(C)$ का मूल्यांकन करें: $(p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv (p \vee q) \wedge \sim (p \wedge q)$. यह tautology नहीं है।
विकल्प $(D)$ का मूल्यांकन करें: $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q) \equiv p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$. चूँकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह एक tautology है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\sin \theta$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = -2 \sin \theta$ है।
हमें व्यंजक $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ का मान ज्ञात करना है।
हर को सरल करने पर: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{\beta^{12} + \alpha^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}} (\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.
चूँकि $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,इसलिए $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.
अतः,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} \right]^{12}$.
मान रखने पर: $E = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{(-\sin \theta)^2 - 4(-2 \sin \theta)} \right]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{\sin^2 \theta + 8 \sin \theta} \right]^{12}$.
चूँकि $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,$\sin \theta \neq 0$,इसलिए $E = \left[ \frac{-2}{\sin \theta + 8} \right]^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin \theta + 8)^{12}}$.

(D) माना $P$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $\triangle ABC$ में,$AB=AC=100$ है। माना $AP = x$ है। चूँकि $P$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AP \perp BC$ है।
$\triangle ABP$ में,$BP^2 = AB^2 - AP^2 = 100^2 - x^2$ है। अतः $BP = \sqrt{10000 - x^2}$ है।
मीनार की ऊँचाई $PQ = h$ है।
$A$ पर उन्नयन कोण $\alpha = \cot^{-1}(3\sqrt{2})$ है,इसलिए $\cot \alpha = \frac{AP}{PQ} = \frac{x}{h} = 3\sqrt{2} \implies x = 3\sqrt{2}h$ है।
$B$ पर उन्नयन कोण $\beta = \csc^{-1}(2\sqrt{2})$ है,इसलिए $\csc \beta = \frac{BQ}{PQ} = \frac{\sqrt{BP^2 + h^2}}{h} = 2\sqrt{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{BP^2 + h^2}{h^2} = 8 \implies BP^2 + h^2 = 8h^2 \implies BP^2 = 7h^2$ है।
$BP^2 = 100^2 - x^2$ रखने पर: $10000 - x^2 = 7h^2$ है।
$x = 3\sqrt{2}h$ रखने पर: $10000 - (3\sqrt{2}h)^2 = 7h^2 \implies 10000 - 18h^2 = 7h^2$ है।
$25h^2 = 10000 \implies h^2 = 400 \implies h = 20$ है।

(B) दिया गया है $z = \frac{(1 + i)^2}{a - i} = \frac{2i}{a - i}$.
अंश और हर को संयुग्मी $(a + i)$ से गुणा करने पर,$z = \frac{2i(a + i)}{a^2 + 1} = \frac{-2 + 2ai}{a^2 + 1}$ प्राप्त होता है।
परिमाण $|z| = \frac{|2i|}{|a - i|} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$ है।
चूंकि $|z| = \sqrt{\frac{2}{5}}$,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = \sqrt{\frac{2}{5}} \implies \frac{4}{a^2 + 1} = \frac{2}{5} \implies a^2 + 1 = 10 \implies a^2 = 9$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ है।
$a = 3$ को $z$ में रखने पर,$z = \frac{2i(3 + i)}{3^2 + 1} = \frac{6i - 2}{10} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$.
अतः संयुग्मी $\bar{z} = -\frac{1}{5} - \frac{3}{5}i$ है।

(B) $6$ अंकों की संख्या $abcdef$ मानिए। $11$ से विभाज्यता के लिए $|(a+c+e) - (b+d+f)|$ का मान $11$ का गुणज होना चाहिए।
सभी अंकों का योग $0+1+2+5+7+9 = 24$ है। मान लीजिए $S_1 = a+c+e$ और $S_2 = b+d+f$। अतः $S_1 + S_2 = 24$ और $S_1 - S_2 = 11k$।
$k=0$ के लिए,$S_1 = S_2 = 12$।
${a, c, e}$ और ${b, d, f}$ के लिए संभव समुच्चय:
स्थिति $I$: ${a, c, e} = {9, 2, 1}$ और ${b, d, f} = {7, 5, 0}$।
कुल तरीके $= 3! \times 3! = 36$।
स्थिति $II$: ${a, c, e} = {7, 5, 0}$ और ${b, d, f} = {9, 2, 1}$।
यहाँ $a \neq 0$। $a$ के लिए $2$ विकल्प हैं,शेष $2$ स्थानों के लिए $2!$ तरीके और ${b, d, f}$ के लिए $3!$ तरीके।
कुल $= 2 \times 2! \times 6 = 24$।
कुल संख्या $= 36 + 24 = 60$।

(D) रेखा $L: x - y = 0$ को बिंदु $(1, 1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + \lambda(x - y) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, -3)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 - 1)^2 + (-3 - 1)^2 + \lambda(1 - (-3)) = 0$
$0 + 16 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.
समीकरण में $\lambda = -4$ रखने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 4(x - y) = 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 2 = 0$.
वृत्त का केंद्र $(3, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(B) पहले वृत्त का समीकरण $S_1: x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K = 0$ है।
दूसरे वृत्त का समीकरण $S_2: x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0$ है।
दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(x^2 + y^2 + 5Kx + 2y + K) - (x^2 + y^2 + Kx + \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}) = 0$
$4Kx + \frac{1}{2}y + K + \frac{1}{2} = 0$.
यह रेखा दी गई रेखा $4x + 5y - K = 0$ के समान है।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{4K}{4} = \frac{1/2}{5} = \frac{K + 1/2}{-K}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4K}{4} = \frac{1}{10}$ से,हमें $K = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
दूसरी समानता की जाँच करने पर: $\frac{1}{10} = \frac{1/10 + 1/2}{-1/10} = \frac{6/10}{-1/10} = -6$.
चूँकि $K = \frac{1}{10} \neq -6$,इसलिए $K$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए रेखाएँ समान हों।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ होता है।
दिए गए बिंदु $(3, -4.5)$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{3x}{a^2} - \frac{4.5y}{b^2} = 1$ है।
दी गई रेखा $x - 2y = 12$ को $\frac{x}{12} - \frac{y}{6} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{a^2} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow a^2 = 36$ $\Rightarrow a = 6$.
और $\frac{4.5}{b^2} = \frac{1}{6} \Rightarrow b^2 = 27$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 27}{6} = 9$.

(A) दिया गया योग $a_1 + a_4 + a_7 + a_{10} + a_{13} + a_{16} = 114$ है।
यह $6$ पदों की एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है,जहाँ प्रथम पद $a_1$ और अंतिम पद $a_{16}$ है।
$A.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद})$ होता है।
अतः,$\frac{6}{2}(a_1 + a_{16}) = 114$.
$3(a_1 + a_{16}) = 114 \Rightarrow a_1 + a_{16} = 38$.
हमें $S = a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ का योग ज्ञात करना है।
यह भी $4$ पदों की एक समांतर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a_1$ और अंतिम पद $a_{16}$ है।
$S = \frac{4}{2}(a_1 + a_{16}) = 2(38) = 76$.

(A) बारंबारताओं का योग $\sum f_i = (x+1)^2 + (2x-5) + (x^2-3x) + x = 20$ है।
सरल करने पर,$2x^2 + 2x - 4 = 20 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x+4)(x-3) = 0$।
चूंकि बारंबारता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 3$ लेने पर।
बारंबारताएँ: $16, 1, 0, 3$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 16) + (3 \times 1) + (5 \times 0) + (7 \times 3)}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$।

(B) सबसे पहले,बाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x+1)(x^2+1) = (1+1)(1^2+1) = 2 \times 2 = 4$.
अब,दाईं ओर की सीमा का मूल्यांकन करें:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{{{x^3} - {k^3}}}{{{x^2} - {k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{(x-k)(x^2+xk+k^2)}{(x-k)(x+k)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{x^2+xk+k^2}{x+k} = \frac{k^2+k^2+k^2}{k+k} = \frac{3k^2}{2k} = \frac{3k}{2}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर:
$4 = \frac{3k}{2}$ $\Rightarrow 3k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{8}{3}$.

(B) माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूँकि यह $(4, -2\sqrt{3})$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{16}{a^2} - \frac{12}{b^2} = 1 \dots (i)$ है।
नियता $x = \frac{a}{e}$ दी गई है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,जिससे $a^2 = \frac{16e^2}{5} \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करके,$(i)$ में $a^2$ और $b^2$ का मान रखने पर:
$\frac{16}{a^2} - \frac{12}{a^2(e^2 - 1)} = 1$.
$a^2 = \frac{16e^2}{5}$ रखने पर:
$\frac{5}{e^2} - \frac{60}{16e^2(e^2 - 1)} = 1$.
$4e^2(e^2 - 1)$ से गुणा करने पर:
$20(e^2 - 1) - 15 = 4e^2(e^2 - 1) \Rightarrow 20e^2 - 35 = 4e^4 - 4e^2$.
अतः $4e^4 - 24e^2 + 35 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई असमिकाएँ $|x - y| \leq 2$ और $|x + y| \leq 2$ हैं।
इन्हें $-2 \leq x - y \leq 2$ और $-2 \leq x + y \leq 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखाओं $x - y = 2$,$x - y = -2$,$x + y = 2$,और $x + y = -2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को दर्शाता है।
इस क्षेत्र के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$) $x - y = 2$ और $x + y = 2$ से $(2, 0)$ प्राप्त होता है।
$2$) $x + y = 2$ और $x - y = -2$ से $(0, 2)$ प्राप्त होता है।
$3$) $x - y = -2$ और $x + y = -2$ से $(-2, 0)$ प्राप्त होता है।
$4$) $x + y = -2$ और $x - y = 2$ से $(0, -2)$ प्राप्त होता है।
क्रमागत शीर्षों के बीच की दूरी (जैसे,$(2, 0)$ और $(0, 2)$) $\sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
चूंकि सभी भुजाएँ $2\sqrt{2}$ के बराबर हैं और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं,इसलिए यह क्षेत्र एक वर्ग है।
वर्ग का क्षेत्रफल $(\text{भुजा})^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ वर्ग इकाई है।
अतः,यह क्षेत्र $2\sqrt{2}$ इकाई भुजा लंबाई वाला एक वर्ग है।

(D) सीमा के अस्तित्व में होने और परिमित होने के लिए,$x = 1$ पर अंश $0$ होना चाहिए।
अतः,$1^2 - a(1) + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - a + b = 0$,या $b = a - 1$।
$L'Hopital$ नियम का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{d/dx(x^2 - ax + b)}{d/dx(x - 1)} = 3$।
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (2x - a) = 3$।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 - a = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -1$।
चूंकि $b = a - 1$,इसलिए $b = -1 - 1 = -2$।
अतः,$a + b = -1 + (-2) = -3$।

(A) रेखा $4x - 3y + 2 = 0$ के समांतर किसी भी रेखा का समीकरण $4x - 3y + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $\frac{|\lambda|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|\lambda|}{5}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि यह दूरी $\frac{3}{5}$ दी गई है,हमारे पास $\frac{|\lambda|}{5} = \frac{3}{5}$ है,जिसका अर्थ है $|\lambda| = 3$,इसलिए $\lambda = \pm 3$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $4x - 3y + 3 = 0$ और $4x - 3y - 3 = 0$ हैं।
अब,हम दिए गए बिंदुओं की जाँच करते हैं:
विकल्प $A$ के लिए: $4(-\frac{1}{4}) - 3(\frac{2}{3}) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$। यह बिंदु समीकरण $4x - 3y + 3 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $a = \sqrt{2}$ है। अतः स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{2}}{m}$ है।
इस रेखा को $mx - y + \frac{\sqrt{2}}{m} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को भी स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 1$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{m}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2}{m^2(m^2 + 1)} = 1 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$.
$t = m^2$ लेने पर,$t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t + 2)(t - 1) = 0$। चूँकि $m^2 > 0$,इसलिए $m^2 = 1$,यानी $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ रखने पर: $y = x + \sqrt{2} \Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$। $ax + y = c$ से तुलना करने पर $a = -1$ और $c = -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|c| = \sqrt{2}$।
$m = -1$ रखने पर: $y = -x - \sqrt{2} \Rightarrow x + y = -\sqrt{2}$। $ax + y = c$ से तुलना करने पर $a = 1$ और $c = -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|c| = \sqrt{2}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है। $144$ से भाग देने पर,$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16,$ इसलिए $a = 3$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नियता $x = \pm \frac{a}{e}$ होती है।
दी गई नियता $5x + 9 = 0$ अर्थात $x = -\frac{9}{5}$ है।
चूंकि $\frac{a}{e} = \frac{3}{5/3} = \frac{9}{5},$ इसलिए नियता $x = -\frac{9}{5}$ नाभि $(-ae, 0)$ के संगत है।
अतः,नाभि $(-3 \times \frac{5}{3}, 0) = (-5, 0)$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h| = h$ है (प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण $h > 0$)।
चूंकि वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$\sqrt{h^2 + k^2} = r + 1 = h + 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h^2 + k^2 = (h + 1)^2$
$h^2 + k^2 = h^2 + 2h + 1$
$k^2 = 2h + 1$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2x + 1$ प्राप्त होता है,अर्थात $y = \sqrt{2x + 1}$ जहाँ $x \ge 0$।

(B) मान लीजिए $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दिया गया है $a_6 = a + 5d = 2$,इसलिए $a = 2 - 5d$.
पद $a_1 = a = 2 - 5d$,$a_4 = a + 3d = 2 - 2d$,और $a_5 = a + 4d = 2 - d$ हैं।
मान लीजिए गुणनफल $f(d) = a_1 a_4 a_5 = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $f(d) = (10d^2 - 14d + 4)(2 - d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,अवकलज $f'(d) = -30d^2 + 68d - 32$ ज्ञात करें।
$f'(d) = 0$ रखने पर $\Rightarrow 15d^2 - 34d + 16 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{30} = \frac{34 \pm 14}{30}$.
अतः,$d_1 = \frac{8}{5}$ और $d_2 = \frac{2}{3}$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज: $f''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{2}{3}$ पर,$f''(\frac{2}{3}) = 28 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$d = \frac{8}{5}$ पर,$f''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,$d = \frac{8}{5}$ पर गुणनफल अधिकतम होता है।

(A) $(x^2 + x^{-3})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-3})^r = ^nC_r x^{2n-5r}$ है।
$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:
$2n - 5r = 1 \Rightarrow 2n = 5r + 1$.
हमें दिया गया है कि गुणांक $^nC_{23}$ है,जिसका अर्थ है कि $r = 23$ या $n-r = 23$ है।
स्थिति $1$: यदि $r = 23$ है,तो $2n = 5(23) + 1 = 116 \Rightarrow n = 58$.
स्थिति $2$: यदि $n-r = 23$ है,तो $r = n-23$ है। इसे $2n = 5r + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2n = 5(n-23) + 1$ $\Rightarrow 2n = 5n - 115 + 1$ $\Rightarrow 3n = 114$ $\Rightarrow n = 38$.
$n$ के दो संभावित मानों ($58$ और $38$) में से,सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $38$ है।

(C) $20$ खंभे एक $20$-भुजीय बहुभुज के शीर्ष बनाते हैं।
प्रत्येक खंभे के शीर्ष को सभी गैर-आसन्न खंभों से जोड़ना $20$-भुजीय बहुभुज के विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
$20$ में से $2$ खंभों को चुनने के कुल तरीके $^{20}C_2$ हैं।
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
इन $190$ संयोजनों में बहुभुज की $20$ भुजाएँ (जो आसन्न खंभों को जोड़ती हैं) शामिल हैं।
इसलिए,बीम (विकर्णों) की कुल संख्या $190 - 20 = 170$ है।

(A) दिया गया है: माध्य $\mu = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$ और मानक विचलन $\sigma = 16$.
मानक विचलन के सूत्र से: $\sigma^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - \mu^2$.
मान रखने पर: $16^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$\frac{1}{50} \sum x_i^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$.
हमें $(x_i - 4)^2$ का माध्य ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{50} \sum (x_i - 4)^2$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $\frac{1}{50} \sum (x_i^2 - 8x_i + 16) = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 8 \left( \frac{1}{50} \sum x_i \right) + \frac{1}{50} \sum 16$.
ज्ञात मान रखने पर: $512 - 8(16) + 16 = 512 - 128 + 16 = 400$.

(C) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ और $\omega^2$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं। ध्यान दें कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0,$ इसलिए पहली पंक्ति $y, y, y$ हो जाती है।
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \omega & y + \omega^2 - \omega & 1 - \omega \\ \omega^2 & 1 - \omega^2 & y + \omega - \omega^2 \end{array} \right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = y \left[ (y + \omega^2 - \omega)(y + \omega - \omega^2) - (1 - \omega)(1 - \omega^2) \right]$
$\Delta = y \left[ (y + (\omega^2 - \omega))(y - (\omega^2 - \omega)) - (1 - \omega^2 - \omega + \omega^3) \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^2 - \omega)^2 - (1 - (\omega^2 + \omega) + 1) \right]$
चूंकि $\omega^2 + \omega = -1,$ इसलिए $\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^4 - 2\omega^3 + \omega^2) - (1 - (-1) + 1) \right] = y \left[ y^2 - (\omega - 2 + \omega^2) - 3 \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (-1 - 2) - 3 \right] = y \left[ y^2 + 3 - 3 \right] = y^3.$
अतः,सही उत्तर $y^3$ है।

(C) माना $L = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \int_{6}^{f(x)} 2t \, dt$.
चूंकि $f(2) = 6$,समाकल $\int_{6}^{6} 2t \, dt = 0$ हो जाता है,जो $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप देता है।
$L'\text{H\^opital}$ नियम का उपयोग करने पर:
अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} \int_{6}^{f(x)} 2t \, dt = 2f(x) \cdot f'(x)$ (Leibniz नियम के अनुसार)।
हर का अवकलन: $\frac{d}{dx} (x - 2) = 1$.
अतः,$L = \lim_{x \to 2} \frac{2f(x)f'(x)}{1} = 2f(2)f'(2)$.
चूंकि $f(2) = 6$,इसलिए $L = 2(6)f'(2) = 12f'(2)$.

(C) समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & k & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(k - 2) - 3(1 - (-4)) - 1(-1 - 2k) = 0$
$2k - 4 - 3(5) + 1 + 2k = 0$
$4k - 18 = 0 \Rightarrow 4k = 18 \Rightarrow k = \frac{9}{2}$
$k = \frac{9}{2}$ को समीकरणों में रखने पर:
$(1) 2x + 3y - z = 0$
$(2) x + \frac{9}{2}y - 2z = 0$
$(3) 2x - y + z = 0$
समीकरण $(1)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y - z) - (2x - y + z) = 0 \Rightarrow 4y - 2z = 0 \Rightarrow z = 2y \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{1}{2}$
$z = 2y$ को $(1)$ में रखने पर:
$2x + 3y - 2y = 0 \Rightarrow 2x + y = 0 \Rightarrow \frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\frac{z}{x} = \frac{2y}{-0.5y} = -4$
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

(A) माना $I = \int_{0}^{1} x \cot^{-1}(1 - x^2 + x^4) dx$.
गुणधर्म $\cot^{-1}(u) = \tan^{-1}(\frac{1}{u})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} x \tan^{-1}\left(\frac{1}{1 - x^2 + x^4}\right) dx$.
हम तर्क को $\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{1 + x^2(x^2 - 1)}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int_{0}^{1} x \left[ \tan^{-1}(x^2) - \tan^{-1}(x^2 - 1) \right] dx$.
माना $x^2 = t$,तो $2x dx = dt$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} dt$.
जब $x=0, t=0$ और जब $x=1, t=1$.
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t - 1) dt$.
दूसरे समाकलन पर $\int_{0}^{a} f(t) dt = \int_{0}^{a} f(a - t) dt$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(1 - t - 1) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-t) dt$.
चूंकि $\tan^{-1}(-t) = -\tan^{-1}(t)$:
$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(t) dt$.
खंडशः समाकलन करने पर: $\int \tan^{-1}(t) dt = t \tan^{-1}(t) - \int \frac{t}{1+t^2} dt = t \tan^{-1}(t) - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)$.
$0$ से $1$ तक मान ज्ञात करने पर:
$I = [1 \cdot \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \ln(2)] - [0 - 0] = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ है।
$\cos x$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6x \sec x$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = 6x \sec x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \frac{1}{\sec x} = \cos x$ है।
व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।
$y \cos x = \int (6x \sec x) \cdot \cos x dx = \int 6x dx = 3x^2 + C$ है।
चूंकि $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C$,जिससे $0 = \frac{\pi^2}{3} + C$,अर्थात $C = -\frac{\pi^2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$ है।
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = -\frac{3\pi^2}{12} = -\frac{\pi^2}{4}$ है।
$y = -\frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi^2}{2\sqrt{3}}$।

(B) माना समय $t$ पर पानी की गहराई $h$ है और पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = \tan^{-1}(1/2)$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{2}$।
शंकु में पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ है।
$r = \frac{h}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}$।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 5 \ m^3/min$ और $h = 10 \ m$,इन मानों को रखने पर:
$5 = \frac{\pi (10)^2}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = \frac{100\pi}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = 25\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{25\pi} = \frac{1}{5\pi} \ m/min$।

(B) माना रेखा $L: \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z}{4} = \lambda$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$ है।
माना $D$,$A(1, -1, 2)$ से रेखा $L$ पर लंब का पाद है। चूँकि $D$,$L$ पर स्थित है,$D = (3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AD} = (3\lambda - 2 - 1)\hat{i} + (1 - (-1))\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k} = (3\lambda - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k}$ है।
चूँकि $\vec{AD} \perp \vec{v}$,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$3(3\lambda - 3) + 0(2) + 4(4\lambda - 2) = 0$
$9\lambda - 9 + 16\lambda - 8 = 0$
$25\lambda = 17 \implies \lambda = \frac{17}{25}$।
$\lambda$ का मान $\vec{AD}$ में रखने पर:
$\vec{AD} = (3(\frac{17}{25}) - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4(\frac{17}{25}) - 2)\hat{k} = -\frac{24}{25}\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{18}{25}\hat{k}$।
शीर्षलंब $AD$ की लंबाई $= |\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{24}{25})^2 + 2^2 + (\frac{18}{25})^2} = \sqrt{\frac{576}{625} + 4 + \frac{324}{625}} = \sqrt{\frac{136}{25}} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{2\sqrt{34}}{5} = \sqrt{34}$।

(D) दिया गया है $A^T A = 3I_3$.
$A^T A$ की गणना करने पर:
$A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & 1 \\ 2x & y & -1 \\ 2x & -y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4y^2+1 & 2y^2-1 & -2y^2+1 \\ 2y^2-1 & 4x^2+y^2+1 & 4x^2-y^2-1 \\ -2y^2+1 & 4x^2-y^2-1 & 4x^2+y^2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
तत्वों की तुलना करने पर:
$1$) $4y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$) $4x^2 + y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 + \frac{1}{2} + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x^2 = \frac{3}{8} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$.
$3$) $4x^2 - y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 4(\frac{3}{8}) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0$ (संतुष्ट है).
$4$) $2y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$ (संतुष्ट है).
चूंकि $x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ और $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$,$(x, y)$ के $2 \times 2 = 4$ संभावित जोड़े हैं.
शर्त $x \neq y$ की जाँच करने पर: $\sqrt{\frac{3}{8}} \approx 0.612$ और $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ है,इसलिए सभी $4$ जोड़े $x \neq y$ शर्त को पूरा करते हैं.
अतः,ऐसे $4$ मैट्रिसेस संभव हैं.

(A) फलन $f(x)$ के $x = 5$ पर सतत होने के लिए,वाम पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण पक्ष सीमा $(RHL)$ और $x = 5$ पर फलन का मान समान होना चाहिए।
$LHL = \lim_{x \to 5^-} f(x) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$ (चूंकि $5 > \pi$,इसलिए $|\pi - 5| = 5 - \pi$)।
$RHL = \lim_{x \to 5^+} f(x) = b|\pi - 5| + 3 = b(5 - \pi) + 3$।
$f(5) = a|\pi - 5| + 1 = a(5 - \pi) + 1$।
$LHL$ और $RHL$ को बराबर करने पर:
$a(5 - \pi) + 1 = b(5 - \pi) + 3$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(5 - \pi) - b(5 - \pi) = 3 - 1$।
$(a - b)(5 - \pi) = 2$।
अतः,$a - b = \frac{2}{5 - \pi}$।

(D) दिया गया है $f(x) = [x] - [\frac{x}{4}]$.
$x = 4$ पर दाईं ओर की सीमा:
$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} [x] - \lim_{x \to 4^+} [\frac{x}{4}] = 4 - 1 = 3$.
$x = 4$ पर बाईं ओर की सीमा:
$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} [x] - \lim_{x \to 4^-} [\frac{x}{4}] = 3 - 0 = 3$.
साथ ही,$f(4) = [4] - [\frac{4}{4}] = 4 - 1 = 3$.
चूँकि $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^-} f(x) = f(4) = 3$,इसलिए फलन $f$,$x = 4$ पर संतत है।

(D) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) dx = e^{\sec x} f(x) + C$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = \frac{d}{dx} (e^{\sec x} f(x))$.
दाहिनी ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x \cdot f(x) + e^{\sec x} f'(x)$.
दोनों पक्षों को $e^{\sec x}$ से विभाजित करने पर:
$\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x \tan x f(x) + f'(x)$.
$f'(x)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$f'(x) = \sec x + \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan x f(x) - \sec x \tan x f(x)$.
यदि हम $f(x) = \sec x + \tan x$ मानते हैं,तो $f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर यह सिद्ध होता है। अतः,$f(x) = \sec x + \tan x + c$.
विकल्पों को देखते हुए,$f(x) = \sec x + \tan x + \frac{1}{2}$ एक सही विकल्प है।

(D) समतलों $P_1: x + y + z - 6 = 0$ और $P_2: 2x + 3y + z + 5 = 0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y + z - 6) + \lambda(2x + 3y + z + 5) = 0$
$x(1 + 2\lambda) + y(1 + 3\lambda) + z(1 + \lambda) + (-6 + 5\lambda) = 0$.
चूंकि समतल $P$ $xy$-समतल के लंबवत है (जिसका अभिलंब सदिश $\vec{k} = (0, 0, 1)$ है),समतल $P$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 + 3\lambda, 1 + \lambda)$ को $\vec{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,उनका अदिश गुणनफल $\vec{n} \cdot \vec{k} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $1 + \lambda = 0$,अर्थात $\lambda = -1$.
समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$x(1 - 2) + y(1 - 3) + z(1 - 1) + (-6 - 5) = 0$
$-x - 2y - 11 = 0$,या $x + 2y + 11 = 0$.
बिंदु $(0, 0, 256)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|1(0) + 2(0) + 0(256) + 11|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2}} = \frac{11}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{11}{\sqrt{5}}$.

(C) फलन $f(x) = \frac{1}{4 - x^2} + \log(x^3 - x)$ है।
फलन को परिभाषित होने के लिए,दो शर्तों को एक साथ पूरा करना होगा:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
असमिका का गुणनखंड करने पर: $x(x^2 - 1) > 0 \implies x(x - 1)(x + 1) > 0$.
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,$x(x - 1)(x + 1) > 0$ का हल $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ प्राप्त होता है।
अब,हमें उन बिंदुओं को बाहर करना होगा जहाँ हर शून्य है ($x = 2$ और $x = -2$)।
चूंकि $x = -2$ अंतराल $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ में नहीं है,इसलिए हमें केवल $x = 2$ को बाहर करने की आवश्यकता है।
अतः,प्रांत $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(B) यह क्षेत्र परवलय $x = \frac{y^2}{2}$ और रेखा $x = y + 4$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $\frac{y^2}{2} = y + 4$ रखें।
$y^2 = 2y + 8 \Rightarrow y^2 - 2y - 8 = 0$.
$(y - 4)(y + 2) = 0$, अतः $y = 4$ और $y = -2$.
$y = 4$ के लिए, $x = 8$ और $y = -2$ के लिए, $x = 2$.
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-2}^{4} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \int_{-2}^{4} (y + 4 - \frac{y^2}{2}) dy$.
$A = \left[ \frac{y^2}{2} + 4y - \frac{y^3}{6} \right]_{-2}^{4}$.
$A = (\frac{16}{2} + 16 - \frac{64}{6}) - (\frac{4}{2} - 8 - \frac{-8}{6})$.
$A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = (24 - \frac{32}{3}) - (-6 + \frac{4}{3})$.
$A = \frac{72 - 32}{3} - \frac{-18 + 4}{3} = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18$ $sq. units$.

(C) मान लीजिए कि इकाई सदिश $\vec{r}$ के दिक-कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$,$\beta = \frac{\pi}{4}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
एक इकाई सदिश के दिक-कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,जो संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \theta = 1$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ और $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
दिया गया है कि $\theta \in (0, \pi)$,यदि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,तो $\theta = \frac{\pi}{3}$। यदि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ है,तो $\theta = \frac{2\pi}{3}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{2\pi}{3}$ सही मान है।

(A) माना $P$ बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ है। चूँकि $Q(0, -1, -3)$ समतल $3x - y + 4z - 2 = 0$ में $P$ का प्रतिबिंब है,रेखा $PQ$ समतल के लंबवत है।
समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(3, -1, 4)$ हैं।
रेखा $PQ$ बिंदु $Q(0, -1, -3)$ से गुजरती है और अभिलंब के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x-0}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z+3}{4} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k, -k-1, 4k-3)$ है। $PQ$ का मध्यबिंदु $M$ समतल पर स्थित है।
$M = (\frac{3k}{2}, \frac{-k-2}{2}, \frac{4k-6}{2})$। समतल के समीकरण में मान रखने पर: $3(\frac{3k}{2}) - (\frac{-k-2}{2}) + 4(\frac{4k-6}{2}) = 2$.
$9k + k + 2 + 16k - 24 = 4 \implies 26k = 26 \implies k = 1$.
अतः,$M = (1.5, -1, 1)$। सदिश $\vec{QP} = 2\vec{QM} = 2(1.5, 0, 4) = (3, 0, 8)$।
$P = Q + (3, 0, 8) = (3, -1, 5)$।
अब,$\vec{QR} = (3-0, -1-(-1), -2-(-3)) = (3, 0, 1)$ और $\vec{QP} = (3, 0, 8)$।
$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{QP} \times \vec{QR}|$.
$\vec{QP} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 21\hat{j}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |21\hat{j}| = 10.5$.

(B) माना रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $C$ $(\lambda, 1, -\lambda - 1)$ के रूप में है।
दिया गया बिंदु $P(\beta, 0, \beta)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 0, -1)$ है।
सदिश $\vec{PC} = (\lambda - \beta, 1 - 0, -\lambda - 1 - \beta) = (\lambda - \beta, 1, -\lambda - \beta - 1)$ है।
चूंकि $PC$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{PC} \cdot \vec{v} = 0$:
$(\lambda - \beta)(1) + (1)(0) + (-\lambda - \beta - 1)(-1) = 0$
$\lambda - \beta + \lambda + \beta + 1 = 0$
$2\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
अतः,बिंदु $C$ $(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})$ है।
लंब $PC$ की लंबाई $\sqrt{(\beta - (-\frac{1}{2}))^2 + (0 - 1)^2 + (\beta - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\beta + \frac{1}{2})^2 + 1 + (\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$.
$2(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$\beta + \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: $\beta + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \beta = 0$ (अस्वीकार्य,क्योंकि $\beta \neq 0$).
स्थिति $2$: $\beta + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies \beta = -1$.
अतः,$\beta = -1$.

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$ होना आवश्यक है।
सबसे पहले,दाईं सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1}$ से गुणा करने पर:
$RHL = \lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
अब,बाईं सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$LHL = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin((p+1)x) + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin((p+1)x)}{x} + \frac{\sin x}{x} \right) = (p+1) + 1 = p+2$.
चूंकि $f(0) = q$,निरंतरता के लिए $LHL = RHL = f(0)$ होना चाहिए:
$p + 2 = 1/2 \implies p = 1/2 - 2 = -3/2$.
$q = 1/2$.
अतः,क्रमित युग्म $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ है।

(D) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक ${\Delta _1}$ का विस्तार करने पर:
${\Delta _1} = x(-x^2 - 1) - \sin \theta (x \sin \theta - \cos \theta ) + \cos \theta (\sin \theta + x \cos \theta )$
$= -x^3 - x - x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) + 2 \sin \theta \cos \theta$
$= -x^3 - x + x \cos 2\theta + \sin 2\theta$
इसी प्रकार,${\Delta _2}$ के लिए,हम ${\Delta _1}$ के व्यंजक में $\theta$ को $2\theta$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
${\Delta _2} = -x^3 - x + x \cos 4\theta + \sin 4\theta$
अतः,योग ${\Delta _1} + {\Delta _2} = -2x^3 - 2x + x(\cos 2\theta + \cos 4\theta ) + (\sin 2\theta + \sin 4\theta )$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec^2 x$ और $Q = \tan x \sec^2 x$ है।
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$ है।
हल $y \cdot e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x) e^{\tan x} dx + C$ है।
माना $t = \tan x$,तो $dt = \sec^2 x dx$।
समाकलन $\int t e^t dt = t e^t - e^t + C$ हो जाता है।
अतः,$y e^{\tan x} = e^{\tan x} (\tan x - 1) + C$।
चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 = e^0 (0 - 1) + C$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
इस प्रकार,$y = \tan x - 1 + e^{-\tan x}$।
$x = -\frac{\pi}{4}$ के लिए,$\tan x = -1$।
$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 - 1 + e^{-(-1)} = e - 2$।

(A) हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके $x = c$ पर $g(x) = |f(x)|$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{|f(c + h)| - |f(c)|}{h}$
चूँकि $f(c) = 0$,यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{|f(c + h)|}{h}$
अवकलज की परिभाषा $f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h) - f(c)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c + h)}{h}$ का उपयोग करते हुए:
$g'(c) = \lim_{h \to 0} \left| \frac{f(c + h)}{h} \right| \cdot \frac{|h|}{h} = |f'(c)| \cdot \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$
यदि $f'(c) = 0$ है,तो $g'(c) = 0 \cdot (\pm 1) = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $g(x)$,$x = c$ पर अवकलनीय है।
यदि $f'(c) \neq 0$ है,तो सीमा $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ का अस्तित्व नहीं है ($h > 0$ के लिए यह $1$ है और $h < 0$ के लिए $-1$ है),इसलिए $g(x)$,$x = c$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,यदि $f'(c) = 0$ है तो $g(x)$,$x = c$ पर अवकलनीय है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2$ और $S = [0, 4]$।
सबसे पहले,$g(S) = \{x \in R : x^2 \in [0, 4]\} = \{x \in R : x^2 \leq 4\} = [-2, 2]$ ज्ञात करें।
अब,$f(g(S)) = f([-2, 2]) = [0, 4] = S$ का मूल्यांकन करें।
$f(S) = f([0, 4]) = [0, 16]$ का मूल्यांकन करें।
विकल्प $A$ की जाँच करें: $f(g(S)) = [0, 4]$ और $f(S) = [0, 16]$,इसलिए $f(g(S)) \neq f(S)$। यह सत्य है।
विकल्प $B$ की जाँच करें: $f(g(S)) = [0, 4] = S$। यह सत्य है।
विकल्प $C$ की जाँच करें: $g(f(S)) = g([0, 16]) = \{x \in R : x^2 \in [0, 16]\} = [-4, 4]$। चूँकि $[-4, 4] \neq [0, 4]$,इसलिए $g(f(S)) \neq S$। यह सत्य है।
विकल्प $D$ की जाँच करें: $g(f(S)) = [-4, 4]$ और $g(S) = [-2, 2]$। अतः,$g(f(S)) \neq g(S)$। इसलिए,कथन $g(f(S)) = g(S)$ सत्य नहीं है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,तीसरा समीकरण पहले दो समीकरणों का रैखिक संयोजन होना चाहिए। माना तीसरा समीकरण $L_3 = a L_1 + b L_2$ है।
$x + 3y + \lambda z = \mu = a(x + y + z - 5) + b(x + 2y + 2z - 6)$.
$x, y, z$ के गुणांकों और अचर पद की तुलना करने पर:
$a + b = 1$ ($x$ का गुणांक)
$a + 2b = 3$ ($y$ का गुणांक)
$a + 2b = \lambda$ ($z$ का गुणांक)
$5a + 6b = \mu$ (अचर पद)
पहले दो समीकरणों को हल करने पर:
$(a + 2b = 3)$ में से $(a + b = 1)$ घटाने पर $b = 2$ प्राप्त होता है।
$a + b = 1$ में $b = 2$ रखने पर $a = -1$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda$ और $\mu$ ज्ञात करें:
$\lambda = a + 2b = -1 + 2(2) = 3$.
$\mu = 5a + 6b = 5(-1) + 6(2) = -5 + 12 = 7$.
अतः,$\lambda + \mu = 3 + 7 = 10$.

(A) $h(x) = f(g(x))$
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
दिया है $f(x) = e^x - x$,इसलिए $f'(x) = e^x - 1$.
दिया है $g(x) = x^2 - x$,इसलिए $g'(x) = 2x - 1$.
अतः,$h'(x) = (e^{x^2 - x} - 1)(2x - 1)$.
फलन $h(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$h'(x) \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(e^{x^2 - x} - 1)(2x - 1) \geq 0$.
स्थिति $1$: दोनों गुणनखंड अ-ऋणात्मक हों।
$e^{x^2 - x} - 1 \geq 0 \Rightarrow e^{x^2 - x} \geq 1 \Rightarrow x^2 - x \geq 0 \Rightarrow x(x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
$2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$.
सर्वनिष्ठ: $x \in [1, \infty)$.
स्थिति $2$: दोनों गुणनखंड अ-धनात्मक हों।
$e^{x^2 - x} - 1 \leq 0 \Rightarrow x^2 - x \leq 0 \Rightarrow x \in [0, 1]$.
$2x - 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
सर्वनिष्ठ: $x \in [0, \frac{1}{2}]$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,$x$ का समुच्चय $[0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int_{0}^{2\pi} [\sin 2x(1 + \cos 3x)] \,dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \,dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम देखते हैं कि फलन $f(x) = [\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ के लिए $f(2\pi - x) = [\sin(4\pi - 2x)(1 + \cos(6\pi - 3x))] = [-\sin 2x(1 + \cos 3x)]$ होता है।
गुणधर्म $\int_{0}^{a} [f(x) + f(a-x)] \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि किसी भी $x$ के लिए जहाँ $\sin 2x(1 + \cos 3x)$ पूर्णांक नहीं है,$[t] + [-t] = -1$ होता है।
चूँकि फलन अंतराल $[0, 2\pi]$ में लगभग हर जगह पूर्णांक नहीं है,इसलिए:
$2I = \int_{0}^{2\pi} ( [\sin 2x(1 + \cos 3x)] + [-\sin 2x(1 + \cos 3x)] ) \,dx$
$2I = \int_{0}^{2\pi} -1 \,dx = -2\pi$.
अतः,$I = -\pi$.

(A) दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{r = 1}^n \frac{1}{n} \left( \frac{n+r}{n} \right)^{1/3}$
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$\int\limits_0^1 (1+x)^{1/3} dx$
समाकलन करने पर:
$= \left[ \frac{(1+x)^{4/3}}{4/3} \right]_0^1 = \frac{3}{4} (2^{4/3} - 1)$

(D) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। प्रत्येक परिवार में दो बच्चे हैं,इसलिए कुल $4$ बच्चे हैं।
कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि सभी बच्चे लड़कियाँ हैं। $E = \{GGGG\}$,इसलिए $n(E) = 1$.
मान लीजिए $F$ वह घटना है कि कम से कम दो लड़कियाँ हैं।
$n(F) = n(\text{ठीक 2 लड़कियाँ}) + n(\text{ठीक 3 लड़कियाँ}) + n(\text{ठीक 4 लड़कियाँ})$
$n(F) = ^4C_2 + ^4C_3 + ^4C_4 = 6 + 4 + 1 = 11$.
सशर्त प्रायिकता $P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)}$.
चूँकि $E \subset F$,इसलिए $n(E \cap F) = n(E) = 1$.
अतः,$P(E|F) = \frac{1}{11}$.

(D) $AC$ का मध्यबिंदु $M = \left( \frac{3+1}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = (2, 1, 0)$ है।
चूंकि $G$,$BM$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $G$,$\triangle ABC$ का केंद्रक है।
केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left( \frac{3+2+1}{3}, \frac{0+10+2}{3}, \frac{-1+6+1}{3} \right) = (2, 4, 2)$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{OG} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{OA} = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल $\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA} = (2)(3) + (4)(0) + (2)(-1) = 6 - 2 = 4$ है।
परिमाण $|\overrightarrow{OG}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
परिमाण $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ है।
अतः,$\cos(\angle GOA) = \frac{\overrightarrow{OG} \cdot \overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OG}| |\overrightarrow{OA}|} = \frac{4}{(2\sqrt{6})(\sqrt{10})} = \frac{4}{2\sqrt{60}} = \frac{2}{2\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2 - 2x + 10)^2} = \int \frac{dx}{((x - 1)^2 + 9)^2}$.
$x - 1 = 3 \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 3 \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन $\int \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{(9 \tan^2 \theta + 9)^2} = \int \frac{3 \sec^2 \theta d\theta}{81 \sec^4 \theta} = \frac{1}{27} \int \cos^2 \theta d\theta$ हो जाता है।
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{54} \int (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{1}{54} (\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{x - 1}{3}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{x - 1}{3} \right)$.
साथ ही,$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \left( \frac{x - 1}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9}} \right) \left( \frac{3}{\sqrt{(x - 1)^2 + 9}} \right) = \frac{6(x - 1)}{x^2 - 2x + 10}$.
इन मानों को वापस रखने पर,$I = \frac{1}{54} \left( \tan^{-1} \left( \frac{x - 1}{3} \right) + \frac{3(x - 1)}{x^2 - 2x + 10} \right) + C$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$A = \frac{1}{54}$ और $f(x) = 3(x - 1)$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$x[(-3x)(x+2) - (x-3)(2x)] - (-6)[2(x+2) - (x-3)(-3)] + (-1)[2(2x) - (-3x)(-3)] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - (2x^2 - 6x)] + 6[2x + 4 - (-3x + 9)] - 1[4x - 9x] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x] + 6[2x + 4 + 3x - 9] - 1[-5x] = 0$
$x[-5x^2] + 6[5x - 5] + 5x = 0$
$-5x^3 + 30x - 30 + 5x = 0$
$-5x^3 + 35x - 30 = 0$
$-5$ से भाग देने पर,हमें $x^3 - 7x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के रूप का एक त्रिघात समीकरण है,जहाँ $a=1, b=0, c=-7, d=6$ है।
मूलों का योग $-b/a = -0/1 = 0$ होता है।

(A) माना दिया गया बिंदु $P(-1, 2, 6)$ है और रेखा पर स्थित बिंदु $A(2, 3, -4)$ है। सदिश $\vec{AP}$ इस प्रकार है:
$\vec{AP} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
रेखा सदिश $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ के समांतर है।
बिंदु $P$ की रेखा से लंबवत दूरी $d$ का सूत्र:
$d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{AP} \times \vec{b}$ ज्ञात करें:
$\vec{AP} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 - (-6)) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{b}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
अतः,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(C) दिया गया है $f(x) = \log_e(\sin x)$ और $g(x) = \sin^{-1}(e^{-x})$.
सबसे पहले,संयुक्त फलन $(fog)(x) = f(g(x)) = \log_e(\sin(\sin^{-1}(e^{-x})))$ ज्ञात करें।
चूँकि $\sin(\sin^{-1}(u)) = u$,इसलिए $(fog)(x) = \log_e(e^{-x}) = -x$ है।
दिया गया है $b = (fog)(\alpha)$,इसलिए $b = -\alpha$ है।
अब,अवकलन $(fog)'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$ ज्ञात करें।
दिया गया है $a = (fog)'(\alpha)$,इसलिए $a = -1$ है।
अब,$a = -1$ और $b = -\alpha$ के मानों को विकल्पों में रखें।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $a\alpha^2 - b\alpha - a = (-1)\alpha^2 - (-\alpha)\alpha - (-1) = -\alpha^2 + \alpha^2 + 1 = 1$ है।
अतः,$a\alpha^2 - b\alpha - a = 1$ सही है।

(D) दिया गया है $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$.
दोनों पक्षों में $\cos$ लेने पर,$\cos(\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2}) = \cos \alpha$ प्राप्त होता है।
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$x \cdot \frac{y}{2} + \sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - \frac{y^2}{4}} = \cos \alpha - \frac{xy}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2)(1 - \frac{y^2}{4}) = (\cos \alpha - \frac{xy}{2})^2$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 + \frac{x^2y^2}{4} = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha + \frac{x^2y^2}{4}$.
$1 - \frac{y^2}{4} - x^2 = \cos^2 \alpha - xy \cos \alpha$.
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$4 - y^2 - 4x^2 = 4 \cos^2 \alpha - 4xy \cos \alpha$.
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 - 4 \cos^2 \alpha$.
चूंकि $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$,इसलिए:
$4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2 = 4 \sin^2 \alpha$.

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है और बर्फ की परत की मोटाई $h$ है।
बर्फ सहित गोले की कुल त्रिज्या $R = 10 + h$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V$,बर्फ के साथ गोले के आयतन और लोहे की गेंद के आयतन के बीच का अंतर है:
$V = \frac{4}{3}\pi (10 + h)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3(10 + h)^2 \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi (10 + h)^2 \frac{dh}{dt}$
दिया गया है कि बर्फ $50 \, cm^3/min$ की दर से पिघल रही है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ है।
समीकरण में $h = 5 \, cm$ और $\frac{dV}{dt} = -50$ रखने पर:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (225) \frac{dh}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
अतः,बर्फ की मोटाई के घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ है।

(A) माना रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1} = \lambda$ पर एक बिंदु $P$ के निर्देशांक $(2\lambda + 1, -\lambda - 1, \lambda)$ हैं।
चूंकि लंब का पाद $Q$ दोनों समतलों $x + y + z = 3$ और $x - y + z = 3$ पर स्थित है,हम इन दोनों समतलों के प्रतिच्छेदन को ज्ञात कर सकते हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + y + z) + (x - y + z) = 3 + 3 \Rightarrow 2x + 2z = 6 \Rightarrow x + z = 3$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x + y + z) - (x - y + z) = 3 - 3 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$.
चूंकि $Q$ दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा पर स्थित है,इसके निर्देशांक $y = 0$ और $z = 3 - x$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(x, 0, 3 - x)$ के रूप में हैं।
चूंकि $PQ$ समतल $x + y + z = 3$ पर लंब है,सदिश $\vec{PQ}$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 1, 1)$ के समानांतर होना चाहिए।
$\vec{PQ} = (x - (2\lambda + 1), 0 - (-\lambda - 1), 3 - x - \lambda) = (x - 2\lambda - 1, \lambda + 1, 3 - x - \lambda)$.
$\vec{PQ} = k(1, 1, 1)$ होने के कारण,$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1 = 3 - x - \lambda$.
$\lambda + 1 = 3 - x - \lambda$ से,$2\lambda + x = 2$.
$x - 2\lambda - 1 = \lambda + 1$ से,$x - 3\lambda = 2$.
$2\lambda + x = 2$ और $x - 3\lambda = 2$ को हल करने पर,घटाने पर: $5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ को $x - 3\lambda = 2$ में रखने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(2, 0, 3 - 2) = (2, 0, 1)$ हैं।

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{4/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{2/3} x \cdot \sin^{2/3} x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{(\sin x \cos x)^{2/3} \cdot \sin^{2/3} x} \, dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{\tan^{2/3} x \cdot \sin^2 x} \, dx$
$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sec^2 x}{\tan^{2/3} x} \, dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x \, dx = dt$.
जब $x = \pi/6$,तब $t = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3} = 3^{-1/2}$.
जब $x = \pi/3$,तब $t = \tan(\pi/3) = \sqrt{3} = 3^{1/2}$.
$I = \int_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} t^{-2/3} \, dt = \left[ \frac{t^{1/3}}{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}} = 3 \left[ t^{1/3} \right]_{3^{-1/2}}^{3^{1/2}}$
$I = 3 \left( (3^{1/2})^{1/3} - (3^{-1/2})^{1/3} \right) = 3 \left( 3^{1/6} - 3^{-1/6} \right)$
$I = 3^{1 + 1/6} - 3^{1 - 1/6} = 3^{7/6} - 3^{5/6}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = 2x + x^2 \tan x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।
दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,हमें $y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx$ प्राप्त होता है।
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx$.
ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$ होता है।
अतः,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.
$\sec x$ से भाग देने पर,$y = x^2 + C \cos x$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.
अतः,$y = x^2 + \cos x$.
अब,$y' = 2x - \sin x$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2\left( \frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2\left( -\frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया समतल $2x - y + 2z + 3 = 0$ है।
सबसे पहले,समतल $4x - 2y + 4z + \lambda = 0$ को $2x - y + 2z + \frac{\lambda}{2} = 0$ के रूप में लिखें।
दो समांतर समतलों $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ और $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
पहले समतल के लिए,दूरी $\frac{|\frac{\lambda}{2} - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{|\frac{\lambda - 6}{2}|}{3} = \frac{1}{3} \implies |\lambda - 6| = 2$.
अतः,$\lambda - 6 = 2$ या $\lambda - 6 = -2$,जिससे $\lambda = 8$ या $\lambda = 4$ प्राप्त होता है।
दूसरे समतल $2x - y + 2z + \mu = 0$ के लिए,दूरी $\frac{|\mu - 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{2}{3}$ है।
$\frac{|\mu - 3|}{3} = \frac{2}{3} \implies |\mu - 3| = 2$.
अतः,$\mu - 3 = 2$ या $\mu - 3 = -2$,जिससे $\mu = 5$ या $\mu = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda + \mu$ का अधिकतम मान $8 + 5 = 13$ है।

(C) यह क्षेत्र $y = 2^x$ और $y = x + 1$ (चूंकि प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$,इसलिए $|x + 1| = x + 1$) द्वारा $x = 0$ से $x = 1$ तक परिबद्ध है।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{0}^{1} ((x + 1) - 2^x) dx$
समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$A = \left[ \frac{x^2}{2} + x - \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{0}^{1}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \left( \frac{1^2}{2} + 1 - \frac{2^1}{\ln 2} \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 - \frac{2^0}{\ln 2} \right)$
$A = \left( \frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{\ln 2} \right) - \left( 0 + 0 - \frac{1}{\ln 2} \right)$
$A = \frac{3}{2} - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}$
$A = \frac{3}{2} - \frac{1}{\ln 2}$

(A) रैखिक समीकरण निकाय के अनंत हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & \lambda & -\lambda \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(-4\lambda - (-2\lambda)) - 1(-16 - (-3\lambda)) + 1(8 - 3\lambda) = 0$
$D = (-4\lambda + 2\lambda) - (-16 + 3\lambda) + (8 - 3\lambda) = 0$
$-2\lambda + 16 - 3\lambda + 8 - 3\lambda = 0$
$-8\lambda + 24 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$ के लिए: $\lambda^2 - \lambda - 6 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$. यहाँ,$\lambda = 3$ एक मूल है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए कि सिक्का $n$ बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,$n$ उछालों में कोई भी चित न आने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ है।
हम चाहते हैं कि $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > \frac{99}{100}$ हो।
इसे सरल करने पर $1 - \frac{99}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$।
यह $2^n > 100$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ होता है।
चूंकि $128 > 100$,इसलिए $n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $7$ है।

(C) माना $t = x^2$,तब $dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$.
हम समाकलन को $\int x^4 \cdot e^{-x^2} \cdot x dx = \int t^2 \cdot e^{-t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^2 e^{-t} dt$ के रूप में लिख सकते हैं।
खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए,$u = t^2$ और $dv = e^{-t} dt$ लेने पर,$du = 2t dt$ और $v = -e^{-t}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} \int t^2 e^{-t} dt = \frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} - \int (-e^{-t}) 2t dt ] = \frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} + 2 \int t e^{-t} dt ]$.
पुनः $\int t e^{-t} dt$ के लिए खंडशः समाकलन करने पर,$u = t$ और $dv = e^{-t} dt$ लेने पर:
$\int t e^{-t} dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t}) dt = -t e^{-t} - e^{-t}$.
मान वापस रखने पर: $\frac{1}{2} [ -t^2 e^{-t} + 2(-t e^{-t} - e^{-t}) ] = (-\frac{1}{2} t^2 - t - 1) e^{-t} + c$.
$t = x^2$ रखने पर: $g(x) = -\frac{x^4}{2} - x^2 - 1$.
अतः,$g(-1) = -\frac{(-1)^4}{2} - (-1)^2 - 1 = -\frac{1}{2} - 1 - 1 = -\frac{5}{2}$.

(B) दिया गया समीकरण $\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt = (x - 2)g(x)$ है।
हमें $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt}{x - 2}$ ज्ञात करना है।
चूंकि $f(2) = 6$,यह सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है। ला-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} \int_6^{f(x)} 4t^3 \,dt}{\frac{d}{dx} (x - 2)}$.
लीबनीज़ के समाकलन नियम के अनुसार,अंश का अवकलज $4(f(x))^3 \cdot f'(x)$ है।
अतः,$\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \frac{4(f(x))^3 \cdot f'(x)}{1} = 4(f(2))^3 \cdot f'(2)$.
दिए गए मान $f(2) = 6$ और $f'(2) = \frac{1}{48}$ रखने पर:
$\lim_{x \to 2} g(x) = 4 \cdot (6)^3 \cdot \frac{1}{48} = 4 \cdot 216 \cdot \frac{1}{48} = \frac{864}{48} = 18$.

(C) माना $I = \int \frac{2x^3 - 1}{x^4 + x} \,dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2x - \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x}} \,dx$.
माना $t = x^2 + \frac{1}{x}$.
तब $dt = (2x - \frac{1}{x^2}) \,dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \,dt = \log_e |t| + C$.
$t = x^2 + \frac{1}{x} = \frac{x^3 + 1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \log_e \left| \frac{x^3 + 1}{x} \right| + C$.

(D) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{kx - x^2}$।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$kx - x^2 \geq 0$,जिसका अर्थ है $x(k - x) \geq 0$। $x \in [0, 3]$ के लिए,इसके लिए $k \geq 3$ आवश्यक है।
अवकलन $f'(x) = \sqrt{kx - x^2} + x \cdot \frac{k - 2x}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{2(kx - x^2) + kx - 2x^2}{2\sqrt{kx - x^2}} = \frac{3kx - 4x^2}{2\sqrt{kx - x^2}}$ है।
$f(x)$ को $[0, 3]$ पर वर्धमान होने के लिए,हमें सभी $x \in (0, 3)$ के लिए $f'(x) \geq 0$ की आवश्यकता है।
इसका अर्थ है $3kx - 4x^2 \geq 0$,या $x(3k - 4x) \geq 0$।
चूंकि $x > 0$,हमें $3k - 4x \geq 0$,या $k \geq \frac{4x}{3}$ की आवश्यकता है।
यह शर्त $[0, 3]$ में सभी $x$ के लिए सत्य होने के लिए,$k$ का मान $[0, 3]$ पर $\frac{4x}{3}$ के अधिकतम मान के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए,जो $\frac{4(3)}{3} = 4$ है।
अतः,$m = 4$ है।
अब,$k = 4$ के लिए,$f(x) = x\sqrt{4x - x^2}$ है।
$[0, 3]$ पर अधिकतम मान $M$ ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x) = \frac{12x - 4x^2}{2\sqrt{4x - x^2}} = \frac{2x(3 - x)}{\sqrt{4x - x^2}}$ की जाँच करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = 3$ है। चूंकि $f(0) = 0$ और $f(3) = 3\sqrt{4(3) - 3^2} = 3\sqrt{12 - 9} = 3\sqrt{3}$ है,इसलिए अधिकतम मान $M = 3\sqrt{3}$ है।
अतः,$(m, M) = (4, 3\sqrt{3})$।

(B) यह क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $x + y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = 1 - y$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$y^2 = 4(1 - y) \implies y^2 + 4y - 4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $y \ge 0$,इसलिए $y = 2\sqrt{2} - 2$. तब $x = 1 - y = 1 - (2\sqrt{2} - 2) = 3 - 2\sqrt{2}$.
क्षेत्रफल $\int_{0}^{3-2\sqrt{2}} 2\sqrt{x} dx + \int_{3-2\sqrt{2}}^{1} (1 - x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{3-2\sqrt{2}} + \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{3-2\sqrt{2}}^{1}$.
$= \frac{4}{3} (3-2\sqrt{2})^{3/2} + \left( (1 - 1/2) - ((3-2\sqrt{2}) - \frac{(3-2\sqrt{2})^2}{2}) \right)$.
यहाँ $(3-2\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)^2$ है,इसलिए $(3-2\sqrt{2})^{3/2} = (\sqrt{2}-1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$.
क्षेत्रफल $= \frac{8}{3}\sqrt{2} - \frac{10}{3}$.
अतः,$a = \frac{8}{3}$ और $b = -\frac{10}{3}$.
$a - b = \frac{8}{3} - (-\frac{10}{3}) = \frac{18}{3} = 6$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ प्राप्त होता है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ है।
सामान्य हल $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ है।
माना $t = -\frac{1}{y}$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$. साथ ही,$\frac{1}{y} = -t$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ प्राप्त होता है।
अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.
दिया गया है कि $x=1$ पर $y=1$,इसलिए $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.
अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.
$y=2$ के लिए,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.
$e^{-1/2}$ से भाग देने पर,हमें $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और सीढ़ी के ऊपरी सिरे की जमीन से ऊंचाई $y$ है। सीढ़ी की लंबाई $L = 2 \ m = 200 \ cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 200^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,जो सरल होकर $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ हो जाता है।
दिया गया है कि ऊपरी सिरा $25 \ cm/sec$ की दर से नीचे खिसक रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -25 \ cm/sec$ है।
जब $y = 1 \ m = 100 \ cm$ है,तो $x^2 + 100^2 = 200^2$ से $x^2 = 40000 - 10000 = 30000$ प्राप्त होता है,जिससे $x = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ cm$ मिलता है।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} + (100)(-25) = 0$।
$(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} = 2500$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{2500}{100\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \ cm/sec$।

(C) दिया गया समीकरण ${e^y} + xy = e$ है।
$x = 0$ पर,${e^y} + 0 = e \implies {e^y} = e \implies y = 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$.
$(0, 1)$ बिंदु पर,${e^1} \frac{dy}{dx} + 0 + 1 = 0 \implies e \frac{dy}{dx} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$.
अब,${e^y} \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} + y = 0$ का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
${e^y} \frac{d^2y}{dx^2} + {e^y} \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + x \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0$.
$x = 0, y = 1, \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{e}$ रखने पर:
$e \frac{d^2y}{dx^2} + e \left( -\frac{1}{e} \right)^2 + 0 + 2 \left( -\frac{1}{e} \right) = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{e} - \frac{2}{e} = 0$.
$e \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e} \implies \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{e^2}$.
अतः,क्रमित युग्म $\left( -\frac{1}{e}, \frac{1}{e^2} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\alpha = \sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \right)$ और $\beta = \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right)$ है।
तब $\sin \alpha = \frac{12}{13} \implies \cos \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{12}{13} \right)^2} = \frac{5}{13}$ है।
और $\sin \beta = \frac{3}{5} \implies \cos \beta = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \frac{4}{5}$ है।
सूत्र $\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = \sin^{-1} (x \sqrt{1 - y^2} - y \sqrt{1 - x^2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \right) - \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{12}{13} \times \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{48}{65} - \frac{15}{65} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \left( \frac{33}{65} \right)$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\cos^{-1} x = \sin^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^{-1} \left( \frac{33}{65} \right) = \cos^{-1} \sqrt{1 - \left( \frac{33}{65} \right)^2} = \cos^{-1} \left( \frac{56}{65} \right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \left( \frac{56}{65} \right)$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।